Задача прикрепления потребителей к асфальтобетонным заводам при строительстве дорог Текст научной статьи по специальности «Математика»

Наука к Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Сетевое научное издание

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 12. С. 128-136.

Б01: 10.7463/0815.9328000

Представлена в редакцию: Исправлена:

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

##.##.2014 ##.##.2014

УДК 693.78

Задача прикрепления потребителей к асфальтобетонным заводам при строительстве дорог

*

Николаев А. Б., Сакун Б. В., Хвоинский Л. А.

Московский автомобильно-дорожный государственный технический

университет (МАДИ), Москва, Россия

В статье рассмотрены вопросы организации строительных работ в условиях совместных проектов, когда имеется множество объектов, множество строительных организаций и множество асфальтобетонных заводов (АБЗ), которые производят продукцию необходимого качества для текущего дорожного строительства. При этом естественным образом возникает задача привязки отдельных объектов и отдельным АБЗ с учетом их производительности. В данной статье на основе адаптации задачи о назначении предлагается соответствующая процедура выбора АБЗ для отдельных объектов, для которой показана достаточно высокая вычислительная эффективность.

Ключевые слова: асфальтобетонный завод, транспортировка смеси, оптимизация поставок, задача о назначении

Введение

В статье обсуждается проблема прикрепления потребителей строительных смесей к асфальтобетонным заводам (АБЗ), размещенным на некоторой территории. Предполагается, что известны пространственные координаты строительных объектов, заводов, расстояния между объектами, затраты на перевозку материалов, ограничения на число потребителей одного АБЗ [1,10]. Требуется найти такое распределение потребителей по заводам, для которого суммарные затраты на транспортировку продукции и прикрепление к производителям будут минимальными.

Если согласиться с перечисленными исходными данными, то по своей формальной поставке описанная проблема относится к классу задач об оптимальном назначении. В классическом виде она формулируется следующим образом. Имеется п работ и т исполнителей. Можно назначить любого исполнителя для выполнения любой работы. Из-

вестны величины г у - стоимость реализации работы у исполнителем г. Требуется найти такое распределение исполнителей по работам, которое минимизирует суммарную затраты на всю программу. Эта простая модель оказалась очень гибкой и выразительной. В публикациях по исследованию операций и математическому программированию рассматривается множество вариантов задачи о назначениях, описывающих различные производственные и проектные ситуации в технике, экономике и социальной сфере (линейные назначения, квадратичные назначения, назначения с узкими местами, назначение целей и др.).

В некоторых случаях целесообразно снять ограничение, требующее чтобы отображение множества исполнителей на множество работ было биективным. Тогда один исполнитель может быть прикреплен к нескольким работам (объектам), а работа выполняться более чем одним исполнителем (Д- - максимальное число исполнителей, закрепленных за работой г) [8]. Это расширение классической задачи о назначениях носит название задачи о Б-назначениях [2,4]. Одним из возможных способов решения этой задачи является ее сведение к задаче о назначениях в классической постановке при помощи некоторых матричных преобразований.

Алгоритм оптимальной привязки потребителей к АБЗ

Рассмотрим формальную постановку задачи привязки. Пусть имеется п заводов и т строительных объектов, которые будем называть потребителями. Паре индексов

{¡, у), г = 1, п, у = 1, т поставим в соответствие неотрицательное число Су, характеризующее стоимость доставки смеси от завода г до потребителя у. Обозначим Х= ^Ху || - матрицу размерности пхт с элементами х^ ={0,1|, г = 1, п, у = 1, т. В этой матрице

11, если есть перевозка от завода г к объекту у;

Хгу = ^

[ 0, в противном случае.

Требуется найти такой набор переменных Ху, который доставляет минимум линейной функции

п т

СуХу (1)

г =1 у =1

при ограничениях

п _

X Ху =1 у =1 m, (2)

г=1

Е X = А, г =1п •

7=1

Система равенств (2) требует, чтобы каждый потребитель был прикреплен к одному АБЗ. Система (3) формализует условие о прикреплении к каждому заводу В1 потребителей, г = 1, п . Приведенная постановка является задачей о Б-назначениях.

