CC BY
7
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print)
d https://doi.org/10.14498/vsgtu1809
Краткие сообщения
УДК 517.955.2:517.956
Корректность смешанной задачи для многомерного гиперболо-параболического уравнения
© С. А. Алдашев
Казахский национальный педагогический университет им. Абая, Казахстан, 480100, Алматы, ул. Толе Би, 86.
В цилиндрической области евклидова пространства рассматривается модельное многомерное гиперболо-параболическое уравнение, для которого ставится смешанная задача с неоднородными краевыми условиями. В классе непрерывно-дифференцируемых функций показывается однозначная разрешимость поставленной задачи и указывается способ получения явного вида классического решения.
Ключевые слова: корректность смешанной задачи, гиперболо-параболическое уравнение, цилиндрическая область, функции Бесселя.
Получение: 22 июля 2020 г. / Исправление: 25 августа 2020 г. / Принятие: 14 сентября 2020 г. / Публикация онлайн: 30 сентября 2020 г.
Введение. К многомерным гиперболо-параболическим уравнениям приводят различные задачи, например, анализ электромагнитных полей в сложных средах (например, если проводимость среды меняется) [1], моделирование процесса распространения тепла в колеблющихся упругих мембранах [2]. При этом возникает необходимость получения явного представления решений исследуемых задач. Теория краевых задач для гиперболо-параболических уравнений на плоскости изучена в [3]. Многомерные аналоги этих задач в обобщенных пространствах исследованы в [4,5].
Основная смешанная задача для многомерных гиперболических уравнений в обобщенных пространствах исследована в работах [6,7]. В [8] доказана
Краткое сообщение
3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования
Алдашев С. А. Корректность смешанной задачи для многомерного гиперболо-параболического уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2020. Т. 24, № 3. С. 574-582. https://doi.org/10.14498/vsgtu1809. Сведения об авторе
Серик Аймурзаевич Алдашев А https://orcid.org/0000-0002-8223-6900 доктор физико-математических наук, профессор; заведующий кафедрой; каф. фундаментальной и прикладной математики; e-mail: aldash51@mail.ru
Аннотация
574
© Самарский государственный технический университет
корректность этой задачи и получен явный вид классического решения. В работах [9,10] доказано, что для многомерных гиперболо-параболических уравнений в классе непрерывных функций смешанная задача в цилиндрической области имеет бесчисленное множество решений. В данной работе показывается, что в классе непрерывно-дифференцируемых функций эта задача однозначно разрешима, приводится явное представление классического решения для одного модельного многомерного гиперболо-параболического уравнения.
1. Постановка задачи и основной результат. Пусть 0ар — цилиндрическая область евклидова пространства Ет+1 точек (х\,... ,хт,Ь), ограниченная цилиндром Г = {(х,Ь) : \х\ = 1}, плоскостями £ = а> 0 и £ = [3 < 0, где \х\ — длина вектора х = (х\,... ,хт).
Через 0 а и 0 ^ обозначим части области 0 , а через Га, Г ^ — части поверхности Г, лежащие в полупространствах Ь > 0 и Ь < 0; аа — верхнее, а ар — нижнее основание области 0ар; 5 — общая часть границ областей 0а и 0^, представляющая собой множество {£ = 0, 0 < \х\ < 1} в Ет.
В области 0а@ рассмотрим гиперболо-параболическое уравнение
0 Г Ахи - иы, 1> 0, т
0 \ Ахи - щ, К 0, (1)
где Ах — оператор Лапласа по переменным х\, ..., хт, т ^ 2.
Перейдем от декартовых координат х\, ..., хт, £ к сферическим г, 91, ..., 6т-1, ¿, г ^ 0, 0 ^ 6>1 < 2п, 0 < въ < ж, г = 2,3,...,т - 1, 9 = (0Ъ ..., вт-{).
Задача 1. Найти 'решение уравнения (1) в области 0ар при £ = 0 из класса С(0а@) П С 1(0а^) П С2(0а и ), удовлетворяющее краевым условиям
и\га = в), (2)
и\гр = Ф2^,0), и\а/3 = <р(г,в), (3)
при этом ^(0, в) = (0, в), (Р, в) = <р(1, в).
Пусть {У,пт(д)} — система линейно независимых сферических функций порядка п, 1 ^ к ^ кп, (т — 2)\п\кп = (п + т — 3)\(2п + т — 2); Ш2(Б) — пространства Соболева, I = 0,1,____
Лемма 1 [11]. Пусть /(г, в) е (Б). Если I ^ т — 1, то ряд
те кп
f М) = ЕЕ я (гКш (0), (4)
п=0к=1
а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка р ^ 1—т+1, сходятся абсолютно и равномерно.
Лемма 2. Для того чтобы /(г, в) е (в), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам
те кп
/и е 12
п=1к=1
и1(г)\ < С1, ^Е™21 (Г)\2 < ^2, 01 ,С2 =м.
