Нечеткая классификация в задаче определения зон обслуживания асфальтобетонных заводов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Наука к Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Сетевое научное издание

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 12. С. 128-136.

Б01: 10.7463/0815.9328000

Представлена в редакцию: Исправлена:

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

##.##.2014 ##.##.2014

УДК 693.78

Нечеткая классификация в задаче определения

зон обслуживания асфальтобетонных заводов

*

Зайцев Д. В., Хвоинский Л. А.

Московский автомобильно-дорожный государственный технический

университет (МАДИ), Москва, Россия

В статье рассматривается задача кластеризации и классификации зон обслуживания асфальтобетонных заводов (АБЗ) и строительных участков. Поскольку на фактор привязки потребителей асфальтобетонных смесей (АБС) влияет множество факторов, предлагается нечеткая формализация задачи определения зон обслуживания АБЗ. Показано, что для данной постановки алгоритмы нечеткой классификации дают наиболее адекватные результаты.

Ключевые слова: асфальтобетонный завод, нечеткие множества, задача классификации, задача кластериза-ции, меры сходства, меры различия

Введение

Основным требованием к доставке асфальтобетонных, растворбетонных и битумоми-неральных смесей является сохранность грузов, определяемая тем, что при укладке смеси должны иметь заданную подвижность и однородность. При транспортировке смесей по дорогам с различными типами покрытий предельно допустимое расстояние доставки определяется по приведенной дальности транспортировки, которая не должна превышать расстояния перевозки по дорогам с твердым покрытием. Указанные обстоятельства определяют необходимость сокращения расстояний перевозки за счет доставки смесей с различных АБЗ, каждое из которых обслуживает определенный участок строящейся дороги [2, 5, 8]. Либо за счет покупки передвижных или создания новых АБЗ, в зависимости от имеющихся капитальных вложений. Таким образом, задача определения зон обслуживания АБЗ является важной и относится к классу задач кластерного анализа [7].

Методы классификации и, в частности, наиболее общие из них - методы кластерного анализа, позволяют разбить группу объектов на некоторое заданное число кластеров на основании выбранной субъективной метрики или псевдометрики сходства или различия между объектами [9]. Идеальным считается разбиение, при котором различие между объектами внутри любого кластера меньше различия между объектами, разнесенными в разные кластеры. Наряду с иерархическими восходящими и нисходящими алгоритмами классификации используются динамические итерационные методы, алгоритмы на основе дна-мического программирования, теории графов или специальные процедуры агломерации

вокруг движущихся центров и другие. Как правило, процесс кластеризации выполняется в два этапа [1]. На первом этапе производится начальное разбиение на заданное количество кластеров. На втором этапе решается задача дискретной оптимизации, обеспечивающей поиск разбиения, максимизирующего значение выбранного функционала качества с использованием динамических итерационных процедур. В результате, для множества объек-

Е = {—, =

тов классификации 4 3' получается множество классов эквивалентности

С = {с}, 1 = 1,М

где Сь отдельный класс объектов, называемый кластером.

Задача нечеткой классификации

Поставленная задача определения зон обслуживания характеризуется определенной степенью неточности задания исходных, что может быть скомпенсировано применением подходов, основанных на использовании нечетких множеств [7]. Так, при строительстве одного участка автомобильной дороги привязка целесообразности к одному АБЗ, а при строительстве другого участка дороги — к другому АБЗ. Причем граница зоны обслуживания может быть задана лишь приблизительно. Одной из проблем кластер-анализа является выбор метрики основания для проведения классификации. Опишем основные из них. Пусть №, N - количество характеристик элементов соответственно ei и ej, №] - размерность множества пересечения их характеристик, К- размерность множества всех возможных характеристик объектов из Е. Тогда коэффициенты сходства для пар объектов Ку рассчитываются по одной из зависимостей:

N и

К- =-и-

1 N + N. - N.

1 3 ¡3 (1)

к N - N - Щ + Н

3 N (2)

N и

Кц =^и 4 N

(3)

2 N

к и =--

1 2( N + N.) - 3К,

v 1 и' ¡3 (4)

2 N

К - 1

К, =

1 М1 + N (5)

N - Ы,- - N + 2 N.

