CC BY
30ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ
1. Беляев Б.Б., Ульяшин А.И., Ковалев Ф.А. Система точного гидирования // Вестник «НПО ИМ. С.А. ЛАВОЧКИНА» 2014. №5. С. 108-119.
2. Аванесов Г. А., Белинская Е. В., Воронков С. В., Строилов Н. А., Катасонов И.Ю., Куделин М.И., Никитин А.В. Использование системы датчиков гида в задачах наведения и стабилизации телескопа Т-170М проекта «Спектр-УФ» // Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса. 2013. Т. 10. № 4. С. 16-23.
3. Шишаков К. В. Теоретические основы, методы, модели и алгоритмы для разработки многосистемных комплексов наведения больших оптических телескопов// Ижевск. 2019. 327 с.
4. Ханов, В. Х., Никитин Д. А. Цифровая обработка сигналов. Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2014. 156 с.
5. Классификация сигналов http://bourabai.kz/signals/ts0108.htm
6. МГТУ им. Н. Э. Баумана Сведения об образовательной организации. Образовательные стандарты. Дата обращения 25.09.2021 https://wwv.bmstu.ru/sveden/eduStandarts/
Olga B. Vergazova,
Candidate of Philosophy, Associate Professor, Department of Mathematical Modeling, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow [email protected] Evgeny A. Korolev,
6-th year student of the Instrument-Making Faculty, Moscow State Technical University named after N.E.
Bauman, Moscow
evgeniy-alex. korolev@yandex. ru
Olga Yu. Yakusheva,
6-th year student of the Aerospace Faculty, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow
yakushevaoyu@student. bmstu.ru
Sensors for precise guiding. Development of mathematical training of students on the example of solving a specific technical problem
Abstract. The relevance of the problem under study is due to the need to develop and improve the students' skill of applying the theoretical knowledge obtained from the course of higher mathematics, the studied mathematical methods to solving specific technical problems related to future professional activity. In particular, one of such tasks turned out to be the study of precise guidance sensors by students of the specialty 11.05.01 Radio-electronic systems and complexes. Thus, the relevance of the problem under study is due to the need to form and develop the professional and mathematical culture of the future engineer. The content of the article will be interesting for teachers, students, high school students. Key words: higher education standards, mathematical training of students, guiding sensors.
КОМБИНАТОРНЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Аннотация
В статье рассматриваются практические приемы для решения задач теории вероятности с помощью комбинаторики. Рассмотрены основные понятия комбинаторики с примерами, описаны основные законы комбинаторики, проиллюстрированные примерами, предложен алгоритм для решения задач, представлены задачи с подробным разбором решений и задачи для самостоятельного решения. Целью работы является описание особенностей применения методов комбинаторики вычисления вероятностей. Содержание статьи будет полезно студентам, а также преподавателям дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика».
Ключевые слова
комбинаторика, множество событий, вероятность
АВТОРЫ
Виноградова Марина Станиславовна,
кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры математического моделирования ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва, [email protected]
Кандаурова Ирина Евгеньевна,
старший преподаватель кафедры математического моделирования ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва, [email protected]
Ткачева Ольга Сергеевна,
Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, г. Москва,
Введение
В природе и технике все наблюдаемые явления и события можно классифицировать как невозможные, случайные и достоверные. Из названия этих классов интуитивно понятна их суть: невозможные событие - это событие, которое не может произойти никогда, достоверное - произойдет всегда, а случайное может произойти, а может и не произойти. Именно изучение случайных явлений и событий является целью предмета теория вероятностей [1].
Теория вероятностей - раздел математики, занимающийся изучением и анализом закономерностей массовых случайных явлений или событий. Под случайными явлениями будем понимать явления, результаты, или исходы, которых не могут быть определены заранее и происходящими при повторении совокупности определенных условий [2]. Заметим, что при проведении случайного опыта можно выделить некоторое заранее фиксированное множество элементарных, то есть простейших исходов.
Случайным событием называется событие (явление), которое при повторении совокупности условий может либо произойти, либо не произойти. Численную меру объективной возможности того, что событие произойдет называют вероятностью события. Заметим, что при проведении случайного опыта можно выделить некоторое заранее фиксированные множество элементарных, то есть простейших, (неделимый в рамках данного опыта) исходов.
Для успешного освоения материалов курса «теория вероятностей и математическая статистика», и для решения задач определения вероятности случайных событий обучающимся необходимо знать и уметь применять основные правила и формулы комбинаторики.
