Задача о продольных колебаниях стержня с динамическими граничными условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2014■ № 3(114)

МАТЕМАТИКА

УДК 517.95, 624.07

ЗАДАЧА О ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ СТЕРЖНЯ С ДИНАМИЧЕСКИМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

© 2014 А.Б. Бейлин1 Л.С. Пулькина2

В статье рассматриваются одномерные продольные колебания твердого стержня, закрепленного на концах при помощи сосредоточенных масс и пружин. В качестве математической модели используется стержень Рэлея. Доказана однозначная разрешимость задачи.

Ключевые слова: стержень Рэлея, динамические граничные условия, обобщенное решение.

Введение

Колебательные процессы возникают в любой работающей механической системе. Они могут порождаться различными причинами, например, неуравновешенностью деталей вследствие их конструктивных особенностей или силами, возникающими при перераспределении нагрузок между различными элементами штатно работающей конструкции. Наличие в механизме источников колебательных процессов существенно затрудняет диагностику его состояния, а также может привести к нарушению режима его работы, а в некоторых случаях и к разрушению. Различные проблемы, связанные с нарушением точности и даже работоспособности механических систем в результате вибрации некоторых их элементов, приводят к необходимости теоретического изучения процессов колебания этих элементов. Описание распространения волн в относительно длинных и тонких твердых стержнях базируется на математической модели, в основе которой лежит волновое уравнение второго порядка. Такие задачи хорошо изучены и давно стали классикой [1]. Как показано Рэлеем [2, т. I, с. 273-274], эта модель не вполне соответствует исследованию колебаний толстого и короткого стержня, однако многие детали реальных механизмов можно интерпретировать именно как короткий и толстый стержень. Для более точного анализа продольных колебаний в этом случае следует учитывать деформации стержня и в поперечном направлении. Математическая модель продольных колебаний толстого короткого стержня, в которой учтены эффекты поперечного движения стержня, называется стержнем Рэлея.

хБейлин Александр Борисович (abeilin@mail.ru), кафедра АСиИС Самарского государственного технического университета, 443100, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 133.

2Пулькина Людмила Степановна (louise@samdiff.ru), кафедра уравнений математической физики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

1. Постановка задачи

Рассмотрим продольные колебания толстого короткого стержня, которые возбуждаются распределенной силой ](х,Ь). Концы стержня х = 0,х = I прикреплены к неподвижному основанию при помощи сосредоточенных масс Ы\, М2 и пружин, жесткости которых К1 и К2. Будем считать, что стержень представляет собой тело вращения относительно оси 0х. Продольные смещения, подлежащие определению, обозначим и(х,1). Введем еще некоторые обозначения: А(х) — площадь поперечного сечения, р(х) — массовая плотность стержня, Е(х) — модуль Юнга, V(х) — коэффициент Пуассона, 1р (х) — полярный момент инерции.

В монографии [3, с. 158-184] построен Лагранжиан модели стержня Рэлея, применение к которому вариационного принципа Гамильтона приводит после элементарных преобразований к уравнению

, ,д2 и д { . .дй\ д Л. . д3й \ .

а(х)— дх [а(х)дг) — дх [Ь(х)дых) =1 (х>г) (ы)

и граничным условиям

а(0)йя(0,4) + Ь(0)йха(0,г) — К1 й(0,г) — йи(0,г)=0, (1

а(1)йх(1,г) + Ь(1)йха(1,г) + К2 и(1,г) + М2 йа(1,г) = о, (1)

где обозначено

а(х) = р(х)А(х), а(х) = А(х)Е (х), Ь(х) = р(х)у1 (х)1р(х).

Пусть начальное отклонение и начальная скорость колебания стержня известны:

и(х, 0) = ф(х), щ(х, 0) = ф(х). (1.3)

Тогда мы приходим к начально-краевой задаче с динамическими граничными условиями для определения продольных смещений стержня:

найти в Qт = (0,1) х (0,Т), где Т € (0, то), решение уравнения (1.1), удовлетворяющее граничным условиям (1.2) и начальным данным (1.3)

В статье [4] рассмотрены некоторые частные случаи задачи (1.1)—(1.3) в предположении о гармонических колебаниях, что позволило искать решение в виде и(х,1) = Ф(х)вш\ и приведены примеры, в которых коэффициенты уравнения имеют явный вид, в том числе постоянны. Основной же целью нашей статьи является обоснование разрешимости поставленной задачи в общем случае.

