CC BY
11Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2023. Том 30, № 2
УДК 517.9
ЗАДАЧА О Т-ОБРАЗНОМ СОПРЯЖЕНИИ ДВУХ ТОНКИХ ВКЛЮЧЕНИЙ ТИМОШЕНКО В ДВУМЕРНОМ УПРУГОМ ТЕЛЕ Т. С. Попова
Аннотация. Исследуется задача о равновесии двумерного упругого тела, содержащего два контактирующих тонких включения прямолинейной формы. Включения являются упругими и моделируются в рамках теории балок Тимошенко. Включения пересекаются под прямым углом, и одно из включений отслаивается от упругой матрицы, образуя трещину. Задача ставится как вариационная, при этом получена полная дифференциальная формулировка в виде краевой задачи, в том числе в общей точке включений выписаны условия сопряжения. На берегах разреза задаются граничные условия вида неравенств. Доказана эквивалентность вариационной и дифференциальной постановок задачи при условии достаточной гладкости решений. Обоснован предельный переход по параметру жесткости одного из включений.
Б01: 10.25587/SVFU.2023.88.57.004
Ключевые слова: вариационное неравенство, включение Тимошенко, тонкое упругое включение, трещина, условия непроникания, нелинейные граничные условия, задача сопряжения.
1. Введение
Задачи о сопряжении тонких включений в упругом теле могут возникать при моделировании деформирования композитов с тонкими хаотично расположенными короткими волокнами. При этом концентрации напряжений, возникающие вблизи тонких включений, осложнены проблемой контакта между включениями, а также их возможным отслоением от упругой матрицы. Задачи сопряжения актуальны с математической точки зрения и требуют корректного обоснования, а также с точки зрения приложений, некоторые примеры и теоремы можно найти в [1]. Одним из подходов при математическом моделировании тонкого упругого включения является использование моделей тонких упругих балок (см., например, [2-6]). Тогда постановка задачи о равновесии системы, состоящей из упругого тела с расположенными в нем контактирующими тонкими включениями, приводит к изучению контактного взаимодействия тел разных размерностей (двумерная упругая матрица и тонкое одномерное включение), а также сопряжения двух и более включений. В работах [7, 8] исследованы
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 23-2100469), https://rscf.ru/project/23-21-00469/ .
© 2023 Попова Т. С.
задачи о сопряжении тонкого включения Тимошенко с другими видами тонких включений при их концевом контакте, т. е. при расположении включений на одной прямой. Задачи о Т-образных сопряжениях включений Бернулли — Эйлера и тонких жестких включений рассмотрены в [9,10]. В настоящей работе рассматривается задача об ортогональном Т-образном сопряжении двух тонких упругих включений, моделируемых в рамках теории балки Тимошенко и расположенных в двумерном упругом теле. Изучены случаи отслаивания одного из включений и случай без отслоения. Одной из целей исследования является получение условий сопряжения в точке контакта. Полученные условия сравнивались с известными соотношениями для контактирующих балок и стержней, а также с условиями, характерными для различных дефектов балок таких, как трещины и разрезы [11—16]. Отслоение включения моделируется как трещина, на одном из берегов которой прикреплено тонкое включение. На берегах трещины задаются краевые условия типа неравенств, исключающие взаимное проникание точек противоположных берегов трещины друг в друга. Нелинейность данного вида граничных условий приводит к необходимости привлечения методов вариационных неравенств для исследования поставленной задачи. С помощью этого метода получен полный вид краевой задачи и показано, что дифференциальная и вариационная формулировки являются в определенном смысле эквивалентными. Отдельно рассмотрена задача с параметром, характеризующим жесткость одного из включений. Доказано, что при стремлении данного параметра к бесконечности упругое включение переходит в тонкое жесткое, приведено точное обоснование предельного перехода. Для случая включений без отслоения задача минимизации функционала энергии ставится на всем пространстве, а не на множестве, определяемом с помощью нелинейных граничных условий, как в случае с трещиной отслоения. Вариационная формулировка в случае неотслоившегося включения имеет вид уравнения.
Формулировки различных задач о трещинах и основные подходы для их изучения подробно изложены в [17,18]. Отметим, что указанный подход применим и для задач о равновесии неупругих тел с трещинами [19-23], а также позволяет строить алгоритмы численного решения, соответствующие результаты для модели одного включения Тимошенко можно найти в [24]. Модели тонких жестких включений, в том числе корректность постановок, численное моделирование, случаи взаимодействия жестких включений изучались в [2529]. Сопряжение упругих объектов разных размерностей изучались в [30], задачи сопряжения балок и пластин — в [31-33].
Рассмотрим ограниченную область О С К2 с липшицевой границей Г, при этом Г = Гд и Гдг, ГдП Гдг = 0- Единичный вектор нормали к Г обозначим через п. В области О рассмотрим пересекающиеся линии 7 и 73, где 7 = 71 и 72 и {(0, 0)}, 71 = (-1, 0) х {0}, 72 = (0,1) х {0}, 73 = {0} х (-1, 0). При этом будем считать, что (7 и 73) С О. Введем обозначение для области с разрезом:
2. Постановка задачи
Рис.1. T-образное сопряжение тонких включений.