Рассмотрим так называемое D-преобразование матрицы С= \су ||. Пусть с - некоторый столбец матрицы С. Заменим этот столбец матрицей размерности nxDj, состоящей из Dj столбцов, равных Эту операцию выполним с каждым столбцом матрицы С. В результате получим матрицу СD. Очевидно, что это квадратная матрица размерности пхп.

Матрица СD состоит из т подматриц. Для нумерации подматриц оставим индекс j, а

внутри каждой из них будем использовать индекс d, d = 1, А . Тогда матрицу можно

представить в виде СА ■

i}d

С

а матрицу аргументов записать как ХА

А ijd

X

I = 1,п, 7 = 1,т, d = 1,А..

В работах по исследованию операций доказано следующее принципиальное утвер-

ждение. Пусть X * А =

X

решение классической задачи о назначении для матри-

цы СD. Тогда матрица X * А =

хтР

У

с элементами Х--

у

= Е

*А

х является решением за-

дачи Ошибка! Источник ссылки не найден. - (3) [1].

Содержательное толкование D-преобразования заключается в том, что j-й АБЗ заменяется на Dj фиктивных заводов, расположенных в том же месте. Тогда затраты на транспортировку от одного потребителя до любого фиктивного АБЗ из j-й группы будут одинаковыми [3].

Любой план распределения потребителей можно представить в виде матрицы В = ||Вгэ||, г = 1, N, э = 1, Э . Элементы этой матрицы задают координаты вершин многогранника, расположенного в #хЭ-мерном евклидовом пространстве. Рассмотрим матрицу весов М = ||т||, г = 1,N, э = 1,Э , которая состоит из элементов тгэ, Каждый такой эле-

^ если э 1 <Х ■ Рг] ■ ^;

мент записывается следующим образом т =

да,

Рэ

Л

'г!

в противном случае

пхп

пхп

*

;

Распределения заявок по заводам будет оптимальным Б* = Б* , i = 1, N, э = 1, Э, если достигается экстремум целевой функции

Ф'(-)= min\± £ ^ • Б1Э}, (4)

i'^3 I i =1 э = 1 I

=

X бэ = Х бэ = 1, vi = 1, э,

Уэ = 1, э, Вээ е{0, 1}; (5)

)<эЯ, Vi = 1д Уэ = 1э

Рассмотрим матрицу МЫхЭ = ||шэ| , / = 1, N, э = 1, Э. В общем случае N и Э - это

несвязанные величины. Если в состав исходных данных включен вектор {Это максимальная размерность матрицы МNxэ равна количеству элементов множества МNxэ. В случае N¿3 обе матрицы МNxЭ и ВNxЭ трансформируются в квадратные матрицы М^хЭ* и В^хЭ* при помощи преобразования:

Е

Ммхэ ^Мм^ (6)

Смысл данного Е-преобразования заключается в замене столбца (строки) матрицы ВNxЭ, сумма элементов которых не равна единице, матрицей, которая содержит ровно столько строк (столбцов), сколько единиц было в исходном столбце (строке). Соответствующие столбцы (строки) матрицы М^Ххэ дублируются. Этот способ обработки матриц М^Ххэ и В^Ххэ гарантирует выполнение системы ограничений RJ за счет существенного увеличения размерности задачи.

Если справедливо соотношение N < Э' то добавляются строки матрицы, при N > Э' -столбцы. Описанное преобразование делает модель закрытой, если использовать термины

Г N Э 1

"размещения и специализации" [7]. При этом N * = тах{Ы, Э *}=1ХХ Вэ 1 так как

[ г=1 э=1 ]

N __Э _

при N > Э * X Бэ, V/ = 1, N, а при N < Э * XБ, ^ = 1, Э.

г=1 э=1

Существуют многочисленные специализированные методы решения поставленной задачи. В частности, в [9] описан сравнительно экономный алгоритм, позволяющий получить приближенное решение задачи за конечное число шагов.

