Приложение теории накрывающих отображений к исследованию модели Эрроу-Дебре с транзакционными издержками Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ МОДЕЛИ ЭРРОУ-ДЕБРЕ С ТРАНЗАКЦИОННЫМИ

ИЗДЕРЖКАМИ

© А.Е. Болотип, Н.Г. Павлова

Ключевые слова: точки совпадения отображений; « -накрывающие отображения; функция спроса; функция предложения; равновесные тмил.

Исследуется вопрос о существования положения равновесия к модели Эрроу Дебре с хранзакцонны.ми издержками. В рассматриваемой модели функция сироса получена как решение задачи максимизации футткдии полезности, а функция предложения — как решение задачи максимизации прибыли при бюджетных ограничениях. В результате применения теорем о существовании точек совпадения о. -накрывающего и липтпицева отображений получены досгаточные ус..киши существования вектора равновесных це]г.

Ввсдсиис. В работе рассматривается модель, обобщающая модель Эрдау—Добре, в которой учитываются транзакционные издержки производите.чей. Для получения достаточных условий существования положения раниоиесия и исследования его свойств применяются ре-зул 1.1аи.1 работ |1 3|, посвященных существованию и устойчивости точек совпадения отображении в метрических пространствах.

Будем рассматривать метрические пространства X и У с метриками р\ и ру, соответственно. Через Вх(х, г) в пространстве X обозначим замкнутый шар радиуса г с центром в точке а*. Аналогичное обозначение введем в пространстве V'.

О и р е д е л е и и е 1 (|1|). Пусть задано а >0. Отображение ,4: X —> У' называется

о -накрывающим. если

Я{П\(г,а;)) 5 Ну(осг,$(х)) V?’ > 0, Ух е А'.

Для получения достаточных условий существования положения равновесия будем применять следующие результаты.

Теорема о точках совпадения (|1|). Пусть пространство X полно, и 5, I): X —>■ У

произвольные отображения, первое, из которых непрерывно и является а- -накрывающим, а второе, удовлетворяет условию Липшица с коиептитой Липшица в < а. Тогда для. произвольного .то еХ существует такое £ = £(#о)еХ , что

ЭД 1Ш рх&хо) < — (6Л)

Теорема Милютина о возмущен и и (| 1 \).Пусть X полное метрическое пространство, У нормированное пространство, ото6ра.о1с.снис. 8: А' —*• V'. является, непрерывным и а -накрывающим. Тогда для любого отображения I): X —► V', удовлетворяющего условию Липшица, с константой Липшица В < а, отображение 5 I I) является (« — В) -накрывающим.

Модель поведения производителя. Функции предложения. Пусть имеется п € N товаров, причем г-й товар для потребителя имеет цену р* > 0, г 1, п. Вудем также предполагать, что пены р (р\. р>,.... р„) . по которым производитель реализует товары,

меш.ше ЦвН р (Р). Р2: ---:Р») : КОТОрые Платит 33 НИХ потребитель, причем р (У.р , ГДв Л € €(0;1).

Предположим, что технологический процент; описывается производственной функцией Кобба-Дугласа:

?'ъ(.У—111 У—г2» • • - > У—гп) ('г | | У?■

,?-1

1, П,

где у-ц > 0 —объем ] -й продукции, расходуемый для производства /-ой продукции г.] =

/I

I.», (7*>0, 6ц > 0, ■/,;/ 1,п заданные числа , такие, что ^ .<%<!, » 1.те. Вудом

' У 1

предполагать также, что множеспю имеющихся V производи геля ресурсов является п -мерным

" 1 ■>: *)к _________

параллелепипедом: Г_ = [О, Ь-\ | х [0, 6*] х ... х [0,6Г1[, причем 6» >^, С, ’ 1 . г = 1.п ■ Кроме;

того, т. к. пае интересуют соотношения между ценами товаров, а ие их абсолкшхое значение, то будем считать, что pj > Д,-, г.] = 1, п. Выбор производителя сводится к :задаче отыскания условного экстремума функции прибыли:

г 1

У-;И е [0,6»], г = 1,1).

3-1

(6.2)

Поскольку ^ Вц < I для любого г 1. п. то все производственные функции /ч ВОГНУТЫ, и, ’ 1 '

следоват<'льно, достаточные условия для задачи (6.2) заключаются в выполнении следующих соотношений:

П

(\Cifkj Д уг\ = РзУ-ц, *, з = М*; (6.3)

*-1

^ У-П € [0,6*], г I, П-,?-1

Замети.м, что соотношения (6.3) эквивалентны

Р1%

у-ц —7-у-п-. из 1

Р,уА]

Подставляя (0.5) в (0.3), получим решение задачи (0.2):

А.;

*

?/-

Рз

А—1

1

Д* у

, г,;' 1,/г.