2. Разрешимость задачи

Прежде всего из технических соображений сведем начальные условия (1.3) к однородным, что не ограничивает общности, но упрощает многие преобразования. Для этого введем новую неизвестную функцию и(х,Ь), положив и(х,Ь) = = и(х,1) — чл(х,1), где чл(х,1) = ф(х) + Ь-ф(х), что приводит к задаче относительно нее:

найти в Qт решение уравнения

Ьи = а(х) и и — (а(х) и х)х — (Ь(х) иЫх)х = ^ (х,г), (2.1)

удовлетворяющее начальным данным

и(х, 0) = 0, иг(х, 0)=0, (2.2)

и граничным условиям

а(0К(0,*) + Ъ(0)пхи(0,г) - К и(0,г) - Ы1Пгг(0,г) = 91 (г), a(l)ux(l,t) + Ъ(1)пхи(1,Ь) + К2п(1,г) + Ы2ии(1,г) = 92(г), ( • )

где

Г (х,г) = / (х,г) + а(х)(ф'(х) + гф"(х)) + а'(х)(ф'(х) + гф'(х)), 91(х) = К1(ф(0)+ гф(0)) - а(0)(ф'(0)+ гф'(0)) - Ъ(0)ф''(0), 92(х) = -К2(ф(1)+ гф(1)) - а(1)(ф(1)+ гф'(I)) - Ъ(1)ф''(1).

Обозначим

Ш(Ят) = {и : и е ш2,(Ят), иг е ш2,(Ят), Ыхгг е ь2(Ят), и е ш2(Г)}, где Г = Го и Г;, Го, Г;—боковые границы Ят : х = 0 и х = I соответственно,

V(Ят) = {V : V е Ш1(Ят), Ухг е Ь2(Ят)}.

Нормы в этих пространствах определим естественным образом

\\и\\ш = Ыш^дт) + \\иг И^($т) + \\ихн\\1Мт) + IIи II (г),

\П\Ь = Ы^^т) + \^хг\\12(дт )■

Введем понятие обобщенного решения задачи (2.1)—(2.3). Следуя [5, с. 92, 210], т I

из тождества / §(Ъи - Г^¿хсМ = 0 в предположении, что и(х,г) удовлетворяет

оо

уравнению (2.1) и условиям (2.2), (2.3) в классическом смысле, а v(x,г) — гладкая функция, получим в результате интегрирования по частям равенство

т I

/ / (а(х)щ^ + а(х)и^х + Ъыхг^х)

оо

т т

+ / v(0,г)[к1u(0,г) + м1игг(0,г)]аь + / v(l,t)[к2u(l,t) + м2ии(1,г)Цг = (2.4) оо т I т т

= / / Fvdxdt - / v(0,г)91(г)dt - / v(l,г)92 (г) А.

о о о о

Заметим, что все интегралы, входящие в (2.4), существуют и для функций и е е Ш(Ят, v е V(Ят), поэтому его можно использовать для определения обобщенного решения задачи (2.1)—(2.3).

Определение 1. Обобщенным решением задачи (2.1)-(2.3) будем называть функцию и е Ш(Ят), удовлетворяющую начальным данным и(х, 0) = 0, иг(х, 0) = = 0 и тождеству (2.4) для любой функции v е V(Ят)■

Теорема 1. Если Г е Ь2(Ят), Гг е Ь2(Ят), а,Ъ,а е С [0, Ц П С 1(0^), е е Ш2^(0,Т), то существует единственное обобщенное решение задачи (2.1)-(2.3).

Доказательство. Доказательство теоремы проведем в несколько этапов. На первом докажем единственность обобщенного решения. Реализацию второго этапа начнем с построения последовательности приближенных решений. Затем получим априорную оценку решений, которая позволит выделить из построенной последовательности приближенных решений слабо сходящуюся в пространстве Ш(Ят) подпоследовательность. На заключительном этапе покажем, что предел выделенной подпоследовательности и есть искомое обобщенное решение.

Единственность. Предположим, что существует два различных обобщенных решения задачи (2.1)-(2.3), и! и ы2. Тогда их разность, и = и -и2, удовлетворяет

условиям и(х, 0) = 0, щ(х, 0) =0 и тождеству т I

/ / (а(х)и^ + о,(х)ихух + Ъихаух) ¿хЛЬ+

0 0т т (2-5)

+ } ь(0,г)[к1и(0,г) + ы1ии(0,г)]л + } у(1,г)[к2и(1,г) + М2ин(1,г)]л = 0.