э

■

Составим из элементов щэ, г, э = 1, N * квадратной матрицы МЫ*хЭ* перестановки р вида рШ = Щ1Э ,I где Э1^Э2^...^ЭЫ. Каждой из Ы*! перестановок р со-

V 1 2 N Э\т )

поставим ее вес Hw = ^ mW, W = 1, N *!. Перестановка p*=(m*j,...,m*N*}, имеющая ми-

i=i

нимальный вес, Н * = ш1п\Н1¥ г, позволяют определить Ш = 1, N *! элементы В 1э опти-

* *

мального плана В . Для этого следует просто разместить единичные элементы (В =1) на

позициях (i, э) элементов щэ, i = 1, N * минимальной перестановки р .

w Г

В самом деле, элементы mлюбой перестановки р размещаются по одному в каждой строке и столбце матрицы MN*Xs*. Таким образом, перестановка определяет некото*

рый план размещения BW. Если перестановка имеет минимальный вес Н , то значение целевой функции, соответствующее этому плану, будет минимальным, то есть:

Фэ = mm R Pw } (7)

W=1,N *!

*

В описанном методе минимальная перестановка находится не перебором всех N ! пе-

* .

рестановок pW. Эта задача нереализуема даже при небольших значениях N . Прямое решение уравнений Ошибка! Источник ссылки не найден. также весьма затруднительно. Поиск минимальной перестановки р* осуществляется при помощи некоторой итерационной процедуры, основанной на вычислении оценок pi3.

*

На каждом шаге этой процедуры находится элемент m имеющий минимальную

*

оценку, и включается в условно-минимальную перестановку. Оценками элементов m э матрицы MN*xs* служат величины, которые учитывают веса оставшейся после удаления столбца э и строки i части матрицы MN*Xs* (phi3 =(N-h)-mi3+ 6i3, где вЭэ = ^тэ - сумма

i, эеЯ4

элементов редуцированной матрицы MfN*-1)XlN*-j), (N-h) - порядок матрицы МN*X3* на

произвольном шаге h, h = 1, (N -1), R = j i, 3 : i, 3 = 1, N * \ i, э; i, э: ф*э = min фф}.

*

Индексы минимальной вычисленной оценки р э позволяют определить координаты позиций (i, э) элементов условно-оптимальной перестановки. Рассмотрим данную процедуру более подробно.

N

Пусть имеется матрица Мъг*^*. На первом шаге h=1 строится матрица вида Ф с элементами ф]э, /, э = 1, N * , представляющими собой оценки элементов mlэ. Далее в матрице находится позиция (г1, э1), отвечающая минимальной оценке

(>* = Шп{( } (8)

Я = {, э: I, э = }, (9)

здесь элемент М^ э выбирается как первый элемент условно-оптимальной перестановки

= М1 Ер . Затем, при h=2 обрабатывается усеченная матрица Мехе порядка, где

е=N -1. В этой матрице отсутствует строка с индексом (м^1 ») и столбец с индексом

э ^ |. Для нее заново формируется матрица оценок Ф2ехе и находится ее минималь-

ный элемент

(2* = тт^э},

i ,эеЕ6 (10)

Я6 = {, э: I, э = }. (11)

2*

Элемент М{ , имеющий минимальную оценку ( , дает второй элемент перестановки р , то есть мг. = м* е р*.

^ 2

Несколько итераций ((N -1), если точно) описанных шагов дают условно-оптимальную перестановку р = {т 1, т 2,..., т ^}, а следовательно и план В с целевой

функцией Ф* = ш1пг XX М " В

Оценка эффективности вычислительной процедуры

Описанный алгоритм базируется на принципах метода «границ и ветвей». Процедуры ветвления и пересчета оценок модифицированы применительно к решаемой задаче. Из

N) элементов матрицы Ы^1*хм* можно составить N ! перестановок р№, Ж = 1, N !, в каждой из которых не совпадает хотя бы пара элементов. Во множестве всех таких перестановок р выделим подмножество, в элементы которого входит М^ э . Это подмножест-

во будет включать в себя (N -1)! перестановок вида

г, =kvmэ^-m,,, J W = Цг^Г).

РЖ = Мг э , тг э ,. ., тг э

' Ж1 V г1э1 ' г2э2 ' ' ^д,*эд,* .

Если перестановка Рщ Е Ь{ э имеет вес Ищ , то подмножество перестановок Ь{ э получит суммарный вес

(V *-1)

и^ = X Ищ (12)

где Нщ = mm +... + = m^ -(N* -1)! + 0, "(N* —2)l

N * N *

0О = ,r„ — « — 0э1« — m■ , 0 , , =VVm. - сумма всех элементов матрицы

4э1 N X N 1х N N —1 N xN а ■> г

=1 э=1

N

Мы*^*; в11 „ = X т - сумма всех элементов строки М1 „; вэ\ = X т - сумма всех

1х N г1э 1х N N х1 1э1

э=1 1=!