Область задает форму двумерного тела из упругого материала, линии 7 и 7з соответствуют двум сопрягающимся включениям. Поскольку точка сопряжения является внутренней для включения 7, то постановка задачи включает отдельные части 71 и 72 для этого включения, которые будем рассматривать как отдельные включения, соединенные между собой в условиях идеального сцепления. Тело закреплено по краю вдоль кривой Гд и испытывает внешние нагрузки на rN.
Считаем также, что область с помощью кривых S и S может быть разбита на подобласти О/, I = 0,1, 2, с липшицевыми границами таким образом, чтобы выполнялись условия 7 С S, 73 С S, (0, 0) G dS, meas(dO/ П Гд ) > 0, I = 0,1, 2. Единичные векторы нормали и касательной к S и S обозначим через v = (v1;v2) и т = (v2, — v1). Заметим, что
= ( (0,1) на y, = ( (1,0) на 7, V =1(1, 0) на 7з, Т =1(0, —1) на 73.
Будем считать, что горизонтальное включение 7 отслаивается от упругой матрицы с образованием трещины. При этом разрез, соответствующий трещине, имеет два берега 7 + и y-, и включение остается прикрепленным к нижнему берегу y-. Вертикальное включение y3 не имеет отслоений.
Пусть вектор-функция u = (u1,u2) задает перемещения точек тела Ос, при этом щ соответствует перемещениям вдоль оси xi, i = 1, 2. Для компонент тензора деформаций и тензора напряжений тела введем следующие формулы:
£ij(u) = + uj, г)' г,.7 = 1,2, о-у = aljklekl, i,j,k,l= 1,2,
где = J^-. Коэффициенты а^ы{х), i,j,k,l = 1,2, — компоненты тензора модулей упругости A, удовлетворяющие условиям
aijkl — ajikl — aklij,
aijklЫiij > cq|£|2 yÇj = j,
где c0 — положительная постоянная. Всюду в тексте по повторяющимся индексам предполагается суммирование.
Тонкие упругие включения y и 73 моделируются в рамках теории тонкой балки Тимошенко. Для описания модели данных включений Тимошенко введем вектор-функции = (w(/), v(/), ¥(/)), I = 1, 2, 3, где w(/) и v(/) —перемещения точек оси включения 7/ вдоль осей ж1 и ж2 соответственно, ¥(/) — угол поворота нормального сечения 7/. Поскольку включение 7 отслаивается от упругой матрицы с образованием трещины, перемещения точек на противоположных берегах разреза 7 могут не совпадать. Для значений некоторой функции £ на берегах 7+ и y- введем обозначения с верхним индексом: £+ и £-, также введем обозначение для скачка функции на берегах разреза: [£] = £+ -£-. Аналогичное обозначение будет использовано и для скачка на y3 . Горизонтальное включение отслаивается от берега y + и прикреплено к берегу yпоэтому на y- задаются условия склейки перемещений точек тела и включения: u— = w(/), u— = v(/) на y/ , I = 1, 2. Вертикальное включение не отслаивается, поэтому на y3 выполнены условия u1 = w(3), u2 = v(3). В дальнейшем все функции, заданные на yi, Y2, будем отождествлять с функциями одной переменной x1, а функции, заданные на Y3, — с функциями переменной ж2.
Вначале приведем дифференциальную формулировку рассматриваемой задачи о равновесии двумерного упругого тела, содержащего сопрягающиеся тонкие упругие включения. Для заданной на IN функции f = (/1;/2) внешних нагрузок найти в поле перемещений u = (u1;u2) точек тела и тензор напряжений g = {Gj(u)}, i,j = 1, 2, кроме того, на Y/ найти функции = (w(/) ,v(/),¥(/)), I = 1, 2, 3, такие, что выполнены уравнения равновесия
— div <г = 0 в (1)
и краевые условия на внешней границе:
u = 0 на Го, G(u)n = / на rN, (2)
где Gn = (a1j nj, g2j nj), j = 1, 2. На Y1, Y2 и Y3 выполняются уравнения равновесия, соответствующие модели упругой балки Тимошенко:
-wg = [gt], -vg — = [Gv], -<¥,n + + ¥(/) = 0 на Y/, I = 1, 2, (3)
v(232 = G], -wg - ^ = [Gv], + w(23) + ¥(3) = 0 на Y3, (4)
где gv = (G1jVj, G2jVj), gv = GjjVjv¿, gt = (gv)t, i,j = 1, 2. Скачки [gv] и [gt] нормальных и касательных напряжений в правых частях уравнений (3) и (4) выражают воздействие на балку окружающей упругой среды. В концевых точках включений, кроме точки сопряжения (0, 0), выполняются граничные условия, соответствующие условиям свободных концов балки:
wJ/' = vJ0 + ¥(/) = ¥(/' = 0 при Х1 = (-1/, I =1, 2, (5)
V,(23) = W(23) + ¥(3) = =0 при Х2 = -1. (6)
Кроме того, на Y1, Y2 и Y3 задаются условия склейки перемещений точек упругого тела и включений:
u— = w(/), u— = v(/) на Y/, I =1, 2, u1 = w(3), u2 = v(3) на y3- (7)
Следующая группа условий составляет систему условий сопряжения в точке контакта включений:
ад(1)(0) = ад(2)(0) = ад(3)(0), «(1)(0) = «(2)(0) = «(3)(0), ^(1)(0) = ^(2)(0), (8) ^,(23)(0) + ^(3)(0) = ад^ (0) - (0), «(23)(0) = ^2)(0) - ^(11}(0), (9)
^!!'(0) = ^(2)(0), <Л(23)(0) = 0. (10)
Из условий (8) следует совпадение горизонтальных и вертикальных перемещений всех включений, а также углов поворота для 71 и 72. Угол поворота 73 не участвует в условиях сопряжения (8), поскольку в точке сопряжения включения 7 и 73 не соединены. Случай идеального сцепления между включениями 7 и 73 требует отдельного рассмотрения. Условия (9) характеризуют соотношения для продольных и поперечных сил для 71, 72 и 73. Условия (10) показывают, что изгибающие моменты 71 и 72 также совпадают, в то время как изгибающий момент 73 в точке сопряжения равен нулю. Кроме того, на 7 выполнен стандартный набор краевых условий, описывающих возможный контакт берегов трещины, включая условие их взаимного непроникания (первое из представленных соотношений):
М^ > 0, < 0, (Г+ =0, = 0 на 7. (11)
3. Вариационная формулировка задачи
Введем обозначения
X = (и,^(1)^(2),^(3)), Н^(Ос)2 = {и е Н 1(Ос)2 | и = 0 на Го} и рассмотрим пространство
Н = {х | и е Нъ (Пс)2; ) е Н 1(7/)3, I = 1,2, 3}. Множество допустимых функций определим следующим образом: К = {х е Н | и- = ад(/), и- = -у(/) на7/, I = 1, 2,
и1 = ад(3), и2 = «(3) на73, [и]^ > 0 на 7, <^(1)(0) = <^(2)(0)}.
Краевую задачу (1)—(11) можно сформулировать в вариационной форме как задачу минимизации функционала энергии
п(х) = \ J <?{и)е{и) ¿х- ! ¡и ¿в
г\
2
2
и
+ £ / (Й3))2 + + К(23) + йз
73
на множестве К. Здесь принято обозначение о"(и)е(и) = (и)е^-(и), г,^ = 1, 2.
Для вектор-функций £ = (р, д,г), £ = (р, д,г), а также ф = (к,1,т), ф = (к,1,т) введем в рассмотрение следующие билинейные формы:
=Р,1Р,1 + (9д +Г)(Я,1
ф) = 1^,2 + т,2гп,2 + (к,2 + т)(кг2 + т).
В принятых обозначениях функционал энергии можно выписать в следующем виде:
п(х) = \ J <г{и)е{и) ¿х-! /и ¿в
Г«
2
1=1 II 13
Таким образом, вариационная формулировка состоит в следующем: найти элемент х € К, доставляющий минимум функционалу П:
П(х)=_ш£ П(х). (12)
хек
Задача (12) имеет единственное решение, удовлетворяющее вариационному неравенству [2]:
X € К : У <г(и)е(и — и) ¿х
2
+ У2 / /ф(^(3),?(3) -ф^гЬ
1 1Ц 13
>У/(й-и)^ Ух=(й,ф(1\ф(2\ф(3))£К. (13) г«
Докажем следующее утверждение.
Теорема 1. Задача (1)—(11) эквивалентна вариационному неравенству (13) при условии достаточной гладкости решений.
Доказательство. Пусть выполнены все соотношения (1)—(11). Возьмем X € К и умножим уравнение (1) на и — и, уравнения (3) на — к/7', гТ^' — у(1)у тр(Л _ / = 1,2, а уравнения (4) - на гТ(3) - у<-3\ Ш(-3) - иД3', -
соответственно. Проинтегрируем первое из полученных равенств по , а остальные — по 71, 72, 73, просуммируем их и получим
- I с!1у <т{и){й-и) (-«>$) («7(/) -
Пс 1=1 Ц
+ I- - + I{-<р(Ц + ¿р + <Р{Г>)¥Г> - <Р{Г>)с1^
+ _/ Ы- «(3)) ^ + У (-^22 - г ,2 ) -
73 73
73
1 7/ 7/
+ У (_[ст^(гА)])(гтСз) _ ^ + у[с71ди)](_(з)
/т(и)])(^ ' — V ') йв + у [<г^(и)|(^ ' —
73 73
Применяя интегрирование по частям и учитывая условия (2), (5), (6), (8)-(10), можем записать
J гт(и)е(и — и) ¿в — J /(и — и) йв
гЛ
2
1 17/ 73
где
2
1 =
11 7/ И
- !\ау{и){й-и)} + У(-Ыи)])(гЯ - у(-3У) ¿з
И 73
Для доказательства справедливости вариационного неравенства (13) достаточно показать, что Ь > 0. Действительно, используя в выражении для Ь условия (11), а также свойства элементов % (Е -ЙГ можно переписать Ь в виде
Ь = — У (Т+(и)[Й1 — и\] ¿в — У <т+(и)[Й2] ds + J <т+(и)[и2] Ах > 0.