Комбинаторика - раздел математики, изучающий методы решения задач выбора элементов из некоторого множества и, также составления различных комбинаций элементов множества в соответствии с заданными правилами. В теории вероятностей комбинаторика является инструментом для подсчёта количества различных исходов испытаний при использовании классического определения вероятности.
Авторы статьи ставят перед собой задачу описания особенностей применения методов комбинаторики для вычисления вероятностей.
Методология и результаты исследования
1. 1 Основные понятия комбинаторики
Напомним определения основных понятий теории вероятностей.
Определение 1. Элементарным исходом называется любой простейший (неделимый в рамках данного опыта) исход опыта.
Элементарный исход обозначается буквой ш.
Множество всех элементарных исходов называют пространством элементарных исходов и обозначают буквой П.
Пример пространства элементарных исходов при двукратном подбрасывании монеты (или при однократном подбрасывании двух монет). При двукратном подбрасывании монеты в результате мог, и наконец, выпасть два раза герб (гг), или два раза цифра (цц), или герб и цифра (гц), и наконец, цифра и герб (цг). Таким образом пространство элементарных исходов содержит 4 элемента: П = {о>гг, ^цц, ^гц, ^цг), где через ши обозначают элементарный исход, индекс <г> и <ц> означает выпадение герба и цифры соответственно.
Определение 2. Произвольное подмножество пространства элементарных исходов называют событием.
События обозначают прописными латинскими буквами А, В, С, при необходимости их можно снабдить индексами: Аг, В1, Сз, Оь.
Несколько событий в условиях данного эксперименте образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет одно и только одно из них.
Элементарный исход называется благоприятствующим (благоприятным) событию, если появление этого исхода влечет появление данного события.
Определение 3. Классическое определение вероятности. Вероятностью случайного события Л (Р(А)) называется отношение числа исходов благоприятствующим событию А (пА), к числу всех возможных элементарных событий (п):
ПА
Р(А) =
п
Числовое значение заключено между нулём и единицей:0 < Р(А) < 1.
Вероятность достоверного события Р(АдосТ) = 1, вероятность невозможного события Р(Лневозм) = 0.
Классическое определении вероятности основано на предположении, что пространство элементарных исходов О содержит конечное число равновозможных элементарных исходов и любые два элементарных исхода несовместны.
Определение 4. Элементарные исходы в эксперименте называют равновозмож-ными, если в силу условий проведения эксперименте можно считать, что ни один из них не является объективно возможным, чем другие.
Определение 5. Два события называются несовместными, если при одном испытании их совместное осуществление есть невозможное событие. события совместны если не являются несовместными.
Опыт, удовлетворяющий условию равновозможности элементарных исходов, часто называют также "классической схемой".
Примерами событий могут быть появление цифры "5" при бросании игральной кости, попадание в цель при одном выстреле, выпадение двух решек при бросании двух монет.
Событие называют достоверным, если в результате опыта или эксперимента оно обязательно произойдет, событие называют невозможным если в результате опыта оно не может произойти никогда.
Обычно в задачах по вероятности определить число исходов, благоприятствующих рассматриваемым событиям (пА), и общее число исходов (п) в выражении Р(А) = ^ непосредственным подсчетом достаточно трудно. Поэтому в этих случаях пользуются методами и формулами комбинаторики (теории соединений).
Каждая из формул комбинаторики определяет общее число элементарных исходов в некоторой схеме урн (т.е. в идеализированном эксперименте по выбору наудачу m элементов из п различных элементов исходного множества).
Понятие множества из п различных элементов является одним из основных понятий комбинаторики.
Определение 6. Результат выбора m элементов из некоторого исходного множества, состоящего из п элементов, называется выборкой.
Выборки элементов могут быть упорядоченными или нет, различаться по количеству и составу элементов, присутствию в них повторяющихся элементов или отсутствию таковых.
Определение 7. Выборку из п элементов по т элементов, в которой не учитывается я порядок выбора элементов, называют сочетанием, выборку из п элементов по т элементов, в которой учитывается я порядок выбора элементов, называют размещением. Если рассматривают выборку с возвращением выбранных элементов, то сочетание (размещение) называют сочетание (размещение) с повторениями, а если рассматривают выборку без возвращения элементов, то сочетание (размещение) называют сочетание (размещение) без повторений (или просто сочетанием (размещением)) [3].
Определение 8. Размещение без повторений из п элементов по п элементов называют перестановкой из п элементов.
Приведем без доказательства основные теоремы (правила) комбинаторики [1, 3].
Пусть даны т множеств элементов, А{ - /-е множество, состоящее из щ элементов.