элементов столбца Мэ\ .

N х1

Итак, по исходной матрице создается матрица оценок Ф^^* и вычисляется

выражение Н N*хг*=Ф^xN*-(N -2)!. Выбор минимального элемента из матрицы оценок

*

Ф^х^* является по сути дела выбором подмножества перестановок L с минимальным весом L (Н Е *)= min {l(h^)}.

н *

На первом шаге h=1 вычисление оценок (1э производится на основе N различных

* *

разбиений совокупности N! перестановок на N подмножеств. Выбор на первом шаге

* 2

подмножества Ь , дает возможность исключить из рассмотрения остальные ^) -1 под-

множеств перестановок. Так как Ь*1 = Ь е р = {мгэ}, VI,э = 1,К * то элемент, являющийся

**

представителем данного подмножества, является элементом решения т 1э ер .

Можно привести приближенную оценку требуемого количества операций на наиболее

к

трудоемком этапе вычисления, каким является вычисление элементов ( 1э матрицы оценок Ф^^м*. Число операций 2к на шаге к пропорционально количеству оценок. Поэтому можно допустить, что Zк=a■e2=a■(N -к)2, где е - порядок усеченной матрицы на шаге к,

И = 1, N -1).

Тогда общее количество операций на всех к=(М-1) шагах процедуры будет равно

W, =1

N

L = a • jГe2 = a-¡22 + 32 +... + (# *-1) + {ы]=

в=2

Рис. 1. Схема метода "ветвей и границ"

Приведенные выкладки позволяют утверждать, что разработанный метод решения задачи распределения вычислительных средств в N раз экономичнее методов, которые ранее использовались для решения данной задачи. Укрупненная схема алгоритма, обеспечивающего решение задачи оптимальной привязки строительных объектов к АБЗ, представлена на рис. Ошибка! Источник ссылки не найден.

Пример задачи определения зон обслуживания АБЗ

Приведем тестовый пример, иллюстрирующий основные операции описанного алго-_ *

ритма. Пусть требуется найти минимальную перестановку в матрице при N =4.

Решение состоит из трех этапов:

1. Найдем суммы строк и столбцов матрицы т4х4 и представим ее в виде следующей вспомогательной матрицы:

1 2 3 4

1 6 1 3 2 12

2 3 4 5 7 19

3 4 9 1 2 16

4 5 3 8 10 26

в'ш 18 17 17 21 73

На первом шаге ('1э = N -1) ■т1э+ в1э=в44-в44-в'41+ т1э-. Найдем все оценки фф, VI, э = 1, N, I Ф э и занесем их в таблицу

1 2 3 4

1 67 45 53 45

2 48 53 57 61

3 55 73 41 41

4 49 39 59 63

Так как элемент р\2 = min {р]э }= 39, то m42=39 представляет собой элемент искомой

минимальной перестановки т42= т 1 ер .

2. Из матрицы т4х4 удаляется строка т41хм* и столбец т2^^, на пересечении которых находится элемент т4х2. Редуцированная матрица т(4-1)х(4-1)=т3хз представлена далее.

*

1 3 4 0Э1

1 6 3 2 11

2 3 5 7 15

3 4 1 2 7

00N 13 9 11 33

Ей соответствует матрица оценок, заданная таблицей, элементы которой определены

2 ^ ^ * ш ^ *

как р 1э = (N -2)-т1э+в1э. Так как ф21 = min {ф1Э} = 16 , то m21=3 является вторым эле-

■mi.

1э 1э 1 21

i ,э=1,( N *—1) А

* 2

ментом искомой перестановки, т.е. m2i = m2 Е р .

1 3 4

1 27 22 17

2 16 24 28

3 25 20 21

3. Преобразуем m(N*-1)x(N*-1)^m(N*-2)x(N*-2), где m(N*-2)x(N*-2)= m(N*.1)X(N*.1)\m2lx(N*.1), m1(N*-i)xi и занесем результаты в следующую таблицу.