J 1 Ч

N + N. - 2 N..

+ 2(6)

Na

К - 1

1 Nj + 2(N + Nf — 2Nj )

у у 1 1 ч' (7)

Многообразие подобных зависимостей объясняется широким спектром прикладных задач, в которых они используются. Выбор конкретного соотношения определяется особенностями приложения, которое накладывает ограничения на "чувствительность" вычисляемых характеристик, то есть степень их зависимости от количества сходных или отличных характеристик. Приведенные зависимости можно сгруппировать в два класса: первый использует в вычислениях только размерность множества пересечения свойств объектов, во втором явно или неявно используется пересечение множеств отсутствующих свойств из возможных

2

=-2- Т Т иг

саЫ( С{ )*( сатй( С{) -1 ^

у

er eci es eci Sф Г

(8)

или максимум межкластерного расстояния

_ 2 м—1 м

R =-V V r- ^ max

м (м —1)V ^ Vr

(9)

где Гц - расстояние между кластерами С; и С]

2

г,- =

. — V V ии

ч „„„¿in \ -к „„„лsn ) — 1 1j

j ' 1 ek eci er ecj

card(C ) * card(C7) или некоторую их свертку, например [72]:

(10)

1

м

DB = —V r rk = max

мVк. 1,j ф k

Ч + Sj Л

r

V У У

(11)

к=1

Для таких объектов рекомендуется использовать зависимость (1) - индекс Жаккара [4], смысл которого можно трактовать, как отношение размерностей множеств пересечения и объединения их характеристик. Результаты расчетов коэффициентов сходства представлены на рис. Ошибка! Источник ссылки не найден.

2.a

1j5

ai

J . + J, .........j i -V;^

4 " "> 5 '" * -">..... "||1 - \ '

г /2\ \ '"■

...........Шш^^ ¿/м......... 7/ \\ г \ f \ h '4 ..........¥.... 3t........Ч,./.... \/ .Л....

Рис. 1. Расчета коэффициентов сходства объектов по зависимостям (1), (2), (3), (4), (5) В классических алгоритмах кластеризации в качестве целевых функционалов выступает минимум среднего внутрикластерного расстояния

_ 1 м

S = — й S ^ min

M й 1

(12)

где Si - внутрикластерное расстояние i - ого кластера, рассчитываемое по расстояниям (коэффициентам различия) между его объектами.

В любом случае, априорно накладываются ограничения на пороговые значения

5, Si, Я, Гц или DB для оптимизирующих процедур при конкретном числе классов М, а

также используются субъективные шкалы или доверительные интервалы для вывода заключения о качестве полученного разбиения.

Алгоритмы нечеткой классификации используют целевой функционал Ж, который в общем виде можно представить

Ж = шн^ТФ^ ) % (х )]* g [и(у),/к (у)]* й (х, у )

/ ,п 1

к х у (13)

где ф,§- некоторые функционалы, ^к(х), Гк(у) - значения функций принадлежности элементов х и у к-ому классу, и(х), и(у) - априорные веса х и у, ё(х,у) - расстояние между х и у.

Частные методы кластеризации используют модифицированную, обычно упрощенную, форму данной функции. Например, функция Дана имеет вид

W = minYZL fk (x)* ft(y)*d(x,y)

fk k x y (14)

Обобщенный алгоритм нечеткой классификации N - элементов в M - классов можно представить в следующем виде:

Шаг 1. Номер итерации S := 0. Найти начальное разбиение на M - классов: C01, C02,..., C0M

Шаг 2. Вычислить матрицу значений функций принадлежности элементов классам:

р1 = 1М ; 1 =

Шаг 3. Б := Б+1.

Модифицировать разбиение по правилу, минимизирующему выбранную целевую функцию CS1, СБ2,..., CSM.

Шаг 4. Если выполнено условие завершения процесса кластеризации, то алгоритм свою работу заканчивает, иначе - выполняется переход к шагу 3.