Теорема 1. Правило умножения (основная формула комбинаторики). Общее число N способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества и расставить их в определенном порядке, определяется равенством
N = ЩП2 ...П-т
Теорема 2. Правило сложения (правило суммы)
Общее число N способов, которыми можно выбрать по одному элементу из множества А{ или из множества А¡, равно
N = 41+ п].
Правило суммы можно распространить на т множеств
N = п1+п2 + —+ пт.
Теорема 3. Число размещений (без повторений) из п элементов по п элементов определяется формулой
А™ = п(п — 1) ... (п — т + 1) = п(п — 1) 1 п!
(п — т)(п — т — 1) ...2 • 1 (п — т)! Следствие 1. Число перестановок из п элементов определяется формулой
Р„ = п!
Теорема 4. Число С™ ' сочетаний (без повторений) из п элементов по п элементов определяется формулой
п!
_ _
п т(п — т)!
Замечание. Число С™, называют также биномиальным коэффициентом
Теорема 5. Число размещений с повторениями из п элементов по п элементов определяется формулой
™ = пт.
Теорема 6. Число С™ сочетаний с повторениями из п элементов по п элементов определяется формулой
пт _ пт Сп = ьп+т-1.
Рассмотрим следующую задачу: пусть требуется найти число размещений с повторениями из п элементов по m элементов, в которых первый элемент встречается ровно т1 раз, второй элемент встречается ровно т2 раз, ..., n-й элемент встречается ровно тп раз ( т1 + т2 +... + тп = m ). Число таких размещений обозначим C(mv ...,тп)).
Теорема 7. Число С(т1,...,тп) определяется формулой
т!
C(mv...,mn) = —---
1 т1! ••• тп!
Число C(mv ...,тп) называют также полиномиальным (мультиноминальным) коэффициентом, поскольку оно появляется как коэффициент при слагаемом х™1 ...х™п в разложении функции (х1 + ••• + хп)т по степеням х1, ...,хп.
Формулы для числа размещений и сочетаний можно применять и при решении задач комбинаторики при распределении частиц по ячейкам:
- число способов, с помощью которых можно заполнить п разных ячеек m различимыми частицами, причем в каждой ячейке может находиться не более одной частицы, равно числу А™ размещений из п элементов по m элементов;
- число способов, с помощью которых можно заполнить п различных ячеек m неразличимыми частицами, причем в каждой ячейке может находиться не более одной частицы, равно числу С™ сочетаний из п элементов по m элементов;
- число способов, с помощью которых можно заполнить п различных ячеек m различимыми частицами без ограничения на число попавших в каждую ячейку частиц, равно числу ™размещений с повторениями из п элементов по m элементов;
- число способов, с помощью которых можно заполнить п различных ячеек m неразличимыми частицами без ограничения на число попавших в каждую ячейку частиц, равно числу С™ сочетаний с повторениями из п элементов по m элементов.
Проиллюстрируем применение рассмотренных выше определений и теорем на примерах
Пример 1.1. Каким числом способов можно расставить на полке десять различных учебников?
Pio = 10!.
Ответ: 10!
Пример 1.2. Сколько перестановок можно составить из трех элементов a, b, c?
abc; acb; bac; bca; cab; cba.
Таких способов P3 = 3! = 6.
Пример 1.3. Сколькими способами можно распределить 3 билета в
театр среди 25 студентов?
25!
А25 = -= 25 • 24 • 23 = 13800.
22!
Пример 1.4. Сколько размещений по 2 элемента из трех элементов а, Ь, с можно составить?
аЬ; ас; Ьс; Ьа; са; сЬ.
3!
=1! = 6
Пример 1.5. Сколькими способами можно выбрать для контроля 3 детали из 25 деталей?
25!
С35 = тгттгтгт = 25^24^ 236 = 2300.
3!22!
Пример 1.6. Сколько сочетаний по 2 элемента из трех a, Ь, c можно составить?
аЬ; Ьс; ас.
3!
С2 =- = 3.
3 2! 1!
Пример 1.7. Сколько различных слов можно составить из слова "МИССИСИПИ", переставляя группы?
п1 = 1; п2 = 4; п3 = 3; п7 = 1; п = 9;
9!
р9(1;4;3;1) = йшг! = 2520
Пример 1.8. Сколькими способами можно разместить 8 пассажиров в
трех вагонах?
А8 = 83 = 512 способов.
Пример 1.9. Телефонный номер состоит из семи цифр. Сколько телефонных номеров, содержащих только цифры 2,3,5,7 можно составить?