Через <рк(г), Ф^п(^) обозначим коэффициенты разложения ряда (4) для функций <(г, в), , в).
Теорема 1. Если , в) е w2(Га), , в) е (Г р), <(г, в) е ш12(Б), I > 3т/2, то задача 1 однозначно разрешима.
2. Доказательство теоремы 1. В сферических координатах уравнение (1) в области имеет вид [11,12]
т - к /гЧ
игг +--иг--х ои — иг = 0, (5)
гр
т— 1
Е1 д / . т—j—ln д \
. . а< únm—1—1 в, W, lsin 3 W,)
.=1 9i slnm—i—1 9j дOj
91 = 1, 9j = (sin9i ••• sinOj—1)2, j> 1.
Известно [11,12], что спектр оператора 5 состоит из собственных чисел Ап = п(п + т — 2), п = 0,1,..., каждому из которых соответствует кп орто-нормированных собственных функций Ykm(6).
Так как искомое решение задачи 1 в области 0р принадлежит классу С(0р) П С2), его можно искать в виде ряда
<х кп
< Г,в, f) = Т.^йп(Г, *)¥п,т(0), (6)
п=0к=1
где и^(т, t) — функции, подлежащие определению.
Подставляя (6) в (5) и используя ортогональность сферических функций Ynm(e) [12], будем иметь
ипгг и^^пт ип1 2 ип — 0, к — кц, ^ъ — 0, ..., (7)
при этом краевое условие (3) с учетом леммы 1 запишется в виде
<( г,Р)=фкп(г), ик(1,t)=^n(t), к = 1,кп, п = 0,1,.... (8) Произведя в (7), (8) замену V^(г, t) = Uiy;l(г, t) — ф^п^), получим
ñk + т — 1 ñk _ ñк ^n-k = ñ(г .) (9)
^пгг 1 ^ wnr wnt ^2 а JnK'i^Ji
vkn (r,p) = ^kn(r), Vk (1, í)=0, k = 1,kn, п = 0,1,..., (10)
ñ(r, t) = + АгФ1u(t), ^n(r) = <pkn(r)—фк2пт-
, (1-ra) .
Задача (9), (10) заменой (r, t) = г 2 гл(г, t) приводится к следующей: Lvk = vkrr — vkt + A2vn = fn(r, t), (11)
< (г,Р ) = фкп(г), ьк (1,1) = 0, (12)
— 1 1 (га — 1) —1 7 (га —1) ,
^п = 4(т - 1)(3 - т) - \п, ¡к(г,1) = г—¡к(гЛ фкп(г) = г—<рк(г).
Решение задачи (11), (12) ищется в виде (г,1) = ькп(г,1) + у^п(г,1), где у1п(г, I) — решение задачи
= ¡П (гЛ у1(Г,(3) = 0, ьЧп(1,1) = 0, (13)
а — решение задачи
= 0; ькп(г,Р)= фкп(г), ьк2п(1,1) = 0. (14)
Решение вышеуказанных задач представим в виде
те
Ук (г,г) = £ ВДЗД, (15)
8=1
при этом
¡П (г,1) = £ аа,п№а(г), фк(г) = £ Ъ8,пП8(г). (16)
8=1 8=1
Подставляя (15) в (13), с учетом (16) получим
Кэгг + ^ Яз + Ц-Пз = 0, 0 <г< 1; я.(1) = 0, \Дв(0)\ < то; (17) ТвЬ + ц.Т8 = -а3,п($, ¡3<К 0; ^(¡3) = 0. (18)
Ограниченное решение задачи (17) имеет вид [13]
Яз(г) = у/гЗу(ц8,пг), V = п + 2(т - 2), ^ = А,п. (19)
Решение задачи (18) имеет вид
г И
Тв,пО у а3,п(0 ехр(^2,п£) <%. (20)
Подставляя (19) в (16), получим
те
г~11 !п (г,*) = £ а8,п(1)Ъ (р8>пг),
3=1
те
Г~22 Фп(г) = £ (^э>пГ), 0 <Г < 1.
8=1
(21)
Ряды (21) являются рядами Фурье—Бесселя [14] для соответствующих функций, если
г(г) = 2[,]„+1(^п)]-2 /1 (^з,пО <%,
■)о
1-2 1 ГЧп (1^з,пО <%, (22)
/0
а
Ъ3,п — 2[ ^+1(^,п)]-2 [ Ъ (ИзЛ )<%, 8 — 1, 2,..., (23)
J0
где — положительные нули функций Бесселя Jv(г), расположенные в порядке возрастания их величины.
Из (15), (19), (20) получим решение задачи (13) в виде
те
<(г, ^ — ^ (^,пг), (24)
8=1
где а3>п{Ъ) определяются из (22).
