CC BY
13
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ.
2021. № 3
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3
УДК 517.95
doi 10.18522/1026-2237-2021-3-18-24
НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО СМЕШАННОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
© 2021 г. А.Г. Езаова1, Л.В. Канукоева1, Г.В. Куповых2
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, Нальчик, Россия, 2Южный федеральный университет, Таганрог, Россия
NONLOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR ONE MIXED THIRD ORDER EQUATION
A. G. Ezaova1, L.V. Kanukoeva1, G.V. Kupovykh2
1Kabardino- Balkarian State University, Nalchik, Russia, 2Southern Federal University, Taganrog, Russia
Езаова Алена Георгиевна - кандидат физико-математических наук, доцент, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, ул. Чернышевского, 173, г. Нальчик, КБР, 360004, Россия, e-mail: alena_ezaova@mail. ru
Канукоева Ляна Владимировна - кандидат физико-математических наук, доцент, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, ул. Чернышевского, 173, г. Нальчик, КБР, 360004, Россия
Куповых Геннадий Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор, Инженерно-технологическая академия, Южный федеральный университет, пер. Некрасовский, 44, г. Таганрог, 347928, Россия, e-mail: kupovykh@sfedu.ru
Alena G. Ezaova - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Berbekov Kabardino-Balkarian State University, Chernyshevskogo St., 173, Nalchik, KBR, 360004, Russia, e-mail: alena_ezaova@mail.ru
Liana V. Kanukoeva - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Berbekov Kabardino-Balkar State University Chernyshevskogo St., 173, Nalchik, KBR, 360004, Russia, e-mail: alena_ezaova@mail.ru
Gennady V. Kupovykh - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Academy for Engineering and Technologies, Southern Federal University, Nekrasovsky St., 44, Taganrog, 347928, Russia, e-mail: kupovykh@sfedu.ru
Рассматривается нелокальная краевая задача для смешанного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка. Уравнение решается в конечной односвязной области, состоящей из гиперболической и параболической частей. Решение исследуется для различных значений параметра А, находящегося в исходном уравнении. В случае, когда
—-— < А < 1, решение сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое известным методом Карлемана - Ве-куа редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода. В случае, когда Л = -
сформулирована и доказана теорема о существовании и единственности решения. Для доказательства единственности решения применяется метод интегралов энергии и выводятся ограничения неравенственного типа на заданные функции, входящие в краевое условие. Показано, что однородная задача, соответствующая исходной, при выполнении условий теоремы единственности имеет только тривиальное решение во всей рассматриваемой области. Следовательно, исходная задача имеет единственное решение. При нарушении полученных ограничений на заданные функции задача не имеет единственного решения. При исследовании вопроса о существовании решения рассматривается система двух уравнений, состоящая из основных функциональных соотношений между следом искомой функции и следом ее производной, принесенных на линию вырождения у = 0. Исключая из системы функцию т(х) - след искомого решения на линии вырождения, приходим к уравнению относительно следа производной искомой функции. При выполнении условии теоремы существования и единственности задача эквивалентно редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения.
18
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ.
2021. № 3
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3
Ключевые слова: нелокальная краевая задача, смешанный тип уравнения, уравнения третьего порядка, конечная область, теорема о существовании и единственности, метод интегралов энергии, эквивалентная редукция, регулярное решение, интегральное уравнение Фредгольма второго рода, сингулярные интегральные уравнения, линия вырождения, метод Карлемана - Векуа.