А74 = 47 = 16384.
Пример 1.10. Сколько размещений с повторениями по 2 элемента из трех элементов а, Ь, с можно составить?
А\ = 32 = 9.
аа; аЬ; ас; Ьа; ЪЪ; Ьс; са; сЬ; сс.
Пример 1.11. Сколькими способами можно выбрать 6 одинаковых или
различных пирожных из 11 видов пирожных?
(11 + 6 — 1)! 16! 16 • 15^14^13 • 12^10!
= --- = - = -= 8008.
11 6!(11 — 1)! 6!10!
Пример 1.12. Из цифр 5, 7, 9 случайным образом составляется семизначный телефонный номер. Найти вероятность события A, что в этом номере цифра 5 встречается один раз, цифра 7 - четыре раза, цифра 9 -два раза.
7!
П = А\ = 31 = 2187; пА = С(1; 4; 2)=^^ = 105;
пА 105 ! ! !
Р(А) = — 0,048
^ 7 п 2187
1.2. Рекомендации по решению задач
При анализе задачи необходимо определить из контекста задачи исходное множество элементов, количество неповторяющихся элементов в нем, или количество классов в каждом из которых есть некоторое число одинаковых, неразличимых между собой элементов (повторения), упорядоченность исходного множества. На следующем этапе анализа - выяснить необходимо ли все исходное множество или какое-либо его подмножество. В случае, если необходимо подмножество, определяем количество элементов подмножества, его упорядоченность и наличие повторяющихся элементов. Последнее может возникнуть в случае, если выбор элементов происходит с их возвратом. После этого анализа можно решить какие законы и формулы комбинаторики нам следует применить.
Анализ задачи можно представить в виде схемы (рис. 1).
Рис 1. Схема выбора формул комбинаторики
Пусть элемент А1 можно выбрать из совокупности объектов к1 способами и элемент Аг можно выбрать кг способами.
Правило умножения используется в том случае, если необходимо вычислить сколькими способами можно выбрать А1 и Аг одновременно, то ААг в можно выбрать к1-к2 способами. Иначе можно сказать, что должны произойти и событие А1 и событие Аг.
Правило сложения используется в том случае, если необходимо вычислить сколькими способами можно выбрать А1 или Аг (но не А1 и Аг одновременно), то А+Аг в можно выбрать к1 + к2 способами. Иначе, должно произойти или событие А1 или событие Аг.
1.3. Задачи с решениями [4-8]
Задача 1. Группа из 11 человек, в том числе Иванов и Петров, располагается за круглым столом в случайном порядке. Найти вероятность того, что между Ивановым и Петровым будут сидеть 3 человека.
Решение. Обозначим событие А - между Ивановым и Петровым будут сидеть 3 человека.
Найдём вероятность события А. Числа п и пА, входящие в эту формулу, получим, воспользовавшись формулами теории соединений. Всего имеется 11 элементов -11 человек. В образовании различных соединений (то есть в распределении людей за столом) участвуют все 11 элементов, различные соединения отличаются друг от друга только порядком элементов; следовательно, эти соединения представляют собой перестановки из 11 элементов. Таким образом, общее число исходов испытания п =
Рц .
Если места Иванова и Петрова зафиксированы, например, места 1 и 5, а между ними должно сесть 3 человека, то число различных способов разместить людей на остальные 9 мест равно Р9 = 9!. Общее число способов, благоприятствующих событию А, в 11 раз больше, т.е. равно т = 11 • 9!, поскольку имеется 11 различных способов посадить Иванова и Петрова так, чтобы между ними было 3 человека (Иванова и Петрова можно посадить на места 1и 5, или 2 и6, или 3 и 7 и т.д. до мест11 и 4).
Вероятность события А равна
р № = -лг^
то есть не зависит от числа человек, которые будут сидеть между Ивановым и Петровым.
Задача 2. Какова вероятность того, что в трёхзначном числе, наудачу выбранном из таблицы случайных чисел,
а) все цифры одинаковые;
б) содержится одна цифра 5, а две другие -различные, причём среди них нет цифры 0?
Решение. Рассмотрим события:
А -в наудачу выбранном трёхзначном числе все цифры одинаковые;
В -в наудачу выбранном трёхзначном числе имеется одна цифра 5, а две другие -различные и среди них нет цифры 0.
а) Имеется 900 трёхзначных чисел (от 100 до 900) и 9 трёхзначных чисел, составленных из одинаковых цифр (это числа 111, 222, ... , 999), поэтому общее число исходов испытания равно п = 900, а число исходов испытания, благоприятствующих событию А, равно т = 9. Вероятность события А равна
пА 9
Р(А) = — = = 0, 01.