00

Положим в (2.5) V = щ при 0 ^ г ^ т, V = 0 при т < t ^ Т, где т £ [0, Т] произвольно, и преобразуем его, интегрируя по частям. Получим равенство

I

Н*т) + ихт) + ЪиХ,хт ^

+К1и2 (0, т) + К2и2(1, т) + М1и? (0, т) + М2и?(1, т) = 0,

откуда следует, что Ут £ [0,Т] щ(х,т) = 0, иХ(х,т) = 0, так как из физического смысла коэффициентов К^ ^ 0, Mi ^ 0. Из очевидного представления

т

ь(х,т) = J щ (х,Ь)йЬ

0

т

(х,т) ^ т ^ и2(х,г)3;Ь,

вытекает неравенство

и2. .

0

которое в свою очередь приводит к равенству и(х, т) = 0. Так как т £ [0, Т] произвольно, то и(х,г) = 0 всюду в Qт, следовательно, щ = и?.

Существование. Пусть тк £ С2 [0,1], линейно независимы и образуют полную систему в Ш2(0,1). Будем искать приближенное решение задачи в виде

1(х,г) = ^2 ск (¿)™к (х)

к = 1

из соотношений

I

J (аи^то + ои^ю^ + Ъи™^) ¿х + [К1ит(0,г) + Муи™(0,г)]то (0)+

0

I

+ [К2ит(1,г) + М2ит(1,г)т (1) = ! ¿х - д1(г)то (0) - д2(г)то (I), (2.6)

0

которые для каждого представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно ск (г) :

т

]Г [Ако с'к(г) + Вко Ск (г)] = / (г), (2.7)

к = 1

коэффициенты которой выражаются формулами I

Ако = / (аткто + Ът'ктО)3,х + М1тк(0)то(0) + М?тк(1)то(I);

0

Добавив начальные условия

Вк] = ом'кт]Сх + К\и)к (0)т] (0) + (1)т] (I);

I

I](Ь) = ! F(х,г)т](х)Сх - дг(г)т](0) - д2(Ь)т](I).

ск(0)=0, ск (0) = 0, (2.8)

получаем задачу Коши для системы (2.7).

Выясним, разрешима ли эта система относительно с'к(Ь). Рассмотрим матрицу А = (Ак] коэффициентов при старших производных и покажем, что она

положительно определена. Введем квадратичную форму с матрицей А

т

Я =53 Ак] £к£],

к,3 = 1

где Ск,£] —коэффициенты линейных комбинаций £ = ^ £^т^(х). Преобразуем квад-

г=1

ратичную форму, учитывая представление ее коэффициентов: т I

Я = / (™кт]£к£] + Ьт'кт]£к£])Сх + М1тк(0)т](0)£к£] + М2тк(1)т](1)£к£].

к,] = 1 о

Изменив порядок суммирования и интегрирования, получим I

Я = ! Н£\2 + ь\£х\2) сх + М1\£(0)\2 + М2\т2.

0

Из физического смысла коэффициентов уравнения (2.1) следует, что а,Ь, М1,М2 положительны. Заметим, что квадратичная форма я обращается в нуль только при £ = 0, а тогда в силу линейной независимости тк(х) £к =0, Ук = 1,...,т. Следовательно, матрица А положительно определена, и в силу этого система (2.7) разрешима относительно старших производных. Так как из условий теоремы следует ограниченность ее коэффициентов и принадлежность правой части пространству Ь1^т), то задача Коши (2.7)-(2.8) разрешима и с'^(Ь) € Ь1^т).

Итак, последовательность приближенных решений {ит(х,Ь)} построена. Следующий шаг в доказательстве теоремы состоит в получении априорных оценок. Первая априорная оценка.

