ЗАДАЧА СТАБИЛИЗАЦИИ СИСТЕМЫ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ ПРИ ПОМОЩИ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОГО УПРАВЛЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

А. А. Атанесян1, П. А. Точилин2

ЗАДАЧА СТАБИЛИЗАЦИИ СИСТЕМЫ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ ПРИ ПОМОЩИ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОГО УПРАВЛЕНИЯ*

Статья посвящена решению задачи стабилизации для математической модели гибридной системы с переключениями между режимами функционирования. Каждому такому режиму сопоставлены нелинейные дифференциальные уравнения с управляющими параметрами. Моменты (условия) переключений являются компонентой управления. Требуется построить стабилизатор в позиционной форме, за счет которого траектории совокупной нелинейной системы смогут достигнуть заданного целевого множества в фазовом пространстве за (заранее неизвестное) конечное время. Для решения задачи используется аппарат непрерывных кусочно-линейных функций Ляпунова и соответствующих им кусочно-линейных функций управления. Доказана теорема о достаточных условиях стабилизируемое™ гибридной системы в указанном классе управлений. Приведен алгоритм построения функции Ляпунова и стабилизатора.

Ключевые слова: нелинейная динамика, гибридная система, переключения, задача стабилизации, кусочно-линейная функция Ляпунова.

1. Введение. Работа посвящена решению задачи стабилизации для гибридной системы [1-3] с возможными переключениями между составляющими ее подсистемами. Динамика для каждой такой подсистемы задана нелинейными дифференциальными уравнениями с управляющими параметрами, на которые наложены "жесткие" поточечные ограничения. Предполагается, что отдельно для каждой подсистемы задача построения стабилизирующего ее позиционного управления является нетривиальной, а область притяжения целевого положения равновесия замкнутой системы является недостаточно большой. Например, такая ситуация может возникнуть в том случае, если стабилизатор построен лишь для линеаризованных уравнений и гарантирует асимптотическую устойчивость замкнутой системы лишь в малой окрестности положения равновесия [4, с. 48-53; 5, с. 508-514]. В то же время за счет переключений между подсистемами можно добиться расширения области притяжения. Такие переключения между подсистемами (мгновенные, скачкообразные смены режимов функционирования) производятся при определенных условиях, когда траектория системы попадает на специальные, выделенные множества. Условия переключений должны быть подобраны таким образом, чтобы для гибридной системы, замкнутой полученным управлением, можно было корректно определить траектории.

Основной целью работы является определение правил для переключений между подсистемами, а также поиск стабилизирующих управлений в каждом из режимов с целью стабилизации совокупной системы. Предлагаемое решение включает кусочную линеаризацию исходных нелинейных дифференциальных уравнений и далее построение функции Ляпунова для управляемой системы в классе кусочно-аффинных функций специального вида, заданных на сетке из симплексов в фазовом пространстве. Параллельно с построением функции Ляпунова необходимо определить связанное с ней кусочно-аффинное управление — стабилизатор.

Идея поиска функции Ляпунова в классе кусочно-аффинных функций успешно используется при исследовании устойчивости систем (без управляющих воздействий). Для некоторых классов нелинейных систем с устойчивыми положениями равновесия были получены алгоритмы построения таких функций [6]. В частности, разработан метод построения кусочно-аффинных функций

1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: at-an-arQyandex.ru

2 Факультет ВМК МГУ, доц., к.ф.-м.н., e-mail: tochilinQcs.msu.su

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проекты 19-0Ю0613а, 16-29-04191офи_м.

Ляпунова для систем с переключениями [7, с. 72-76; 8]. Эти алгоритмы, однако, еще предстоит адаптировать для решения более сложных задач стабилизации.

В данной работе исследованы свойства кусочно-аффинных функций Ляпунова для систем с переключениями, указаны ограничения на кусочно-аффинные управления, гарантирующие возможность корректного построения траекторий замкнутой системы, получена оценка области притяжения для функции Ляпунова указанного вида. Предложен конкретный алгоритм построения пары кусочно-аффинных функции Ляпунова и управления, позволяющих решить задачу стабилизации для системы с автономными переключениями.

Полученные теоретические результаты продемонстрированы на конкретном примере решения задачи стабилизации для системы с переключениями, возникающей при моделировании некоторых химических процессов [9].