3 4 &N1

1 3 3 2 1 2 5 3

#1N 4 4 8

Этой таблице отвечает матрица оценок:

3 4

1 3 5 3 3 5

«-» 3 3 „

В этой матрице р 14=р зз=3. На этом шаге работы алгоритма можно выбрать любой из указанных элементов, поскольку на следующем шаге оставшийся элемент обязательно

А

войдет в минимальную перестановку. Пусть р333 = min ррэ }= 3 . Тогда m,, = пи Е р*.

i,3=1,(N*-2) 33 3

После удаления m31x<N*-2) и m3<N*_2)x1 получим единственный элемент матрицы m41x4, который имеет оценку р414. Он m14=3 будет последним элементом искомой перестановки.

Заключение

В работе описана проблема распределения потребителей по асфальтобетонным заводам. Эта задача ставится как задача о D-назначениях. Предлагается метод привязки потребителей к АБЗ, основанный на оценках заявок. Разработан алгоритм оптимальной привязки потребителей к АБЗ. С использованием эвристического метода решена задача определения зон обслуживания АБЗ в условиях неточного или неполного задания исходных данных с учетом особенностей производства, транспортирования и использования технологических смесей, применяемых при строительстве автомобильных дорог.

Список литературы

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления М.: Профессия, 2007. 752 с.

2. Бобцов А.А., Мирошник И.В. Линейные системы автоматического управления. СПб.: СПбГИТМО (ТУ), 2001. 245 с.

3. Григорьев В.В., Лукьянова Г.В., Сергеев К.А. Анализ систем автоматического управления. СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. 105 с.

4. Методы построения корпоративной информационной системы управления ресурсами строительного предприятия / Н.Н. Жарков, Т.В. Дорохина А.В. Остроух, Н.Е. Суркова // Вестник Российского нового университета. Серия естествознание, математика, информатика. М.: РосНОУ, 2004. Вып. 4. С. 110-113.

5. Контроль качества продукции асфальтобетонного завода / Кудрявцев А.Ю., Николаев А.Б., Строганов В.Ю., Тимофеев П.А., Крайнюк О.В. // Информационные системы и технологии. № 5 (67). Орел: Госуниверситет - УНПК, 2011. С. 106-112.

6. Остроух А.В. Автоматизация управления сокращением затрат труда в строительстве // Вестник Российского нового университета. Серия естествознание, математика, информатика. М.: РосНОУ, 2004. Вып. 4. С. 117-120.

7. Автоматизация формирования графиков производства строительных работ предприятием / А.В. Будихин, А.В. Остроух, О.Л. Снеткова, Д.С. Тарасенко // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. М.: «Научтехлитиздат», 2007. №6. С. 1216.

8. Средства дорожной механизации. Технические характеристики и расчет производительности: учебное пособие. М.: МКТП, 2003. 66 с.

9. Строганов В.Ю. Особенности системы организации и принципы построения системы поддержки управленческой деятельности // Вестник МГТУ им.Н.Э.Баумана. Серия Приборостроение. Информатика и системы управления Выпуск №5. М: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. С. 93-100.

10. Тарасенко Д.С., Остроух А.В. К вопросу автоматизации расчета графиков производства строительных работ // Вестник Российского нового университета. Серия естествознание, математика, информатика. М.: РосНОУ, 2007. Вып. 2. С. 121-124.

Science^Education

of the Bauman MSTU

Science and Education of the Bauman MSTU, 2014, no. 12, pp. 128-136.

DOI: 10.7463/0815.9328000

Received: ##.##.2014

Revised: ##.##.2014

ISS N 1994-0408 © Bauman Moscow State Technical Unversity

The Challenge of Consumer Assignments to Asphalt Concrete Plants in Highway Construction

*

A.B. Nikolaev, B.V. Sakun, L.A. Khvoinskiy

Moscow State Automobile & Road Technical University (MADI), Moscow,

Russia

Keywords: asphalt plant, transportation mix, optimization of supply, the problem of the appointment

This work concerns a problem of consumer assignments to asphalt concrete plants (ACP) across some territory. It is supposed that the spatial coordinates of construction objects, plants, distances between objects, costs of materials transportation, restrictions on the number of consumers for one ACP are known. It is necessary to arrange such a distribution of consumers assigned to plants, which allows minimum total costs of products transportation.

