CC BY
15
МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
Научная
статья
DOI: 10.18287/2541-7525-2020-26-4-7-14
УДК 517.956
Дата: поступления статьи: 16.10.2020 после рецензирования: 16.11.2020 принятия статьи: 25.11.2020
С.А. Алдашев
Институт математики и математического моделирование,
г. Алматы, Республика Казахстан E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8223-6900
ЗАДАЧА ТРИКОМИ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО СМЕШАННОГО ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
АННОТАЦИЯ
Известно, что при математическом моделировании электромагнитных полей в пространстве характер электромагнитного процесса определяется свойствами среды. Если среда непроводящая, то получаем многомерные гиперболические уравнения. Если же среда обладает большой проводимостью, то приходим к многомерным параболическим уравнениям. Следовательно, анализ электромагнитных полей в сложных средах (например, если проводимость среды меняется) сводится к многомерным гиперболо-параболическим уравнениям. При изучении этих приложений возникает необходимость получения явного представления решений исследуемых задач. Краевые задачи для гиперболо-параболических уравнений на плоскости хорошо изучены, а их многомерные аналоги исследованы мало. Задача Трикоми для указанных уравнений ранее исследована. Насколько известно, эта задача в пространстве не изучена. В данной статье показано, что для многомерного смешанного гиперболо-параболического уравнения задача Трикоми разрешима неоднозначно. Приводится явный вид этих решений.
Ключевые слова: задача Трикоми; многомерное уравнение; разрешимость; сферические функции.
Цитирование. Алдашев С.А. Задача Трикоми для многомерного смешанного гиперболо-параболического уравнения // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Т. 26, № 4. С. 7-14. Б01: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2020-26-4-7-14.
Информация о конфликте интересов: автор и рецензенты заявляют об отсутствии конфликта интересов.
© Алдашев С.А., 2020
Алдашев Серик Аймурзаевич — доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник, Институт математики и математического моделирование, 050100, Республика Казахстан, г. Алматы, ул. Пушкина, 125.
Задача Трикоми для гиперболо-параболических уравнений на плоскости изучена многими авторами (см.[3] и приведеную в ней библиографию). Однако их многомерные аналоги не исследованы.
Теория краевых задач для гиперболо-параболических уравнений на плоскости хорошо изучена, а их многомерные аналоги исследованы мало [2].
Задача Трикоми для указанных уравнений ранее исследована [1]. Насколько известно, это задача в пространстве не изучена. В данной статье показано, что для модельного многомерного смешанного гиперболо-параболического уравнения задача Трикоми имеет бесчисленное множество решений.
Введение
1. Постановка задачи и результат
Пусть D— конечная область евклидова пространства Em+i точек (xi, ...,xm,t), ограниченная в полупространстве t > 0 конусами Ко : \x\ = t, К : \x\ = 1 — t,
0 ^ t ^ 2, а при t < 0— цилиндрической поверхностью Г = {(x,t) : \x\ = 1} и плоскостью t = to = const, где \x\— длина вектора x =(x\,..,xm).
Обозначим через D+ и D- части области D, лежащие соответственно в полупространствах t > 0 и t< 0. Часть конусов Ко, Ki, ограничивающих области D+, обозначим через So, S1 соответственно. Пусть S = {(x,t) : t = 0, 0 < \x\ < 1}, Г0 = {(x,t) : t = 0, \x\ = 1}.
В области D рассмотрим модельное смешанное гиперболо-параболическое уравнение
0 = ( Axu — uu, t > 0, (1)
0 = 1 Дхu — ut, t < 0, (1)
где Дх — оператор Лапласа по переменным х\,...,хт, т ^ 2.
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат х\,...,хт,Ь к сферическим г,в1, ,.,вт-1,Ь, г > 0, 0 < в1 < 2п, 0 < в, < = 22, 3, ,.,т — 1, в = (в1, ,.,вт-1).
Следуя [3], в качестве многомерного аналога задачи Трикоми рассмотрим следующую задачу.
Задача X. Найти решение уравнения (1) в области Б при £ = 0 из класса С (Б \ Г0) П С 1(Б) П С2(Б+ и Б-), удовлетворяющее краевым условиям
и|^ = ф(г,в), «|г = Ф(ь,в). (2)
Пусть {У^т(в)} — система линейно независимых сферических функций порядка п, 1 ^ к ^ кп, (т — 2)!п!кп = (п + т — 3)!(2п + т — 2), в = (в1, ...,вт-1), (Б), I = 0,1,... — пространства Соболева, а ¡3 = {(г, в) € Б, 0 <г < 1.