7 7 7
Таким образом, доказано, что имеет место вариационное неравенство (13).
Обратно, пусть имеет место вариационное неравенство (13). Выбирая произвольную функцию в = (01, в2) е С0"(Ос)2 и подставляя в (13) пробную функцию вида х = (и± 0, >можно получить, что в выполнено уравнение (1). Подставим теперь в (13) пробную функцию вида х = х ± где X = (и, -г/1(1), г/>(2), -г/;(3)) е К такой, что [й2] = 0 на 7. Будем иметь
2
У о(и)е(й) йх + ¿У Ф(^(/),-0(/)) йв ^ Ф (^(3),-0(3)) йв = 1 /и йв.
Интегрируя по частям с учетом (1) и (2), запишем
— ^^ У (и)]"! ^ + У (и)]«2 ¿в) + У [<ГТ (и)]«2 ¿в — J [<Г^ (и)]«1 ¿в
1=1 71 71 73 73
— ¿(/ ) ¿в + 1 („$ + )^ ¿в + 1 «[[ — — «(/))«(/) ¿в) 1=1 71 71 71
— (У ^232 «(3) * + 1 («,(32 + )^(3) +1 (^(32 — — «(3))<«(3) ¿в)
73 73 73
+ + «««м + + ^(1))^(1))Г_1
+ + + (^(!2) + ^(2))^(2))|0
+ („(23)й(3) + «(23)<«(3) + (г(23) + «(3))г(3)) - = 0. (14)
Пусть й = 0 на 7± и 73, а также <й( 1) = 0 на 7/, I =1, 2. Тогда
(1)гй(1)
— у [<гт (и)]и1 ¿в — у [<г^ (и)]и2 — у
1 71
^ + ^й« — I — „1 — <(1)) й(1) ¿в
ад'-, -.'г«^' ¿в
71 71 71
71 71
— (ад^гй^)(—1) — («««й«)(—1) — ((V« + <(1))«(1))(—1) = 0. (15)
Отсюда, предполагая й2 = й(1) = 0 на 7±, <й(1) = 0 на 71, получим первое уравнение из (3) и первое граничное условие из (5) при х1 = —1. Вернемся к (16). Выберем <й(1) = 0 на 71. С учетом уже полученных уравнения и граничного условия можно сделать вывод, что на 71 выполнены второе уравнение из (3) и второе граничное условие из (5) при х1 = —1. Тогда из (16) можно получить также третье уравнение из (3) и третье условие из (5) при х1 = —1.
Рассмотрим снова (15). Возьмем пробные функции такого вида, что й = 0 и <й(3) = 0 на 73. Рассуждая аналогично тому, как и при получении уравнений на 71, можно показать, что на 72 выполнены уравнения (3) и граничные условия (5) в точке х1 = 1.
С учетом полученных уравнений и граничных условий уравнение (15) можно переписать в виде
[<гТ(и)]и2 ¿в — У [<г^(и)]и1 ¿в
73
_(/„2+ /(„» + ««+ / («« — — <(3))<(3)
V»й(3)„ + у („» + «?)^ + ) («» —
73 73 73
+ („(23)«(3) + <(23)<(3) + (г(23) + «(3))гй(3)) |-1 + ^ гй(1))(0) + («У <й(1))(0) + ^„Ц + «(1))й(1) )(0)
- (г^г(2))(0) - («1(2)«(2))(0) - ((^2) + «(2))^(2))(0) = 0. (16) Взяв = «>(3) = 0 на 7з и <>(1)(0) = «>(2) (0) = 0, можем получить отсюда
у К (и)]Й2 - У и(32 «(3) + («|23) «(3) ) |-1
73 73
+ ((^ + «(1))^(1))(0) - ((^2) + «(2))^(2))(0) = 0. (17)
При т7(3) (0) = ■г7(2) (0) = ■гУ(1) (0) = 0 получим первое уравнение из (4) и первое из условий (6). С учетом этих соотношений при т7(1)(0) = ■г7(2)(0) = тТ(3)(0) = 0 и <(1)(0) = «>(2)(0) = 0 из (18) получаем второе из условий сопряжения (9). Возвращаясь к (17), будем иметь
- У к (и)]Й1 - У (г(32 + <(23) )г?(3) - у (<(32 - г(23) - «(3) )<(3)
+ («Ц«(3) + (г(23) + «(3))г^(3)) |-1 + (г«г^(1)) (0) + («Ц<(1)) (0)
- ^й(2))(0) - («(2)<(2))(0) = 0. (18)
Выбирая здесь пробные функции такими, чтобы «>(3) = 0 на 73, г«(1) (0) = г«(2) (0) = г«(3) (0) = 0, а также «>(1) (0) = «(2) (0) = 0, получим второе уравнение из (4) и второе граничное условие из (6). С учетом полученных соотношений из (16) будем иметь
- У («(32 - г(23) - «(3))«<3) * + («23)«<3)) |-1 + ((г(23) + «(3))г^(3))(0)
73
+ (г!г«(1))(0) + «(1))(0) - (г(2)й(2))(0) - («Ц)<(2))(0) = 0. (19)
Выбирая пробные функции такими, что «(3)(0) = 0, а также г«(1) (0) = г«(2)(0) = г«(3) (0) = 0, «(1) (0) = «>(2) (0) = 0, и подставляя их в (19), получим третье уравнение из (4) и третье условие из (6) при ж2 = -1. С учетом этого равенство (19) перепишется в виде
(«23) «(3))(0) + ((г(23)+ «(3) )^(3) )(0)
+ (ш(11)й(1))(0) + ^<(1))(0) - (г(2)й(2))(0) - («(2)<^(2))(0) = 0.