Умножим (2.6) на с](Ь), просуммируем от ] = 1 до ] = т, а затем проинтегрируем полученное равенство от Ь = 0 до Ь = т, в результате чего получим:

т I

' "их ихЬ + ЬихПихг

00

(апЦит + аптптг + Ьи^и^) СхсЬ+

т т

+ У ит(0,Ь)[К1 ит(0,Ь) + М1ит (0,Ь)]СЬ + ! ит(1,г)[К2ит(1,г) + М2ит (1,Ь)]СЬ =

Т I т т

= У ! Еи^СхСг д1 (г)пт(0,г)А д2(г)ит(/,г)Сг. (2.9)

0 0 0 0 Интегрируя по частям, как и при доказательстве единственности, приходим к равенству

I

У (а(пТ(х, т))2 + а(ит(х, т))2 + Ь(и^(х, т))2) Сх+ 0

+К1(ит(0,т ))2 + К2(ит(1,т ))2 + М1(иГ(0,т ))2 + Ы2(иГ(1,т ))2 =

т I т т

= 2^ J Еи^СхСг - 2^ g1(t)um(0,t)dt - д2(г)и^(/, г)Сг. (2.10)

0 0 0 0 Оценим правую часть (2.10), заметив, что левая часть этого равенства неотрицательна. Применив неравенство Коши, получим

I

\\2 | „т/ \\2 . т / т/ ^\\2Л

У (а(иТ(х, т))2 + а(ит(х, т))2 + Ь(и^(х, т))2) Сх+ 0

+К1(ит(0,т))2 + К2(ит(1,т))2 + М1(ит(0,т))2 + Ы2(иТ(1,т))2 <

т I т т

¡{ит)2схсг + ! (um(0,t))2dt + У(иП/,г))2сг+

(щ (0,г))аг + J (и4 0 0 0 0 т I т т

, / „2 1, , / „2,

+ J J &2схсг + I д2сг + у д^сг. (2.11)

0 0 0 0 Рассмотрим последние два слагаемых правой части неравенства (2.11). Из пред-

ставлений

0 I

1(0,г) = уи^се + ит(х,г), и?(1,г) = !и%с£ + и^(х,г)

вытекают неравенства

I I

(и?(0,г))2 < 21 у(ит)2Сх + 2 У(иГ)2Сх, 00 I I

(и?(1,г))2 < 2^(ит)2Сх + 2 У (иГ)2Сх,

00 которые позволяют сделать оценку

т т I т I

/ дам»^«21Ц «¡)2 ** + 2 Ц да2^,

0 0 0 0 0 т т I т I

J(um(l,г))2dt < 2/у У(ит)2схсг + /J У(и^)2схсг.

0 0 0 0 0

(

Но тогда из (2.11) следует

I

I (а(пТ(х, т))2 + а«(х, т))2 + Ь(пТ(х, т))2) ¿х+

о

+^1(пт(0, т))2 + К2(пт(1,т))2 + И1(пТ(0, т))2 + Ы2(пТ(1,т))2 <

т I

< Мо У I[пт)2 + (п™)2ЦхЛ+

оо

т I т т

+ / / Р^^ + / 92Л + / (2.12) о о о о

где М0 = шах{4/, }. Еще раз обратимся к физическому смыслу коэффициентов уравнения (2.1) и заметим, что а(х) ^ ао > 0, а(х) ^ ао > 0, Ь(х) ^ Ьо > 0. Выберем то = шш{ао, ао, Ьо} и обозначим С\ = Мо/то. Заметим также, что в силу условий теоремы 1 нормы \\¥\\ь2^Т), \\9г\\ь2(о,т), Ъ = 1, 2 конечны, поэтому

(т I т т \

! J ¥2¿хЛЬ + у 92^^ + У 92 < С2, о о о о

и (2.12) можем теперь записать так: I

I ((пТ(х, т))2 + (пт(х, т))2 + (п™(х, т))2) ¿х+ о

+К1 (пт(0, т))2 + К2(пт(/,т))2 + М1 (пТ(0,т))2 + М2(пТ(/,т))2 <

т I

< С1 / ¡[(пТ)2 + (п%.)2]сЬск + С2. (2.13)

оо

В частности,

I

I ((пТ(х,т))2 + (п™(х,т))2) ах <

о

т I

< С1 [(пТ)2 + (ппА)2]ахаг + С2.

I

I[(пТ(х, т))2 + (п™(х, т))2]ах < С2еС1т.

