CC BY
33
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 142-151 Механика
УДК 539.3
Задача о комбинированном сдвиге нелинейно-упругого полого цилиндра
В. В. Козлов
Аннотация. Рассматривается задача комбинированного сдвига несжимаемого, нелинейно-упругого полого цилиндра. Получены аналитические представления для компонент левой меры искажения и тензора поворота, выраженные через два обобщенных перемещения. Из условий равновесия и определяющего соотношения следует система трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных перемещений и гидростатической составляющей тензора напряжений. Получено решение данной системы.
Ключевые слова: полый цилиндр, комбинированный сдвиг, нелинейная упругость.
Введение
Комбинированный сдвиг полого цилиндра используется для моделирования процессов, происходящих в различных нелинейных средах, в частности в эластомерах [1]. Экспериментальные исследования на основе модели комбинированного сдвига позволят определять значения материальных параметров. Также в результате таких исследований можно будет делать выводы об адекватности представления свойств материала различными уравнениями состояния.
В работе рассматривается однородный, изотропный, нелинейно-упругий, несжимаемый материал, уравнение состояния которого описывается в [1]. При комбинированном сдвиге внутренняя цилиндрическая поверхность жестко закреплена, а внешняя может двигаться вдоль оси цилиндра под действием приложенной к этой обойме силы ^ и момента М. При этом полагается, что толщина цилиндра не меняется. Сдвиговые деформации возникают в результате движения внутренних цилиндрических поверхностей относительно оси цилиндра. Несжимаемость материала предполагает отсутствие радиального смещения внутренних цилиндрических поверхностей.
Отметим, что на момент написания данной работы нам не удалось найти описаний решения поставленной задачи комбинированного сдвига. Однако
в работах В.Л.Бидермана, Э.Э.Лавендела, А.И.Лурье изложены методы решения задачи кругового сдвига нелинейно-упругого полого цилиндра достаточно большой длины. Эта задача по используемым допущениям кинематики и целям решения схожа с рассматриваемой задачей, однако предлагаемая вашему вниманию в данной работе задача является более общей с точки зрения кинематики процесса и преследует одной из целей проверку других определяющих соотношений, нежели представленных в работах Бидермана, Лавендела, Лурье.
1. Кинематика комбинированного сдвига
Рассмотрим полый цилиндр бесконечной длины. Внутренняя поверхность цилиндра жестко закреплена. Внешняя поверхность может двигаться вдоль оси цилиндра и поворачиваться вокруг этой оси. Радиальные перемещения материальных точек цилиндрических поверхностей отсутствуют. Внутренний радиус цилиндра обозначим Я2, внешний — Я\. Пусть (Я, 9, го) — цилиндрические координаты точек цилиндра в начальном состоянии, (г, ф, г) — цилиндрические координаты точек цилиндра в деформированном состоянии. В данном случае связь между указанными координатами имеет вид:
( г = Я,
< ф = 9 + 9и (Я), (2.1)
I г = го + ги (Я),
где 9и (Я), ги (Я) — неизвестные функции поворота и осевого перемещения материальных точек соответственно (обобщенные перемещения).
Положения точек цилиндра в начальном состоянии определяются согласно выражению
х = Яви + гов2о, (2.2)
где единичные векторы ви, вв, определяют базис исходной неподвижной цилиндрической системы координат.
Для удобства вычислений и оптимизации результатов вводится подвижная цилиндрическая система координат, повернутая относительно исходной неподвижной на угол 9и (Я) с базисом ег, еф, ех.
Тогда положения точек цилиндра в деформированном состоянии с учетом закона (2.1) будут определяться следующим выражением:
х = Явг + (го + ги) ёг0 ■ (2.3)
Из найденного представления радиус-вектора точек цилиндра в деформированном состоянии можно найти различные меры описания деформированного состояния сплошной среды, такие как аффинор
деформации Ф, мера Коши-Грина С, левый тензор Генки Г, тензор поворота К и другие. Аффинор деформации представляется разложением [2]
о
Ф = Уж = и • К, (2.4)
где и — левая мера искажения; К — тензор поворота. Для закона движения сплошной среды (2.3), тензор Ф представим в виде
Ф = ёяёг + квД вявф + х'цёпёг + ёвёф + ёхоёх. (2.5)
Введем безразмерную переменную р = т/К1 = К/К1, которую и будем рассматривать как аргумент обобщенных перемещений. Тогда внешний радиус цилиндра будем обозначать как Кі = К1/К1 = 1, а внутренний — К2 = К2/К1.