2. Математическая модель. В пространстве ШПх € N рассмотрим некоторое компактное множество О. При Ь € [¿о, то) рассмотрим совокупность систем обыкновенных дифференциальных уравнений

х = {(г,х) + С(г)и, х € О, г = (1)

Здесь функция Г (г, ж) € К""х является непрерывно дифференцируемой п о переменной х € О, О(г) € МПхХга« — заданные матрицы, г — номер подсистемы (режима функционирования совокупной системы с переключениями), и = и(г,х) € К""и — позиционное управление, на возможные значения которого наложены "жесткие" поточечные ограничения: и(г, х) € V. Множество V С К""и является выпуклым компактом. Не ограничивая общности, будем считать, что 0 € V.

Обозначим через Ы/ класс допустимых позиционных управлений [10], содержащий многозначные отображения и = и(г,ж) С V, при подстановке которых в уравнения (1) должны быть получены (при каждом г = 1,..., N дифференциальные включения, имеющие решения при любом

хо € О

Под решением системы (1), замкнутой управлением в форме обратной связи и(г,ж) € Ы/, при некотором фиксированном г понимается абсолютно непрерывная функция х(Ь), удовлетворяющая заданному начальному условию х(Ьо) = хо, и для почти всех Ь € (¿о, +то) — соответствующему дифференциальному включению, полученному из (1). Например, указанное условие будет вы-

и(г, х)

х € О

Через п(Ь) = (г(Ь),х(Ь)) обозначим траекторию совокупной системы с переключениями. Здесь х(ь) — решение (1) при г = г(Ь) в каждый момент времени Ь € [¿о, то). Функция х(Ь) : [¿о, то) ^ ^ О предполагается непрерывной, кусочно-дифференцируемой, а г(Ь) : [¿о, то) ^ {1,...,Ж} — кусочно-постоянной (количество разрывов — не более чем счетное на [¿о, +то) и не более чем конечное на любом конечном отрезке [¿о,¿1])- Каждая отдельная траектория п(£) может быть построена при конкретном начальном значении п(£о) = (го,хо), а также при некоторой стратегии управления и € Ы/.

Во множестве О необходимо выделить подмножества М,, такие, что при х € М, активной является подсистема (1) с номером г. Если в какой-то момент времени £ € [¿о, +то) траектория системы переходит из М, в для некоторых г, ], то происходит обязательная смена режима функционирования (активной подсистемы (1)) с г-го на ^'-й, называемая переключением. Предполагается, что множества М, при различпых г = 1,..., N являются компактными и пересекаются

между собой лишь по граничным точкам. Некоторые из указанных множеств могут быть пусты-N

ми. Кроме того, О = У М,. Если точка х находится на пересечении нескольких разных множеств

г=1

,..., М,к, то траектория, выпущенная из этой точки, может быть построена в силу любой из систем (1) с номерами ¿1,..., г^. Возможная неоднозначность в построении траектории должна быть устранена за счет соответствующего подбора взаимного расположения множеств М,,

и

подробнее об этом будет сказано далее. Выбор подходящих множеств М, — элемент управления совокупной гибридной системой.

2.1. Задача стабилизации системы с переключениями. Зафиксируем некоторое компактное множество X С П, содержащее целевые "желательные" состояния системы. Например,

может представлять собой малую окрестность положения равновесия (1) при некоторых г.

Задача. Построить множества Мг, г = 1,..., N и закон управления и = и(г, ж) € Ыf, для которых найдется множество Хо С П, такое, что при любых по = (го, жо), ¿о € {1,..., N}, жо € Хо, V системы с переключениями существует траектория п(£,¿о,по)|«, £ € [¿о, и

^(ж(Мо,по)|„, Х1) ^ ^^ го. (2)

Множества Мг должны удовлетворять указанным выше ограничениям.

Заметим, что искомая область притяжения Хо должна содержать в качестве подмножества А!, причем имеет смысл рассматривать максимальные по включению множества Хо, удовлетворяющие указанным выше требованиям.

3. Кусочная линеаризация систем ОДУ. Построим некоторое разбиение области П на симплексы П(1), у = 1,..., М, пересекающиеся друг с другом только по граничным точкам. Раз-

П

симплекса ПО"), являющаяся выпуклой оболочкой пх его вершин, либо является частью границы самого множества П, либо является гранью соседнего симплекса = Занумеруем все вершины симплексов $1,..., с, где $ — количество уникальных вершин.