Отсюда следуют условия сопряжения (10) и первое из соотношений (9). Условия (11) могут быть получены стандартным путем, изложенным при доказательстве аналогичных теорем для задач об отслоившемся включении Тимошенко (3). Таким образом, получены все уравнения и соотношения (1)—(11). Теорема доказана.
4. Предельный переход по параметру жесткости
Введем в рассмотрение параметр р > 0, характеризующий жесткость вертикального включения 73, и будем рассматривать семейство задач о сопряжении упругих включений при различных значениях данного параметра. Нашей
целью является обоснование предельного перехода при р ^ го и получение формулировки соответствующей задачи. Рассмотрим функционал энергии вида
1 2
П Р(х) = ^ J (у{и)е{и) Ах - J /и ¿в
Пс Г«
2
+ Ф (Ф(Л,Ф{1))<1з + ^ I Ъ(ф(3\ф(3У)с13
и сформулируем следующую задачу минимизации: найти элемент
Хр = (ир,^Р1),^Р2),^Р3)) € К, доставляющий минимум функционалу Пр:
Пр(хР)= м Пр(х). (20)
хек
При каждом фиксированном р > 0 задача (20) имеет единственное решение, удовлетворяющее вариационному неравенству
ХР € К : J <т(ир)е(и — ир) ¿х Пс
2
+ Е [ нфР^-Ф^^ + р [ /=1
1 171 73
> У /(й-ир)йз Ух€К. (21) г«
Подставим в (21) пробные элементы вида х = 0 и х = 2Хр- Тогда будем иметь
2
У ст(ир)фр) ¿х + ^ У Ф^1),^р/)) ¿в + ^Ф(^Р3),^Р3)) ¿в = 1 /Ир ¿в.
Пс /=171 73 Гм
Отсюда
1К11я1л (Пс)2 < С1, ||^р/)Ун1(Т1 )3 < с2/), I = 1, 2, (22)
р|ф(^р3),^р3)) ¿в < С3, ||^р3)|Я1(73)3 < С (23)
73
при р > р0 > 0. Из (22), (23) следует, что при р ^ го
и
^ й слабо в Н^ (Ос)2, (24)
^ -й(/) слабо в Н 1(7/)3, I = 1, 2,3, (25)
й(23) = 0, <й(3) = 0, гй(23) + <(3) = 0 на 73. (26)
Значит,
«(3) = й1, <«(3) = — й2, г«(3)(ж2) = Й2Ж2 + й3 на 73, (27)
где &1, а2, а3 — постоянные. Определим пространство жестких инфинитези-мальных перемещений
Д(73) = {(г?, а) | г? = а2ж2 + ?3, а = а1 на 73, а» € М, г = 1, 2, 3}
и множество
= = € Я^ (Ос)2 х Я 1(71 )3 х Я 1(72)3 |
и- = , и- = на 7/, I =1, 2; и|7з € Д(73);
[и]^ > Она 7; (0) = ^(2) (0)}.
Из (24), (25), (27) следует, что £ = (й, , ) € Кн. Возьмем далее £ = (й,-г/^ \ ') € Кц и обозначим Щ = Ш^3'1, Й2 = г^3' на 73. Поскольку Ш^3'1 =
_ ,_ _(з1 _ _ /_ -¡"(1) -¡"(2) -¡-(3), -¡-(3) .—/31 _/з1
агжг+аз, ; = ах на 73, элемент % = (и,-(/; ,гр ,гр ),где^у =(и]'- ',У '- ',<р1- ') и = —0,2, принадлежит К и его можно подставлять в качестве тестового в (21). Получим
ХР € К : J <т(ир)е(и — ир) ¿х ос
/=1
1 7/ 73
+ ! ¡{й-ир)йз Ух€К.
73 Гм
Переходя в этом неравенстве к пределу при р го, будем иметь
Ос 1 =7/
> J Дй - и) ¿в е Кк. (28) г«
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 2. При р ^ го решения хр задачи (21) сходятся в смысле (24), (25) к решению задачи (28).