The paper considers a nonlocal boundary value problem for a mixed hyperbolic-parabolic equation of the third order. The equation is considered in a finite simply connected domain consisting of a hyperbolic and a parabolic part. The solution to the problem posed is considered for various cases of the parameter A, which is in the original equation. In the case when —2— < < A < 1, the solution of the problem is reduced to a singular integral equation, which is reduced by the well-known Carleman-Vekua method to the Fredholm integral equation of the third kind. In the case when A = —2—, a theorem on the existence and uniqueness of a solution to the problem posed is formulated and proved. To prove the uniqueness of the solution, the method of energy integrals is used and inequalities of the type are derived on the given functions that are in the boundary condition. It is shown that the homogeneous problem corresponding to the original problem, under the conditions of the uniqueness theorem, has only a trivial solution in the entire considered domain. From which we can conclude that the original problem has only a single solution. If the obtained conditions for the given functions are violated, the problem posed does not have a unique solution. When investigating the question of the existence of a solution to the problem posed, a system of two equations is considered, consisting of the basic functional relations between the trace of the desired function and the traces of the derivative of the desired function, brought to the line of degeneration y = 0. Eliminating from the system the function t (x) - the trace of the desired solution on the line of degeneration, we arrive at an equation for the trace of the derivative of the desired function. Under the condition of the existence and uniqueness theorem, the problem posed is equivalently reduced to the Fredholm integral equation of the second kind, the unconditional solvability of which follows from the uniqueness of the solution to the problem posed.
Keywords: nonlocal boundary value problem, mixed type of equation, third order equations, end area, existence and uniqueness theorem, energy integrals method, equivalent reduction, regular solution, Fredholm integral equation of the second kind, singular integral equations, degeneration line, Carleman-Vekua method.
Введение
Задачи со смещением возникают при рассмотрении вопросов, связанных с динамикой почвенной влаги, описании процесса излучения лазера и диффузии в трехкомпонентных системах, математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы. Достаточно полная библиография по теории локальных и нелокальных задач для уравнений смешанного типа содержится в монографиях [1—7], а также в ряде статей [8-10]. Во всех этих работах исследованы в основном нелокальные краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений и уравнений смешанного эллиптико-ги-перболического типа как с одной, так и с двумя параллельными или перпендикулярными линиями изменения типа в плоскости и пространстве.
Уравнения смешанного гиперболо-параболического типа второго и третьего порядка лежат в основе математических моделей различных природных явлений. Локальные и нелокальные краевые задачи для таких уравнений встречаются, например, при изучении движения жидкости, окруженной пористой средой, в канале, в теории распространения электромагнитных полей и в ряде других областей физики [11], при изучении математических моделей, описывающих влияние растительного покрова на теплообменные процессы в почве и приземном
воздухе, когда возникает необходимость исследования задачи для двух уравнений: уравнения Аллера переноса влаги, предполагающего бесконечную скорость распространения возмущения, и уравнения А.В. Лыкова, учитывающего конечную его скорость [12]. «Совместное движение различных несмачивающихся жидкостей в трещинах и пористых пластах, с учетом вязкоупругих характеристик движения вязкоупругой и вязкой жидкостей, в плоской горизонтальной трещине, без учета поверхностных явлений, описывается одномерным гиперболическим уравнением теплопроводности с интегро-дифференциаль-ными условиями на границе раздела движущихся жидкостей» [13].
Постановка задачи
0 =
(1)
В евклидовом пространстве плоскости переменных х и у рассматривается уравнение
( Uххх — Uy, у > 0,
[y2mUxx + yUyy + ли, у < 0,
Л - заданная постоянная, в односвязной области Q, ограниченной отрезками AAq, AqB0, B0B прямых x = 0, у = 1, x = 1 при у > 0 соответственно и характеристиками
2 2Ш+1
АС:х-------(-у) 2 =0;
2m+lv ’
19
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ.
2021. № 3
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3
BC-. x + ■
-m+1
2m+!
(.-y)— = 1
уравнения (1) при у < 0; m - целое фиксированное натуральное число. Везде далее будем обозначать
Q1 = Qn {y > 0}, Q2 = Qn{y <0}; I -0 < x < 1 линии y = 0 ;
eoM-f-iPT1*)2""
интервал
V 4
„ , Л 1+x . /-m+1 .. .4'
®1(*)= —-l(—(1-*))
2_
\2m+l
- точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x,0), с характеристиками AC, BC соответственно.
Задача. Найти функцию U (x, y) со следую-
-
щими свойствами:
1) U (x, y)e
g C(Q) n C1(Q) n Cx3,y (Q1) n Cx2,2(Q2);
2) U (x, y) - регулярное в Q1 UQ2 решение уравнения (1);
3) U(x, y) удовлетворяет краевым условиям:
U l0, y) = %{y), U l1, у) = Ф2 (y),
Ux(0, У)=Фз (y) ,0 < y < h, (2)
a(x)U[©0(x)]+p(x)U[©1 (x)] = у(x), x g I, (3) lim Uy (x, y) = lim (-y)X Uy (x, y) = v(x), (4)
y^0+ y^0-
x g I .