^ 7 п 900
б) Имеется 900 трёхзначных чисел, поэтому при определении вероятности события В общее число исходов испытания п = 900. Найдём число т исходов испытания, благоприятствующих событию В. Варианты, благоприятствующие событию В, схематически представлены на рис. 2.
{|5| ® {®|5|®} {®®|5|}
Варианты первого вида Варианты второго вида Варианты третьего вида
Рис.2.
Цифра 5 в трёхзначном числе может занимать одно из трёх возможных мест. В исходах испытания, относящихся к вариантам первого, второго и третьего видов, цифра 5 стоит соответственно на первом, втором и третьем местах. В вариантах первого вида два свободные места могут быть заняты какими-либо двумя цифрами из оставшихся 8-ми (по условию цифра 0 исключается). Число благоприятных способов, которыми могут быть заняты эти два места, равно А1 -числу размещений из 8-ми элементов по два, так как в каждое соединение входит 2 элемента из восьми имеющихся и соединения отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком (порядок элементов важен). Применив формулу (3), вычислим: А1 = 8 • 7 = 56. В каждом из вариантов второго и третьего видов число благоприятных способов, которыми могут быть заняты свободные два места, также равно А%. Таким образом, число исходов испытания, благоприятствующих событию В равно пв = 1 • А1 = 1 • 56 = 168.
Вероятность события В равна
пв 168
Р (В) = —= - « 0,1867.
у ' п 900
Задача 3. В зрительном зале забронировано 10 мест для приглашённых гостей. Пришли 7 приглашённых. Найти вероятность того, что четверо из пришедших гостей займут определённые места для каждого из них места, если гости занимают места случайным образом.
Решение. Обозначим событие: А - 4 пришедших гостя займут определённые для каждого из них места.
Вероятность события А найдём по формуле классического определения вероятности. Числа пА и п, входящие в эту формулу, получим, воспользовавшись формулами теории соединений.
Имеется 10 элементов -10 забронированных в зрительном зале мест. Эти элементы представлены на рис. 3, они помечены номерами от 1 до 10. На рис. 3 показан один из возможных вариантов размещения 7-ми человек на 10-ти забронированных местах. Свободные места изображены символами 0; места, занятые четырьмя гостями из семи пришедших изображены символами • а занятые остальными тремя из семи пришедших - символами 0.
0 0 е • • • • 0 е ©
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Рис. 3.
Общее число п исходов испытания найдём, исходя из следующего рассуждения. Всего имеется 10 элементов (10 забронированных мест в зале). Составляют соединения, в каждое из которых входят 7 элементов (7 занимаемых пришедшими гостями мест). Соединения отличаются друг от друга как самими элементами, так и порядком этих элементов; в рассматриваемом случае порядок элементов существенен для подсчёта различных вариантов соединений. Следовательно, рассматриваемые соединения представляют собой размещения из 10 элементов по 7. Получим п = А[0 = 10 • 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4.
Число пА исходов испытания, благоприятствующих событию А, найдём, принимая во внимание следующее. Если 4 человека занимают определённые для каждого из них места, то есть они сядут на забронированные для них места и при этом в определённом порядке (например, на места 4, 5, 6, 7, как это показано на рис.8), то оставшиеся 3 человека могут занимать остальные 6 мест. Итак, составляем соединения из 6-ти элементов, в каждое из этих соединений входят 3 элемента. Соединения отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком; в рассматриваемом случае порядок элементов важен для подсчёта различных вариантов соединений. Следовательно, рассматриваемые соединения представляют собой размещения из шести элементов по три. По формуле (3) получим:
пА = А\ =6 • 5 • 4.
Искомая вероятность события А равна
пА А6 6 • 5 • 4 1
р(й~) = — =_6 • 17 =_ = _
^ п А\0 5040'
Задача 4. Из пяти букв разрезанной азбуки составлено слово <книга>. Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность р того, что у него снова получилось слово книга.
Решение. Все буквы в слове <книга> разные, переставить пять букв можно 5! способами, Число исходов испытания, благоприятствующих событию пА = 1, общее число п = 5!
11
Р =77 =
5! 120
Задача 5. Тот же вопрос, если было составлено слово "ананас".