From the point of view of the formal statement, the described problem belongs to the class of the optimum assignment tasks. In classical statement it is formulated as follows. There is n of works and m of performers. It is possible to assign any performer to fulfill any work. The known values Vij are the cost of work j implemented by the performer i. It is required to find such a distribution of performers to do particular works, which minimizes total costs of the entire programme.

It is in certain cases expedient to eliminate restriction demanding that representation of a great number of performers to a variety of works must be bijective. Then one performer can be assigned to several works (objects), and work to be performed by more than one performer (Di -the maximum number of the performers assigned to the work i). This extension of a classical task on assignments bears a name of the D-assignments task.

The D-appointments task is reduced to the classical statement by means of special matrix transformations which sense consists in introduction of fictitious consumers and producers of construction production. For its solution the paper offers a heuristic algorithm based on the classical scheme of borders and branches and assesses a computing efficiency of the developed algorithm. It also considers a test example to illustrate efficiency and productivity of computing procedure. The method described in the paper can be used to solve a problem of defining the ACP service zones in the conditions of an inexactly or incompletely specified basic data taking into account features of production, transportation and use of the technological mixes applied highway engineering.

References

1. Besekerskiy V.A., Popov Ye.P. Teoriya sistem avtomaticheskogo upravleniya M.: Professiya, 2007. 752 s.

2. Bobtsov A.A., Miroshnik I.V. Lineynyye sistemy avtomaticheskogo upravleniya. SPb.: SPbGITMO (TU), 2001. 245 s.

3. Grigor'yev V.V., Luk'yanova G.V., Sergeyev K.A. Analiz sistem avtomaticheskogo upravleniya. SPb: SPbGU ITMO, 2009. 105 s.

4. Metody postroyeniya korporativnoy informatsionnoy sistemy upravleniya resursami stroitel'nogo predpriyatiya / N.N. Zharkov, T.V. Dorokhina A.V. Ostroukh, N.Ye. Surkova // Vestnik Rossiyskogo novogo universiteta. Seriya yestestvoznaniye, matematika, informatika. M.: RosNOU, 2004. Vyp. 4. S. 110-113.

5. Kontrol' kachestva produktsii asfal'tobetonnogo zavoda / Kudryavtsev A.YU., Nikolayev A.B., Stroganov V.YU., Timofeyev P.A., Kraynyuk O.V. // Informatsionnyye sistemy i tekhnologii. № 5 (67). Orel: Gosuniversitet UNPK, 2011. S. 106 112.

6. Ostroukh A.V. Avtomatizatsiya upravleniya sokrashcheniyem zatrat truda v stroitel'stve // Vestnik Rossiyskogo novogo universiteta. Seriya yestestvoznaniye, matematika, informatika. M.: RosNOU, 2004. Vyp. 4. S. 117-120.

7. Avtomatizatsiya formirovaniya grafikov proizvodstva stroitel'nykh rabot predpriyatiyem / A.V. Budikhin, A.V. Ostroukh, O.L. Snetkova, D.S. Tarasenko // Pribory i sistemy. Upravleniye, kontrol', diagnostika. M.: «Nauchtekhlitizdat», 2007. №6. S. 12-16.

8. Sredstva dorozhnoy mekhanizatsii. Tekhnicheskiye kharakteristiki i raschet proizvoditel'nosti: uchebnoye posobiye. M.: MKTP, 2003. 66 s.

9. Stroganov V.YU. Osobennosti sistemy organizatsii i printsipy postroyeniya sistemy podderzhki upravlencheskoy deyatel'nosti // Vestnik MGTU im.N.E.Baumana. Seriya Priborostroyeniye. Informatika i sistemy upravleniya Vypusk №5. M: MGTU im. N.E. Baumana, 2012. S. 93-100.

10. Tarasenko D.S., Ostroukh A.V. K voprosu avtomatizatsii rascheta grafikov proizvodstva stroitel'nykh rabot // Vestnik Rossiyskogo novogo universiteta. Seriya yestestvoznaniye, matematika, informatika. M.: RosNOU, 2007. Vyp. 2. S. 121-124.