2
Предполагается, что функция v(x) g C (I) при
x=0 и x=1 может обращаться в бесконечность пол - -т-1+-А
рядка меньше 1 + 2s , где £ =-----------;
-+4т
фг (y) g C[0,1] i = 1,3;
a(x) = xpa0 (x); p = const > 2s, a0(x), p(x), y(x) g C3(I);
[a(x)xp-s(1 -x)s — p(x)cosns, ^ +
+ p2 (x)sin2 ns Ф 0, Vx g I.
Сформулированная задача относится к классу нелокальных краевых задач со смещением [2].
Хорошо известно, что простейшей моделью гиперболических уравнений второго порядка, тип и порядок которых вырождается на одном и том же (и-1)-мерном континууме, является уравнение (1) при y < 0. Корректность задачи Коши и нелокальных краевых задач существенным образом зависит от значения коэффициента X [14-17]. Будем рассматривать случаи, когда 12 — m < X < 1.
Основные результаты
Рассмотрим случай, когда 12 — m < X < 1.
Пусть существует решение задачи (1)-(4). Тогда регулярное в области Q 2 решение уравнения (1) при y<0, удовлетворяющее условиям U(x,0) = т(x), lim (—y)X Uy (x, y) = v(x), x g I,
y^0— ^
существует и единственно. Это решение дается формулой [14, 18]
U (xy »=Г§Х
1
x Jt
0
' 2(1 — 2t )/ 4_2m±1
x+ ^-----r(— y) 2
2m +1
2 Г(2 — 2s)
[t (1 — t )]s—1 dt — (5)
m + 2 Г2(1 — s)
(—y)1—X x
1
X Jv
0
' 2(1 — 2t )/ 42ml1
x+ ^----r(— y) 2
2m +1
[t (1 — t)]~s dt.
Подставляя в (5) значения ©0(x) и ©1 x) и проделав несложные преобразования, с учетом свойств операторов дробного интегро-дифференцирования [19, 20] получим
U[©0 (x)] = ^ x1—2sD—sxs“1t(x) —1 x
r(s)
2m +1Т"Г(2 — 2s) Dg-1x-v( x),
4 ) Г(1 — s)
U [©1 (x)] = r(2s) (1 — x)1—2s D—1s (1 — x)s—1 t( x) — r(s)
(6)
1 f 2m +1 ) Г(2 —2s) ^s—1
21 4
-2s
Г(1 — s)
Dx—1(1 — x)—sv( x),
где Dqx , Dlx\ - операторы дробного интегрирования порядка -1 при l < 0 и обобщенные в смысле Лиувилля производные порядка l при l > 0; l - любое действительное число.
Учитывая (6) в краевом условии (3) и проведя соответствующие преобразования, будем иметь [21]
” v(t) , „ v(
a
(x)L /(t\1s dt+p(x)b——
0 [t (x — t )]s
:[(1 — t )(t — x )]s
-dt =
= к
r(x )
- dt +
X
a(x) x1—2sju w_
0 [t (x — 11
+ p(x)(1 — x)1—К------^
[(• — t )(t — x }]■-
-dt
+
К = 2|
_J 2m +1 fs Г2(1 — s)T(2s)
4 ) Г(2 — 2s)Г2 (s)’
к2 y(x ),
(7)
X
s
20
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2021. № 3
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3
2m + 1 ^ 2s Г2 (1 -s)
K2 2 4 J Г(2 - 2s)'
Равенство (7) является основным функциональным соотношением между функциями т(х) и v(x), принесенным на линию y=0 из области 0,2.
Переходя в уравнении (1) к пределу при у^+0 и учитывая краевые условия (2), получим задачу Коши относительно т(х)
V"(x) = v(x), (8)
т(0) = ф(0), т(1) = Ф2(0), т(0) = фз(0) .
