Задача потребительского выбора для однородных фунций полезности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ЗАДАЧА ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ФУНЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ Казей И.С.1, Ермилов М.М.2 Email: [email protected]

'Казей Игорь Сергеевич — кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, г. Москва; 2Ермилов Михаил Михайлович — старший преподаватель, кафедра информационных технологий и математики, Российский университет кооперации, г. Мытищи

Аннотация: в статье обсуждается классическая постановка задачи потребительского выбора, сводящаяся в общем случае к задаче нелинейного программирования. Рассмотрен случай, когда целевая функция полезности является однородной, а система ограничений состоит только из равенств. Для частного случая однородной функции — функции Кобба-Дугласа получены решения прямой и обратной задач. Рассмотрена также задача о совместной деятельности нескольких хозяйств. Введена их совместная функция полезности и получено оптимальное распределение средств, при котором функция полезности достигает максимума.

Ключевые слова: функция полезности, пространство товаров, целевая функция, метод Лагранжа.

PROBLEM OF CONSUMER CHOICE FOR HOMOGENEOUS UTILITY

FUNCTIONS Kazei I.S.1, Ermilov M.M.2

'Kazei Igor Sergeevich — PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associated Professor, DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS, BAUMAN MOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY, MOSCOW; 2Ermilov Mikhail Mikhailovich — Senior Lecturer, DEPARTMENT OF INFORMATION TECHNOLOGIES AND MATHEMATICS, RUSSIAN UNIVERSITY OF COOPERATION, MYTISHCHI

Abstract: the article discusses the classical formulation of the problem of consumer choice, which in the general case is reduced to the problem of nonlinear programming. The case when the objective function of utility is homogeneous, and the system of restrictions consists only of equalities is considered. For a particular case of a homogeneous function, the Cobb-Douglas function, solutions of the direct and inverse problems are obtained. The problem of joint activity of several farms is also considered. Their joint utility function is introduced and an optimal distribution of funds is obtained, under which the utility function reaches its maximum.

Keywords: utility function, product space, objective function, Lagrange method.

УДК 5'9.86

1. Постановка задачи. В классической задаче потребительского выбора каждый потребитель

характеризуется своей функцией полезности (ФП) и(X), определенной на некоторой системе

предпочтений, и бюджетом потребителя Q , которым он располагает.

Решение потребителя о приобретении некоторого набора товаров математически означает выбор некоторой точки в пространстве товаров:

C = {x: XX > 0},

где X = (Xj , ..., Xn ) - набор из П товаров с неотрицательными координатами ( X - количество i -го товара). Предполагается, что известен вектор цен

Р = (p , p2 . • •, Рп ) , где pi - цена единицы i -го товара.

Потребитель стремится достичь максимально возможного значения u(X) при заданном ограничении на общие расходы равном q :

\u( X max

— T — '

Р • x < q

— — — T - T

В дальнейшем через X и p обозначаются векторы - столбцы, а через X и p -

векторы - строки.

Здесь мы имеем задачу нелинейного программирования, где в качестве целевой функции выступает функция полезности u(X), а в качестве ограничения в форме неравенства

выступает бюджетное ограничение. Функция полезности считается непрерывной дифференцируемой и имеет положительные первые частные производные и отрицательно определенную матрицу Гессе вторых частных производных. Ограничение является линейным неравенством. Допустимое множество

D = {x е C: pT • X < q)

является непустым и компактно (замкнуто и ограничено). Кроме того, поскольку целевая функция непрерывна, то по теореме Вейерштрасса решение этой задачи существует, а так как целевая функция строго вогнута и допустимое множество выпукло, то решение единственно. Если не был израсходован весь бюджет q , то оставшуюся сумму денег можно затратить на

приобретение некоторого товара и увеличить полезность. Следовательно, для получения максимального значения полезности весь бюджет q должен быть обязательно израсходован

полностью. В конечном итоге, все сводится к решению задачи на максимум [1-4]:

\u( X max

— T — '

p • x = q

Решение этой задачи в общем виде представляет собой функцию спроса потребителя:

X = X( p, q)'

При фиксированных значениях p и q получают единственный набор X максимизирующий полезность, который называют точкой спроса.

