Задача терраупругости в почвообработке Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ИНЖЕНЕРНО-АГРОПРОМЫШЛЕННЫЕ СПЕЦИАЛЬНОСТИ

УДК 631.316.02-001.5 И.В. ИГНАТЕНКО

ЗАДАЧА ТЕРРАУПРУГОСТИ В ПОЧВООБРАБОТКЕ

Решается задача построения математической модели процесса взаимодействия рабочего органа с почвой с учётом упругости его крепления. Отмечается аналогия её задачам аэро- и гидроупругости в классической механике. Модель построена в виде векторно-матричных уравнений в форме Коши, для чего введено понятие вектора состояния упругозакреплённого рабочего органа. Приведены перспективы применения модели для описания динамических эффектов почвообработки. Ключевые слова: почвообработка, рабочий орган, упругость, динамика.

Введение. Применяемые в почвообработке математические описания взаимодействия рабочего органа с почвой широко используют постулат, что рабочий орган закреплён жёстко, движется поступательно, не отклоняясь от прямолинейной траектории [1]. Это расходится с реальным процессом. Исследования показывают, что движение рабочего органа в почве сопровождается значительными упругими смещениями и колебаниями интенсивностью до 8g по виброускорению [2]. Упругие смещения соизмеримы с глубиной хода и оказывают сильное влияние на качественные и энергетические показатели почвообработки. Величина упругих смещений составляет от 10 до 110 мм; искажения геометрии рабочих органов достигают 20 град/кН [3]. Абсолютно жесткого крепления не существует, поэтому в строгом смысле все крепления рабочих органов почвообрабатывающих машин упругие, и взаимодействие рабочих органов с почвой в земледельческой механике должно рассматриваться обязательно с учётом упругих смещений.

Новый подход к моделированию процесса взаимодействия рабочего органа с почвой связан с учётом его упругих смещений. Это позволяет в почвообработке рассматривать взаимодействие рабочего органа с почвенной средой как задачу терраупругости по аналогии с задачами аэроупругости и гидроупругости в механике, но для среды с более сложными реологическими свойствами.

Постановка задачи. Расчётная схема взаимодействия упругозакреплённого рабочего органа (УРЗО) с почвенной средой представлена на рис. 1. Рабочий орган 3 в виде трёхгранного клина крепится к раме 1 консольной стержневой системой 2 разной степени сложности (стойка, подвеска, грядиль и т.п.), выносящей место крепления за почвенный горизонт. Рама движется поступательно со скоростью V .

Рис.1. Расчётная схема упругих смещений рабочего органа: 1- рама; 2 - консольная стойка; 3 рабочий орган

Положение ненагруженного рабочего органа показано пунктиром. Оно соответствует проектной ориентации его в предположении, что упругие смещения отсутствуют. Подошва рабочего органа в этом случае должна лежать в горизонтальной плоскости. Ориентация рабочего органа задаётся вектором ориентации Л, расположенным в подошве рабочего органа.

Под действием силы сопротивления Ро стойка деформируется и рабочий орган получает упругие смещения, которые можно представить как смещение s носка лапы и поворота вектора ориентации на угол 0, из-за чего сила сопротивления Р изменяется по величине и направлению. Новое положение рабочего органа при небольших углах поворота удобно характеризовать тремя углами поворота относительно осей координат. Эти углы имеют традиционные названия: 6х - угол крена, 6у - угол тангажа, 61 - угол «рыскания». Они образуют вектор углов поворота 6 ={6х , 6у , 6е}т Смещения ,-й точки рабочего органа:

s , = s +[0] L , (1)

где L - радиус-вектор текущей точки рабочего органа относительно его носка; [0] - матрица вращений на угол 0. Зависимость смещений от нагрузки Si (Р) характеризует траектории точек и в общем случае нелинейна. Для нелинейных систем справедливы законы деформирования в приращениях:

ds = [А] dP, (2)

dP = [С] ds , (3)

d0 = [Н] dP, (4)

где [А] - симметричная матрица податливости размерности 3*3; [С]=[А]-1. - симметричная матрица жёсткости, размерности 3*3; [Н] - матрица угловой податливости размерности 3*3, причем hN=0, ,=1,2,3.