Решая задачу (8) относительно т(х), получим основное функциональное соотношение между функциями т(х) и v(x), принесенное из области О1 [22-24]
1 х 11
т (х) = - J (х -1)2 v (t) dt - - х2 J (1 -1)2 v (t) dt + f (x),
2 0 2 0
f (х) = (1 - х2 )ф (0)+х2ф2 (0) + (х - х2 )фз (0). (9) Подставляя (9) в правую часть равенства (7) и делая несложные преобразования, получим
а
(х)Jr /(tdt + Р(х)J
'(t)
0 [t [х -1 )]s
1-2s
а(; х) х
х XJ dt
0 [t (х -1
, 1
-dt = —
[(1 -1 )(t - х)Г 2
K1 X
ft
J (t - z)2 v(z)dz -
V 0 1
-12 J (1 - z)2 v( z)dz
0
+
J
+Р(х)(1 - х)1-Ч
dt
kll-s
[(1 -1 )(t - х)]1
f t 1 Л
J (t - z)2 v( z)dz -12 J (1 - z)2 v( z)dz
V 0 0
+ K1 X
а
A
(х) х1-2sJ
h(t )dt
1-s
0 [t (х -1 )]
k2 у(х )
х
х -1
\
X JFl s,1 -s,2;—7--^
J V х(1 -t)_
ф(-) dt = к(х), t
где S - сингулярный оператор. Применяя метод Кар-лемана - Векуа [21, 25, 26], полученное сингулярное интегральное уравнение редуцируем к уравнению вида
Г1(*Мх)+№^ = Лх). (10)
причем ядро К (х, t) и функция F (х) достаточно
гладкие, ограниченные при 0 < х, t < 1, соответственно. Уравнение (10) - интегральное уравнение Фредгольма третьего рода со слабой особенностью в ядре и непрерывной правой частью [21, 25, 26].
По найденному у(х) определяется т(х) из (9), а решение задачи (1)-(4) в области Q2 - как решение задачи Коши. В области Q1 решение задачи определяется по формуле [27].
U(х, y) = J G^ (х, у;0, ц)ф (ц^ц -0
У
- J Gj£ (х, y;1, ц)ф2(цМц-0
У 1
- J G§ (х, y;0, ц)фз (ц^ц + J G(х, y; ^,0)т(^,
0 0
где G(х, у; £, ц) - функция Грина задачи (1), (2), U(х,0) = т(х).
Далее рассмотрим случай X = (1 2m)2.
Теорема. Решение задачи (1)-(4) при X =
1-2 т
существует и единственно, если выполняются условия:
а2(х) + Р2(х) Ф 0, а(х) Ф ±Р(х), (11)
«(1) > 0 Р(0)
> о, (—) > о.
а(0)+^(0) \a(x)J
а(1)+Р(1)
Доказательство единственности
Если X = 1 2т, то регулярное в О 2 решение уравнения (1) выписывается в виде [14]
f _ 2m+1 Л
+ Р(х )(1 - х)-2s J f(t )dt
х [(1 - t )(t - х )]1 После некоторых дополнительных преобразований последнее уравнение сводится к сингулярному интегральному уравнению вида [18]
n (1 - х)1^ Уф + 2B(1 + s, 2 - s) хр-sa0 (х) x
U (х, у) = 2 т
2
х--
1
+ —т
2
2
2m +1
2m+1 Л
х + ----- (-У) 2
2m +1
V
J
2m+1 1 f
x (-У) 2 Jv
0
2
2 +
J
2
2m +1 2m+1
(12)
Л
х + ----- (-У) 2 (1 - 2t) dt.
2m +1
V J
Подставляя в (12) значения ©0(х) и ©1(х), получим
X
-s
X
+
X
V
X
21
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2021. № 3
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3
1 1 x
U (©0 (x)) = - [t( x) + t(0)]- -J v(t )dt, (13)
2 2 0
1 1 1
U(©1 (x)) = - [t(x) + t(1)]- - J v(t)dt.
Учитывая (13) в краевом условии (3), получим основное функциональное соотношение между функциями z(x) и v(x), принесенное из гиперболической части Q 2 области Q на линию у=О, которое имеет вид
x 1
a(x)j v(t) dt + p(x)j v(t) dt = h(x)x(x) + g(x) , (14)
0 x
где
h(x) = a(x) + p(x), g(x) =
= Ф1 (0)a( x) + ф- (0)p(x) - 2y(x).
