CC BY
0ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №2
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956.6
https://doi.org/10.52754/16948645 2023 2 115
ЗАДАЧА ТИПА ЗАДАЧИ БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С СИНГУЛЯРНЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Рузиев Менглибай Холтожибаевич, д. ф. -м.н,
mruziev@mail. ru Юлдашева Наргиза Тахиржоновна, nyuldasheva87@gmail. com Институт математики им. В.И.Романовского АНРУз,
Ташкент, Узбекистан
Аннотация. Для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с сингулярными коэффициентами в неограниченной области исследована нелокальная задача с обобщенными операторами дробного дифференцирования, ядра которых содержат гипергеометрические функции Гаусса. Применив метод интегральных уравнений, рассматриваемая задача эквивалентным образом сводится к решению сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши. Регуляризовав его методом Карлемана-Векуа находится решение в явном виде.
Ключевые слова: краевая задача, сингулярный коэффициент, сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши, уравнение смешанного типа, индекс уравнения.
THE BITSADZE-SAMARSKY TYPE PROBLEM FOR A MIXED-TYPE EQUATION WITH SINGULAR COEFFICIENTS
Ruziev Menglibay Kholtojibaevich, DSc,
mruziev@mail.ru Yuldasheva Nargiza Taxirjonovna, nyuldasheva87@gmail.com Institute of Mathematics Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan,
Tashkent, Uzbekistan
Abstract: . For an equation of mixed elliptic-hyperbolic type with singular coefficients in an unbounded domain, a nonlocal problem with generalizedfractional differentiation operators whose kernels generalized Gaussian hypergeometric functions is studied. Applying the method of integral equations, the consideration problem is equivalently reduced to solving a singular integral equation with the Cauchy kernel. Regularizing it by the Carleman-Vekua method, we find the solution in an explicit form.
Keywords: boundary value problem, singular coefficient, singular integral equation with Cauchy kernel, mixed type equation, index of equation.
Рассмотрим уравнение
\т .. \ ... I а „, I ß
2 У
signУ| У|т ыхх + Uyy +-ых + Uy = 0
г +--u +--u — 0, /1\
УУ т х ,, У (1)
1----1 7
| У
в области D — D и D "UI комплексной области z — х + iy, где D -полуплоскость У > 0, D- — конечная область полуплоскости У < 0, ограниченная характеристиками OC и BC уравнения исходящими из точек O (0,0) и B (1,0) и отрезком OB прямой У — 0, I — {(х, у) : 0 < х < 1, у — 0} .
В уравнение (1) m, ß0 — некоторые действительные числа, удовлетворяющие
А т + 2 т 0 л
условиям т > 0, | а0 |< , ——<ß0 < 1.
Введем следующие обозначения:
I — {(х, у): —да< х < 0, y — 0}, I2 — {(х, y):1 < х <да, y — 0}.
Свойства решений уравнения (1) существенно зависят от коэффициентов а0 и ß при младших членах уравнения (1). На плоскости параметров a0Oß0 рассматривается треугольник A-BqCq, ограниченный прямыми -^0^0 : ß0 — ^0 — —т /2 , A0C0 : ß0 + а0 — — т /2 , A0B0: ß0 — 1, и в зависимости от местонахождения точки Р(а0, ß0) в этом треугольнике формулируются и исследуются краевые задачи для уравнения (1).
Пусть Да ß0) е A0B0C0.
Задача. Найти в области D функцию u(х, у) со следующими свойствами:
1) u( х, у) е C (D) n C 2(D) , где D — D+ и D ~ и % и Т2;
2) удовлетворяет уравнению (1) в области D + U D ;
3) выполняются равенства
4
lim u(х, У) — 0, R2 — х2 + --— у т+2, У > 0; (2)
(т + 2)2
4) u (х, У) удовлетворяет краевым условиям
u(х У)1у—0 —Vi(x), Vх е 1, (3)
A (I-C^+^um)])(х) + Au( х, 0) — я (х), (4)
а также условию сопряжения
ß u ß u
нт у*3" nr—üm(—у)ß^, х е I, (5)
У^+0 ßy у^—0 ßy
причем эти пределы при х — — 1, х — 1 могут иметь особенности порядка ниже 1 „ а т + 2ß + aj т + 2(ß—a) ,,
1 — а — ß, где а —-———— , ß — — 0 0 , я(х), fy (х) - заданные функции,
2(т + 2) 2(т + 2)
функции fy (х), i — 1,2 удовлетворяют условию Гельдера на любых отрезках
удовлетворяют неравенству
[—N, — 1], [1, N], N > 1 и для достаточно больших х
Щ (х) — М I х I , где 8, М -положительные постоянные, ©0 (х) - точка пересечения характеристик уравнения (1) выходящих из точки (X, 0) е I, с характеристикой ОС, А, А — постоянные числа.