Нелинейности делают все эти матрицы зависимыми от нагрузки. Для определённости их необходимо определять в рабочей точки вблизи номинальной нагрузки Рн , при котором работает упругое крепление.

Направление приложения силы описывает вектор направляющих косинусов п = {П1, П2, Пэ} т, (П1= соБу1 , П2= соБу2 , Пэ= соБуэ), т.е.

Р = IР Iп . (5)

Упругие смещения характеризуются величиной и направлением. Направление упругих смещений на практике характеризуют параметром 1

=8х^ :

1=(512СОБу1+522 СОБУ2 + 523 С08У3)/(511С08У1+812С0БУ2+513С08У3). (6)

В зависимости от направления смещения носка лапы существуют три кинематические режима: с заглублением 1 > 0, равновесный 1 = 0 и с выглублением 1 < 0. В отношении устойчивости хода по глубине предпочтительнее второй режим, не реагирующий на неоднородности почвенной структуры.

Упругие смещения рабочего органа искажают геометрию резания и вызывают отклонения глубины хода от заданной (см. рис.1). Для обеспечения агротребований упругая кинематика должна регламентироваться.

Агротехнические требования к кинематике упругих смещений рабочего органа сводятся к трём условиям:

1. Глубина хода носка рабочего органа при рабочей нагрузке должна соответствовать заданной, т.е вертикальные смещения его должны равняться нулю: dsz = 0.

2. Направление упругих смещений должно быть равно требуемому по технологии и энергосбережению, т.е.

1 = 1треб . (7)

3. Вертикальные упругие смещения любых точек подошвы УЗРО не должны выходить за пределы агродопуска Ад:

^ + [0] 1} г < Ад , (8)

где 0 - матрица вращений для углов 0 = [Н]Рн ; L - длина подошвы. Методика математического моделирования. В общем случае система «рабочий орган - почва - крепление» является системой с распределёнными параметрами и распределённой нагрузкой и должна описываться трудноразрешимыми уравнениями в частных производных. Динамическую модель теории терраупругости целесообразно строить переходом на макроуровень через вектор состояния [4].

Вектор состояния системы «УРЗО-почва» включает векторы положения носка рабочего органа П, вектор углов поворота 0 и их производные:

3 = {П; 0; dП/dt; d0 да (9)

Сопротивление почвы описывает вектор F размерности п=6, включающий составляющие силы сопротивления Р и момента М:

F = {Р ; М}={Рх, Ру, Рг, Мх, Му, Мг}Т . (10)

Согласно положениям теории разрушения почв в земледельческой механике [1, с.118-120], факторами, от которых зависит сопротивление почвы, являются глубина обработки, скорость и геометрия рабочего органа, площадь сечения пласта, свойства почвенной среды (Горячкин В.П., Ка-цыгин В.В., Зеленин А.Н., Новиков Ю.Ф., Бурченко П.Н. и др.). Режимные факторы входят в вектор состояния 3. Это означает, что для конкретной ситуации сопротивление почвы зависит от компонентов вектора состояния, являясь его вектор-функцией:

F = F[3] . (11)

В существующей теории резания крепление считается абсолютно жёстким, обеспечивающим постоянные значения вектора состояния, т.е. 3 o= {П; 0; V; 0} = const. Новым подходом к построению модели взаимодействия рабочего органа с почвой в терраупругости является учёт изменений вектора состояния за счёт его упругих смещений, всегда возникающих под нагрузкой за счёт деформаций крепления.