Решение. Число случаев п = 6!; число благоприятных случаев уже не один, как в задаче 5, а т = 1!2!, так как повторяющиеся буквы "а"и "н"можно произвольным образом переставлять между собой;
_1!2! _ 1 Р = = 60'
Задача 6. Из полной колоды карт (52 листа, 4 масти) вынимается сразу несколько карт. Сколько карт нужно вынуть для того, чтобы с вероятностью, большей чем 0,50, утверждать, что среди них будут карты одной и той же масти?
Решение. Обозначим Ак наличие среди к вынутых карт не менее двух одной масти.
При к =2: п = С%2 ; т = С}3 • 4; Р (А2) = 12 < 0, 50.
При к =1: п = С32; т = С13 • 4 + С23 • 41; р (Л3) = 0, 602 > 0, 50;
Итак, нужно вынуть к > 1 карт.
Задача 7. N человек случайным образом рассаживаются за круглым столом (Ы > 2). Найти вероятность р того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.
Решение. Общее число случаев п = Ы!; подсчитываем число благоприятных случаев т. Двух лиц А и В можно посадить рядом двумя способами; остальных (Ы -2)! способами;
2Ы(Ы - 2)! 2
т = тм -2)!; Р = —-— = ¥-~1.
Эту же задачу можно решить проще: пусть лицо А садится куда угодно, тогда для В остаётся N - 1 место, из них 2 благоприятных;
_ 2
Р = N - 1
Задача 8. Батарея из М орудий ведёт огонь по группе, состоящей из N целей (М<Ы). Орудия выбирают себе цели последовательно, случайным образом, при условии, что никакие два орудия стрелять по одной цели не могут. Найти вероятность р того, что будут обстреляны цели с номерами 1,2, ...,М.
Решение. Число способов, которыми можно распределить М орудий по N целям, равно п = Ы(Ы - 1)...(Ы - М + 1) (число размещений из N элементов по М ). Число благоприятных случаев (при которых обстреливаются только первые М целей)
М! 1
Пл = М! • Р = --=
л " Ы(Ы -1)...(Ы - М + 1)' с™
Задача 9. Четыре шарика случайным образом разбрасываются по четырём лункам; каждый шарик попадает в ту или другую лунку с одинаковой вероятностью, независимо от других (препятствий к попаданию в одну и ту же лунку нескольких шариков нет). Найти вероятность того, что в одной из лунок окажется три шарика, в другой один, а в двух остальных лунках шариков не будет.
Решение. Общее число случаев п = 44.
Число способов, которыми можно выбрать лунку, где будет один шарик, С1 = 1. Число способов, которыми можно выбрать лунку, где будут три шарика, = 4. Число способов, которыми можно выбрать из четырёх шариков три, чтобы положить их в первую лунку, = 4.
Общее число благоприятных случаев
пА = 1^ 4^4
Вероятность события:
_Пд _4 • 1 • 4 _ 1
Р =~п = 44 =16.
Задача 10. В отделение связи поступило 4 телеграммы; всего имеется четыре канала связи. Телеграммы случайным образом распределяются по каналам; каждая телеграмма с одной и той же вероятностью передаётся по любому из четырёх каналов. Найти вероятность события А = {на один из каналов попадут три телеграммы, на другой -одна телеграмма, а два оставшихся канала будут не загружены}.
Решение. Общее число случаев п = 44.Число способов, какими можно выбрать один канал, на который попадёт три телеграммы, = 4; число способов, какими можно выбрать канал, на который попадёт одна телеграмма СЦ = 3. Число способов, какими модно выбрать из четырёх телеграмм три, чтобы направить их в один канал, С4 = 4. Общее число благоприятных случаев пА = 4 • 3 • 4 .
_ пА _ 4 • 3 • 4 _ 3
Р (Л) = — = 44 = 16'
Задача 11. М телеграмм случайным образом распределяются по N каналам
связи (Ы > М). Найти вероятность события А = {на каждый канал придётся не больше одной телеграммы}.
Решение. Общее число случаев Ым . Число способов, какими можно выбрать М каналов из Ы, чтобы направить на них по одной телеграмме, равно С™ . Число способов, какими можно выбрать из М телеграмм одну и направить её в первый из отмеченных каналов, равно С^ = М; число способов, какими можно выбрать вторую телеграмму из оставшихся М - 1, равно С1-г = М - 1, и т.д. Общее число благоприятных событию случаев будет пА = М(М - 1)...1= М!.
Р(А) =
• М!
мм ■
Задача 12. В урне имеется к шаров, помеченных номерами 1,2,...,к. Из урны I раз вынимается по одному шару (I < к), номер шара записывается и шар кладётся обратно в урну. Найти вероятность того, что все записанные номера будут различны.