Проведенный анализ показал, что в качестве условий окончания процесса кластеризации необходимо выбрать достижение порогового значения функции Ж, или максимального количества итераций, или сходимость к окончательному устойчивому разбиению, или ограничение времени кластеризации при не сходимости алгоритма.

При этом должна использоваться симметричная матрица индексов сходства (расстояний) для всех пар элементов К={ку} или различия и={иу}, где щ- коэффициент различия элементов и; =1-ку.

В условиях неточного задания исходных данных в статье предлагается использовать метод на основе нечеткой классификации для определения зон обслуживания АБЗ, поставляющих технологические смеси при строительстве автомобильных дорог [3, 6]. Предлагаемый метод предусматривает получение некоторой иерархической классификационной схемы, агрегацию объектов в отдельные классы и идентификацию полученных классов.

Таким образом, в рамках проблемы кластеризации необходимо решить следующие проблемы :

1. Выделение множества объектов кластеризации, ассоциируемых с наборами пользователей АБЗ,

2. Определение аспектов кластеризации (концепций, предопределенных спецификой приложения), от которых зависит выбор метрики, целевого функционала и зависимости для определения функций принадлежности элементов классам,

3. Выбор или разработка алгоритмов классификации,

4. Разработка количественных критериев и набора эвристик для оценки результатов кластеризации (проверка "валидности").

Решение второй задачи кластеризации требует определения оснований для проведения автоматической классификации множества потребителей АБЗ. Так, показатель сходства К объектов е;и е] есть функция наборов характеристик этих объектов Р; и Р] сведений о приложении R и множества предопределенных концепций S1 для определения отношения близости (например, выделение наиболее важных характеристик с помощью системы весовых коэффициентов) К(е;, е^ДР;, Р] Я, Б1).

Так, суммарное сходство конкретного элемента ej со всеми элементами множества E,

_ N

включая его самого, определяется, как сумма коэффициентов сходства К j = V Krj . При

r=1

этом Vej : 1< Kj < N.

Сходство ej с элементами конкретного кластера Cj дискретной классификации C определяется K, (С ) = V Krj . Тогда функция принадлежности ej кластеру Ci- fy определяется, как отношение сходства ej с элементами Ci к суммарному сходству ej с элементами

, KjC)

Kj

Таким образом, определяем матрицу функций принадлежности элементов кластерам данной классификации F = {/j j, 1 = 1, м ; j = 1, N. При этом функция принадлежности есть модифицированное выражение функции принадлежности Беккера, определяемой, как

f urj (Ci) n • р card (Ci)

/ц = P—7—\ , где P - относительная размерность i-ого кластера р =--—-, rj -

j r (E) N

функция близости элемента ei с множеством элементов C или E, определяемой, например, как rj (Ci )= 1--j—г V (ej, er )], где d(ei, ej) - расстояние между элементами ei

card(C1 ) er eei

и ej , определяемое, как функция характеристик объектов, например (1), h - некоторая функция расстояния, имеющая экстремум в точке d(ei, ej)=p. Тогда соотношение можно привести к виду

card(Q)— V Ad(e}, er)] fj "

'ij N

r=1

N — V^[d (ej, er)]

^p f 0 три d (x, y) = min[d (x, z )]

(15)

, „ L. ^ X,

где, к примеру i

11, в противном случае

Тогда rj (C ) =

-VtT •, когДа min [d[ej , er ]]= min [d[ej , er ]

card (С.) er eci er eE

, что соответству-

0 , в противном случае

ет классическому алгоритму классификации, базирующемуся на минимизации суммы квадратов расстояний точек кластера от взвешенного центра. Если принять

с незначащим показателем Р и заменить d(ej, ег) на коэффициент различия саг4Сг £(1 - игг)

тт Г егес1 Г егес1

Ujr , получим /у =-—- или окончательно /у = -.