Упругие смещения s и углы поворота 8 УЗРО образуют 6-мерный вектор обобщенных координат УЗРО:

q ={ s ; 0}= { x, y, z, 8 x, 8 y, 8 z }Т . (12)

Вектор U изменения состояния рабочего органа за счет упругих смещений размерности 2n:

U = { s; 8;ds/dt; d8 /dt } . (13)

Результирующее значение вектора состояния

3 = 3o + U = { H+s; 8; V+ ds/dt; d8 /dt} (14)

и сопротивление почвы движению рабочего органа зависит от упругих смещений:

F = F {3o + U }.

Использование вектора состояния позволяет при моделировании системы с распределёнными параметрами перейти на макроуровень. Разлагая формы упругих смещений по формам собственных колебаний основных частот и приводя силы и массы к носку рабочего органа, удалось свести задачу к матричному дифференциальному уравнению в форме Коши [4], в котором за фазовые координаты приняты изменения вектора состояния U:

Y U' = G U + R{3} + p(t), (15)

где G , Y - блочные матрицы собственных свойств упругой системы размерности 2n со структурой вида

G:

где A - диагональная матрица коэффициентов инерции; B- симметричная матрица коэффициентов диссипации; C- симметричная матрица коэффициентов жесткости; E, 0 - соответственно единичная и нулевая матрицы размерности n; R{3} - нелинейная детерминированная вектор-функция реакции почвенной среды размерности 2n:

R{3} = R{3o + U} ; (16)

p(t) - случайная составляющая реакции вследствие неоднородностей почвенной среды. В структуре векторов реакции присутствуют векторы сопротивления почвы: детерминированная составляющая F и случайная f(t):

R{3} = [0; F {3}], R{3o +U}=[0; F{3o +U}, p(t)=[0; f(t)]. Число n обобщенных координат выбирается в зависимости от конкретной задачи. При отсутствии моментов M упругие прогибы консольного крепления пропорциональны углам поворота. Число независимых координат в этом случае n=3, и векторы обобщённых координат и сопротивления трёхмерны: q=s={x, y, z}T; F=P={Px, Py, Pz}T.

Система из уравнений (15) и (16) образует динамическую модель терраупругости. Первое уравнение системы описывает упругие смещения рабочего органа, второе - энергетику технологического процесса по принципу "вход-выход".

E 0 E 0

, Y =

- С - B 0 A

Структура модели представлена на рис 2. В её основе лежит встречно-параллельное соединение двух звеньев: звена УЗРО, описываемого уравнением (15), и звена энергетики технологического процесса поч-вообработки, описываемого уравнением (16).

Как видно из схемы, упругость крепления образует обратную связь между выходом и входом модели. Наличие такой обратной связи является важной отличительной особенностью работы УЗРО, позволяющей объяснить все динамические эффекты процесса.

Рис 2. Структура модели терраупругости

Анализ модели. При анализе нелинейную вектор-функцию Е{3} подвергли статистической линеаризации. По правилам статистической линеаризации

Е {3 } = Е {30} + Ей + [О] и, (17)

[О] = ад * ад, (18)

dRu_= [О] dU, (19)

где и - вектор математического ожидания фазовых координат; и - центрированный вектор фазовых координат; [О] - матрица коэффициентов статистической линеаризации порядка 2п

0 0

Q = ,

4 Qs Qv

[ад - матрица коэффициентов корреляции фазовых координат; ^га] - матрица взаимных коэффициентов корреляции упругой реакции и фазовых координат; [Оу] , - матрицы коэффициентов линеаризации порядка п; Е. - вектор средних значений нелинейной вектор-функции Е{и}; по физическому смыслу - реакция системы на упругость.