Решение. Число случаев п = к1. Число благоприятных случаев равно числу размещений из к элементов по I, т.е. пА = к(к - 1)...(к - I + 1). Вероятность события
_пА _к(к - 1)...(к - I + 1) _ к!
Р =~= к1 = к1(к - I)!
Задача 13. В урне а белых и Ъ чёрных шаров. Два игрока поочерёдно вынимают из урны по одному шару, каждый раз вкладывая его обратно и перемешивая шары. Выигравшим считается тот, кто раньше вынет белый шар. Найти вероятность события А, что выиграет первый игрок (тот, кто вынимал шар первым).
Решение. Выигрыш первого игрока может осуществиться или при первом же вынимании (р(А1) = или при третьем, для этого первые два вынимания должны
дать чёрные шары, а третье -белый, (р(А3) = и т.д. Для определения
вероятности события А применим правило сложения (теорема 2).
2 00 2к а ( Ъ \ а а а ^ / Ь \
р (А)= -Г + (-Г) -г +...+-т+... =-г> (-г) =
а + Ь \а + Ь/ а + Ь а + Ь а + Ь ¿—1 \а + Ы
к=0
а 1 а + Ь
а + Ь 1 _ / ь \2 а + 2Ь'
\а+ь)
1
(очевидно, Р (Л) > - при любых а и Ь).
Задача 14. В урне два белых и три чёрных шара. Два игрока поочерёдно вынимают из урны по шару, не вкладывая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найти вероятность Р события А, что выиграет первый игрок.
Решение. Выигрыш первого игрока может осуществиться или при первом же вынимании (р(А1) = или при третьем, для этого первые два вынимания должны
дать чёрные шары (Р(А3) = 2+3' 2+2' 2 + i)'
2 3 2 2 3
Р (Л)= 5 + 5 4 3= 3
Задача 16. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных,
наудачу извлекают три изделия для контроля. Найти вероятности следующих событий: А={в полученной выборке ровно одно изделие бракованное}, В={в полученной выборке нет ни одного бракованного изделия}.
Решение. Пронумеруем изделия числами от 1 до 10, и пусть множество номеров Е1 = {1,2, ...,7} соответствует годным изделиям, множество номеров Е2 = {8,9,10} -бракованным изделиям.
Согласно описанию эксперимента производится выбор без возвращения и без упорядочивания трёх элементов из множества Е = E1\jE2 = {1,2, ...,10}. Поэтому п = С30 = 120.
Событию A благоприятствуют только такие исходы, когда один элемент выборки принадлежит Е2, а остальные два элемента - множеству Е1. По формуле прямого произведения множеств получаем, что число всех таких исходов пА = • С? = 63, поэтому
пА 21 к J п 40
Событию B благоприятствуют только такие исходы, когда все три отобранных элемента принадлежат множеству Е1, поэтому пв = С? = 35. Отсюда следует, что
пв 7
v J п 24
1.4. Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Набирая номер телефона, вы забыли последнюю цифру и набрали её наугад. Какова вероятность того, что набрана нужная вам цифра? Ответ: 0,1.
Задача 2. В ящике лежат 100 одинаковых на ощупь шаров: 10 -зелёных, 30 -красных, 60 - синих. Из ящика вынули наудачу один шар. Найдите вероятность того, что вынутый шар: 1) зелёный; 2) не красный.
Ответ: 0,1; 0,7.
Задача 3. В ящике лежат 100 одинаковых на ощупь шаров: 20 - зелёных, 30 -красных, 50 - синих. Из ящика вынули наудачу один шар. Найдите вероятность того, что вынутый шар красный или синий.
Ответ: 0,8.
Задача 4. В урне 10 одинаковых на ощупь шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 4?
Ответ: 0,4.
Задача 5. В урне 10 одинаковых на ощупь шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара больше 7?
Ответ: 0,3.
Задача 6. Из слова "математика" выбирается наугад одна буква. Какова
вероятность того, что это будет буква "м"?
Ответ: 0,2.
Задача 7. Из слова "математика" выбирается наугад одна буква. Какова
вероятность того, что это будет согласная буква?
Ответ: 0,5.
Задача 8.
Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают 7 костей. Какова вероятность, что среди них окажется по крайней мере одна кость с шестью очками?
Ответ: 0,932.
Задача 9.
Из десяти первых букв русского алфавита наудачу составляется новый алфавит, состоящий из пяти букв. Найти вероятности следующих событий: А = {в состав нового алфавита входит одна буква а}, В = {в состав нового алфавита входят только согласные буквы}.