Задача (18) описывает Т-образное сопряжение двух тонких включений в упругом теле Ос, при этом включение 7 — включение Тимошенко, а 73 — тонкое жесткое включение.
5. Включение без отслоения
Если оба включения 7 и 73 не имеют отслоений, дифференциальная постановка задачи имеет следующую форму. Для заданной на Г^ функции / = (/1, /2) внешних нагрузок найти в поле перемещений и = (и1; и2) точек тела
и тензор напряжений <г = |<Гу (и)}, г, ] = 1, 2, кроме того, на 7/ найти функции = (ад(/)), I = 1, 2, 3, такие, что выполнены уравнения и соотношения (1)-(6), (8)-(10), а также условия вида
их = ад(/), и2 = ) на 7/, I =1, 2, 3.
Соответствующая вариационная формулировка задачи о Т-образном сопряжении упругих включений без отслоения состоит в следующем. Найти элемент х, доставляющий минимум функционалу П в пространстве V, имеющем вид
V = {х € Н | их = ад(/), = ) на , I = 1, 2, 3; ^(1)(0) = <^(2)(0)}.
Таким образом, вариационная формулировка имеет вид
П(Х)=Ш П(х). (29)
хеУ
Задача (29) имеет единственное решение, удовлетворяющее уравнению
71 73
= у гайз Ух €1/.
Г«
Приведенные дифференциальная и вариационная формулировки эквивалентны при условии достаточной гладкости решений. Доказательство можно произвести аналогично доказательству теоремы 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984.
2. Itou H., Khludnev A. M. On delaminated thin Timoshenko inclusions inside elastic bodies // Math. Methods Appl. Sci. 2016. V. 39. P. 4980-4993.
3. Khludnev A. M., Leugering G. R. On Timoshenko thin elastic inclusions inside elastic bodies // Math. Mech. Solids. 2015. V. 20, N 5. P. 495-511.
4. Shcherbakov V. V. The Griffith formula and J-integral for elastic bodies with Timoshenko inclusions // Z. Angew. Math. Mech. 2016. V. 96, N 11. P. 1306-1317.
5. Николаева Н. А. О равновесии упругих тел с трещинами, пересекающими тонкие включения // Сиб. журн. индустр. математики. 2019. Т. 22, № 4. С. 68-80.
6. Khludnev A. M., Popova T. S. Timoshenko inclusions in elastic bodies crossing an external boundary at zero angle // Acta Mech. Solida Sin. 2017. V. 30, N 3. P. 327-333.
7. Khludnev A. M., Faella L., Popova T. S. Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22, N 4. P. 737-750.
8. Хлуднев A. M., Попова Т. С. Задача сопряжения упругого включения Тимошенко и полужесткого включения // Мат. заметки СВФУ. 2018. Т. 25, № 1. С. 73-86.
9. Khludnev A. M., Popova T. S. Equilibrium problem for elastic body with delaminated T-shape inclusion //J. Comput. Appl. Math. 2020. V. 376. A. 112870.
10. Khludnev A. M. T-shape inclusion in elastic body with a damage parameter //J. Comput. Appl. Math. 2021. V. 393. A. 113540.
11. Неустроева Н. В., Лазарев Н. П. Задача сопряжения для упругих балок Бернулли — Эйлера и Тимошенко // Сиб. электрон. мат. изв. 2016. Т. 13. С. 26-37.
12. Боган Ю. А. Осреднение неоднородной упругой балки при сопряжении элементов шарниром конечной жесткости // Сиб. журн. индустр. математики. 1998. Т. 1, № 2. С. 67-72.
13. Leugering G., Nazarov S. A., Slutskij A. S. The asymptotic analysis of a junction of two elastic beams // Z. Angew. Math. Mech. 2019. V. 99. Paper No. e201700192.
14. Leugering G., Nazarov S. A., Slutskij A. S., Taskinen J. Asymptotic analysis of a bit brace shaped junction of thin rods // Z. Angew. Math. Mech. 2020. V. 100. Paper No. e201900227.
15. Caddemi S., Calio I., Cannizzaro F. The influence of multiple cracks on tensile and compressive buckling of shear deformable beams // Int. J. Solids Structures. 2013. V. 50, N 20-21. P. 31663183.
16. Palmeri A., Cicirello A. Physically-based Dirac's delta functions in the static analysis of multi-cracked Euler-Bernoulli and Timoshenko beams // Int. J. Solids Structures. 2011. V. 48, Issues 14-15. P. 2184-2195.
17. Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.
18. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.
19. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT Press, 2000.
20. Itou H., Kovtunenko V. A., Rajagopal K. R. Crack problem within the context of implicitly constituted quasi-linear viscoelasticity // Math. Models Methods Appl. Sci. 2019. V. 29, N 2. P. 355-372.
21. Itou H., Kovtunenko V. A., Rajagopal K. R. On the states of stress and strain adjacent to a crack in a strain-limiting viscoelastic body // Math. Mech. Solids. 2018. V. 23. P. 433-444.
