CC BY
5
ISSN 2410-6070 МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» № 4-2 / 2023
УДК 511
Стаценко И.В.
Кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики
Московский энергетический институт
ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА О РАСКЛАДКАХ Аннотация
В статье проведено обобщение классической комбинаторной задачи о раскладках. Представлена постановка классической задачи в более широком смысле и альтернативная интерпретация задачи. Получены основные рекуррентные соотношения и замкнутая форма для решения данной задачи.
Ключевые слова:
классическая комбинаторная задача о раскладках, числа Стирлинга 2-го рода.
Abstract
The article generalizes the classical combinatorial problem of layouts. The formulation of the classical problem in a broader sense and an alternative interpretation of the problem are presented. The main recurrent relations and a closed form for solving this problem are obtained.
Keywords:
classical combinatorial layout problem, Stirling numbers of the 2nd kind.
Введение
Известно [1] несколько различных вариантов постановок задач о раскладках. В качестве основного можно обозначить вариант постановки задачи, представленный на стр. 102 параграфа 45 [1], в виде: "сколькими способами можно положить n различных предметов в m различных ящиков так, чтобы в каждом ящике лежал хотя бы один предмет".
Решение данной задачи представлено с использованием замкнутой формы следующего вида
m-1
Qv > 1 (пm) = x(~\)k cm (m -k)n = snmm\' m * n. (1)
k=0
где Snm - числа Стирлинга 2-го рода, V - количество предметов, которые можно положить в один ящик, ck =.
m!
m
k !(т - k)!
Треугольник данного распределения см. в таблице 1, где строки имеют нумерацию п = 1,2,3,...,7 ; столбцы (диагонали) "справа налево" имеют нумерацию т = 1,2,3,...,7.
Таблица 1
( Qv > 1 (П, m) распределение)
> _ 1
1 2 1 6 6 1 14 36 24
1 30 150 240 120
1 62 540 1560 1800 720
1 126 1806 8400 16800 15120 5040
1. Постановка задачи
Поставим задачу более широко: найти распределение Дт,п,ь) -количества способов
положить п различных предметов в т различных ящиков. Где V - количество предметов, которые можно положить в один ящик; Ь - количество ящиков, оказавшихся не пустыми; Дт,п,ь) -
количество вариантов распределения предметов, в которых используется ровно Ьящиков. То есть в данной постановке допускается, что в некоторых ящиках (не во всех одновременно) шаров не окажется.
Пример 1. Дано п = 3 пронумерованных шара и т = 2 пронумерованных ящика. Найти ( > 0 (т,п,Ь) - распределение предметов по ящикам. Решение: вначале перечислим все возможные
варианты распределения шаров по ящикам (всего будет тп = 8 вариантов):
{[0], [1,2,3]}; {[1],[2,3]}; {[1,2],[3]}; {[1,2,3],[0]}; {[2],[1,3]} ; {[2,3],[1]}; {[3],[1,2]}; {[1,3],[2]}.
Где обозначения, в частности, первого варианта распределения {[0],[1,2,3]} показывают, что в
первый ящик шары не распределялись и все шары оказались во втором ящике. Обозначения второго варианта распределения {[1],[2,3]} показывают, что в первый ящик отправлен шар с номером 1, а во
второй ящик шары с номерами 2 и 3. Далее в таблице 2 представим Д 2,3, Ь) распределение:
Таблица 2
L i 2
Qv , 0 (2,3, L ) 2 6
Данное распределение показывает, что вариантов с одним загруженным ящиком - два, а вариантов с двумя загруженными ящиками - шесть.
2. Постановка задачи распределения количества разных букв в случайных словах для
алфавитов любой размерности
Рассмотрим другую интерпретацию поставленной задачи. Пусть некоторое слово имеет П буквенных разрядов, которые формируются из m буквенного алфавита, при этом допустимы повторения букв. Необходимо найти распределение Q ( m, П, L) данного алфавита, то есть распределение количества
слов, в которых встречается ровно L разных букв.