Найдем полярное разложение аффинора деформации (2.4).
Для этого определим левую меру Коши-Грина
С = Ф • фТ = (1 + г'л + (рвД) )ёяёя + гД (ёдёг0 + ёгоёк) +
+рв'п (ёяёв + ёвёя) + ёвёв + (2.6)
Представим меру Коши-Грина в виде С = Сг^ёгё^, где ё1 = ёд, ё2 = ёе, ё3 = = ёХо. Запишем компоненты меры Коши-Грина в виде матрицы
1 + 42 + (Рвд)2 Рвд г'н С4 = I рв' 1 0
Собственные значения меры С найдём из уравнения \Сг — Х°5ц\ = 0:
ЛЦ = 2 + а ±2аТТТа, Л? = 1, (2.7)
где а = г'и 2 + (р9'и )2. Проводя стандартную процедуру определения собственных векторов тензора О по известным собственным значениям, получим
а1,2 = ч/ , 2 I 2 , . (61,2ёД + рвцёе + ¿Д^о^ (2-8)
у а2 + 4а ± ал/а2 + 4а где 61,2 = ;
аз = ^ —рв“^ . (2.9)
Таким образом, левый тензор Коши-Грина представляется в виде
С = \fdidi + А2л2а2 + а3а3. (2-10)
Тогда левую меру искажения, исходя из соотношения [2] С = и2, можно записать как
и = А1аа + АгЧгЧг + азаз- (2.11)
Представление левой меры искажения можно упростить для данной задачи, так как собственные значения меры Коши-Грина можно преобразовать к виду
л/а + 4 ± yß, ^ = х2 2
2
= А2,2 (2-12)
___, Т1 ( Vа + 4 + Vа \ + ( Vа + 4 — Vа \ -> -> , (213)
=^ U = I ---------2------ ) аіаі + ( ------2------ ) (12а2 + азаз- (2-13)
Отметим здесь, что произведение найденных собственных значений левой меры искажения равно единице, что говорит о несжимаемости рассматриваемого материала.
После подстановки в выражение (2.13) формул (2.8), (2.9) можно представить левую меру искажения в виде
U = *—_ [(а + 2)едед + pe'R(ёяёв + ёвёп) + z'R(ёпёго + eZ0ёп)] +
~ \/а + 4
2
+
а\/а + 4
(Р®'к)2ёвёв + z'R 2ёz0 ez0 + рв'к z'R (Єв^0 + 4о ёв) + (2-14) (pв,R)2ёz 0ёz0 + z^ 2ё0ё0 — pe'R z'R (ё0ёzo + ez
Тензор поворота находим из выражения
R = U-1 • Ф, (2-15)
где и 1 удобно выразить из преобразования представления левой меры искажения в главных осях
и-1 = Л-1а1а1 + Л-1а2а2 + а3а3. (2-16)
Для удобства интерпретации тензора поворота представим его в виде Я = , и выпишем матрицу Я4. Причем первый вектор диады
представляет базисный вектор неподвижной системы координат (ёд, ёв, ёго),
а
а второй вектор диады — базисный вектор подвижной системы координат
( СГ , вф, в£ ).
а2 + 2а (а2 + 3а)рв'к (а2 + 3а)г'к (а + 2) | ар9'к (а + 2)(рв'к)2 (а + 2)р9'кг'к
№ =
2а\/ а + 4
ах'к (а + 2) рв'к х'к
—(а2 + 4а)
1
0
'-к
0
+- о
а
2
гп
! 2 гп
(а + 1)рв'к (а + 1)2д
(рв'я) рвД г'к
рО'п г'к 0
—р^к гк
! 2 гд
0 —Ре'п ¿'к (Р°'п)2 Левый тензор Генки определяется выражением
Г = іп(Аі)аіаі + іп(А2)а2а2.
+
(2.17)
(2.18)
2. Постановка задачи комбинированного сдвига
Запишем уравнение состояния несжимаемого материала в виде [1]
ая = 2ОГ, (3.1)
где ая - девиатор «повернутого» обобщенного тензора Коши а , Г —
~я
девиатор тензора деформации Генки Г, О - модуль сдвига.
