ЗАДАЧА О ВАРИАНТАХ ФОРМИРОВАНИЯ КЛАСТЕРОВ ПРИ ПЕРЕСТАНОВКАХ В УПОРЯДОЧЕННЫХ СТРУКТУРАХ Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 511

Стаценко И.В.

Кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики

Московский энергетический институт

ЗАДАЧА О ВАРИАНТАХ ФОРМИРОВАНИЯ КЛАСТЕРОВ ПРИ ПЕРЕСТАНОВКАХ В УПОРЯДОЧЕННЫХ СТРУКТУРАХ

Аннотация

В статье представлено решение одной из частных задач о перестановках с ограничениями, которая формулируется как задача об оценке количества вариантов формирования кластеров из раскладываемых предметов при перестановках на упорядоченном множестве принимающих позиций.

Известно большое количество различных вариантов постановок задач о перестановках в упорядоченных структурах (в частности, [1] п.30 "перестановки с ограничениями"; [2] задачи 18.87-18.97). Некоторые целочисленные решения таких задач зарегистрированы в ОЕ^. Так, например, треугольник А138770 показывает число перестановок на множестве {1,2,3,4,5,...,п-1,п} таких, что между номерами 1 и 2 окажется ровно к записей (к = 0, 1, 2, 3.). При этом в процессе практики появились новые постановки задач, которые формализуются также в рамках раздела перестановок с ограничениями. В данной статье рассматривается задача о числе вариантов формирования кластера (компактной группы) из к предметов с фиксированными номерами на упорядоченном множестве из п предметов в линейных и круговых структурах.

1. Постановка и решение задачи о вариантах формирования кластера в линейной структуре

Имеется П пронумерованных предметов, которые необходимо разложить в П пронумерованных ящиков, расположенных в линию, так, чтобы в каждом ящике был ровно один предмет. Далее на множестве распределенных предметов определяется группа из тпредметов т < П с фиксированными номерами, которая формирует кластер (компактную группу). Признаком формирования кластера считается отсутствие внутри кластера, предметов, не принадлежащих данному кластеру (допускается наличие посторонних предметов только на границе кластера).

Пример 1. Дано П = 4 пронумерованных шара и П = 4 пронумерованных ящика. Шары случайным образом раскладываются в ящики (в каждый ящик ровно один шар). Пусть шары с номерами 1 и 2 (т = 2) формируют кластер, остальные шары с номерами 3 и 4 считаем посторонними для данного кластера. Перечислить множество вариантов формирования кластера.

{(2,1) ,4,3} ; {3, (1,2) ,4} ; {3, (2,1) ,4} ; {4, (1,2) ,3} ; {4, (2,1) ,3} ; {3,4, (1,2)} ;

Ключевые слова:

перестановки с ограничениями, кластеры.

Keywords:

permutations with restrictions, clusters.

Введение

Решение: Перечислим интересующие варианты:

Всего имеем 12 вариантов перестановок, формирующих

интересующий кластер.

Пример 2. Дано П = 4 пронумерованных шара и п = 4 пронумерованных ящика. Шары случайным образом раскладываются в ящики (в каждый ящик ровно один шар). Пусть шары с номерами 1,2,3 (т = 3) формируют кластер, шар с номером 4 считаем посторонним для данного кластера. Перечислить множество вариантов формирования кластера.

Решение: перечислим интересующие варианты: |(1,2,3),4^ - 6 вариантов с перестановками

внутри кластера; |4,(1,2,3)| - 6 вариантов с перестановками внутри кластера. Всего имеем 12

вариантов перестановок, формирующих интересующий кластер.

Пример 3. Дано т = 5 пронумерованных шара и т = 5 пронумерованных ящика. Шары случайным образом раскладываются в ящики (в каждый ящик ровно один шар). Пусть шары с номерами 1,2,3 (т = 3) формируют кластер, шары с номерами 4 и 5 считаем посторонними для данного кластера. Перечислить множество вариантов формирования кластера.

Решение: Перечислим интересующие варианты: |(1,2,3) ,4,5^ - 6 вариантов с перестановками внутри кластера; |(1,2,3) ,5,4| - 6 вариантов с перестановками внутри кластера; |4, (1,2,3) ,5| - 6 вариантов с перестановками внутри кластера; |5, (1,2,3) ,4^ - 6 вариантов с перестановками внутри

кластера; |4,5, (1,2,3)| - 6 вариантов с перестановками внутри кластера; |5,4, (1,2,3)| - 6 вариантов

с перестановками внутри кластера.

Всего имеем 36 вариантов перестановок, формирующих интересующий кластер. Анализ представленных примеров формирования кластеров из т предметов на множестве из П предметов на П принимающих позициях показал, что количество таких вариантов можно найти по формуле

Ттт = т!(п - т +1)!. (1)

То есть для определения количества вариантов формирования кластера необходимо количество перестановок внутри кластера умножить на количество перестановок кластера с посторонними предметами. Другой способ вычисления - количество разрешенных позиций для левой границы кластера умножить на количество перестановок внутри кластера и умножить на количество перестановок

посторонних предметов, т.е. Т^ = (п — т + 1) • т!- (П — т)!.

Треугольник Т^ данного распределения для П = 1,2,3,4,5,6,7 представлен в таблице 1.

Таблица 1

(Треугольник Т(1))

1 г ' пт '

n \ m 1 2 3 4 5 6 7

1 1

2 2 2

3 6 4 6

4 24 12 12 24

5 120 48 36 48 120

6 720 240 144 144 240 720

7 5040 1440 720 576 720 1440 5040

Примечание 1. Если кластер находится на одной какой-либо фиксированной позиции (допустим первой), количество вариантов формирования кластера определяется по очевидной формуле

ОН = m!(n - m)!. (2)

Треугольник данного распределения для n = 1,2,3,4,5,6,7 представлен в таблице 2.