Имеет место [4].
Лемма. Пусть /(г, в) € Ш12(Б). Если I > т — 1, то ряд
то кп
/ (г,'в) = £Е 1кк(г)Ук, т(в), (3)
п=0к=1
а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка р ^ I — т + 1, сходятся абсолютно и равномерно.
Через фП(г), ФП(£), )Пк(г), )П(г) обозначим коэффициенты разложения ряда (3) соответственно функций ф(г, в), Ф(г, в), т(г, в) = и(г, в, 0), V(г, в) = щ(г, в, 0).
Введем множество функций
то кп
Б1 (Б) = {/ (г, в) : / € W1 (Б), П=о Е/МН2^ 2)) + 11/кк МП2^,)ехр2(П + п(т — 2)) < ж,
I > т — 1}.
Тогда справедлива
Теорема. Если ф(г,в) = г3ф*(г,в), ф*(г,в) € Б1 (Б), ф(Ь,в) € Ш1 (Г), I > т +1, то задача Т разрешима неоднозначно.
Отметим, что неединственность решения задачи Т показана в [5].
2. Разрешимость задачи 1
Доказательство теоремы. В сферических координатах уравнение (1) в области Б+ имеет вид
т— 1 1
игг +--иг--2 ди — иы = 0, (4)
где
т-1 1 д ( д \ 3= — £ ^пт-гч; щ в' щ) = 1-*> = <-о-^' >1
При I ^ —0 на Б получим функциональное соотношение между т(г, в) и V(г, в) вида
т 1 1
Тгг +--г—Тг — = v(г, в), 0 <г < 1. (5)
Известно [4], что спектр оператора 3 состоит из собственных чисел Хп = п(п + т — 2), п = 0,1,..., каждому из которых соответствует кп ортонормированных собственных функций У^т(в).
Искомое решение задачи Т в области будем искать в виде
то кп
и(г,в,1) =]Т]Т икп(т,1)У1т(в), (6)
п=0к=1
где йП(т,Ь)- функции, подлежащие определению.
Подставляя (6) в (4) и (5), используя ортогональность сферических функций Укт(в) [3], будем иметь
m — 1 к к Xn
-к + m 1 -к _ -к _ Xn uk — 0 (7)
unrr + „ unr untt r2 un — 0, (7)
при этом первое краевое условие (2) запишется в виде
1
fkkrr + fkkr — %ткк — *П(r), 0 <r< 1, (8)
Ukn(r, r) — фП(г), 0 < r < 2, k — 1, kn, n — 0,1,.... (9)
В (7)—(9) произведя замену ukn(r,t) — r 2 ukn(r,t) и полагая £ — r++t, П — , соответственно полу-
_ (1-m)
— '' 2 ™nV ' ") " ii^iui«.^ 2 ' '/ 2
чим
(£ +nn)2< — 0, 0 <п<£< 2
uknin + ukn — 0, 0 <п<£< 2, (10)
Xn k k 1
n« + £2< — к(£), 0 <£< 2, (11)
<(£, 0) — <fkn(0, 0 < £ < 1, (12)
n2
j (m— 1) 7 j (m— 1) 7 j (m—1) 7
ткк(£) — (2£) — ткк(2£), vkk(£) — (2£) — vkk(2£), фП(£) — £—&(£)
Xn — ((m — 1)(3 — m) — 4Xn)/4, k — 1, kn, n — 0,1,....
Используя общее решение уравнения (10), полученное в [6], в работе [7] показано, что решение задачи Коши для уравнения (10) имеет вид
<(£, п) — 2Tk(n)R(n, п; £, п) + 2ткк(£)R(£, £,; £, п)+ +- }№(£i)R(£i,£i;£,п) — ткп(£1)дR(£i,m;£,п)\ь=т№и (Щ
n
где R(£,ni; £,п) — PД ^^^^щ)^)1 — Функция Римана уравнения (10) [8], а Рд(г) — функция Лежандра, ц — n + (m2 3),
д , ( d£i д + dni д V dN к1=т V dN ± дт + dN± d£j к1=т,
где N^— нормаль к прямой £ — п в точке (£i,ni), направленная в стороны полуплоскости п ^ £. Из (13) при п — 0 с учетом (12) получим интегральное уравнение Вольтерра первого рода
о
где
яП(£) — j n£i)Pд (j) d£i, (14)
gkn(£) — V2vkn(£) — -feS Ш^Рд^) d£i,
«
"VW (15)
ii^fl) — ФП(£), ФП(0) — 0.