Здесь и далее верхний индекс обозначает соответствие рассматриваемого понятия (функции, вектора, матрицы) области П(1).

Зафиксируем некоторый симплекс ПО), и пусть ),... , сЩ)+1 — ег0 вершины (наличие верхнего индекса здесь и далее говорит о том, что для вершин используется локальная нумерация нижними индексами, а не глобальная (от 1 до 5), по вершинам всех симплексов). Составим из векторов-столбцов ,... матрицу СО). Для каждой точки ж € ПО) найдется единствен-

ный вектор а(1) (ж) = (аО),... ,аП)+1 )т барицентрических координат [12], такой, что

Пх + 1

Y^ a j = 1, a j ^ 0, Vk, G(j)a(j)(x) = x. k=1

~ ( ж \ ~ / 0(О) СГ1) \

Дополним вектор ж до ж = ( 1 ), и пусть = ( 1 Ц+1 I € М(""х+1)х(Пх+1). Тогда

указанные выше соотношения можно переписать в краткой форме: аО)(ж) = ж. Из определения симплекса следует, что = 0 и аО )(ж) = (СО)) 1ж имеет все неотрицатель-

ж€ Пусть (СО)) 1 = ( Н(1) Л,(1) ) . Тогда

а(1) (ж) = Н (1)ж + ж€ П(1)

для функции Г (г, ж) + С(г)и из (1) справедливо следующее представление: £ (г, ж) + С(г)и = ^ О)(г)а(1) (ж) + С(г)и + Д(г, ж) = ^ (1)(г)(<5°) )-1£ + С(г)и + Д(г, ж), (3)

где ^(1 )(г) = (£(¿,С(1)),..., £(г,сПО)+1)) € МПхХ(гах+1^ Я(г,ж) — погрешность локальной линеаризации, для 5-й компоненты которой справедлива следующая оценка:

dfs(i,()

dx

(г,ж)| ^ Е.3ц = Msy•й] при ж € П(1). (4)

Здесь 5 = 1,..., пх, М8о = тах

ееп(^)

в выражении для ^-достигается при ж, совпадающем с центром с(1) пх-мерной сферы, описанной вокруг симплекса П(1 \ Составив систему уравнений ||с(1) — С(1)||2 = 11с(1) — сЩ)+111^ к = 1,... ,пх, и сократив квадратичные по е(1) члены, получим систему линейных алгебраических уравнений

(7)11

, dj = max min ||x—gk ||. Заметим, что максимум

xgQ(j) k=l,...,«x + l

для поиска вектора с(7):

2 (^)с(^) = , 27) =

V -£7))т/ V — и^пхII2/

Из свойств симплекса следует, что матрица 2(7) является н евырожденной, а потому век тор с(7)

( 7) р Пх \ 1/2

определен однозначно. Теперь положим

¿7 = 1|с(7) - ЯхИ Щ И Е Я27 ^ 1|Я(г,х)||. Также

введем обозначение Я*7- = тах |.

Обозначим через Х1 множество таких индексов j = 1,..., М, для которых 0(7) С Л1. Далее будем предполагать, что множество Х1 не пусто, причем в Л содержится хотя бы один из

^ =

(7) 2 (7) 2

симплексов

0(7).

4. Кусочно-аффинная функция Ляпунова. Получив на введенных симплексах кусочно-аффинные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с ограниченными погрешностями аппроксимации, переходим к составлению кусочно-аффинной функции Ляпунова. Будем искать ее в следующем виде:

Пх +1

V(х) = а^х)—^, х € 0(7). (5)

к=1

Здесь V7 = V(д^) — значение функции в соответствующей вершине рассматриваемого симплекса. Для нескольких разных симплексов имеющих общую вершину соответствующие значения функции Ляпунова в этой вершине V7,...,) будут совпадать между собой; обозначим их через Будем далее предполагать, что ^ 0 Ук. Таким образом, функция Ляпунова однозначно задается совокупностью величин —1,..., —д. Пусть —(7) = (—(7),..., —Щ)+1)Т € € МПх+1, Тогда выражение (5) можно переписать таким образом:

V (х) = (V7 ))т (Я (7)х + й(7)),

если х €

Функция V(х) является аффинной внутри каждого из симплексов, дифференцируема по любому направлению. Однако, производные по направлениям могут иметь разрывы при переходе точки х

Зафиксируем некоторый симплекс

0(7)