2. Случай однородной функции полезности. Предположим, что u(x) - однородная функция порядка (X. По определению, функция от нескольких переменных называется однородной, если она обладает следующим свойством: при умножении всех ее аргументов на

произвольное положительное число t > 0 , значение самой функции изменяется в t>0 раз:

u(t • X1, t • X2t • Xn ) = ta • u(xx , X2Xn )'

Постоянный параметр a называется порядком или степенью однородной функции. В векторном виде данное свойство однородной функции записывается короче:

u(t • X) = ta • u(X)'

Следует отметить также, что однородная дифференцируемая функция произвольной степени a удовлетворяет уравнению Эйлера:

ды ды

х1 + ...л---хп =а- ы

дх1 дХп

или

ды о

— х = а- ы.

дХ

Если и( X ) - некоторая функция полезности, то 1п и(х ) также может рассматриваться

в качестве функции полезности. Будем решать задачу максимизации функции 1п и(х ), т.к.

она достигает максимума одновременно с функцией и(х). Итак, задача потребительского выбора в этом случае принимает вид:

Г 1п и( х тах [1п(р т • х)= 1п q

Решение задачи производится методом Лагранжа. Функция Лагранжа может быть записана таким образом:

ь(х,А) = 1пи(х) —А(1п(рт • х)- 1пq),

где А - множитель Лагранжа.

Необходимое условие экстремума функции Лагранжа:

— = 0 ^ -д- 1пи(х) — А• — 1п(рт • х)= 0. (1) дх дх дх ^ '

Умножим уравнение (1) на вектор х :

х • — 1пи(х) — А • х •— 1п(рт • х)= 0 . (2) дх дх

Так как и(х) и р • х - однородные функции порядка X и 1 соответственно, то уравнение (2) упрощается:

а —А• 1 = 0, т.е. А = а

Заметим, что с учетом бюджетного ограничения

д (о т о\ 1 д (о т о\ 1 о т 1 о т

— 1п(р • х)= • "то (Р • х)= -от— ■ р =-■ р

дх р • х дх р • х q

В результате уравнение (1) примет вид:

1п и(х ) = — рт (3) дх q

Уравнение (3) решается проще, чем уравнение (1). Покажем, что решением уравнения (3) является вектор, прямо пропорциональный величине q .

Пусть: х = q • £ , где £ - новая переменная. Так как и(х) - однородная функция порядка а , то:

и(х)= и^•£)= qа • и(£)

Следовательно, получим:

и

(х)

— тах

<=>

р • х = д

и{£)—> тах

X = д •£

рт •£ = 1

Учитывая (3), задача может быть сформулирована так:

-Д* 1п и(£)=а• рт

д£ ^ (4)

х = ч £

Вектор £ зависит только от функции и(&) и вектора цен р . Можно сказать, что £ есть решение системы при д = 1. Вид задачи (4) показывает, что при д Ф 1 решение X изменяется прямо пропорционально д при неизменном направлении. Отметим, что это свойство выполняется только для однородных ФП.

3. Конкретизация функции полезности. Теперь рассмотрим случай, когда ФП и£ )есть функция Кобба-Дугласа:

4Т)=С £ • •••

Порядок функции а = ( + ( • • • ап . Так как

1пи&) = 1п(£(1 • ••£( )=( • 1п£ +а2 • 1п£ + •^ • 1п£,

д£ {£1 £ ' ' & у

Согласно первому уравнению системы (4): С __ Л

= о (Р1 , Рп ),

а

£

п У

£' •

то есть

аг • 1

— = Р , где I = 1, •.., П

£

Отсюда

О Р1

Таким образом, решение имеет следующий вид:

£т =1 • а

* т ч

= Ч £ =-

а

а а

V Р1 ' Р2

г

а

Л

а

_п

Рп У Л

= -—1п и(р) а др

^1 = ^ 1п и(р) Рп У а дР

то

Значение ФП:

и

= и(Х) =

/ Л"

Введем теперь вектор расходов Согласно (5):

1

=(Х1Р1,

■П

I=1 Х2Р2 '

С \

а

г У

г а

1 = — ■ а, или —— = —

1 а

(6)

, ХпРп ) ■

(7)

а

где а = (а19 а2, ..., ап)

Вектор Цопределяет распределение денежных расходов на каждый вид товара. Как видно из (7), этот вектор определяется как вектором степеней а , так и величиной Ц ■ Из (5) легко получается вектор цен, выраженный через вектор спроса X :

1 а

а а

V х1

а

х„

(8)

2 '"п У

Формулу (8) можно рассматривать как решение обратной задачи, когда при известном бюджете Ц требуется определить такой вектор цен р , чтобы спрос был бы равен заданному

вектору х ■

Рассмотрим иллюстративный пример.

ап . Требуется найти:

Пример. Заданы векторы: ро , Х0 , Ц , ад' 1' а О . 1) X по р0 , а0 , ; 2) р по Х0 , а0,, Ц0; 3) Ц по р0 , Х0; 4) а по

, ад . (Переменные с индексом "0" - заданы; переменные без индекса "0" вычисляются).

Пусть заданы векторы, расположенные по столбцам:

Р0 X 0 4Р 0 а0

10 6 10 1

20 8 15 4

30 10 30 2

Решение.

40

100

а0

3

^ Т _ Ц0 1. Согласно (5): X =-

а

а а2

а

V Р1 Р2 Р

3 У

Здесь а = а1 +а2 +а3 = 1 + 4 + 2 = 7, ц0

100 ( 1 4 2 1 10 ( „ 2 1 (10 20 20

100 ■

=^ ■[-1, -4,2.1=10 (1,2,2 ]=[ 10,20,20 ЦЫз, 2.86,0.95)

7 V 10 20 30 У 7 V 3 У V 7 7 21 У 4 '

2. Согласно (8):

р т = 1

а

а1 а2

а

V Х1 Х2

X

100

з У

7

1 4 2_ 6' 8' 10

(2.38, 7.14, 2.86)

3. Согласно (7):

1р =(хр , Х2Р2, Х3Р3 ) = (б ■ 10, 8 ■ 20, 10 ■ 30) = (б0, 160, 300)

а

Г

- ао -4. Согласно (7): а = —- • q .

q p

Здесь q = q + q2 + q3 = 10 +15 + 30 = 55; а = 3, а = — • (10,15,30)« (0.5, 0.82,1.64).

4. Задача о кооперации нескольких хозяйств. Допустим, организуется т хозяйств, для каждого из которых ФП есть однородная функция (не обязательно Кобба-Дугласа) порядков

a1, ат

Допустим, что ФП объединения - функция Кобба-Дугласа:

u=иаа1 • <2 •...• иатт

Требуется найти оптимальное распределение средств, то есть вектор q = (qx ..., qm ), при котором ФП и достигает максимума. Решение этой задачи получается прямо из (7):

qp = ^ (а1а1, а2а2 , атат ). (9)

а

где а = а1а1 +... + атат= a а.

5. Выводы. В статье получено решение задачи потребительского выбора для случая однородной функции полезности, в качестве которой используется функция Кобба-Дугласа. Решена также обратная задача, когда бюджет потребителя q известен и требуется определить

такой вектор цен p , чтобы спрос был бы равен заданному вектору X. Кроме того, найдено оптимальное распределение средств между хозяйствами, вступившими в кооперацию.

Список литературы / References

1. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Айрис-пресс, 2002. 553 с.

2. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. 399 с.

3. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике: Учебник. Ч. 2. М.: Финансы и статистика, 2003. 560 с.

4. Самуэльсон П.А. Основания экономического анализа. СПб.: Экономическая школа, 2002. 604 с.