ы -£иу £(1 - )

Г=1 Г=1

Опишем основные свойства функции принадлежности:

1) нормированность - 0< <1;

м

2) замкнутость - £ // = 1, V/ ;

I=1

3) функция принадлежности элемента объединению кластеров С1 и С2 в замкнутом пространстве - Г(С1 и C2)=f1j+f2j, в отличие от определения в общем случае ДС и C2)=max(flj,f2j);

4) функция принадлежности элемента пересечению кластеров С1 и С2 п

Выбор методов классификации и определение критериев оценки ее результатов - два взаимосвязанных процесса. Применение методов нечеткой классификации определяет возможность использования мер нечеткости, дисперсионных и энтропийных характеристик. Качество нечеткого разбиения Q1 можно определить как функцию текущей классификации и функций принадлежности 01=д1(С,Б). алгоритме декомпозиции Беккера используется ряд мер неразмытости, одна из которых:

^ М-1 М N г ,

ф =1 - N(¡7^1) ЪЪЪ^^А (1б)

Значение ф=1 соответствует дискретному разбиению, а ф=0 - максимально нечеткому,

ы 1 1 1 (М -1)-М • N л л п

что достигается при у/,-,- = — : ф = 1---г--= 1 -1 = и, например,

/ М N (М -1) М

при УКу=1 и M=N.

В других подходах Q1 определяется как функционал, значение которого может использоваться для определения оптимального числа кластеров, а именно:

М N

N £ £ "

^ I=1 /=1

^ М N

2) энтропия разбиения Н = — £ £ Н^, где hij- функция Шеннона

N I=1 /=1

Ъц = -/ • 1П /у •РЦ 0<^ < 1

^ М N

1) коэффициент разбиения - F = —££7 у ;

N • Ы -1

3) индекс неразмытости ыЫ =-

М -1

1 Г 1 M I \

4) функционалы Рубенса - К = — \ —V maxf ) + min

2 I N~={ j=wv J/ i=iM

max

J =1,N

f)

5) функция Уиндхэма P = — ln

N

П Pj

V j=1

Pj = V(— if+1 • CM-(1—K-Mj M1

где

k=1 jU: = max

j i =1, M

(fj)

1

K

M!

K! (M — K)!

1,= целая часть—, См

Ц

При расчете функционала Уиндхэма для каждого элемента величина Р, уменьшается при "улучшении" классификации. Так, если 1/М<ц,<1, то значение Р]=0.2 говорит о том, что 20% функций принадлежности будут иметь значения не менее чем ц,, и этот результат

не зависит от М, при этом значение Р для оптимального числа кластеров достигает максимума. На рис. Ошибка! Источник ссылки не найден. показан пример зависимостей

функционалов качества разбиения Н, №1, Р, Б от числа кластеров М для тестового при*

мера, в котором оптимальное число кластеров М =4.

Рис. 2. Пример зависимостей функционалов качества разбиения функционалов качества разбиения

Наблюдается определенный излом в точке М функций Н, Б и №1 и экстремум Р . Однако проведенные исследования показывают, что при "размытой" картине классифицируемого множества данные переходы на уровне первой производной не выражены и по-

вторяются при различных М = 2, N, то есть существуют локальные экстремумы Р . Максимальная нечеткость имеет место при ^ = ^^. Кроме того, для возможности сопоставления необходимо нормировать значения целевой функции и использовать новую функцию принадлежности для принятия в рассмотрение случая М=1 Р2=1-Ир. Тогда мак-

симальное значение предлагаемой функции Hp будет достигаться при fy=fj: 1

f* = - • рЦ M = 1.

J N

Заключение

Обоснована необходимость использования методов нечеткой классификации для определения зон обслуживания АБЗ и предложено использовать для оценки качества классификации коэффициент разбиения и энтропию разбиения. Разработано семейство алгоритмов классификации, позволяющих проводить начальную классификацию. Взаимосвязанное использование предлагаемых алгоритмов позволяет в автоматизированном режиме решить задачу прикрепления потребителей к АБЗ в условиях неполного или неточного задания исходных данных, что имеет место на практике при наличии случайных потребителей, в качестве которых могут выступать как организации, так и частные лица. В результате исследований установлено, что результаты начальной кластеризации в большой степени определяют успешность получения оптимальной классификации во многих алгоритмах кластеризации данных, в частности, если использовать алгоритмы случайного распределения корневых элементов в заданное количество кластеров с последующей классификацией по правилу ближайшего соседа.