Представим тензор истинных напряжений Коши 5 и а в виде суммы
~ ~я
шаровой и девиаторной составляющих 5 = 5 + а0Е, а = ая + а0Е, где 5
~ ~ ~я ~
— девиатор тензора напряжений Коши, ао - гидростатическое напряжение,
Е - единичный тензор. Используя равенство 5 = К-1 ■ а ■ К, из выражения ^ ^ ^ я, ^
(3.1) получим
5 = К-1 ■ а ■ К = 2ОК-1 ^ ^ я, ^ ^
Гя ■ К + аоЕ.
(3.2)
Таким образом, мы можем определить конкретный вид девиатора тензора истинных напряжений Коши по найденным мерам деформированного
состояния, однако ввиду громоздкости компоненты 5 не приводятся. Вводятся безразмерный девиатор тензора истинных напряжений Коши
5/2О и безразмерное гидростатическое напряжение а0/2О. Далее для них
будем использовать обозначения 5 и ао соответственно.
Запишем уравнение равновесия из [2] в виде
V ■ 5 = 0
(3.3)
1
а
где V = Сд = С Ш + С дв + С Щ0, С — векторы взаимного материального базиса, которые определяются из закона движения сплошной среды (2.3):
С1 = ёг, С2 = ёф/к - в'кёг, С3 = ёг0 - г'кёг. (3.4)
Следует отметить, что безразмерные компоненты девиатора напряжений (3.2) в силу (2.1) зависят только от безразмерной переменной р. Учитывая это и соотношения (3.3), (3.4), уравнения равновесия в безразмерных переменных в координатной форме запишем в виде системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений:
СІвгт | $тг 8фф о (1р р (3.5)
а ^ + 2 р Г (3.6)
Г + =о. ар р (3.7)
Сформулируем далее для данной задачи следующие условия:
а) начальные условия — в начальном состоянии напряжения отсутствуют:
3\вЕ=о^Е=о = 0; (3.8)
б) граничные условия в перемещениях — на внутреннем радиусе перемещения нулевые, а на внешнем достигается осевое смещение Нг и поворот внешней обоймы на угол а:
\р=к2 = 0 \р=Дх = а, (3.9)
\р=К2 = 0 гк\р= Кх = ^. (3.10)
Система уравнений (3.2), (3.5)—(3.10) представляют замкнутую постановку задачи о комбинированном сдвиге.
Таким образом, задача свелась к системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций в(р), г(р) и а0(р). Однако из полученных соотношений следует, что для определения функций в(р) и г(р) достаточно рассмотреть краевую задачу из уравнений (3.6)-(3.7) с краевыми условиями (3.9)-(3.10).
После определения функций обобщенных перемещений гидростатическое напряжение 0о(р) находим из уравнения (3.5) с использованием начального условия (3.8).
3. Решение линеаризованной задачи
Следует отметить, что поставленная задача (3.2), (3.5)-(3.10)
весьма сложна в силу нелинейности компонент девиатора тензора напряжений Коши. Поэтому опишем для начала решение соответствующей
линеаризованной задачи, рассматривая при этом только лишь нахождение обобщенных перемещений как необходимых и достаточных для определения силы Е и момента М. Отметим сразу, что для линеаризованной задачи было получено аналитическое решение, что не представляется возможным сделать для исходной нелинейной задачи.
Линеаризовав компоненты тензора истинных напряжений Коши относительно функций в'к (р) и х’к (р), получим
рв ^ X ^
$ — I (ёгёФ + ёФёг) + . (ётёг + ёгёт). (4.1)
и1ги
2
2
Таким образом, имеем краевую задачу для определения функций сдвига (3.6)-(3.7) с дополнительными условиями (3.9)-(3.10), при этом компоненты тензора истинных напряжений Коши возьмём из (4.1). Решение полученной задачи представляется в виде, где Я2 ^ р ^ И\ = 1:
(р) =
а
Я -1
гя (р) = 1 -
Я*- 1
1п р 1п К2
(4.2)
(4.3)
4. Решение нелинейной задачи. Результаты
Второе и третье уравнения системы (3.6), (3.7) можно разрешить
(5.1)
относительно компонент 8Гф, вгг
= Сі
8гф = р2 1
§ТХ ----- 1
р
где сі, С2 — произвольные постоянные.