и предположим, что активной является подсистема (1) с номером г. Рассмотрим выражение для полной производной функции V(х) вдоль траектории г-й подсистемы при движении внутри симплекса 0(7):

(Р^) + = ('«(7))Т#(7) + + + . (6)

Рассмотрим кусочно-аффинное управление следующего вида:

и(г,ж) = У(7)(Я(7)х + й(7)), х € 0(7), (7)

где У(7) € МПиХ(гах+1) — матрица, составленная из столбцов у(7),..., уП1)+1 — значений управления в вершинах симплекса 0(7). Если для каждого из векторов у(7) справедливо включение у(7) € € Р, то в силу выпуклости указанного множества для построенного управления будет выполнено условие и(г, х) € Р для любо го х € 0. У правлен ие и(г, х) однозначно определяется совокупностью векторов У1,... , уд, сопоставленных вершинам симплексов. Заметим, что управление (7) явно не зависит от номера подсистемы (1), действующей в 0(7), т.е. значения должны быть заданы для фиксированного расположения множеств

Рассмотрим теперь некоторые свойства функции Ляпунова вида (5) для системы, замкнутой управлением вида (7), при некотором фиксированном расположении множеств M&, согласованном с построенной выше сеткой из симплексов. Таким образом, будем далее предполагать, что внутренность каждого из симплексов Q(j) лежит в одном из множеств M&, k = 1,..., N, а переключения между подсистемами (1) могут происходить только на границах симплексов.

Л е м ма1. Пусть величины yi,..., ys G V и значения функции Ляпунова vi,..., vs в вершинах симплексов заданы, таким образом,, что для некоторого j = 1,..., M выполнено неравенство

max j(v(j))TH(j) (f(i,gj)) + G(i)y(j) ) : g(j) — вершина j + r=1.....nj+H V / J

Пх + 1

+ nx||H(j)vj) < 0, (8) s=1

U С Mi дм некоторого зна,чения i = 1,... , N. Тогда, функция Ляпунова V(ж) строго убывает вдоль соответствующей траектории системы (1) при заданном, i, по крайней мере, пока x(t) G Q(j).

Доказательство. Заметим, что1

|(v(j))TH(j)R(i,ж)| < ||v(j)||i ■ ||H(j)R(i,x)||^ < ||v(j)||i ■ n*||H=

/nj+1 \

= ( 11 v(jM nx||H(j)||^R!j,

где v(j) — неотрицательные компоненты вектора v(j\ ||H(j)||те = max |HSjS21- Используя (6) и

оценку для погрешности кусочной линеаризации функций из правой части (1), получим следующее достаточное условие убывания функции Ляпунова:

(v(j))TH(j) (>(j)(i)(H(j)x + h(j)) + G(i)Y(j)(H(j)x + h(j))) +

nj+1

+ nx||H(j)|URj ^ v(j) < 0 Vx G Q(j). (9)

s=1

ж

валентно (8).

5. Дополнительные ограничения на управления. Пусть расположение множеств M&, k = 1,..., N фиксировано- Рассмотрим проблему поиска ограничений на значения y1,...,ys, при которых любой начальной позиции по будет соответствовать некоторая траектория гибридной системы. Поскольку функции в правой части (1) непрерывно дифференцируемы по ж G П, а управление u(i, ж) из (7) является непрерывным, кусочно-аффинным, то проблемы с корректным построением траектории системы могут возникнуть только из-за разрывов векторных полей на границах множеств Mfc. Для того чтобы обеспечить продолжаемость решений и избежать возникновения скользящих режимов, достаточно потребовать выполнения на границах условий односторонней проницаемости [3, 13]. Если граница каждого из множеств Mk составлена из nx-мерных граней симплексов Q(j), то достаточно рассмотреть указанное условие для пары соседних симплексов. Итак, предположим, что в двух соседних симплексах Q(jl) и Q(j2) с общей гранью Hjj действуют режимы с но мерами i1 и i2 соответственно (т.е. Q(jl) С Mi15 Q(j2) С Mi2). Тогда условие односторонней проницаемости на Hjj выглядит следующим образом:

Vx G Hjij2 sgn((Cjij2, f(i1,x) + G(i1)y(jl)(H(jl)x + h(j1 =

Sgn ((cjij2 , f (i2,x) + G(i2)y(j2)(H(j2)x + h(j2)))) = ±1. (10)

13десь ||x||i = |xi|, ||x||TO = max |xi| для произвольного x € R

i=1

1,...,n

n

Здесь с3-132 € МПх — нормаль к Н3132, ||с31321| = 1. Пусть ,..., — вершины Н3132.