Список литературы

1. Баланцева М.А.. Современные методы повышения эффективности хранения данных // Автоматизация и управление на транспорте и в дорожном строительстве: сб. науч. тр. М. : МАДИ. 2011. вып.1 (49). С. 177-183.

2. Браун Е.Р., Бочаров В.С. Горячие асфальтобетонные смеси. материалы. подбор составов и строительство автомобильных дорог в Северной Америке. //НАПА. 2009. 411 с.

3. Белов Д.В., Петров А.С., Остроух А.В. О совершенствовании управления строительными проектами. // Вестник Российского нового университета. Серия естествознание, математика, информатика. М. : РосНОУ. 2004. Вып. 4. С. 114-116.

4. Автоматизация технологических процессов организации работ на протяженных объектах. Монография / А.Б. Николаев, И.Н. Акиньшина, В.Б. Голубкова, П.Ф. Юрчик. М. : «Техполиграфцентр». 2006. 97 с.

5. Остроух А.В., Рожин П.С., Савич М.Т. Алгоритм генерирования комбинаций объектов при решении задачи моделирования строительного производства // Приборы и системы. Управление. контроль. диагностика. М.: «Научтехлитиздат». 2008. №8. С. 810.

6. Правила диагностики и оценки состояния автомобильных дорог. ОДН 218.0.006-2002 / Министерство транспорта Российской Федерации. Государственная служба дорожного хозяйства России. М. : 2002. 133 с.

7. Методика интеграции приложений в гибридной системе поддержки принятия решений с открытой структурой / А.Б. Николаев, А.А. Солнцев, В.Ю. Строганов, П.А. Тимофеев, В.Н. Брыль. // Информационные системы и технологии. Госуниверситет. Орел, 2011. № 3 (65). С. 84-91.

8. Суркова Н.Е., Остроух А.В Автоматизация распределения транспортных средств и техники по объектам строительства с учетом организационных и технических факторов // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. М. : «Научтехлитиз-дат». 2004. №12. С. 6-9.

9. Троицкая Н. А., Чубиков А. Б. Единая транспортная система. М. : Изд.центр «Академия». 2004. 240 с.

10. Эконометрика. Под ред. Елисеевой. М.: Финансы и статистика. 2001. 344 с.

Science and Education of the Bauman MSTU, 2014, no. 12, pp. 128-136.

DOI: 10.7463/0815.9328000

Received: Revised:

##.##.2014 ##.##.2014

Science^Education

of the Bauman MSTU

I SS N 1994-0408 © Bauman Moscow State Technical Unversity

Fuzzy Classification in a Problem of Determining Service Areas of Asphalt Plants

*

D.V. Zaytsev, L.A. Khvoinskiy

:Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: asphalt plant, fuzzy sets, the classification problem, the problem of clustering, similarity

measure, measure the differences

In the course of industrial and civil engineering it is very important to ensure integrity of construction mixes (asphalt concrete, concrete grout, bitumen-mineral, etc.). Long transportation of mix from asphalt concrete plant to the place of destination can disturb its homogeneity and, in extreme case, lead to premature hardening. The arrangement of construction objects cannot be changed since it is external directive data. A task of ensuring suitable construction mixes can be solved through locating the mobile asphalt concrete plants (ACP) and attaching the construction objects to the stationary ACP.

The problem of ensuring integrity of construction mixes in the course of delivery can be solved by various organizational and technical means. The paper offers to state it as a cluster analysis. The set of construction objects which need service, can be divided into groups with the elements possessing two properties:

• elements of the same group have a high measure of similarity among themselves;

• elements of different groups show high distinction in the chosen measure of similarity.

Tasks of the cluster analysis in various statements have been discussing for a long time.