Подставляя (15) в (14), с учетом (16) приходим к задаче
т81 + 11%пта — 0,/3<К 0; тз(/3) — Ь3,п
с решением
т8,п&) — ьз,п ехр»1п(Р — г). (25)
Из (19), (25) получим
те
V2п(.г, ^ — ^ (еЩ)^1п(/3 — t))Jv(ц8,пг), (26)
8=1
где Ъ3,п находятся из (23).
Следовательно, единственное решение задачи (1), (3) в области 0^ имеет
вид
те к„
и(г, в, I) — £ £ + г^ [уКг, г) + укп(Г, } ¥кт(9), (27
Хфк ' —
«=0 к =1
где у'кп(г, 1), укп(г, 1) находятся из (24), (26). Имеют место следующие формулы [1,14]:
2 ^ (г) — ^-1(г) — ^+1 (г),
мо — ^М' — Г—4) + (28)
По признаку Даламбера с учетом свойств (28) показывается, что ряды (24), (26) и их продифференцированные ряды сходятся абсолютно и равномерно.
Применяя (28), оценки [11]
кп < стт-2,
_
^Укт(0) < С2Пт-1+1, з — 1,т — 1, 1 — 0,1,...
а также леммы 1, 2 и ограничения на заданные функции , 0), <р(т, в), можно показать, что полученное решение в виде (27) принадлежит классу
С (0 р) пС1 о и Б) пс ).
Из (24), (26), (27) при £ ^ -0 имеем
оо кп
и(г,6, 0)= т (г, в) = ££ тк (г)¥кт(в),
(29)
п=0к= 1
г ¡-¡3
г!к (г)= Ф1(0) + V гаа,п (£)(ехр
8=1
+Ь
(ехР
оо кг.
(т-2) (^3,пГ).
щ(г, в, 0) = и (г, = < (г)¥п,ш(0),
(30)
п=0к= 1
*к (г) = Фкш(0) - Е ^
(2-т) 2
8=1
а,а,п(0) + ц28ПЬ8,п(ехр +
гИ
+Р28,П )(еХР
(т-2) (^3,пГ).
Из (21)-(23), (28), а также из лемм 1, 2 вытекает, что т (г,в), и (г,в) е Ш2>(Б), I > 3т/2.
Таким образом, в области 0,а получена смешанная задача для многомерного волнового уравнения:
Ахи - иы = 0, и\„ = т (г,в), = V (г,в), и\г = ф1(Ь,
(31)
(32)
где соответствующие функции определяются условиями (2), (29), (30). В [8] доказана
Теорема 2. Если т(г, в), V(г, в) е (Б), ^М) е (Га), I > 3т/2, то задача (31), (32) имеет единственное решение.
Используя теорему 2, приходим к справедливости теоремы 1, и на основании работы [8] можно записать явное представление решения задачи 1.
Конкурирующие интересы. Я заявляю об отсутствии явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.
Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.
Библиографический список
1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 287 с.
2. Бицазе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
3. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.
4. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Акад. АН СССР, Сиб. отдел., Ин-т. мат., 1983. 84 с.
5. Karatoprakliev G. D. Boundary value problems for equations of mixed type in multidimensional domains // Banach Center Publications, 1983. vol. 10. pp. 231-269 (In Russian). https://doi.org/10.4064/-10-1-231-269.
6. Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: Гостехиз-дат, 1953. 279 с.
7. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.
8. Алдашев С. А. Корректность смешанной задачи для многомерных гиперболических уравнений с волновым оператором// Укр. мат. журн., 2017. Т. 69, №7. С. 992-999. http://umj-old.imath.kiev.ua/article/?lang=en&article=10799.
9. Алдашев С. А. Некорректность смешанной задачи для многомерного гиперболо-параболического уравнения / Актуальные проблемы математики, информатики, механики и теории управления: Материалы межд. научно-практической конф. Алматы, 2009. С. 469-474.
10. Алдашев С. А. Некорректность смешанной задачи для одного класса многомерных гиперболо-параболических уравнений // Мат. журнал. Алматы, 2010. Т. 10, №4. С. 4-12.
11. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. 254 с.
12. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высш. шк., 1977. 431 с.
13. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965. 703 с.
14. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. vol. II / Bateman Manuscript Project. New York, Toronto, London: McGraw-Hill Book Co., 1953. xvii+396 pp.
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук приступает к работе в рамках Государственного контракта № 13.597.11.0043 по теме «Создание электронного архива выпусков научных журналов по тематическому направлению «Математика, физика, информационные технологии». Архив будет размещен на Общероссийском портале Math-Net.Ru.
Предполагается пополнить коллекцию Math-Net.Ru архивами ряда ведущих журналов по математике, физике и информационным технологиям, а также материалами научных мероприятий.