Пример 2. Допустим в алфавите имеется (m = 2) две буквы: A,B. При этом слово формируется из
(П = 3) трех букв (разрядов). Тогда можно сформировать слова: AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, ABA, BBB. В данном случае можно сформировать всего 8 слов. При этом слов, в которых встречается одна какая-либо буква, будет q(2 3 1) = 2, а слов, в которых встречается две разных буквы будет
Q (2,3,2) = 6.
Пример 3. Допустим в алфавите имеется (m = 3) три буквы: A,B,С. При этом слово формируется
из (П = 2 ) двух букв (разрядов). Тогда можно сформировать слова: AA, BB, CC, AB, BA, AC, CA , BC, CB. В данном случае можно сформировать всего 9 слов. При этом слов, в которых встречается одна какая-либо буква, будет Q (3,2,1) = 3; слов, в которых встречается две разных буквы будет Q (3,2,2) = 6
; слов, в которых встречается три разных буквы будет q (3,2,3) = 0.
В таблицах 3-6 представлены треугольники q(m,1,L), Q(m,2,L), Q(m,3,L), Q(m,4,L)
распределений, где строки имеют нумерацию m = 1,2,3,...,7; столбцы (диагонали) "справа-налево"
имеют нумерацию Ь = 1,2,3,...,7. Вариант распределения Q(2,3,Ь), представленный в примере 2, можно найти во второй строке таблицы 5. Вариант распределения ( (3,2, Ь), представленный в примере 3, можно найти в третьей строке таблицы 4.
(Q ( m,1, L ) распределение) 1
2 0 3 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Таблица 3
30
42
(Q ( m,2, L ) распределение) 1
2 2 3 6 0
12 0 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0
Таблица 4
90
126
(Q ( m,3, L ) распределение) 1
2 6 3 18 6
36 24 0
60 60 0 120 0 0 210 0 0
Таблица 5
Таблица 6
5
6 210 294
(Q ( m, 4, L ) распределение) 1
2 14
3 42 36
84 144 24
140 360 120
720 360 0
1260 840 0
4
5
0
6
0
0
7
0
0
0
4
5
0
6
0
7
0
0
4
5
0
6
0
7
0
0
4
0
0
7
0
0
ISSN 2410-6070 МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» № 4-2 / 2023
3. Решение задачи распределения количества разных букв в случайных словах 4. для алфавитов любой размерности
Анализ закономерностей в треугольниках для q (m, n, l ) показывает наличие рекурсии следующего
вида:
Q(m,n,L) = Q(m -1,n,L)—'' L < m; n,L e N; m = 2,3,...,N; (2)
m-1
Q(m,n,m) = mn - ^Q(m,n,k); Q(1,n,1) = 1.
k=1
Кроме того, первые столбцы (диагонали) "слева-направо" треугольников ((тд, ь ), 2 (т,2, Ь), 2(т,3,Ь), 2(т,4,Ь)являются соответствующими строками треугольника (п,т), то есть
> 1 (п, т) = > 0 (т, п, т), т < п. (3)
Что подтверждает частный случай постановки задачи 2у> ^п,т)по отношению к задаче
( > о ( т n, Ь ).
Замкнутую форму задачи > о (т, п, Ь) можно найти, анализируя столбцы (диагонали) "справа-налево" треугольников ( ( т, п, Ь ).
В результате получим следующие закономерности:
2 (т, п,1) = т, т > 1;
2(т, п,2) = т(т - 1)(2п-1 -1), т > 2; 2(т,п,3)= т(т -^(т -2) (3п-1 -2. 2п-1 +1), т > 3 ...
Обобщением всех зависимостей является следующая замкнутая форма:
2 (т, п, Ь ) = тСт-| ± (-1)Ь+kCЬ:l1kn-1 = ^' (4)
*=! (т - Ь)!
где ь - числа Стирлинга 2-го рода.
Формула (4) согласуется с рекурсией (2), что можно доказать следующим образом:
(т -1)!
2 (т -1 п Ь )=(тт^ 5п ь :
2(тn,Ь) _ т , Ь < т. (5)
2 (т -1,п,Ь) т - Ь Из формулы (5) следует рекурсия (2).
Список использованной литературы:
1. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. - М.: ФИМА, МЦНМО, 2006. - 400 с.
© Стаценко И.В., 2023