Зафиксируем произвольное малое число е > 0. Рассмотрим сначала случай, когда в (10) оба выражения — аргумента функции sgn — являются положительными. В силу (3), (4) достаточное условие их положительности принимает вид

3, (11)(г1 )(Н(з1 )ж + й(з1)) + С(*1 )У(11)(Н(з1)ж + й(з1))) — Я^з ^ е,

(11)

ст112 (12)(г2)(Н(з2)ж + ^(з'2)) + С(г2)У(з2)(Н(з2)ж + й(з'2))) — ^ е.

Пусть при некоторых У(з1), У(з2) условие (11) выполняется для всех ж € Н313-2. Поскольку функции в (11) линейны по ж, то указанные неравенства достаточно проверить в вершинах грани Н313-2, т.е. достаточное условие для выполнения (11) имеет вид

(£(¿ь Ск) + С(г1 )ук) ^ йгш + е,

(12)

СО (£(г2,Ск) + С(г2)Ук) ^ ^¿212 + е ^ = кь..., к-

Аналогично получим следующие достаточные условия отрицательности обоих выражений аргументов sgn в (10):

О2 (£(«1,Ск) + С(«1)ук) + ^¿131 < —е,

(13)

СО (£(г2,Ск) + С(г2)Ук) + Яг232 ^ —е ^ = кь..., к-

Пусть 2 = Р х ... х Р = РПх, где пх множеств Р задают поточечные ограничения для Ук1,... ,УкПх в (12), (13) соответственно. Введем вспомогательные обозначения:

= {Ук1 х ... х Укпх € 2 : (12)}, ^2 = {Ук1 X ... х Ук„х € 2 : (13)}.

Таким образом, доказано следующее утверждение.

е>0

векторы управлений Ук1,..., УкПх удовлетворяют условию

Ук1 х ... х Ук„х € 21 и 22, (14)

где 21 и 22 = 0.

21 22

МПхПи. Таким образом, требование выполнения условия односторонней проницаемости для каждой пары соседних симплексов П(г) с разными режимами функционирования приводит к тому, что множество допустимых значений управляющих параметров в каждой отдельной вершине симплексов расщепляется на несколько выпуклых компактных компонент — подмножеств исходного множества Р.

6. Достаточные условия решения задачи стабилизации.

Теорема! Зафиксируем некоторое расположение множеств Мк, удовлетворяющее указанным в п. 4 ограничениям, совокупность номеров симплексов 1о С {1,...,М}, величины У1,..., У, € Р и ,..., V,, т,акие, что:

1) 11 С Ю;

2) для, каждого , € 1о \11 выполняется неравенство (8), где г — это номер того множества Мг, для которого П(3) С Мг;

3) для, каждой пары, соседних симплексов П(з1 \ П(з2), П(31) С П(з2) С Мг^ л, ,?2 € 2о, при

г1, г2

4) ^к = 0 Ск _ верши на П(з) при некотором , € 11;

5) Vk > 0 Vk: gk не является верш иной Q(j) при каком-л ибо j € Ii. Пусть

Vmax = min{vk : gk _ верши на Q(j) при некотором j € Io;

либо Elj* / Io : gk — верши на Q(j \ либо gk € dQ} > 0, (15)

Xo = У |Q(j) j € Io; Vk ^ Vmax, Vk : gk — верши на Q(j)} . (16)

Тогда, Xo является областью притяжения для множества Xi, для гибридной системы, замкнутой кусочно-линейным управлением (7), с выбранным расположением множеств Mi, i = = 1,..., N. Более того, для любого xo € Xo траектория гибридной системы с указанным управ -

Xi

Доказательство. Рассмотрим произвольную начальную позицию n(to) = (io, Жо):

xo € Xo nMi0. Из условия 3 теоремы и леммы 2 следует, что v гибридной системы с подставленным

в уравнения (1) управлением (7) существует траектория, которая продолжима, по крайней мере,

до тех пор, пока x(t) € IJ Q(j)-

j eio

Из условия 2 теоремы и леммы 1 следует, что вдоль построенной траектории гибридной системы кусочно-аффинная функция V(ж), определенная формулой (5), убывает по крайней мере пока x(t) € Q(j(t)) для некоторых j(t) € Io\!ь Но согласно (15), (16) справедливо V(x(t)) ^ Vmax, а значит x(t) € Xo Vt ^ to, т.е. множество Xo является инвариантным.