22. Попова Т. С. Задача о равновесии вязкоупругого тела с тонким жестким включением // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 1. С. 47-55.
23. Popova T. S. Problems of thin inclusions in a two-dimensional viscoelastic body // J. Appl. Ind. Math. 2018. V. 12. P. 313-324.
24. Rudoy E. M., Lazarev N. P. Domain decomposition technique for a model of an elastic body reinforced by a Timoshenko's beam // J. Comput. Appl. Math. 2018. V. 334. P. 18-26.
25. Khludnev A. M., Leugering G. On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks // Math. Methods Appl. Sci. 2010. V. 33, N 16. P. 1955-1967.
26. Lazarev N. P., Popova T. S., Rogerson G. A. Optimal control of the radius of a rigid circular inclusion in inhomogeneous two-dimensional bodies with cracks // Z. Angew. Math. Phys. 2018. V. 69. Paper No. 53.
27. Рудой Е. М. Численное решение задачи о равновесии упругого тела с отслоившимся тонким жестким включением // Сиб. журн. индустр. математики. 2016. Т. 19, № 2. С. 74-87.
28. Александров В. М., Сметанин Б. И., Соболь Б. В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Физматлит, 1993.
29. Goudarzi M., Dal Corso F., Bigoni D., Simone A. Dispersion of rigid line inclusions as stiffeners and shear band instability triggers // Int. J. Solids Structures. 2021. V. 210-211. P. 255-272.
30. Ciarlet P. Mathematical elasticity: Theory of plates. Amsterdam: Elsevier, 1997.
31. Gaudiello A., Monneau R., Mossino J., Murat F., Sili A. On the junction of elastic plates and beams // C. R. Math. 2002. V. 335. P. 717-722.
32. TiteuxI., Sanchez-Palencia E. Junction of thin plates // Eur. J. Mech., A, Solids. 2000. V. 19, N 3. P. 377-400.
33. Gruais I. Modeling of the junction between a plate and a rod in nonlinear elasticity // Asymptotic Anal. 1993. V. 7. P. 179-194.
Поступила в редакцию 9 .марта 2023 г. После доработки 20 .марта 2023 г. Принята к публикации 29 .мая 2023 г.
Попова Татьяна Семеновна
Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 ptsokt@mail.ru
Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2023. Том 30, № 2
UDC 517.9
THE PROBLEM OF T-SHAPED JUNCTION OF TWO THIN TIMOSHENKO INCLUSIONS IN A TWO-DIMENSIONAL ELASTIC BODY T. S. Popova
Abstract: We consider the equilibrium problem for a two-dimensional elastic body containing two contacting thin inclusions of a rectilinear shape. The inclusions are elastic and are modeled within the framework of the theory of Timoshenko beams. The inclusions intersect at a right angle, and one of the inclusions delaminates from the elastic matrix, forming a crack. The problem is posed as a variational one and a complete differential formulation is obtained in the form of a boundary value problem, including junction conditions at a common point of inclusions. On the edges of the cut, boundary conditions of the form of inequalities are specified. The equivalence of the variational and differential formulations of the problem is proved under the condition of sufficient smoothness of the solutions. The passage to the limit with respect to the stiffness parameter of one of the inclusions is substantiated.
DOI: 10.25587/SVFU.2023.88.57.004
Keywords: variational inequality, Timoshenko inclusion, thin elastic inclusion, crack, non-penetration conditions, nonlinear boundary conditions, junction problem.
REFERENCES
1. Sanchez-Palencia E., Nonhomogeneous Media and Vibration Theory, Springer, New York (1980).
2. Itou H. and Khludnev A. M., "On delaminated thin Timoshenko inclusions inside elastic bodies," Math. Meth. Appl. Sci., 39, 4980-4993 (2016).
3. Khludnev A. M. and Leugering G. R., "On Timoshenko thin elastic inclusions inside elastic bodies," Math. Mech. Solids, 20, No. 5, 495-511 (2015).
4. Shcherbakov V. V., "The Griffith formula and J-integral for elastic bodies with Timoshenko inclusions," Z. Angew. Math. Mech., 96, No. 11, 1306-1317 (2016).
5. Nikolaeva N. A., "On equilibrium of the elastic bodies with cracks crossing thin inclusions," J. Appl. Ind. Math., 13, 685-697 (2019).
6. Khludnev A. M. and Popova T. S., "Timoshenko inclusions in elastic bodies crossing an external boundary at zero angle," Acta Mech. Solida Sin., 30, No. 3, 327-333 (2017).
7. Khludnev A. M., Faella L., and Popova T. S., "Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies," Math. Mech. Solids, 22, No. 4, 737-750 (2017).
8. Khludnev A. M. and Popova T. S., "On junction problem for elastic Timoshenko inclusion and semi-rigid inclusion [in Russian]," Mat. Zametki SVFU, 25, No. 1, 73-89 (2018).