Their solutions are useful for various theoretical and practical problems in biology, sociology, recognition of images, the intellectual analysis of data and so forth. As a measure of similarity, numerous metrics, pseudo-metrics, similarity measures, cosine measures, etc. are applied. Dividing the construction objects according to criterion of integrity of concrete mixes is set as a problem of a fuzzy clustering with the unknown quantity of classes. It is known that in any problem of a fuzzy clustering it is very important to offer the formal criteria of an assessment of its results. Quality of fuzzy dividing into classes is estimated by means of non-fuzziness function, which can be the entropy of splitting, Wyndham's function, Rubens's function, etc. The work offers fuzzy clustering criteria and a way of its results assessment using a non-fuzziness function. Computational experiments showed that quality estimates using the entropy of splitting give the most adequate results.

The paper offers a developed method of hierarchical clustering based on the known and simple, from the computing point of view, method of the next neighbour. The method was tested

in practice when attaching the objects to the ACP. Use of the offered method allows us to solve a problem of attaching objects to the ACP when basic data are incompletely or inexactly specified.

References

1. Balantseva M.A.. Sovremennyye metody povysheniya effektivnosti khraneniya dannykh // Avtomatizatsiya i upravleniye na transporte i v dorozhnom stroitel'stve: sb. nauch. tr. M. : MADI. 2011. vyp.1 (49). S. 177-183.

2. Braun Ye.R., Bocharov V.S. Goryachiye asfal'tobetonnyye smesi. materialy. podbor sostavov i stroitel'stvo avtomobil'nykh dorog v Severnoy Amerike. //NAPA. 2009. 411 s.

3. Belov D.V., Petrov A.S., Ostroukh A.V. O sovershenstvovanii upravleniya stroitel'-nymi proyektami. // Vestnik Rossiyskogo novogo universiteta. Seriya yestestvoznaniye, matematika, informatika. M. : RosNOU. 2004. Vyp. 4. S. 114-116.

4. Avtomatizatsiya tekhnologicheskikh protsessov organizatsii rabot na protyazhennykh ob"yektakh. Monografiya / A.B. Nikolayev, I.N. Akin'shina, V.B. Golubkova, P.F. Yurchik. M. : «Tekhpoligraftsentr». 2006. 97 s.

5. Ostroukh A.V., Rozhin P.S., Savich M.T. Algoritm generirovaniya kombinatsiy ob"yektov pri reshenii zadachi modelirovaniya stroitel'nogo proizvodstva // Pribory i sistemy. Upravleniye. kontrol'. diagnostika. M.: «Nauchtekhlitizdat». 2008. №8. S. 8-10.

6. Pravila diagnostiki i otsenki sostoyaniya avtomobil'nykh dorog. ODN 218.0.006-2002 / Ministerstvo transporta Rossiyskoy Federatsii. Gosudarstvennaya sluzhba dorozhnogo khozyaystva Rossii. M. : 2002. 133 s.

7. Metodika integratsii prilozheniy v gibridnoy sisteme podderzhki prinyatiya resheniy s otkrytoy strukturoy / A.B. Nikolayev, A.A. Solntsev, V.YU. Stroganov, P.A. Timofeyev, V.N. Bryl'. // Informatsionnyye sistemy i tekhnologii. Gosuniversitet. Orel, 2011. № 3 (65). S. 84-91.

8. Surkova N.Ye., Ostroukh A.V Avtomatizatsiya raspredeleniya transportnykh sredstv i tekhniki po ob"yektam stroitel'stva s uchetom organizatsionnykh i tekhnicheskikh fakto-rov // Pribory i sistemy. Upravleniye, kontrol', diagnostika. M. : «Nauchtekhlitiz-dat». 2004. №12. S. 6-9.

9. Troitskaya N. A., Chubikov A. B. Yedinaya transportnaya sistema. M. : Izd.tsentr «Akademiya». 2004. 240 s.

10. Ekonometrika. Pod red. Yeliseyevoy. M.: Finansy i statistika. 2001. 344 s.