оо

Применим к последнему неравенству лемму Гронуолла. Тогда

I

-< т / \ \2 . , ,,

о

Интегрируя полученное неравенство по т от 0 до Т, получим т I

[(пТ)2 + «)2¥хЛ < С2(еСгт - !). о о 1

Теперь из (2.13) нетрудно получить оценку

i

J(um(x,T))2dx < C2eClT. о

Добавив еще одно почти очевидное неравенство

i т i

J (um(x,T ))2dx < T J j (um)2dxdt

0 0 0 к полученным выше, приходим к неравенству

i

У ((um(x, T))2 + (um(x, T))2 + (um(x, T))2 + (u%(x, T))2) dx < Сз,

0

где С3 = С2ес1 т(Т + 2), интегрируя которое получаем первую априорную оценку

\\ит\\шцдт) + \\ит,\\ыдт) < Р1. (2.14)

Кроме этого, из (2.13) мы получаем еще одно важное неравенство т

У[к1(пт(о,г))2 + к2(пт(1,г))2 + м1(п'т(0,г))2 + М2(и?(1,г))2]и < дь (2.15)

о

где Кг = С2еС1Т.

Вторая априорная оценка.

Умножим (2.6) на С^^), просуммируем от ] = 1 до ] = т, а затем проинтегрируем по £ от 0 до т :

т I т

[a(um)2 + aumum + b(umtt)2]dxdt + j K1um(0,t)um(0,t)dt+

0 0 0

т т т

+ J K2um(l,t)um(l,t)dt + J Mi(vm(0,t))2dt + J M2(um(l,t))2dt =

оо

т I т т

= ! У Еит1хИ - У дг (г)ит(0,г)аь - J д2(г)ит(1,1)И. о о о о

Преобразуем слагаемые этого равенства, содержащие произведения функций, интегрируя по частям. Получим

т I т т

)2 + Ь(ити)2]1хЖ + Мг у (ит(0,г))2л + м^ (и%(> +))2-

о о о о

т I I

Hum)2+b(umtt)2]dxdt+Mi у(um(o,t))2dt+м^(um(i,t))2dt =

00 i т

(um)2dxdt + J aumum(x,T)dx + j[Ki(um(0,t))2 + K2(vm(l,t))2]dt+

0 0 0 0 т

+ j[g1(t)um(0, t) + g'2(t)um(l, t)]dt - Kium(0, t)um(0, t) - K2um(l, t)um(l, t)-

-91 (т)ит(0,т) — д2(т)ит(1,т)^ J ¥и™ЛхМ.

о о

Оценим правую часть этого равенства, используя неравенства Коши и Коши с е, заметив также, что в силу условий теоремы 1 существует число а1 такое, что Г10Е1Х ^ о,1. В результате приходим к неравенству

т I т т

I ¡Пит,)2 + Ъ(итг)2]сХсИ + М11(ит(0,г))2сИ + М2 !(ит(1,1)?М <

оо

т I т I

< |/ ¡«)2сХсЬ + ! | а(ит?йхА + [(ит(х,т ))2 + (и^ (х,т ))2Цх+ о о о о о

т

+Ц\(и?(0,г))2 + (и?(Ш2]М + К (ит (0,т ))2 + К (ит(1,т ))2+ о

+ К+1(и?(0,т ))2 + К22+1(ит(1,т ))2 + 2 92 (т) + 92 (т)]+

т т I

+21 [д12 + 9+ / р2хг. (2.16)

о 0 0

Выберем е так, чтобы а о — § > 0, положив, например, е = ао, и перенесем первое слагаемое правой части неравенства (2.16) в левую его часть. Тогда в силу условий теоремы 1 и первой априорной оценки получим вторую априорную оценку

\К \\Uqt) + \\и7и\\12^Т) < Р2 (2.17)

и неравенство

т т

М^(и%(0,г))2¿г + М2 !(I, г))23,г < К2. (2.18)

оо Первая и вторая априорные оценки вместе с неравенствами (2.15) и (2.18) приводят к оценке в пространстве Ш (^т) :

\\ит\\ш(я) < Р. (2.19)

Так как пространство Ш ^т) гильбертово, то полученная оценка позволяет утверждать, что из построенной последовательности приближенных решений {ит(х,г)} можно выделить слабо сходящуюся в норме Ш^т) подпоследовательность, за которой сохраним прежнее обозначение.