Уравнение (14) перепишем в виде
T(x) = ^(^J^v(t)dt + ^(^:J1v(t)dt + (15)
v J h(x) J0 w h(x)Jx v J h(x) v '
Докажем, что решение задачи (1)-(4) единственно при выполнении условий (11) теоремы единственности. Для этого с учетом однородных граничных условий покажем, что для интеграла справедливо неравенство I = J1 r(x)v(x)dx > 0.
Выражение (15) умножим на v(x) и проинтегрируем от 0 до 1. Получим
1 = JoT(x)v(x)dx =
-1 а(х)
= J0h7)v(x)dxJ0v(t)dt +
+ J0l&V(x)dxJxV(t)dL С учетом формул из [11, 26] получаем
v(x) J0Xv(t) dt = -2 [(J0%OD dt)2] ,
v(x) J1 v(t) dt = -1 [(J^1 v(t) dt) тогда интеграл I принимает вид
1 = Кт[(!с(')«‘)1 *
х dx -
dx.
4W 2J0 h(x) \
Применяя формулу интегрирования по частям, после несложных преобразований будем иметь
2
v(
\1:Ш(К«)«),*'+
+
2
11 2 ■
£(Ш) (Jxv(t)dtfdx
Таким образом, при выполнении условий (10), (11) теоремы выполняется неравенство
I = J*z(x)v(x)dx > 0. (16)
С другой стороны, переходя в уравнении (1) к пределу при у ^ +О, получаем
v(x) = t'"(x). (17)
Умножая последнее равенство на т(x), а затем интегрируя от 0 до 1, с учетом однородных граничных условий получим
I = J1T(x)v(x)dx =—[[L^<0. (18)
С учетом (16) и (18)
I = J1 r(x)v(x)dx = 0.
Следовательно, v(x) = 0, Vx G [0,1]. С учетом однородных граничных условий получаем, что т(х) = 0. Таким образом, U(x,y) = 0 всюду в области Q2 как решение задачи Коши с нулевыми данными, а в области Q1 U(x,y) = 0 как решение задачи (1), U(х, у) = т(х) = 0, U(1, у) = О, U(0, у) = 0. Отсюда заключаем, что однородная задача, соответствующая рассматриваемой задаче, при выполнении условий (11) имеет только тривиальное решение во всей области Q. Следовательно, исходная задача имеет единственное решение.
Доказательство существования решения
Подставим (9) в правую часть равенства (14), получим
<х) Jov(t)dt + Р(х) J1 v(t)dt = (19)
= h(x) J* G(x, t)v(t)dt + n(x),
где
(1(x — t)2 — \x2(1 — t)2,0 < t < x;
G(x,t) = \2 1 * ^
( --X2(1-t)2,x<t<1,
n(x) = g (x) + h(x)f1(x).
Из выражения (19) путем несложных преобразований приходим к уравнению относительно функции v(x) вида
v(x) + р(х) JqR(x, t)v(t) dt = q(x),
где
p(x^> = mhv), *(x) = ^Mix),
R(x,t) =
_ (h'(x)G(x, t) + h(x)G%(x, t) — a'(x), 0 < t < x; [h'(x)G(x, t) + h(x)G%(x, t) — P'(x),x < t < 1. Уравнение (19) есть интегральное уравнение Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого следует из единственности решения поставленной задачи.
22
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ.
2021. № 3
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3
Заключение
Таким образом, исследована проблема однозначной разрешимости нелокальной краевой задачи для смешанного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка в конечной односвязной области. В зависимости от условий, накладываемых на коэффициент X при искомой функции в исходном уравнении, выделены два случая. Первый, когда 1 < X < 1. Задача эквивалентно редуцируется к
сингулярному интегральному уравнению, которое методом Карлемана - Векуа сводится к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода. Второй, когда X = —-—. В работе сформулирована и доказана теорема о существовании и единственности решения поставленной задачи. При доказательстве существования задача эквивалентно редуцирована к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Показано, что при нарушении приведенных ограничений неравенственного типа на заданные функции единственность решения нарушается.