Поскольку V(xo) ^ 0, а в каждом из симплексов , j € Io \Ii, полная производная функции Ляпунова строго отделена от нуля некоторой константой (см. (8)), то за конечное время значение V(x(t)) должно достигнуть нулевого значения. Согласно условиям 1, 4 теоремы это означает, что x(t*) € Xi для некотор ого t* ^ io- Также из монотонности функции Ляпунова вдоль траектории системы и условий 4, 5 теоремы следует, что x(t) € Xi Vt ^ i*.

7. Алгоритм построения кусочно-аффинной функции Ляпунова. Целью описываемого в данном разделе алгоритма является построение таких множеств Mi, i = 1,..., N, величин Vi,..., vs € R, yi,..., ys € V, и множества индексов Io, для которых выполнялась бы теорема 1. При этом достаточно определить Vk, yk только для тех индексов k = 1,..., S, которым соответ-gk

j € Io. Аналогично, симплексы j / Io, можно не соотносить со множествами Mi (т.е. не существенно, какой режим будет активным в каждом таком симплексе, так как он заведомо находится вне области притяжения целевого Xi

Далее на каждой итерации работы основного алгоритма будет использовано некоторое (произвольное) правило выбора одной очередной вершины из заданного набора вершин. Каждый конкретный алгоритм такого выбора позволит в качестве результата получить, вообще говоря, свою функцию Ляпунова. В данной работе не будем конкретизировать такого рода алгоритм, предполагая, что он задан и фиксирован (например, используется случайный выбор с одинаковыми вероятностями элементарных исходов).

Каждой вершине gk сопоставим вспомогательную величину Ok € {—1,0,1} Здесь: Ok = 0 соответствует тому факту, что вершина gk еще не была обработана алгоритмом; Ok = 1 — тому gk

Vk и вектора управляющих параметров yk с необходимыми свойствами; Ok = —1 соответствует обработанной вершине, для которой подходящие Vk, yk построить не удалось.

Основной алгоритм

1. Для каждой вершины gk, k = 1,..., S, являющейся вершиной Q(j\ j € Ii, положим Vk = 0, yk = 0 = 1- Для всех остальных вершин gk Ok = 0. Кроме того, положим Vmax = 0, Mi = U Q(j), Mi = 0, Vi > 1.

jeix

2. Определим множество индексов

К = {к € {1,..., 5} : = 0, = 1,..., М : — верши на 0(7),

причем Ук* = к : — вершина 0(7) ^ = 1}.

3. Если К = 0, то — переход к п. 8.

4. Если К = 0, то используя фиксированное правило выбора из К очередного номера вершины, получим некоторый номер к € К. Этой вершине соответствуют некоторые симплексы 0(71),..., 0(7т\ т ^ 1, которые содержат вершину д., и для которых все остальные вершины д^*, отличные от уже были ранее обработаны (т.е. для каждой из них =1). Для каждого возможного набора {¿(0),..., ¿0т)}, ¿(0) € {1,..., N}, У? € {j 1, . . . , } следующие действия:

а) определим допустимость режимов {¿(0),..., ¿0т)} с точки зрения выполнения условий односторонней проницаемости на границах с ранее обработанными симплексами. Для каждого симплекса 0(7г,), в = 1,..., т, и соседнего с ним симплекса 07* С М^*, такого, что симплекс

0(7*)

содержит только вершины, обработанные на предыдущих итерациях работы алгоритма, и ¿(0) = ¿*, проверим справедливость систем линейных неравенств (12) или (13). При этом используемые в (12), (13) векторы уже были определены на предыдущих шагах работы алгоритма, а потому может выполняться не более одного из условий (12), (13). Если обе системы (12), (13) не справедливы, то положим Р = 0, и алгоритм переходит к п. 4, в;

б) определим ограничения на управления уд. согласно (14), при условии, что в области 0(7з) активной является подсистема (1) с номером ¿(0), в = 1,..., т.

Для каждой пары соседних симплексов 0(7з1 \ 0(7г,2\ в1, в2 € {1,..., т}, в1 = в2, ¿(0^) = ¿(^), разрешим линейные неравенства (12), (13) относительно вектора При этом в матрицах используемые в указанных формулах векторы у$ при в = к уже известны. Таким образом, условия (12), (13) задают дополнительное ограничение на управление: € Р0'81, ) С Р, причем множество Р, ) состоит из не более чем двух выпуклых компактов.