На завершающем этапе доказательства покажем, что предел выделенной подпоследовательности и есть искомое обобщенное решение. Умножим (2.6) на ^ € € С2(0,Т), просуммируем от ] = 1 до ] = т, а затем проинтегрируем по г от 0 до Т. Получим равенство

т I т

У J [аиТгП + аи^Пх + Ъи^п^хМ + ^п(0,г)[К1ит(0,г) + М1ит(0,г)]А+

о о о

т

T

+ J n(l,t)[K2um(l,t) + M2umil,t)\dt

о

T l T T

J J Fndxdt — J n(0,t)g1(t)dt — J n(l,t)g2(t)dt, (2.20)

оо

m

где nix,t) =5^ dj it)wjix). Доказанные сходимости позволяют перейти к преде-

j=i

лу при m ^ ж в равенстве (2.20). Мы получим тождество вида (2.4), но пока

m

справедливое только для функций nix,t) = djit)wj (x). Однако множество всех

j=i

функций такого вида всюду плотно в пространстве WiQT), поэтому мы вправе утверждать, что u(x,t), слабый предел выделенной из {um(x,t)} подпоследовательности, удовлетворяет тождеству (2.4) для любой v G ViQT), т. е. является искомым обобщенным решением задачи (2.1)-(2.3). Теорема 1 доказана.

С помощью теоремы 1 уже нетрудно доказать разрешимость поставленной задачи (1.1)-(1.3).

Определение 2. Обобщенным решением задачи (1.1)—(1.3) будем называть функцию U G WiQt), удовлетворяющую начальным данным U(x, 0) = = y>(x), Ut(x, 0) = ф(x) и для любой функции v G V(Qt) тождеству

T l T

/ /(a(x)Uttv+aix)Uxvx+bUxttvx) dxdt 4v(0,t)[KiU(0,t)+MiUtt]dt+

о о о

T T l

+ J v(l,t)[K2U(l,t) + M2Utt(l,t)\dt = J J fvdxdt. (2.21)

о о о

Теорема 2. Если A(x), p(x), E(x), v(x), Ip(x) непрерывны в [0, l\, f,ft G G L2(Qt), ф,Ф G W22(0,l), то существует единственное решение U G W(Qt) задачи

(1.1)—(1.3).

Доказательство. Подставим в тождество (2.4) u(x,t) = U(x,t) — w(x,t). Несложные преобразования приведут нас к тождеству (2.21), а выполнение начальных условий (1.3) очевидно из представления U(x,t) = u(x,t) + ф(x) + +t4(x). Принадлежность U G W (Qt ) следует из условий, наложенных на функции Ф^), 4(x). Следовательно, U является обобщенным решением задачи (1.1)—(1.3). Разрешимость задачи (1.1)—(1.3) полностью доказана.

Литература

[1] Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004. 79S с.

[2] Strett J.W. Theory of sound. N.Y.: Dover, 1945.

[3] Rao J.S. Advanced Theory of Vibration. N.Y.: Wiley, 1992.

[4] Федотов ИА., Полянин A^., Шаталов М.Ю. Теория свободных и вынужденных колебаний твердого стержня, основанная на модели Рэлея // ДAН. 2007. Т. 417. № 1.

[5] Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

References

[1] Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Equations of mathematical physics. M., 2004.

[2] Strett J.W. Theory of sound. New York: Dover, 1945.

[3] Rao J.S. Advanced Theory of Vibration. N.Y.: Wiley, 1992.

[4] Fedotov I.A.,Polyanin A.D., Shatalov M.Yu. Theory of free and forced vibration of solid rod based on Rayleigh model // DAN. 2007. V. 417. № 1. P. 56-61.

[5] Ladyzhenskaya O.A. Boundary value problems of mathematical physics. M., 1973.

Поступила в редакцию 5/ХД/2013; в окончательном варианте — 5/XII/2013.

TASK ON LONGITUDINAL VIBRATIONS OF A ROD WITH DYNAMIC BOUNDARY CONDITIONS

© 2014 A.B. Beylin? L.S. Pulkina4

In this paper, one-dimensional longitudinal vibration of a solid rod fixed at the ends by means of local masses and springs is studied. As a mathematical model we use Rayleigh rod. The existence and uniqueness of a generalized solution are proved.

Key words: Rayleigh rod, dynamic boundary conditions, generalized solution.

Paper received 5/XZ7/2013. Paper accepted 5/XII/2013.

3Beylin Alexander Borisovich (abeilin@mail.ru), the Dept. of Automatized machine and tool systems, Samara State Technical University, Samara, 443100, Russian Federation.

4Pulkina Lyudmila Stepanovna (louise@samdiff.ru), the Dept. of Equations of Mathematical Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.