Литература
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука,1981. 448 с.
2. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.
3. Нахушев А.М. Новая краевая задача для вырождающегося гиперболического уравнения // Докл. Академии наук СССР. 1969. Т. 187, № 4. С. 736-739.
4. Нахушев А.М. О некоторых новых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Диф. уравнения. 1969. Т. 5, № 1. С. 4459.
5. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.
6. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. 304 с.
7. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: Фан, 1974. 156 с.
8. Бжихатлов Х.Г. Об одной краевой задаче для смешанных параболо-гиперболических уравнений с характеристической линией изменения типа // Диф. уравнения. 1977. Т. 13, № 1. С. 10-16.
9. Кумыкова С.К. О некоторых краевых задачах со смещением для уравнения Лаврентьева - Бицадзе // Диф. уравнения. 1973. Т. 9, № 1. С. 106-114.
10. Озаров И. Задача со смещением для гиперболического уравнения с нехарактеристическим вырождением на части границы // Диф. уравнения. 1982. Т. 18, № 1. С. 92-100.
11. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 735 с.
12. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа: пер. с итал. М.; Л.: Гостехиздат, 1947. 192 с.
13. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 1985. 480 с.
14. Бицадзе А.В. К теории уравнений смешанного типа, порядок которых вырождается вдоль линии изменения типа // Механика сплошных сред и родственные проблемы анализа. М., 1972. С. 42-47.
15. Езаова А.Г. Задача с нелокальными условиями на характеристиках для смешанного уравнения третьего порядка // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2009. № 3. С. 14-17.
16. Иргашев Б.Ю. Некоторые краевые задачи для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками // Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения. Ташкент: Фан, 1976. С. 17-31.
17. Шхануков М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтраций жидкости в пористых сферах // Диф. уравнения. 1982. Т. 18, № 4. С. 689-669.
18. Бжихатлов Х.Г. Краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения и сингулярные интегральные уравнения третьего порядка // Диф. уравнения. 1971. Т. 7, № 1. С. 3-14.
19. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
20. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: ТТИ, 1953. 379 с.
21. Бжихатлов Х.Г., Карасев И.М., Лесковский И.П., Нахушев А.М. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик: КБГУ, 1972. 290 с.
22. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1967. 565 с.
23. Езаова А.Г. Об одной нелокальной задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка // Изв. Кабардино-Балкарского гос. ун-та. 2011. Т. 1, № 4. C. 26-31.
24. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамаджанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. Ташкент: Фан, 1986. 237 с.
25. Корзюк В.И., Лемешевский С.В., Матус П.П. Разрешимость задачи сопряжения гиперболического и параболического уравнений с интегро-дифференциальными условиями на границе раздела областей // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: тр. Инта математики НАН Беларуси. 2000. Т. 6. С. 100-108.
26. Кумыкова С.К. Краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения в характеристическом двуугольнике // Диф. уравнения. 1979. Т. 15, № 1. С. 79-91.
27. Елеев В.А., Кумыкова С.К. О некоторых краевых задачах со смещением на характеристиках для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа // Украинский мат. журн. 2000. Т. 52, № 5. С. 707-716.
23
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ.
2021. № 3
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3
References
1. Bitsadze A.V. (1981). Some classes of partial differential equations. Moscow, Nauka Publ., 448 p. (in Russian).
2. Nakhushev A.M. (2006). Bias problems for partial differential equations. Moscow, Nauka Publ., 287 p. (in Russian).
3. Nakhushev A.M. (1969). A new boundary value problem for a degenerate hyperbolic equation. Dokl. Akad-emii naukSSSR, vol. 187, No. 4, pp. 736-739. (in Russian).
4. Nakhushev A.M. (1969). On some new boundary value problems for hyperbolic equations and equations of mixed type. Dif uravneniya, vol. 5, No. 1, pp. 44-59. (in Russian).
5. Nakhushev A.M. (1995). Equations of mathematical biology. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 301 p. (in Russian).