Линеаризованные уравнения задачи включают динамическое уравнение колебаний "относительно среднего" и уравнение энергоэффекта "в среднем":

Y и' = ДО] + [О]} и + р(0 , (20)

и + Е {З0} + Еи = 0. (21)

Достоинством модели линеаризованной модели терраупругости является то, что каждое слагаемое имеет физический смысл: матрица описывает свойства упругого крепления рабочего органа; матрица [О] описывает упругие и вязкие свойства почвенной среды; по физическому смыслу является матрицей квазиупругости почвенной среды; среднее значение реакции системы на упругость К, характеризует энергоэффект УЗРО по отношению к жёсткому; Е£Зо> - статическая характеристика жесткой системы, являющаяся традиционной задачей земледельческой механики о зависимости силы сопротивления от режимов резания.

Влияние упругости крепления рабочего органа на энергозатраты процесса почвообработки, определяемые средним значением реакции на упругость Невозможно по выражениям (18), (19). Энергоэффект оказыва-

" и

ется зависимым не только от средних значений упругого сопротивления

но и от их дисперсий ^ии, что свидетельствует о существовании виброэффекта.

Для практического использования уравнения модели (20), (21) могут приводиться к трёхмерной форме, в которой параметры модели имеют традиционный физический смысл:

+[в^' +[С^= рвЮ, (22)

где

[С1] = [С] + Юз] , [В1] = [В] - [О,] ; [С1], [С] - матрицы жесткости нагруженной и ненагруженной системы; [В1], [в] - матрицы затухания нагруженной и ненагруженной системы; [О,], [Об] - матрицы вносимого затухания и квазижесткости почвы; РвОО - внешняя возмущающая сила с нулевым математическим ожиданием ;

РвГО = Ра(Ц+ ршШ,

где Ра(0 и ршОО - соответственно периодическая и случайная составляющая возмущений; s, s', s" - центрированные значения соответственно вибросмещений, виброскорости и виброускорений. Возможности модели. Модель терраупругости, более полно описывая характер движения рабочего органа в почвенной среде, позволяет выявить ряд динамических эффектов [5]: прецессию собственных частот при нагружении системы, существование неустойчивых режимов движения рабочего органа типа дивергенции и флаттера, появление автоколебаний, их взаимодействие с вынужденными, и, что особенно ценно для практики, влияние упругости крепления рабочего органа на энергозатраты процесса почвообработки.

Пример. Рассмотрим УЗРО культиватора в виде стрельчатой лапы. Симметрия нагружения позволяет ограничиться рассмотрением движения в продольно-вертикальной плоскости ХОY с одним углом поворота 8у - тангаж. Нагрузка на культиваторную лапу сводится к одной равнодействующей силе Р, крутящий момент отсутствует. Вектор упругих смещений будет состоять из двух координат s = [х, z]T .

Всё это позволяет решать плоскую задачу, ограничиваясь двумя уравнениями в приращениях:

ап х'' + спх + С12 z = ДРх(х, z)+ рвхОО, (23)

а22 z "+ С21Х + С22 z = ДРе(Х, z)+ pвz(t).

По Горячкину В.П., тяговое сопротивление пропорционально площади сечения деформируемого пласта Sn:

P = (k + eV2) Sn , (24)

где k , e - коэффициенты удельного сопротивления, зависящие от свойств почвы и геометрии резания.

Обозначив (k + eV2)=K(V), получим P = K(V) Sn .

В свою очередь, площадь пласта и геометрия резания зависят от упругих смещений рабочего органа, тогда K = K(x, z ); Sn =Sn (x, z) и сила сопротивления оказывается сложно зависимой от смещений x, z:

P(x, z) = K(x, z) Sn (x, z). (25)

Зададимся целью исследовать систему на устойчивость. Рассмотрим автономный режим, положив pBx(t)= PBz(t)=0. При малых упругих смещениях (намного меньше глубины хода) нелинейностями вектор-функции P(x, z ) можно пренебречь, тогда приращение составляющих силы сопротивления ДР будет линейной комбинацией от x, z :

ДРх = кп х + к12 z , (26)

APx = к21 х + к22 z.