(0,1

(6.5)

1 С'< коэффшшоттты ттойтратытого технического прогресса, коэффициенты эластичности по росур-

Заметим. что при сделанных предположениях Е У-а е К*- ^*1 • 1 = 1- >> ■ Действительно.

;;-1

о < V —

Н*

«<:•( II 4" ^

А: 1

V

П />?

к:-\

/

т-—-» • • 1 П

с е^-к1 < ь*. ;;-1

I. п.

Таким образом, функция предложения 5’;: Е" —1 -го товара определяется но формулам:

>?

Ш П(У-и • У:,2- • •• У—гп) ~ Е ^

7-1

7-1

К г П /V"'' - Рг ' Е П ^ ’ * '• '»•

А—1 1 А:-1

(6.6)

где

/%*■

>: <,«• ^■=1

;), к 1. п.

Е А/ /-1

... ' ч: А, а * 1

П и*

\ А- 1 /

• М М>-

А' 1

Модель поседения потребителя. Функция спроса.

Перейдсм к построению функции спроса потребителя. Пусть имеется потребитель с некоторым бюджетом />(). Задано множество ССК" наборов товаров я? = (аг), ...,хп) ■. которые может приобрести потребитель. Нудем считать также, ч то нее товары обладают снойспюм произвольной делимости, т. е. может быть закуплено любое неотрицательное количество каждого и:-! них.

Предположим, что потребительские предпочтения описываются функцией полезности I*. Стоуна. Пусть заданы числа > 0. о-/ € (0.1), у = 1 ,п. Положим С = {.т€ М" : .Ту > ау у = 1. п} и определим функцию и: О —►К по формуле

П

фо П _ •

./■-1

Число является минимально необходимым количеством ,/-го товара, которое приобретается в любом случае и не является предметом выбора, а коэффициенты щ характеризуют

п

относител]>иую "ценность'' товаров для потребители. Нудем считать, что Е Рзаз < /• Н этих

1 •?-1 . првДПОЛОЖвНИЯХ максимум функции полезности достигается ЛИШЬ 15 том случае, когда бюд-

п

жетное ограничение Е РУХ1 — I выполняется как точное равенство.

.7-1 '

Итак, модель Стоуна имеет вид:

и(х) П і:і'з - <чУУ‘ шах-

з-1

>7

Е РзЩ /• ■>'.]>«і ■./ 1 • »■

3-і

(0.7)

Д. тя решения этой задачи максимизации примоинм ирииции Лагранжа. Функция Лагранжа для задачи (6.7) имеет вид

П / П

ЦхI, а?2, • • -, ям, А) [] (а:; - + А / - ^ М

.7-1

.7-1

В силу регулярности ограничений в задаче (0.7) необходимые условия оптимальности заключаются в существовании такого Л > 0. что выполнено

«і

І.-І

•гі - аз

- Хру = 0, ] = 1, и,

(0.8)

Поскольку функция полезности и является вогнутой, а ограничения в задаче (0.7) линейны, условия (6.8) являются достаточными условиями максимума. Таким образом, пара (,т*. Л*) является решением системы (6.8) тогда и только тогда, когда а:* является решением задачи (0.7).

Система (6.8) эквивалентна следующей системе

«./ П (•»•/: - "»Г’: і-1_________________________________

А/Ъ

, ./ І-».

ЕРі-гі /. .гі><іі. ;і і.п.

■і і

Следовательно, решение системы (6.8), а значит и задачи (6.7), имеет вид

X; = (1-і |

<Хі - Е Рз<4 п

Рі Е <х]

./-1

Таким образом, для любого * = !,« функция спроса па і -й товар ГЛ;:М'[—имеем* вид

«і ^ - Е рґч

п

Рі Е п:І

3 I

і *

(0.9)

Заметим, что функции /Л: определены для тех р € К", для которых Е Рзаз < I- Для прочих

р Є М'| мы доопределяем функции /Л: формулой (0.9). 360

з і

Существование положения равновесия. Пусть заданы действительное число / > 0, векторы <1 (а\,... ,ап), (' (С\...., Сн) € К" и квадратная матрица В порядка п

п

с компонентами вц > 0, г.;/ 1. п, такая, что ^ < 1 V/ 1. п. Пусть, кроме того, заданы

■ ■ ’ ' ] I ' ___

векторы Су (сц; (’2 (С12, ...,С„2) €К+, причем Сд < Сй, Сг2-См а», * 1,п. Дчм

п

произвольных векторов х (л*!, ...,а:м), х (5\ь£„) € положим (а;,а?) £ х&.