6. Smirnov M.M. (1985). Mixed type equations. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 304 p. (in Russian).
7. Salakhitdinov M.S. (1974). Mixed-composite equations. Tashkent, Fan Publ., 156 p. (in Russian).
8. Bzhikhatlov Kh.G. (1977). On a boundary value problem for mixed parabolic-hyperbolic equations with a characteristic line of change in type. Dif. uravneniya, vol. 13, No. 1, pp. 10-16. (in Russian).
9. Kumykova S.K. (1973). On some boundary value problems with displacement for the Lavrent'ev-Bitsadze equation. Dif. uravneniya, vol. 9, No. 1, pp. 106-114. (in Russian).
10. Ozarov I. (1982). Problem with displacement for a hyperbolic equation with non-characteristic degeneration on a part of the boundary. Dif. uravneniya, vol. 18, No. 1, pp. 92-100. (in Russian).
11. Tikhonov A.N., Samarsky A.A. (1977). Equations of mathematical physics. Moscow, Nauka Publ., 735 p. (in Russian).
12. Tricomi F. (1947). On linear equations of mixed type. Moscow, Leningrad, Gostekhizdat Publ., 192 p. (in Russian).
13. Kartashov E.M. (1985). Analytical methods in the theory of thermal conductivity of solids. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 480 p. (in Russian).
14. Bitsadze A.V. (1972). To the theory of equations of mixed type, the order of which degenerates along the line of change of type. Continuum mechanics and relatedprob-lems of analysis. Moscow, pp. 42-47. (in Russian).
15. Ezaova A.G. (2009). Problem with nonlocal conditions on characteristics for a mixed third-order equation. Proceedings of higher educational institutions. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki (Bulletin of Higher Edu-
cational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science), No. 3, pp. 14-17. (in Russian).
16. Irgashev Yu. (1976). Some boundary value problems for third order equations with multiple characteristics. Boundary value problems for differential equations and their applications. Tashkent, Fan Publ., pp. 17-31. (in Russian).
17. Shkhanukov M.Kh. (1982). On some boundary value problems for a third-order equation arising in the simulation of fluid filtration in porous spheres. Dif. uravneniya, vol. 18, No. 4, pp. 689-669. (in Russian).
18. Bzhikhatlov Kh.G. (1971). A boundary value problem for one degenerate hyperbolic equation and singular integral equations of the third order. Dif. uravneniya, vol. 7, No. 1, pp. 3-14. (in Russian).
19. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. (1987). Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 688 p. (in Russian).
20. Lebedev N.N. (19531. Special functions and their applications. Moscow, TTI Press, 379 p. (in Russian).
21. Bzhikhatlov Kh.G., Karasev I.M., Leskovsky I.P., Nakhushev A.M. (1972). Selected questions of differential and integral equations. Nalchik, KBSU Press, pp. 78-94. (in Russian).
22. Matveev V.N. (1967). Methods of integration of ordinary differential equations. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 565 p. (in Russian).
23. Ezaova A.G. (2011). On a nonlocal problem for a third-order mixed-type equation. Izv. Kabardino-Bal-karskogo gos. un-ta, vol. 1, No. 4, pp. 26-31. (in Russian).
24. Dzhuraev T.D., Sopuev A., Mamadzhanov M. (1986). Boundary value problems for equations of parabolic-hyperbolic type. Tashkent, Fan Publ., 237 p. (in Russian).
25. Korzyuk V.I., Lemeshevsky S.V., Matus P.P. (2000). Solvability of the problem of conjugation of hyperbolic and parabolic equations with integro-differential conditions at the interface of the domains. Analytical methods and differential equations. Proceedings of the Institute of Mathematics, Belarus National Academy of Sciences, vol. 6, pp. 100-108. (in Russian).
26. Kumykova S.K. (1979). A boundary value problem for a single degenerate hyperbolic equation in a characteristic biconvex. Dif. uravneniya, vol. 15, No. 1, pp. 79-91. (in Russian).
27. Eleev V.A., Kumykova S.K. (2000). On some boundary value problems with displacement on characteristics for a mixed equation of hyperbolic-parabolic type. Ukrainskii mat. zhurn., vol. 52, No. 5, pp. 707-716. (in Russian).
Поступила в редакцию /Received
19 марта 2021 г. /March 19, 2021
24