Зададим теперь окончательное множество ограничений на вектор следующим образом:

Ук €Р= р| Р0,1 ),

где при пересечении множеств учитываются только пары индексов , для соседних симплексов с разными активными режимами, разобранные выше;

в) определим величину функции Ляпунова —к(¿(л),..., ¿(0т)) при условии, что в области 0(7з) активной является подсистема с номером ¿(0), в = 1,..., т. Если Р = 0, то положим у^ = 0 —к = В противном случае для каждого симплекса 0(7г,), в = 1,..., т, рассмотрим неравенство (8) относительно переменных при 0 = 2 = ¿(0$). В матрице У(7в) все столбцы, кроме фиксированы, а у вектора —(7г,) известны все компоненты, кроме Указанное неравенство может быть переписано в виде эквивалентной системы неравенств следующего вида:

—к (аГ^ + < + г = 1,..., Пх + 1,

где коэффициенты аг,$ € К""и, € К, сг,$ € К""и, € К могут быть найдены из (8). Пусть2

Р* = {и € Р : а^и + ^ -в, Уг = 1,..., + 1, Ув = 1,..., т},

2 Здесь, как и ранее, е > 0 — некоторое фиксированное малое число.

{[ c^u + dr s | | max max e, max -ф-—-- S S . (17)

s=1,...,m r=1,...,nx+1 aT + Or;S

Если P* = 0, то положим Vk(¿(л),..., ¿(jm)) = Vk(¿(j),..., ¿(jm)) < + ГО, TO

i| c^u + dr s I I max max e, max -S S . (18)

s=1 ,... , m I r=1 ,... ,nx+1 aT,sU + Or;S I I

Теперь, рассмотрев все возможные наборы {¿(j),..., ¿(jm)}, положим

vfc = min {vfc(¿(jx),..., ¿(jm)) : ¿(js) € {1,... , N} Vs = 1,..., m} , (19)

причем минимум достигается на наборе {i* (j 1),..., ¿* (j'm)}-

5. Если Vk < то:

а) пусть ¿1 = i*(j1),..., ¿m = i*(jm) — минимизатор в (19), ak = 1;

б) также скорректируем множества M^j = M^j U Q(js) Vs = 1,..., m;

в) определим yk го (18), где вместо ¿(j1),..., ¿(jm) подставлены ¿*(j1),..., ¿*(j'm);

г) подсчитаем величину

V+ах = min{vs : as = 1; либо 3j* : gs — вершина ^ и 3s* :

gsj — верши на ^av = 1, либ о gs € д Q}.

Если оказалось, что V+ax < Vmax, то дополнительно положим Vk = Vmax. В противном случае величина Vk не изменяется, но по ложим Vmax = V+ax.

6. Если же ранее было получено Vk = (т.е. не удалось подобрать подходящее значение функции Ляпунова), то положим ak = — 1.

7. Алгоритм переходит к п. 2 (обработке следующей вершины).

8. Алгоритм завершает работу. Итогом его работы является набор величин Vk, yk Для тех вершин, для которых иk = 1, а также величина Vmax, соответствующая (15). Область притяжения Xo теперь определим согласно (16), учитывая только те симплексы для которых каждой вершине gk сопоставлена величина ak = 1.

Заметим, что если Vmax > 0, то для множества Xo, полученного в результате работы приведенного алгоритма, выполняются все условия теоремы 6. Следовательно, Xo областью притяжения для целевого множества X1, а векторы yk для вершин gk j в которых ak = 1, задают соответствующее стабилизирующее управление согласно (7).