г-1

Под математической моделью ринка будем понимать набор

а (/, а, С, Б, <'\, с-і) Є

-+

X

І’І

І Л“Ч А“Ч І ■

Множество вс(;х наборов а (і.п.С.В.с^.с2) , удовлетворяющих укачанным выпи: предполо-

2 | і і і

жениям. обозначим через Очевидно, что множество )] С К” открыто.

Набор параметров (/,«,(7,6) однозначно определяет функцию предложения 5:! но формуле (0.6) и функцию спроса I): К” —>МП по формуле (6.9).

Компоненты векторов сь 02 определяют остествеипыс ограничения иен рі на і -й товар, т. е. будем предполагать, что сц<Рі<сц ;мя каждого г 1,и.

Множество / Цр) называется совокупным спросом, соответствующим пек тору пен р, а вектор Я(р) называется совокупным предложением, соответствующим вектору цен р. Суще-етвование состояния равновесия в исследуемой модели эквивалентно выполнению равенства 5{р) = В(р).

Похожим

а{я) шіп

г—1 ,п

■І2 ТТ Г-Щ (Сі2 л‘іі)/2 ;;-1

і і :п

к 1 /г

/.І-1

к-1 П.

с12 ~ Сд 2ГІ-2П2

3{а) = шах

г 1 ,т

«-1,п\ , I , 1(-П /

^ - (с,, а) | <:-п«і){еі2 с,|) | — ((«-. с.'2 - С|} - - Сіі))

.-‘її Л‘іІ .

7(<т) тих

і— 1. т

а і І

<Хі(2і - {а,<:2 І сі))

(сі2 І Сії) V а-і і і

С,2 + Си

Е ,н> П

./'-І А- 1

<‘к > І с/..| 2

■л-, П

к 1

С А: 2 І с-к\ 2

Теорема. І Іусть модель а Є У; удовлетворяет условиям

1) а{<т)>3{а):

2) ^((т) < а(<т) — в{(т).

Тогда в исследуемой модели существует вектор равновесных цен р (рь •-,/>«) такой, что

С, \<Рі< С,2. г ТТЇЇ-

Доказательство. В пространстве К'1 определим нормы по формулам

|Ы|, 2 тих

г— | п С/2 С*1

У.Г (.П..Г2..........:г„) Є Б'".

ISS.NI 1810-0198 Всггник I ГУ. т. 19, вып. "2, 201 1

|.т|| 2 шах | .г,; | V .г (;п, .г> ■хп) €

/-т.».

Рассмотрим мот|)1П(!(:кио пространства (Л". р-\) и (V", />2); где X ... . сг,)|о: € [0; I]:

(ц = <х(‘м I (1 —«:)с2»} < У = 1К+ ■ метрика (ц определяется нормой || • Ц1 . а метрика р2 —нормой

II 'Ь " ‘

] (оложим

сл 1 Г'2. М = Вх(сЛ).

2

Заметим, пто мотртеекоо пространство А' но является полным, однако для дальнейших рассуждений достаточно полноты птара И\(г. 1).

Оцепим константу пакрывапия отображения Я. Для .110601ч) рЕ'шьМ имеем

где £1 (/;), с2{р), К-'(р): ЕГ

Щ(р) = £1 (р) - £‘Лр) - Цр)-.

Е" линейные операторы, определенные матрицами

( »"2

сЛр) =

Р1 Е П Рк

?-1 а- 1

С)

Ьл-

р? Е П Рн*

7-1 А-1

о

Аг(р)

р 1 Е

7-1 А-1

ик

0

0

Рй2 Е и, П рУ

7 1 А-1

Р\ 'Рп Е П Ркик ^

Р2]Р\ ' Ё " *

7-1 А—1

'и.;*

7-1

А—1

РгЧ,1 Е 1- 2] +2.1 п П Ра,' М

7-1 А—1

Рп [Р\ 1 Е 1'ю:3г>л 1 ГГ Ра ••• Рп2 Е 1'пзРгуп П Рь '*

7-1

А:—1

7-1

А—1

■) =

К\$\пР\ 1 П Рд-1и ^1 ^шр2 ' П Ра!"* ■ ^ДипР»1 П Ра"* ^

А- 1 1 гг ,Д>л

А- 1 и ,

1 гг . Д’-1*-

А: 1

А2/^221 Р| п Ра'Я Кфт1>2 П Ра"' ••• КчРчлпРп П Ра”*

А-1 А-1 А-1

I п 1 I п ^ -I

— -I- 1 Г ■ьуРи'чЬ //' (О — 1 1 Г ,,'Г' и к ' О —1 1 Г . п к

Л»Ат1Р| П Ра""‘ Л«Ат2р2 П Ра""1 КпРттРп

\ к-1 А-1 А-1

Следовательно, согласно приведенной выше теореме о возмущении.