Проект представлен в социальных сетях: ¥ ФУ^Ь^Ни, О @MathNetRu, Н Math-Net.Ru.
Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki
[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020, vol. 24, no. 3, pp. 574-582
d https://doi.org/10.14498/vsgtu1809
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print)
MSC: 35M12, 35A02
Well-posedness of a mixed type problem
for the multidimensional hyperbolic-parabolic equation
© S. A. Aldashev
Kazakh National Pedagogical University named after Abay, 86, Tole-bi st., Almaty, 480100, Kazakhstan.
Abstract
We consider the modeling multidimensional hyperbolic-parabolic equation in the cylindrical area of Euclidean space and formulate the mixed problem with non-homogeneous boundary conditions for it. We show the unique solvability of the problem for the class of continuously differentiable functions and give a way to construct its explicit classical solution.
Keywords: well-posedness of mixed type problem, hyperbolic-parabolic equation, cylindrical area, Bessel functions.
Received: 22nd July, 2020 / Revised: 25th August, 2020 / Accepted: 14th September, 2020 / First online: 30th September, 2020
Competing interests. I declare that I have no apparent or potential conflicts of interest related to the publication of this article.
Author's Responsibilities. I take full responsibility for submitting the final manuscript in print. I approved the final version of the manuscript.
Funding. The research has no funding from any party. References
1. Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki [The Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka, 1966, 287 pp. (In Russian)
2. Bitsaze A. V. Nekotorye klassy uravnenii v chastnykh proizvodnykh [Some Classes of Partial Differential Equations]. Moscow, Nauka, 1981, 448 pp. (In Russian)
3. Nakhushev A. M. Zadachi so smeshcheniem dlia uravneniia v chastnykh proizvodnykh [Problems with Shifts for Partial Differential Equations]. Moscow, Nauka, 2006, 287 pp. (In Russian)
Short Communication
9 ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:
Aldashev S. A. Well-posedness of a mixed type problem for the multidimensional hyperbolic-parabolic equation, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2020, vol. 24, no. 3, pp. 574-582. https://doi.org/10.14498/vsgtu1809 (In Russian). Author's Details:
Serik A. Aldashev https://orcid.org/0000-0002-8223-6900
Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of Dept.; Dept. of Fundamental and Applied Mathematics; e-mail: aldash51@mail.ru
© Samara State Technical University
581
4. Vragov V. N. Kraevye zadachi dlia neklassicheskikh uravnenii matematicheskoi fiziki [Boundary Value Problems for Nonclassical Equations in Mathematical Physics]. Novosibirsk, Akad. Nauk SSSR Sibirsk. Otdel., Inst. Mat., 1983, 84 pp. (In Russian)
5. Karatoprakliev G. D. Boundary value problems for equations of mixed type in multidimensional domains, Banach Center Publications, 1983, vol. 10, pp. 231-269 (In Russian). https://doi.org/10.4064/-10-1-231-269.
6. Ladyzhenskaia O. A. Smeshannaia zadacha dlia giperbolicheskogo uravneniia [The Mixed Problem for a Hyperbolic Equation]. Mosocow, Gostekhizdat, 1953, 279 pp. (In Russian)
7. Ladyzhenskaia O. A. Kraevye zadachi matematicheskoi fiziki [Boundary Value Problems of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka, 1973, 407 pp. (In Russian)
8. Aldashev S. A. Well-posedness of mixed problems for multidimensional hyperbolic equations with wave operator, Ukr. Mat. Zh., 2017, vol.69, no. 7, pp. 992-999 (In Russian). http:// umj-old.imath.kiev.ua/article/?lang=en&article=10799.
9. Aldashev S. A. Ill-posedness of a mixed problem for a multidimensional hyperbolic-parabolic equation, In: Actual Problems of Mathematics, Computer Science, Mechanics and Control Theory. Almaty, 2009, pp. 469-474 (In Russian).
10. Aldashev S. A. Ill-posedness of a mixed problem for one class of multi-dimensional hyperbolic-parabolic equations, Kazakh Math. J., 2010, vol. 10, no. 4, pp. 4-12 (In Russian).
11. Mikhlin S. G. Mnogomernye singuliarnye integraly i integral'nye uravneniia [Higher-Dimensional Singular Integrals and Integral Equations]. Moscow, Fizmatgiz, 1962, 254 pp. (In Russian)
12. Mikhlin S. G. Lineinye uravneniia v chastnykh proizvodnykh [Linear Partial Differential Equations]. Moscow, Vyssh. Shk., 1977, 431 pp. (In Russian)
13. Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differentsial'nym uravneniiam [Manual of Ordinary Differential Equations]. Moscow, Nauka, 1965, 703 pp. (In Russian)
14. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions, vol. II, Bateman Manuscript Project. New York, Toronto, London, McGraw-Hill Book Co., 1953, xvii+396 pp.