Уравнение (14) обратимо по формуле [7; 9], получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода
vn(£) — 1 f £i(£2 — £2)-2РД (£) d4-d£i. (16)
Д\£ij d£i
о
1P' (I)
о
Далее, из (15), (16) имеем
«
vk (£) — fk (£) + j Gn(£,£i)^kn (£i)d£i, (17)
где
efkk(e) = V2 0 ei(e2 — ЙГ1P^ (£) Ф , 2(e2 — e2)-1 pl (£) + / че—t2)-, T
—,/2еап(е,е1) = ше2 — е2)-2 р' (£) + / ке — г2)-1 ри р>и (%) л+ + 1 еле2 — г2)-1Р'' (!) р^ л.
Ограниченным решением уравнения (11) является функция [10]
€
в — *1)тк(е) = !(е°2е3-82 — е81 е3-81 V(ем + спв — «1 г1, 0<е< 1, (18)
о
. (т— 1) (т —3) к
где в! = п + -—2—, «2 = —п — -—2—, сП— произвольная постоянная.
Подставляя (17) в (18), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода
€
ФП (е) = рк (е) + 1 Ьп(е,е1)ФП (ем, (19)
где
Fk(e) = (si — 1)cknisi-2 + —— f [(s2 — 1)es2-2e?-s2 — (si — 1)esi-2e3-si ]fk (ем,
S2 — Si J
o
e
(S2 — si)Ln(e, ei) = j [(S2 — 1)es2-2 t3-s2 — (si — 1)esi-2t3-si ]cn(t, ei)dt.
ei
Определяя из (19) фП(e), найдем
e
rk(e) = ejфП(ei)dei, 0 < e < 2,k = 1,^,n = 0,1,.... (20)
o
Учитывая оценки [4; 11], имеем
P(z)\ < C, И < 1, \PM(chV)\ < Cexp(^ — 2)п, П > 0,
\kn\ < C2nm-2, dP¥¿-(0) < C2n? +p-i, \yoim(в)\ = ci, c, ci = const
(21)
' = 1,т — 1, р = 0,1,..., а также ограничения на заданную функцию ф(г,в). Аналогично [7] можно показать, что ряд
то кп
Т (г, в) = г ^ т1(г)Уо11т(в) + ££ п-1г ^ тк (г)УПкт(в) (22)
п=1 к = 1
сходится абсолютно и равномерно, если I > Щт.
Следовательно, в силу (19), задача (2), (4), (22) в области Б+ имеет бесчисленное множество решений вида
то кп
(1 — ^п) Л Л X-^ X-^ (1 — ^п) 1 1
и(г, в, г) = г — и1(г,г)У0]т(в) + ЕЕ ^^ икп(г,г)Упкт(в), (23)
п=о к=1
где функции икп(г,г), к =1, кп, п = 0,1,... находятся по формуле (13), в которой vn(е), тк(е) определяются из (17), (20) и принадлежит классу С (Б+) П С 1(Б+ и Б) П С2 (Б+). Теперь задачу Т будем изучать в области Б-.
В области Б- рассмотрим первую краевую задачу для уравнения
т 1 1
игг +--иг--2 3и — щ = 0 (24)
с условиямм
и1з = т (г,в),и1г = ф(г,в). (25)
Решение задачи (24), (25) будем искать в виде (6).
Подставляя (6) в (24), получим уравнение
uknrr - uknt + ^ukn = 0,k =\,hn, n = 0,1,..., (26)
при этом краевое условие (25) имеет вид
ukn(r, 0)= дП (r), ukn(1,t) = ФП (t),k = ТГк~, n = 0,1,..., (27)
дП(r) = \ Т}()Л,
n lrk(r), k = 1, kn, n = 1, 2, .... Произведя замену uk(r,t) = иП(r,t) — ~фк(t), задачу (26), (27) приведем к следующей задаче:
Lvkn = vlr — uknt + ^икп = f k(r, t), (28)
vkn (r, 0) = gkk (r), иП (1,t) = 0, 0 < r < 1, (29)
fk (r,t) = Фкг — ^ фП (t), gk (r) = gk r — фП (О).