Тогда систему (5.1) представим в виде
сі
8тф(б'я, гЯ, р) — ~0 = 0, р
8тх (0д, х'к 1 р)-— = 0.
р
Параметры сі, С2 на этапе построения решения удобнее определить исходя из механических воздействий на внешнюю обойму цилиндра осевой силой Е и крутящим моментом М.
Учитывая осесимметричность задачи и независимость от координаты г мер напряженно-деформированного состояния, формулы вычисления силы Е и момента М в безразмерных координатах, приходящихся на единицу высоты цилиндра (в качестве таковой возьмем значение Яі), сводятся к соотношениям
(5.2)
Е = 2пК1вгг (Е1), М = 2пК1вГф(К1).
(5.3)
Связывая формулы (5.2) и (5.3), приходим к следующим выражения констант сх, С2: ^ ^
сх = М/{2пЯ\), С2 = Е/(2пКх)- (5-4)
Будем решать систему (5.2) относительно производных от функций обобщенных перемещений , г;я, которая при таком подходе преобразуется в систему двух нелинейных уравнений относительно функций в/я, г/я. Параметры сх, С2 выберем соответствующими заданным внешним нагрузкам Е, М. Далее по известным производным в/я, г/я, учитывая условия (3.9)—(3.10) на внутреннем радиусе цилиндра, восстановим сами функции обобщенных перемещений.
Процесс нахождения функций обобщенных перемещений реализован в математическом пакете МаЛаЬ. Суть метода нахождения решения заключается в том, что исходя из естественных физических ограничений на производные в^, определяется область поиска решения. Пусть данная
область задается соотношениями
ав'„ ^ в'н ^ V, г'я
я^?^ 7 я’ (5.5)
Далее в этой области производным в^, г ^ придаются различные значения с
соответствующими шагами Нд> , Н^ , которые подставляются в систему (5.2).
п д
Если данная система удовлетворяется с некоторой точностью, то выбранные значения в^, г ^ принимаются в качестве решения.
Непосредственной проверкой установлено, что в результате такого подхода в области (5.5) решение системы (5.2) единственное.
Используя упомянутый программный комплекс, по известной траектории нагружения (зависимостям Е = Е(£), М = М (£), где £ — некоторый параметр), были получены значения обобщенных перемещений внешней обоймы а(М,Е), Н(М, Е), где а — поворот внешней обоймы; Н — смещение внешней обоймы относительно оси Ог.
В качестве примера приведем графики зависимостей траекторий нагружения от траекторий перемещения внешней обоймы (рис. 1-4).
Рис. 1. Зависимость траектории нагружения от траектории перемещения внешней обоймы при М(£) = £, Е(£) = 0, £ € [0,1.4], К = 0.6, = 1
Рис. 2. Зависимость траектории нагружения от траектории перемещения внешней обоймы при М(£) =0, Е(£) = £, £ € [0,1.3], К = 0.6, = 1
Рис. 3. Зависимость траектории нагружения от траектории перемещения внешней обоймы при М(£) = £, Е(£) = £, £ € [0, 0.9], К = 0.6, = 1
Рис. 4. Зависимость траектории нагружения от траектории перемещения внешней обоймы при M(t) = t, F(t) = t, t G [0, 0.9], ^2 = 0.6, = 1
Эти зависимости близки к линейным.
Список литературы
1. Маркин А.А. Нелинейная теория упругости: учеб. пособие. Тула: ТулГУ, 2000. 72 с.
2. Маркин А.А., Сотников К.Ю. Механика сплошной среды: учеб. пособие. Тула: ТулГУ, 2003. 132 с.
Козлов Виктор Вячеславович ([email protected]), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
The problem of the combined shear of a hollow nonlinearly
elastic cylinder
V. V. Kozlov
Abstract. The problem of the combined shear of the incompressible, nonlinear-elastic hollow cylinder is considered. Analytic shows for the components of the left measure of distortion and turn tensor, expressed in terms of generalized displacement, are given. From the equilibrium conditions and constitutive relation follow the system of the three usual differential equations relation to generalized displacement and hydrostatical component of the stress tensor. Solution of the present system is given.
Keywords : hollow cylinder, combined shear, nonlinear elasticity.
Kozlov Victor ([email protected]), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.
Поступила 11.05.2011