Ответ:
1 1 2 ; 42
Задача 10.
Из урны, содержащей тг + т2 шаров, из которых тг белых и т2 чёрных, наудачу отбирают т шаров (т < т1п(т1,т2)) и откладывают в сторону. Найти вероятности следующих событий: А={все отложенные шары белые}, В={среди отложенных шаров ровно к белых; к < т}.
Ответ:
рт
пт
ит1 + т2
Задача 11.
Из полной колоды карт (52 карты) вынимают сразу п карт (п < 52); одну из них смотрят; она оказывается тузом, после чего её смешивают с остальными вынутыми. Найти вероятность того, что при втором вынимании карты из этих п мы снова получим туз. Ответ:
1 п-1 3
Р (Л) = т +
п п 51 Заключение
В статье продемонстрированы основные приемы решения задач теории вероятностей с использованием комбинаторики. Приведены определения основных понятия комбинаторики, предложена общая схема решения задач с использованием классического определения вероятности и применением методов комбинаторики. В работе рассмотрены задачи с подробным разбором решений, а также задачи для самостоятельного решения с ответами.
ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ
1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М., Высш.шк., 2003.- 479 с
2. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов /. — 2-е изд., пере-раб. и доп. — М. : ЮНИТИ, 2006. — 573 с. — (Высшее образование).
3. Печинкин А.В., Тескин О.И., Цветкова Г.М. Теория вероятностей.
4. Учебное пособие для вузов под редакцией В.С. Зарубина, А.П. Крищен-
5. ко, М., Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана; 2001; 311 с.
6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей, М., Наука, 2001, 564 с.
7. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятно-стей., М., Радио и связь, 1983, 416 с.
8. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей к математическй статистике, М., Высшая школа, 1998, 400 с.
9. Золотаревская Д.И., Наискамова Е.В., Ульянова Н.И. Сборник за-дач по теории вероятностей, М., Изд-во МСХА, 1997, 253 с.
10. Сборник задач по математике для втузов. Часть 3. Теория вероят-ностей и математическая статистика под редакцией А.В. Ефимова, М., Наука, 1990, 428 с.
Marina S. Vinogradova,
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow m-s-vinogradova@yandex. ru
Irina E. Kandaurova,
Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow
Olga S. Tkacheva,
Institute of Control Sciences V.A. Trapeznikov Academy of Sciences, approved by the Presidium of the Russian Academy of Sciences, Moscow tkolgal [email protected]
Combinatorial method for calculating probabilities
Abstract. The article discusses practical techniques for solving problems of probability theory using combinatorics. The basic concepts of combinatorics with examples are considered. The basic laws of combinatorics are described, illustrated by examples. An algorithm for solving problems is proposed, problems with a detailed analysis of solutions and problems for independent solution are presented. The aim of the work is to describe the features of the application of methods of combinatorics for calculating probabilities. The content of the article will be useful for students and teachers of the discipline "Probability theory and mathematical statistics".
Key words: combinatorics, set of events, probability.
ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ КВАДРОКОПТЕРА НА ОСНОВЕ MATLAB SUPPORT PACKAGE FOR PARROT DRONES1
Аннотация
Обычно пользователь управляет квадрокоптером прилагаемым к нему пультом или со смартфона, используя специально разработанные производителем приложения. Возможности управления при этом сильно ограничены набором некоторых стандартных встроенных функций. Однако, в процессе обучения у студентов может возникнуть необходимость управлять квадрокоптером или группой квадрокоптеров с использованием персонального компьютера. В этом случае удается задавать сложные последовательности из заранее разработанных команд или реализовывать свои собственные законы управления. Однако, для этого требуются дополнительные знания о том какие модели квадрокоптеров выбрать для экспериментов, какие программы и операторы использовать, как установить соединение компьютера с квадрокоптером по Wi-Fi и т.п. Статья посвящена рассмотрению указанных вопросов и может быть полезна студентам, интересующимся механикой и управлением подвижными объектами, а также преподавателям при организации лабораторных работ, связанных с управлением квадрокоптерами.
Ключевые слова
квадрокоптер, matlab, образование, практические занятия, Parrot Drones
АВТОРЫ
Глазков Тимур Владимирович,
математик лаборатории механики систем, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН; аспирант кафедры математического моделирования ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет
им. Н. Э. Баумана»;
ассистент департамента механики и процессов управления, Инженерная академия ФГАОУ ВО «Российский университет дружбы народов», г. Москва
1 Публикация выполнена при поддержке Программы стратегического академического лидерства РУДН.