у )(х) -оператор обобщенного дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса Р(а, Ь, с; z) , введенный М.Сайго [1, С.326] и имеющий при действительных , Р^ и X > 0 вид
-/—р X { Л
( )( x) =
x
г/)
V dx j
( t I
f ( x -1 )/-1 F / + p, -rç; /;1 — f (t)dt, /> 0,
x
(i^-nv-nf )(x), / 0,n = [-/ +1.
(6)
Заметим, что если ju> 0 , то справедливы формулы
(1/+-/ )( x) = )( x), ( l- - )( x) = (= )( x), (7)
в частности
( lîfY)( x) = f ( x), (llf )( x) = f ( x), (8)
где (l/f )( x) и (D0+f)(x) - операторы дробного интегрирования и дифференцирования Римана-Лиувилля порядка /и > 0 [1, C.85];
1 x
(l/+f )(x) = — f (x -1)/-1f (t)dt, /> 0, x > 0,
( D0+f )( x) =
V dx j
^ 1 , f ( x - t)n-/-1f(t)dt, /> 0, n = [/] +1. Г( n -/)J0
Решение видоизмененной задачи Коши, в области D имеет вид [2]
1 f m+2 Л
u ( x, y) = Ï1 J
т2\ x +
m + 2 2
(2t -1)(-y) 2
j
m+2 Л
tP-1(1 -1)a-1 dt +
a-1
+y2(-ytP° Jv2 \x +--(2t -1)(-y) 2 t-a(1 - t)-pdt,
J m 4- /
m + 2 2Г(1 -a-p)
(9)
_ Г(а + Р) ___ Где П = Г(а)Г(Р) ' Г2 = (m + 2)Г(1 - а)Г(1 - p) Используя формулу (9) и соотношение (6) имеем
m + 2
sA-a-0
u[00 ( x)] = кГ(аХ !+т)( x) + Г2 ^
V 4 у
Подставляя u[@0 ( x )] в краевое условие (4), в силу (7) и (8), получим
Г(1 -P)( l+-1,P-V)( x).
<
n
0
0
(А^Г(о) + ЛМ х) + АГгШ — ß)
т + 2
(I0+a—ßv(t))( х) — я (х). (10)
V 4 У
ч1—а— ß
Применив к обеим частям равенства оператор D0+ , с учетом
(D0a+ (II f )(t))(х) — f (х), а > 0
имеем
(А^Па) + А2)( DKt ))( х) + 4у2Г(1 — ß)
т + 2
\ 1—а—ß
v( х) — ( D1 )( х).
V 4 У
Выразим из последнего выражения у(х) , тогда имеем
v( х) — Л( Dla—ßT(t))(х) + F (х),
где
(11)
Л ——-
А^Г(а) + А2
(D0—а—ßg)(х)
А^Щ — ß)
i т + 2Л
1—0—ß, F(х) —
ЛГ2Ш — ß)
V 4 У
т + 2
V 4 У
Решение задачи Дирихле в области , удовлетворяющее условиям (2), (3) и условию и(X, 0) = т(х) , х е I , представимо в виде [3]
1 ^ и(X,у) = ^(1 -Ро)У1~Ро )(го2)а-1 ехр(-26 агсБт—Х)й- + х,у), (12)
о го
4
Г02 — (х — t )2 +
где r0
У
т+2
(т + 2)2
F (х, у) — ^ (1 — ß0)у1—ß1 J срх (t)(Г02)exp(—2b arcsin —х)dt
+
+
J (t )(r02 )a 1 exp(—2b arcsin ^—х) dt
1 r
k~ — — 2 4^
l ( 4 л2—2a
V т + 2 у
Г(1 — l)Г(1 — l) 00
2a — o + ß, l — а+bi, b — 0
Г(2 — l — l)
Дифференцируя (12) по у и учитывая равенства
/г- -ia—1
т + 2
9 1—ß0 — У ß
ßy
т + 2 у_ß, ^ 2 У ß t
(х — t )2 +
(т + 2)"
У
т+2
)(—2b;
. t — х^ exp(—2b arcsin-
(х — t)
(х — t )2 +
(т + 2)
-у
т+2
а—1
exp(—2b
. t — хч arcsin-
получим
0
<x>
ßu — *2(1 — ßß) ^
ßy 2
,—ßc
Jr(t)x
x-
d_ dt
(х — t)
(х — t )2 +
(т + 2)'
-у
т+2
а—1
exp(—2b
-у ™ l ilt)x
0
. t — х^ arcsin-
dt +
ßF1( x, У) ßy
(13)
Выполнив операцию интегрирования по частям в правой части равенства (13) с учетом г(0) = 0, г(1) = 0 , и после несложных вычислений имеем
ßu 1/1 о\т + 2
ßy 2
J T'(t)(х — t)
x
x
(х — t )2 +
(т + 2)2
У
т+2
a—1
exp(—2b arcsin -—х)dt + — F (х, у).