Решение задачи (28), (29) ищем в виде vkk(r,t) = v'kn + vkkn где v'kn(r,t) — решение задачи
Lukn = fk (r,t), (30)
ukn(r, 0) = 0,vkn(1,t)=0, (31)
а v2n(r,t)— решение задачи
Lvkn = 0, (32)
<(r, 0) = gkn(r), vkn(1,t) =0, 0 <r< 1. (33)
Решение вышеуказанных задач, аналогично [1], рассмотрим в виде
vkn(r,t)=Y, Rs(r)Ta(t), (34)
2= 1
при этом пусть
оо оо
fk (r) = Е (r), gk(r) = E bk^r). (35)
в=1 8=1 Подставляя (34) в (30),(31), с учетом (35) получим
Rsrr + ^ Rs + ^ =0, 0 <Г < 1, (36)
Rs(1)=0, ^(0)| < те, (37)
Т« + МТ = -аккпп(г), (38)
Т8(0) = 0. (39) Ограниченное решение задачи (36), (37) имеет вид [10]
^(г) = (-щ), (40)
где V = п + (т2 1, (г)- функция Бесселя первого рода, ее нули, ц = п.
Решение задачи (38), (39) записывается в виде
t
Ts(t) = - J aknn(0 exp[-7s2,n(t - ОП. (41)
о
Подставляя (40) в (35), получим
то
r-2 fkk (r,t) = Y. ak, n(t)Jv (Ys , nr), 0 < r < 1, (42)
2=
TO
r-1 gkn(r) = Y, bk,nJv(Ys, nr), 0 < r < 1. (43)
Ряды (42), (43) — разложения в ряды Фурье — Бесселя [12], если
1
«иг) = [т ( )]2 [уТе/к(е,гт(ъ,пе)ле, (44)
0
1
ьк,п = [т ( )]2 (уДзп(етЫпеж, (45)
о
где 7з,п,8 = 1, 2,...— положительные нули функции Бесселя, расположенные в порядке возрастания их величины.
Из (40), (41) получим решение задачи (30), (31) в виде
4
y{n(r,t) = - jr VT-Jv(Ys,nr){J as,n(0 ew[-Y2s,n(t - OR}, (46)
о
где а!;п(г) определяется из (44).
Далее, подставляя (34) в (32), (33), будем иметь уравнение
Tst + =
решением которого является
Т3(г) = ехР(—^1пг). (47)
Из (40), (47) с учетом (35) получим
то
ик2п(г, г) = £ ^ т(ъ,пг) еМ—71пг), (48)
8=1
где Ьк пп находится из (45).
Следовательно, решение задачи (24), (25) в области Б- есть функция
оо kn
u(r,d,t) = (t) + <М+ ukn(r,t)]rYnkm т(в), (49)
n=0 k = l
где vkn(r,t),vkn(r,t) определяются из (46) и (48).
Учитывая ограничения на заданные функция <p(r,0),$(t,0), а также оценки (21), аналогично [1; 7], можно показать, что полученные неоднозначные решения вида (23) и (49) принадлежит искомому классу.
Теорема доказана.
Литература
[1] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1977. 659 с. URL: https://uch-lit.ru/matematika-2/dlya-studentov/tihonov-a-n-samarskiy-a-a-uravneniya-matematicheskoy-fiziki-onlayn.
[2] Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. Москва: Наука, 1981. 448 с. URL: https://www.studmed.ru/bicadze-av-nekotorye-klassy-uravneniy-v-chastnyh-proizvodnyh_5f371e781b6.html.
[3] Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных. Москва: Наука, 2006. 287 с. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=17962288.
[4] Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. Москва: Физматгиз, 1962. 254 с. URL: https://booksee.org/book/578442.
[5] Алдашев С.А. Неединственность решения задачи Трикоми для многомерного гиперболо-параболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 2014. T. 50. № 4. C. 544-548. DOI: http://doi.org/10.1134/S0374064114040128.
[6] Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. Москва: Изд-во АН СССР, 1959. 164 с. URL: https://1lib.education/book/1289692/1f5275?id=1289692&secret=1f5275.
[7] Алдашев С.А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. Алматы: Гылым, 1994. 170 с.
[8] Copson E.T. On the Riemann-Green function // J. Rath. Mech and Anal. 1958. Vol. 1. P. 324-348. DOI: http://doi.org/10.1007/BF00298013.
[9] Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с. URL: https://booksee.org/book/441860.
[10] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва: Наука, 1965. 703 с. URL: https://booksee.org/book/567727.
[11] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. T. 1. Москва: Наука, http://ega-math.narod.ru/Books/Bateman.htm.
[12] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. T. 2. Москва: Наука, http://ega-math.narod.ru/Books/Bateman.htm.