Таблица 2

(Треугольник Qnm )

n \ m 1 2 3 4 5 6 7

1 1

2 1 2

3 2 2 6

4 6 4 6 24

5 24 12 12 24 120

6 120 48 36 48 120 720

7 720 240 144 144 240 720 5040

2. Постановка и решение задачи о вариантах формирования кластера в круговой структуре

Имеется П пронумерованных предметов, которые необходимо разложить в П пронумерованных ящиков, расположенных по кругу, так, чтобы в каждом ящике был ровно один предмет. Далее на множестве распределенных предметов определяется группа из тпредметов т < П с фиксированными номерами, которая формирует кластер (компактную группу). Признаком формирования кластера считается отсутствие внутри кластера, предметов, не принадлежащих данному кластеру (допускается наличие посторонних предметов только на границе кластера).

Пример 4. Дано П = 5 пронумерованных шара и П = 5 пронумерованных ящика. Шары случайным образом раскладываются в ящики (в каждый ящик ровно один шар). Пусть шары с номерами 1, 2 и 3 (т = 3) формируют кластер, остальные шары с номерами 4 и 5 считаем посторонними для данного кластера. Перечислить множество вариантов формирования кластера. На рис. 1. представлен вариант распределения шаров в ящики, расположенные по кругу, когда в ящик с номером 1 распределен шар с номером 2; в ящик с номером 2 распределен шар с номером 1; в ящик с номером 3 распределен шар с номером 3; в ящик с номером 4 распределен шар с номером 5; в ящик с номером 5 распределен шар с номером 4. При этом кластер из шаров с номерами 1, 2, 3 сформирован.

Рисунок 1 - Вариант перестановок {2, 1, 3, 4, 5}.

На рис. 2. представлен вариант распределения шаров в ящики, при котором кластер из шаров с номерами 1, 2, 3 не сформирован.

Рисунок 2 - Вариант перестановок {2, 4, 3, 1, 5}.

Решение: Перечислим интересующие варианты формирования кластера: |(1,2,3),4,5} - 6 вариантов с перестановками внутри кластера; |(1,2,3),5,4} - 6 вариантов с перестановками внутри кластера; |4, (1,2,3) ,5} - 6 вариантов с перестановками внутри кластера; |5, (1,2,3) ,4} - 6 вариантов с перестановками внутри кластера; |4,5,(1,2,3)} - 6 вариантов с перестановками внутри кластера; |5,4,(1,2,3)} - 6 вариантов с перестановками внутри кластера; |3),4,5,(1,2} - 6 вариантов с перестановками внутри кластера; |3), 5,4, (1,2} - 6 вариантов с перестановками внутри кластера;

|2,3),4,5,(1} - 6 вариантов с перестановками внутри кластера; |2,3),5,4,(1} - 6 вариантов с

перестановками внутри кластера. Всего имеем 60 вариантов перестановок, формирующих интересующий кластер.

Анализ примера формирования кластера из т предметов на множестве из П предметов на П принимающих позициях, расположенных по кругу, показал, что количество таких вариантов можно найти по формуле

j,(2) \п'т!(п - m)!, т < n;

(3)

m!,

т = п.

Принцип вычисления для случая т < П - количество разрешенных позиций для левой границы кластера умножить на количество перестановок внутри кластера и умножить на количество перестановок

посторонних предметов, т.е. Т^ = П - т!- (П — т)!. Для случая т = П левая граница кластера

тЧ2) |

циклически не сдвигается, поэтому 1 т = т!

Треугольник 1 данного распределения для п = 1,2,3,4,5 представлен в таблице 3.

Таблица 3

(Треугольник )

n \ m 1 2 3 4 5 6 7

1 1

2 2 2

3 6 6 6

4 24 16 24 24

5 120 60 60 120 120

6 720 288 216 288 720 720

7 5040 1680 1008 1008 1680 5040 5040

Примечание 2. Если кластер находится на одной какой-либо фиксированной позиции (допустим первой), количество вариантов формирования кластера определяется по очевидной формуле

OS = m!(n - m)!. (4)

Треугольник Q^данного распределения для n = 1,2,3,4,5,6,7 представлен в таблице 2

--nm '

(данный треугольник идентичен треугольнику Q(

Заключение

Представленный математический аппарат удобно использовать для оценки вероятности возникновения кластера в линейных и круговых структурах в задачах большой размерности.

Пример 5. В кофейном автомате пластиковые стаканы вкладываются друг в друга, формируя при этом линейную структуру. Пусть в некотором кофейном автомате случайным образом сформирована структура из 10 пластиковых стаканов. При этом 6 стаканов красного цвета и 4 стакана черного цвета. Найти вероятность события A - из черных стаканов сформирован кластер, т.е. они следуют друг за другом и между ними отсутствуют красные стаканы. Решение:

T(1) 4!7! 1 P (A) = ^ = 47 = —, 10! 10! 30

Где для оценки величины T^ использовались параметры П = 10; m = 4.

Список использованной литературы:

1. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. - М.: ФИМА, МЦНМО, 2006. - 400 с.

2. Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Часть 4. Учебное пособие для втузов / Под общей редакцией Ефимова А.В. и Поспелова А.С. - 3 изд. переработанное и дополненное - М.: Издательство физико-математической литературы, 2003. - 432 с.

© Стаценко И.В., 2023