Приведенный выше метод пересчета величин Vmax и Vk в п. 5, г необходим для того, чтобы у полученной кусочно-аффинной функции Ляпунова не появлялись локальные минимумы, от-

X1

X1

8. Пример. Для демонстрации полученных теоретических результатов рассмотрим пример математической модели динамики химического процесса из [9, с. 228-231]. В смесительном реакторе непрерывного действия происходит необратимая химическая реакция вида A ^ B. В реактор входит два потока вещества A. Из первого крана поступает чистое вещество A с объемным расходом F, концентрацией CAo и температурой Тдо, в то время как на втором кране стоит ключ, у которого два состояния: открыт (a(t) = 1) и закрыт (a(t) = 0). Когда второй кран открыт, из него поступает чистое вещество A с объемным расходом F*, концентрацией CAo и температурой TAo-

В качестве фазовых переменных используются текущая концентрация вещества А в реакторе (переменная Од), а также температура ре актора (Т). Процесс описывается следующими нелинейными дифференциальными уравнениями:

^ = у(САо - СА) + а(г)^(С*Ао - СА) - ко ехр (20) лт р р * _АН /_Е \ О

ж = ?(т-* -Т)+^»т^ - г>+^ +(21)

где О — расход теплоты, выделяющейся для нагревания/охлаждения реактора (управляющий параметр), V — объем реактора, ср — теплоемкость, р — плотность вещества, Я, ко, Е, АН — некоторые постоянные коэффициенты, характеризующие химическую реакцию. Значения фиксированных параметров модели собраны в следующей таблице.

Параметр Значение Параметр Значение

V 0.1 m3 Я 8.314 кДжДкмоль К)

TAO 310 К АН —400 кДж/кмоль

E 8.314 x 104 кДж/кмоль С-р 0.002 кДж (к! К)

С AO 1 кмоль/м3 к0 2 х 107 с"1

P 1000 кг/м3 F 2.77 х 10_5м3/е

p* 5.56 x 10_5м3/е Г1* 2 кмоль/м3

rp* 1 AO 350 К

В качестве "желательного", целевого состояния рассматривается положение равновесия (при а = 0) Т = Т = 395.3 К, Од = Од = 0.577 кмоль/м3. На управляющий параметр О наложено следующее поточечное ограничение: |О| ^ Отах = 80 кДж/с.

Изначально предполагается, что кран закрыт (а(Ь) = 0), однако по ходу реакции желательно открывать его и добавлять дополнительный поток вещества (а(Ь) = 1) для увеличения суммарного потока в реакторе. Для удовлетворения данного требования возникает необходимость переключения между двумя режимами работы реактора. Отдельно в каждом из состояний (режимов функционирования) система является неустойчивой при О = 0.

Т 404

Рис. 1. Множества Рис. 2. Функция Ляпунова Рис. 3. Управление u(x)

Mi (светло-серый цвет) и M2 (темно-серый цвет)

На рис. 1 3 приведены результаты работы алгоритма построения функции Ляпунова и стабилизирующего управления из п. 7. В частности видно, что за счет переключений удалось расширить область притяжения целевого состояния замкнутой системы. Данный пример подсчитан на совокупности из 504 симплексов

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Van dcr Sch aft A., Schumacher H. An Introduction to Hybrid Dynamical Systems. Lecture Notes in Control and Information Sciences. Vol. 251. London: Springer, 2000.

2. Куржанский А.Б., Варайя П. Задачи динамики и управления в гибридных системах // Труды международного семинара "Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби". Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2005. С. 21-37.

3. Куржанский А.Б., Точилин П.А. Слабо инвариантные множества гибридных систем //Дифференц. уравн. 2008. 44. № 11. С. 1523-1533.

4. Б а р б а ш и н Е. А. функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

5. Красовский Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений / / Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. Доп. 4. М.: Наука, 1966.

6. Giesl P., Hafstein S. Existence of piecewise linear Lvapunov functions in arbitrary dimensions // Discrete k, Contin. Dvn. Svst. 32 — Series A. 2012. P. 3539-3565.

7. Johansson M. Piecewise Linear Control Systems. A Computational Approach. Lecture Notes in Control and Information Sciences. Vol. 284. Berlin: Springer, 2003.

8. Hafstein S. An algorithm for constructing Lvapunov functions // Electron. J. Differ. Equ. Monogr. 8. 2007.

9. Christofides P. D., El-Farra N.H. Control of Nonlinear and Hybrid Process Systems. Berlin: Springer, 2005.

10. К u r z h a n s k i А. В., Varaiva P. Dynamics and Control of Trajectory Tubes. Theory and Computation. Systems k, Control: Foundations k, Applications. Vol. 85. BasebBirkhauser, 2014.

11. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

12. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

13. Точилин П. А. О построении невыпуклых аппроксимаций множеств достижимости кусочно-линейной системы // Дифференц. уравн. 2015. 51. № 11. С. 1503-1515.

Поступила в редакцию 29.04.19 После доработки 19.06.19 Принята к публикации 24.06.19