Имеом

СОУ (АЫ) тгпп

г— 1,»

Рг 1 53 ^ П - Са)/2

7 1 А—1

>

> ПИН

1—1 .7»

1

г2

р5>к(^-^)/2

7-1 А:—1

Н£а(р)Н гпах||£Д/;).т||2

= шах шах

1М|| г— |,п

I-1 п

3-1

Л— I п

<

шах шах ^ 'Рг V/ 1 Е 1'И&Л П *4^ М -и*. *-1.« р[ к у >

1,3-1

/я—1

гпах гпях 1НЬ г—1,г»

Е К‘&НР) 1 П Р?**'

/-1 /я—1

< шах шах ( А'(: ТТ р!ик 'У' /?«/—^ < ||.Г||, г — V У ^ Р1 )

, <'12 ~ Л(1

А; 1 /1

2 Р1

('ледовательно.

Л .

соу( -—(р) > 1111 п

\с)р ) г—1,7»

п, п

п-1 ’

г 2

53 ^н> Г1 ск* (('а < и

3—1 к-I /г

те(Е^П«2г1^)-

А— I

(»« гг

А—I г-1

2<"г2<"/2

(’/2 — <?/ I

Из теоремы 4 из |2| следует, что

со\ (5| Д7) тГ со\-(5| р) > а(<т).

Оцепим теперь константу Липшица отображения !). Для любого р€т[М имеем

-1

' при %/ у,

к I ’ |

-«*(/- Е РА«А ) (Е «А" ) ’ "Р" *

А:— 1А:-Аг

УА

др]

(р)

(1Н Е ) ’

А —I

Следошпелыш.

т\ ^ 75ГМ

шах

г— 1, №

<

-и / - Е /;д-г,д-')((к2~г,л^1 ~ Е ".'(г/2-^)

1>г к ТТ71. А/г з Тп,з/г

2 Ё «А-А—I

<

т

к~ і

для любого р Є ІІ1І М. ('ледователыш, Ир(Г>| М) <Р((г).

Из предположений 1) и 2) теоремы и неравенств cov(5| М) >о(ст). lip(0| A/) < (3(a) следует. что су шест ну ютположи тельные числа « и (3 такие, что (3(a) < (3 < ск < сс(а), ^ (а) < cv — (3,

отображение S является о-накрывающим па множестве А/, а отображение I) является Р-лишшшевым на множестве М. Поскольку (^'(S(c). D(c)) = у(а). из предположения 2) теоремы следует, что py(S(c), D(c)) < (or — Р). Таким образом, существует вектор реХ такой, ЧТО $(р) 1)(р) и

Из 1ЮСЛСДЦЄ1Ч) неравенства следует. что ре ini М. поскольку М = Вх(с, 1). a py(S(c).D(c)) = = ч(а) < (а — /?). Поэтому cji < pj < cj2 для любого j = 1. п. Теорема доказана.

1. Арутюиоа Л.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и пеподвижттые точки // Докл. ГАИ. 2007. ГГ. THi. .V" 2. С. Iо I Ш.

2. Antlyumm Л.. Avtikov li., (’c.Vmwn Н., Dmihvk Л., Olmkhovxkn V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points J. Fixed Points Theory and Applications. 2009. V. 5. .V* 1. P. 5-16.

.4. Лрутнточ А. И. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений Мат. наметки.

2009. Т. 8(5. Выи. 2. С. Hi.VI(19.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследовании (проект .V5 12-01 -.‘Я 140).

Bolotin А.Е.. Pavlova N.G.

APPLICATION OF COY I-RING MAPPING TIIIOORY TO ARROW-DKBRFU MOD I'll. WITH TRANSACTIONS COSTS

The existence of the equilibrium in Arrow—I)ebreu model with transactions costs is studied. The model under discussion, the demand function is obtained as a solution of the utility function maximization problem and the supply function obtained as a solution of the problem maximization under the budget, restrictions. Sufficient conditions for existence of the equilibrium price-vector are obtained. This result, is obtained as corollaries of theorems from covering mappings theory.

Key words: coincidence points; a -covering mappings; demand function; supply function; equilibrium price-vector.

Іюлотитт Артем Квгепьевич, Российский университет дружбы пародов, г. Москва, Российская Федерация. аспирант кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: arfem-bolotinPjyandex.ru Bolotin Arteni Kvgenievich, Peoples’ Friendship University of Russia, Moscow. Russian Federation, Postgraduate st udent of Nonlinear Analysis and Opt imization Department, e-mail: ailem-bolotinfijyandex.ru Павлова Наталья Геннадьевна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук доцеттт кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: natasharussia^mail.ru

Pavlova Natal ya Gennad’evna, Peoples’ Friendship University of Russia, Moscow, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associated Professor of Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]

PX <

ЛИТЕРАТУРА

Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.