9. Khludnev A. M. and Popova T. S., "Equilibrium problem for elastic body with delaminated T-shape inclusion," J. Comput. Appl. Math., 376, article 112870 (2020).
10. Khludnev A. M., "T-shape inclusion in elastic body with a damage parameter," J. Comput. Appl. Math., 393, article 113540 (2021).
11. Neustroeva N. V. and Lazarev N. P., "Junction problem for Euler-Bernoulli and Timoshenko elastic beams [in Russian]," Sib. Electron. Math. Rep., 13, 26-37 (2016).
© 2023 T. S. Popova
12. Bogan Yu. А., "Homogenization of a nonhomogeneous elastic beam with elements joined by a hinge of finite stiffness [in Russian]," Sib. Zh. Ind. Mat., 1, No. 2, 67-72 (1998).
13. Leugering G., Nazarov S. A., and Slutskij A. S., "The asymptotic analysis of a junction of two elastic beams," Z. Angew. Math. Mech., 99, paper No. e201700192 (2019).
14. Leugering G., Nazarov S. A., Slutskij A. S., and Taskinen J., "Asymptotic analysis of a bit brace shaped junction of thin rods," Z. Angew. Math. Mech., 100, paper No. 201900227 (2020).
15. Caddemi S., Calio I., and Cannizzaro F., "The influence of multiple cracks on tensile and compressive buckling of shear deformable beams," Int. J. Solids Structures, 50, No. 20-21, 3166-3183 (2013).
16. Palmeri A. and Cicirello A., "Physically-based Dirac's delta-functions in the static analysis of multi-cracked Euler-Bernoulli and Timoshenko beams," Int. J. Solids Structures, 48, No. 1415, 2184-2195 (2011).
17. Khludnev A. M., Problems of Elasticity Theory in Nonsmooth Domains [in Russian], Fizmat-lit, Moscow (2010).
18. Lions J. L., Quelques Methodes de Resolution des Problemes aux Limites non Lineaires, Dunod, Paris (1969).
19. Khludnev A. M. and Kovtunenko V. A., Analysis of Cracks in Solids, Southampton; Boston, WIT Press (2000).
20. Itou H., Kovtunenko V. A., and Rajagopal K. R., "Crack problem within the context of implicitly constituted quasi-linear viscoelasticity," Math. Models Methods Appl. Sci., 29, No. 2, 355-372 (2019).
21. Itou H., Kovtunenko V. A., and Rajagopal K. R. , "On the states of stress and strain adjacent to a crack in a strain-limiting viscoelastic body," Math. Mech. Solids, 23, 433-444 (2018).
22. Popova T. S., "The problem of equilibrium of a viscoelastic body with a thin rigid inclusion [in Russian]," Mat. Zametki SVFU, 21, No. 1, 47-55 (2014).
23. Popova T. S., "Problems of thin inclusions in a two-dimensional viscoelastic body," J. Appl. Ind. Math., 12, 313-324 (2018).
24. Rudoy E. M. and Lazarev N. P., "Domain decomposition technique for a model of an elastic body reinforced by a Timoshenko's beam," J. Comput. Appl. Math., 334, 18-26 (2018).
25. Khludnev A. M. and Leugering G., "On elastic bodies with thin rigid inclusions and cracks," Math. Methods Appl. Sci., 33, No. 16, 1955-1967 (2010).
26. Lazarev N. P., Popova T. S., and Rogerson G. A., "Optimal control of the radius of a rigid circular inclusion in inhomogeneous two-dimensional bodies with cracks," Z. Angew. Math. Phys., 69, paper No. 53 (2018).
27. Rudoy E. M., "Numerical solution of an equilibrium problem for an elastic body with a dela-minated thin rigid inclusion [in Russian]," Sib. Zh. Ind. Mat., 19, No. 2, 74-87 (2016).
28. Alexandrov V. M., Smetanin B. I., and Sobol B. V., Thin Stress Concentrators in Elastic Bodies [in Russian], Fizmatlit, Moscow (1993).
29. Goudarzi M., Dal Corso F., Bigoni D., and Simone A., "Dispersion of rigid line inclusions as stiffeners and shear band instability triggers," Int. J. Solids Structures, 210—211, 255-272 (2021).
30. Ciarlet P., Mathematical Elasticity: Theory of Plates, Amsterdam, Elsevier (1997).
31. Gaudiello A., Monneau R., Mossino J., Murat F., and Sili A., "On the junction of elastic plates and beams," C. R., Math., 335, 717-722 (2002).
32. Titeux I. and Sanchez-Palencia E., "Junction of thin plates," Eur. J. Mech., A, Solids, 19, No. 3, 377-400 (2000).
33. Gruais I., "Modeling of the junction between a plate and a rod in nonlinear elasticity," Asymp-
totic Anal., 7, 179-194 (1993).
Submitted March 9, 2023 Revised March 20, 2023 Accepted May 29, 2023
Tatiana S. Popova
Ammosov North-Eastern Federal University, Institute of Mathematics and Informatics, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk, 677000 Russia ptsokt@mail.ru