Подставляя эти выражения в уравнения (23) и пренебрегая силами демпфирования колебаний УЗРО в воздушной среде, получаем систему дифференциальных уравнений вида:

x'' + anx + а 12 z = 0, (27)

z'' + а 2ix + а 22 z = 0.

где

а ii = (Си- кп)/ an ; а 12 = (С12- к21)/ an ;

а 2i = (С21- к21)/ a22 ; а 22 = (c22- к22)/ a22.

Полученные уравнения - полный аналог классической модели флаттера в упрощённой форме по Пановко Я.Г. [7, с.334]. Такое совпадение моделей носит принципиальный характер и свидетельствует о физическом родстве процессов аэроупругости и терраупругости и обоснованности постановки задач терраупругости в почвообработке.

Анализ корней характеристического уравнения системы (27) даёт два условия устойчивости [7, с.335]:

а ii а 22 - а 12 а 21 ^ (а 11 + а 22)2 /4, (28.1)

а 11 а 22 - а 12 а 21 > 0. (28.2)

Невыполнение первого условия, по Пановко Я.Г., приводит к дивергенции, а невыполнение второго - к флаттеру [7, с.335].

Поскольку входящие в условия величины а ik включают в себя значения c ik i, k = 1, 2, то добиться соблюдения условий (28) устойчивой работы УЗРО возможно только варьированием элементов матрицы жёсткости [C] , особенно её недиагональных элементов, характеризующих межкоординатные связи и кинематический режим работы крепления.

Поиск периодических решений и энергоэффекта требует учёта не-линейностей функции P(x, z) по выражению (25). Аналитическое её определение для практики имеет определённые трудности.

Целесообразнее получать Р(х, z) экспериментально. При этом следует учесть, что отношение z/x = Л характеризует направление упругих смещений, и зависимость Р(х, z) можно толковать как зависимость от кинематического режима Р(х, Л). При горизонтальной силе сопротивления направляющие косинусы (5) П1 =1, П2=Пз=0 и по выражению (6) показатель Л=5^/ 5п=- с12/сп. Экспериментально изучена регрессионная модель вида:

Р=Г (Л, си). (29)

Получено регрессионное уравнение зависимости тягового сопротивления от кинематического режима и жёсткости:

Р=68+8,0Х1-7,16Х12+2,5Х2Х1-2,8Х12Х2 ,

(30)

где хз=0,191; Х4=(сп-45)/20.

На рис.3 показаны зависимости Р(1) для упругих подвесок разной жесткости: ♦ - си = 25 Н/мм, • - си = 45 Н/мм и А - си = 65 Н/мм, при скорости движения V=12 км / ч, и глубине обработки Н =11 см.

Важнейшим обстоятельством является наличие минимума силы сопротивления вблизи нулевого кинематического режима. Минимум силы сопротивления наблюдается при значениях кинематического показателя 11= (-0;05)-(-0,1). Эти значения соответствуют слабому режиму с выглубле-нием.

1,3 1,2 1,1 1

0,9

о 0,8

'о <Ъ

Кинематический режим хз= 11/0,19

Рис.3. Зависимость тягового сопротивления от кинематического режима при различной жёсткости

Степень значимости оптимизации кинематического показателя 1 характеризуется крутизной нарастания функции вблизи оптимума. Из графиков видно (рис.3), что изменение показателя кинематического режима от 0 до 1,19 (усиление режима заглубления) вызывает значительное увеличение тягового сопротивления от 10 до 45% в зависимости от жёсткости крепления. Если учесть, что для почвообработки существенным является снижение и на 5-10%, то отмеченные изменения говорят о высокой чувствительности тягового сопротивления к изменению кинематики упругих смещений и достаточно высокой эффективности способа энергосбережения за счёт её оптимизации. Чувствительным к кинематике упругих смещений оказывается и режим выглубления: изменение кинематического режима на 0,09 вызывает потери энергосбережения на 5 %.