ßy
r0
(14)
Умножая обе части равенства (14) на У , затем переходя к пределу при у ^ +0, получим
т + 2 г Ч1 / _, . --х
I - - х |
X е (-1,1),
где
у(х) — —k2 f r'(t)(х — t) | х — t |2а 2 exp(—2b arcsin t х )dt + Ф(х),
2 i \ t — х\
(15)
Ф(х) — lim yß0 —F(х,У) — ^2(1 — ß0)2 x
y^+0 ßy
f 0
x
\2a —2
dt.
еЪя | Р (-)(х - -Т-2 Ж + | р2 (-)(- - х)2
V -со 1 У
Равенство (15) есть функциональное соотношение между неизвестными функциями
Т(х) и У(х) , принесенное на I из эллиптической части Б+ смешанной области Б .
В силу (5) исключая функцию у(х) из (11) и (15), получим
4( В^(-Рт(-))(х) =
тт + 2 г / - — х \ = -к2-J т'(-)(х - -)| х - -12°-2 ехр(-2Ь arcsin-+ ^ (х), (16)
2 0 | - х |
х е (-1,1),
где Ф1( х) = Ф( х) - ^ (х). Применив оператор Г(1 - Х- Р)Б^++Р 1 к обеим частям равенства (16) и учитывая что, (Б(+Р (Бо- Р^)(-))(х) = х), имеем
^Г(1 -а-Р)т( х) =
0
— —к,
т + 2
Г(1 — а —Р) ^а++Р—1 ]У(1)(x — t)
x — t |2a"2 ехр(—2Ь
t — x
агс81и
2 • 11 — x
(17)
+Г(1 — а — Р)Оа:Р—1Ф1 (x), x е (—1,1).
Нетрудно убедиться в том, что
V
1 — X
1 — х
1 +
Г(1 — а — Р) Д^1 Г Т (1)(х — 1 )2а—1 ехр(—2Ь агсБт-1—Х- )с — 3 I / — V I
жеЬжт( х)
(18)
Б1и((а + Р)ж)
1
Г(1 — а — Р) D0а++Р"1 Г т'(1 )(1 — х)2 а—1 ехр(—2Ь агс81п )с =
^ I — г I
1 / \1—а—Р
;ге" жс1,§- ((а + Р)ж)т( х) — е"Ъж П
х
о V 1 У
т(1) С 1 — х
(19)
Подставляя (18)-(19) в (17), имеем
т + 2
ЯГ(1 — а — Р)т( х) = —к2-х
х
Же Т(х)--же'Ьл^((а + Р)ж)т(х) + е-Ьж Г
Б1и((а + Р)ж)
\ / Л1—а—Р
х
о V 1 У
+ Г(1 — а — Р)Л0а++Р—^ (х), х е (—1,1)
Равенство (20) запишем в виде
1 , ^А~а~Р
т(1 )С1
1 — х
+ (20)
т(х) — ЯП х
о V 1 У
т(1) С1
1 — х
&о(х), х е [0,1],
(21)
где
—Ьж
Я-
2^Г(1 — а —Р)
ж
+-(еЬж — е "Ьж соБ(а + Р)ж)
к2 (т + 2) Б1и((а + Р)ж) у
gо( х) = Яе
Ьж
Полагая х Р т(х) — р(х) , ха+Р х) — х) , уравнение (21) перепишем в
к2 (т + 2)
а+Р—1
Г(1 — а — Р) D0a++Р—1Ф1( х)
виде
р(х) — Я Г РР^ — & (х), х е [0,1]. 1 — х
(22)
Решение уравнения (22) будем искать в классе функций, удовлетворяющих условию Гельдера на (0,1) и ограниченных при х , а при х ^ 0 возможно обращающихся в
х
бесконечность порядка меньше 1 - Х - Р . В этом классе индекс уравнения (22) равен нулю, а его решение методом Карлемана - Векуа ([4], с.320) находится в явном виде
р(х)=-&!+ л
f1 - х Y г ( t ^ g (t)dt
1 + Л2ж2 1+ Л2ж
2_2
V х
И г
- ]
t - х
где
0 = , 0 <0< 1/2.
ж
Отсюда, возвращаясь к прежним функциям, получим
Т(х) =
g0( х)
Л
1 + Л2ж2 1 + ЛЖ
2_2
1 - X
X
0 V / Л0
i (1-71
/ , \
а+^-1
V X У
go(t )dt t - X
ЛИТЕРАТУРА
1. Самко С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения: монография / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И Маричев. - Минск: Наука и техника, 1987. -688 с.
2. Салахитдинов М.С. Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами: монография / М.С. Салахитдинов, М. Мирсабуров. -Ташкент: Университет, 2005.
3. Ruziev M. Tricomi type equations with terms of lower order. / M. Ruziev, M. Reissig // Journal of Dynamical Systems and Differential Equations. 2016. Vol. 6. № 1. P. 14.
4. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения: Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике: монография / Мусхелишвили Н.И. - Москва: Наука, 1968. - 511 с.