Scientific article
DOI: 10.18287/2541-7525-2020-26-4-7-14 Submited: 16.10.2020
Revised: 16.11.2020
Accepted: 25.11.2020
S.A. Aldashev
Institute of Mathematics and Mathematical Modelling, Almaty, Republic of Kazakhstan E-mail: [email protected]. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-8223-6900
TRICOMI PROBLEM FOR MULTIDIMENSIONAL MIXED HYPERBOLIC-PARABOLIC EQUATION
1973. 294 с. URL:
1974. 295 с. URL:
ABSTRACT
It is known that in mathematical modeling of electromagnetic fields in space, the nature of the electromagnetic process is determined by the properties of the media. If the medium is non-conducting, then we obtain multidimensional hyperbolic equations. If the medium's conductivity is higher, then we arrive at multidimensional parabolic equations. Consequently, the analysis of electromagnetic fields in complex media (for example, if the conductivity of the medium changes) reduces to multidimensional hyperbolic-parabolic equations. When studying these applications, one needs to obtain an explicit representation of solutions to the problems under study. Boundary-value problems for hyperbolic-parabolic equations on a plane are well studied; however, their multidimensional analogs have been analyzed very little. The Tricomi problem for the above equations has been previously investigated, but this problem in space has not been studied earlier. This article shows that the Tricomi problem is not uniquely solvable for a multidimensional mixed hyperbolic-parabolic equation. An explicit form of these solutions is given.
Key words: Tricomi problem; multidimensional equation; solvability; spherical functions.
Citation. Aldashev S.A. Tricomi problem for multidimensional mixed hyperbolic-parabolic equation. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaia seriia = Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 4, pp. 7-14. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2020-26-4-7-14. (In Russ.)
Information about the conflict of interests: author and reviewers declare no conflict of interests.
© Aldashev S.A., 2020
Aldashev Serik Aimurzaevich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, chief research scientist, Instituti Mathematica et Mathematica Sculpturae, 125, Pushkin Street, Almaty, 050100, Republic of Kazakhstan.
References
[1] Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Equations of mathematical physics. Moscow: Nauka, 1977, 659 p. Available at: https://uch-lit.ru/matematika-2/dlya-studentov/tihonov-a-n-samarskiy-a-a-uravneniya-matematicheskoy-fiziki-onlayn (In Russ.)
[2] Bitsadze A.V. Some classes of partial differential equations. Moscow: Nauka, 1981, 448 p. Available at: https://www.studmed.ru/bicadze-av-nekotorye-klassy-uravneniy-v-chastnyh-proizvodnyh_5f371e781b6.html (In Russ.)
[3] Nakhushev A.M. Problems with displacement for partial differential equations. Moscow: Nauka, 2006, 287 p. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=17962288. (In Russ.)
[4] Mikhlin S.G. Multidimensional singular integrals and integral equations. Moscow: Fizmatgiz, 1962, 254 p. Available at: https://booksee.org/book/578442. (In Russ.)
[5] Aldashev S.A. Nonuniqueness of the solution of the Tricomi problem for a multidimensional hyperbolic-parabolic equation. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 4, pp. 541-545. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266114040120. (English; Russian original)
[6] Bitsadze A.V. Mixed-type equations. Moscow: Izd. AN SSSR, 1959, 164 p. Available at: https://1lib.education/book/1289692/1f5275?id=1289692&secret=1f5275. (In Russ.)
[7] Aldashev S.A. Boundary value problems for multidimensional hyperbolic and mixed equations. Almaty: Gylym, 1994, 170 p. (In Russ.)
[8] Copson E.T. On the Riemann-Green function. (Archive for Rational Mechanics and Analysis), 1958, vol. 1, pp. 324-348. DOI: https://doi.org/10.1007/BF00298013.
[9] Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications. Minsk: Nauka i tekhnika, 1987, 688 p. Available at: https://booksee.org/book/441860. (In Russ.)
[10] Kamke E. Handbook of ordinary differential equations. Moscow: Nauka, 1965, 703 p. Available at: https://booksee.org/book/567727. (In Russ.)
[11] Bateman H., Erdelyi A. Higher Transcendental Functions. Vol. 1. Moscow: Nauka, 1973, 294 p. Available at: http://ega-math.narod.ru/Books/Bateman.htm. (In Russ.)
[12] Bateman H., Erdelyi A. Higher Transcendental Functions. Vol. 2. Moscow: Nauka, 1974, 295 p. Available at: http://ega-math.narod.ru/Books/Bateman.htm. (In Russ.)