Таким образом, регрессионный анализ экспериментальных данных отчётливо подтверждает оптимизационность задачи: существование минимума тягового сопротивления при изменении упругой кинематики и высокую чувствительность энергетики процесса почвообработки к изменению кинематики упругих смещений, а значит, и потенциально высокую эффективность способа энергосбережения за счёт её оптимизации. Выводы. Предлагаемая динамическая модель терраупругости отражает все особенности задачи взаимодействия рабочего органа с почвой (многомерность, нелинейность, автоколебательность), пригодна для различных почвенных сред и различных рабочих органов; большинство существующих энергетических моделей почвообработки является её частными случаями.

Применяемый для описания модели математический аппарат в виде матричных линеаризованных дифференциальных уравнений вводит её в русло современных достижений аналитической механики и, следовательно, может опираться на её развитое компьютерное программное обеспечение. Разработанная модель терраупругости в состоянии описать сложные динамические эффекты, сопровождающие движение УЗРО в почвенной среде: появление неустойчивых режимов, автоколебания, прецессию собственных частот и траекторий, вибро- и энергоэффект.

Теория терраупругости позволила разработать практические рекомендации, ряд которых положен в основу отраслевых методических указаний МУ 23.2.48-89, разработанных с НПО ВИСХОМ [6]. Они включают предложения, методики и алгоритмы по измерениям, расчётам, идентификации и оптимизации упругих смещений рабочих органов почвообрабатывающих машин.

Библиографический список

1. Машиностроение: энциклопедия под ред. К.В.Фролов и др. -М.: Машиностроение. Т. 1^16. СХМ и оборудование, 1998. -578 с.

2. Игнатенко И.В. Экспериментальные исследования динамики работы упругой подвески рабочих органов культиваторов / И.В. Игнатенко, С.В. Левицкий // Комплексная механизация и автоматизация сельскохозяйственного производства. - Ростов н/Д, 1979. - С.141-149.

3. Поветьев А.И. О нормировании упругих смещений рабочих органов культиватора / А.И. Поветьев, В.И.Гасилин, Н.А. Китаев, И.В. Игнатенко // Параметры перспективных почвообрабатывающих рабочих органов и машин: тр. ВИМ. - М., 1981. - Т. 90. - С.45-51.

4. Игнатенко И.В. Динамическая модель взаимодействия упруго-закреплённого рабочего органа с почвой // Научная мысль Кавказа. - 2002. - №14. - С.90-98.

5. Игнатенко И.В. Энергетические аспекты взаимодействия упруго закреплённого рабочего органа с почвой в земледельческой механике: монография / И.В. Игнатенко. - Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2002. - 160 с.

6. Инаекян С.А. Определение и расчёт параметров упругих стоек рабочих органов почвообрабатывающих машин: метод. указ. / С.А. Инаекян, И.В. Игнатенко, А.А. Завражнов, В.П. Жаров. -М.: ВИСХОМ, 1990. - 60 с.

7. ПановкоЯ.Г. Устойчивость и колебания упругих систем: Современные концепции, ошибки и парадоксы / Я.Г. Пановко, И.И.Губанова. - М.: Наука, Физматгиз, 1979. -384 с.

Материал поступил в редакцию 26.02.08. I.V. IGNATENKO

TERRAELASTICITY PROBLEM IN AGRICULTURAL.

The problem of mathematical description of the moving process of a labour body in the soil with allowance for fastening elasticity is being soloed now. The analogy with the problems of aero and hidroelasticity is being established now. A model in the form of Coshy has been obtained; drag force depends on elastic shift.

ИГНАТЕНКО Иван Васильевич (р.1941), профессор кафедры «Сельскохозяйственные машины» Донского государственного технического университета, доктор технических наук (2003). Окончил РИСХМ (1963).

Научные интересы связаны с конструированием и расчётом зерноперера-батывающей и почвообрабатывающей техники.

Автор свыше 70 научных статей, 10 а.с. на изобретение и 8 учебных пособий.