Осевой сдвиг несжимаемого, нелинейно-упругого полого цилиндра Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 137-144 ^ Механика

У/1 К 539.3

Осевой сдвиг несжимаемого, нелинейноупругого полого цилиндра

В. В. Козлов

Аннотация. Рассматривается задача осевого сдвига несжимаемого, нелинейно-упругого полого цилиндра. Материал описывается уравнением состояния, представленным в [1]. Вводится сдвиговая деформация как функция радиальной цилиндрической координаты. Показано, что все характеристики напряженно-деформированного состояния зависят только от сдвиговой деформации. Проводится исследование зависимости приложенной к внешней обойме силы от перемещения обоймы.

Ключевые слова-, полый цилиндр, нелинейная теория упругости, осевой сдвиг.

1. Введение. Осевой сдвиг полого цилиндра используется для моделирования процессов, происходящих в различных нелинейных средах, в частности в эластомерах [2]. Экспериментальные исследования на основе модели осевого сдвига позволят определять значения материальных параметров. Также, в результате таких исследований можно будет делать выводы об адекватности представления свойств материала различными уравнениями состояния.

В данной работе рассматривается однородный, изотропный, нелинейноупругий, несжимаемый материал, уравнение состояния которого описывается в [1]. При осевом сдвиге внутренняя цилиндрическая поверхность жестко закреплена, а внешняя может двигаться вдоль оси цилиндра под действием приложенной к этой обойме силы Р. При этом полагается, что толщина цилиндра не меняется. Сдвиговые деформации возникают в результате движения внутренних цилиндрических поверхностей вдоль оси цилиндра. Несжимаемость материала предполагает отсутствие радиального смещения внутренних цилиндрических поверхностей.

Вводится сдвиговая деформация как функция радиальной цилиндрической координаты. Показывается, что все характеристики напряженно-деформированного состояния зависят только от сдвиговой деформации. Проводится исследование зависимости приложенной к внешней обойме силы от перемещения на этой обойме.

2. Кинематика осевого сдвига, постановка задачи. Рассмотрим полый цилиндр бесконечной длины. Внутренняя поверхность цилиндра жестко закреплена. Внешняя поверхность может двигаться вдоль оси цилиндра. Круговые и радиальные перемещения материальных точек цилиндрических поверхностей отсутствуют. Внутренний радиус цилиндра обозначим /?2, внешний — /?1. Пусть (Я, в, г о) — цилиндрические координаты точек цилиндра в начальном состоянии, (г, ф, г) — цилиндрические координаты точек цилиндра в деформированном состоянии. В данном случае связь между указанными координатами имеет вид

'г = И,

-.9, (2.1)

gz(R) + zo,

где gz{R) — неизвестная функция осевого перемещения материальных точек.

Тогда положения точек цилиндра в деформированном состоянии (закон движения сплошной среды) будут определяться в соответствии с выражением

х = RёR + [zo +gz(R)}ёZ0. (2.2)

Из найденного представления радиус-вектора точек цилиндра в деформированном состоянии можно найти различные меры описания деформированного состояния сплошной среды, такие как аффинор деформации Ф,

мера Коши-Грина С, левый тензор Генки Г, тензор поворота Я и другие. Из

определения аффинора деформации [2]

О

Ф = Уж = и-Я, (2-3)

где и = Ф ■ Ф7 (и — левая мера искажения, Я — тензор поворота), и полученного для данной модели закона движения сплошной среды (2.2), тензор Ф можно представить в виде

ф = едед + ёвёв + 6гое2о “Ь (2.4)

Введем безразмерную переменную р = г/Яг = Я/ Я] . Определим сдвиговую деформацию gв = gв{p) следующим образом:

„ = ^. м

Приведем зависимости тензоров й и Г от сдвиговой деформации (2.5):

R = , [(едед +

6гое2о

1п (лДв + 1 + £'в)

Г = --------, -----[(едед + егоего) + (едего - егоед)] + ёвёв.

' у/й + 1

(2.7)

Запишем уравнение состояния несжимаемого материала в виде [1]

ОН = 2СГ, (2.8)

где ан — девиатор «повернутого» обобщенного тензора Коши а ; Г — девиатор тензора деформации Генки Г; С — модуль сдвига.

Представляя тензор истинных напряжений Коши в и «повернутый» обобщенный тензор Коши а в виде суммы шаровой и девиаторной составляющих

в = в + сгоЕ, сг = <тд сго£/, где Б — девиатор тензора напряжений Коши,

а о — первый инвариант «повернутого» обобщенного тензора Коши а , Е —

~д ~

единичный тензор, и используя равенство в = II 1 • а ■ II. из выражения

^

(2.8) получим

5 = Я-1 • Стд • Я = гс/г1 • ГД • Я. (2.9)

Вводятся безразмерный девиатор тензора истинных напряжений Коши Б/(2С?) и безразмерное гидростатическое напряжение сто/(2(7). Далее для безразмерного девиатора тензора истинных напряжений Коши и безразмерного гидростатического напряжения будем использовать обозначения 5и<то соответственно. Используя формулы (2.6), (2.7), (2.9), запишем ненулевые безразмерные компоненты девиатора тензора напряжений Коши:

1п (\[ё% + 1 + ев)

5дд = -Згого =------------------------gв, (2.10)

\[& + 1

ln (\fg% + 1 + Sb)

SRzo = SzoR= ----------, -----• (2-11)

v'rt+i

Следует отметить, что безразмерные компоненты девиатора напряжений (2.10) и (2.11) в силу (2.5) зависят только от безразмерной переменной р. Учитывая это, уравнения равновесия в безразмерных переменных запишем в виде

dcrp dsRR здд _ n (oio\

dp dp p ’

ds Rzo + здад = (213)

dp

Сформулируем далее для данной задачи:

а) начальные условия — в начальном состоянии напряжения отсутствуют:

5 | =0; (2.14)

~ #в= о

б) граничные условия в перемещениях — на внутреннем радиусе перемещения нулевые, а на внешнем достигается осевое смещение кг:

Система уравнений (2.10)—(2.15) представляют замкнутую постановку задачи об осевом сдвиге.

Таким образом, задача свелась к системе двух дифференциальных уравнений относительно функций gz{p) и сто(р).

Подстановка формулы (2.11) в (2.13) приводит к нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка относительно функции осевого перемещения gz{p)

Уравнение (2.16) вместе с условиями (2.15) образует краевую задачу для нахождения функции gz{p)■

После определения функции gz{p) гидростатическое напряжение сто находим из уравнения (2.12) с использованием начального условия (2.15).

3. Решение задачи. Результаты.

В силу существенной нелинейности (2.16) относительно сдвиговой деформации (2.5) решить аналитически краевую задачу (2.15), (2.16) не представляется возможным. Вследствие этого будем искать решение задачи итерационными методами.

Среди известных итерационных методов решения краевой задачи был выбран метод квазилинеаризации (метод Ньютона-Канторовича), который мы и опишем далее.

Обобщая известный метод Ньютона для нахождения корней алгебраического или трансцендентного уравнения, Л.В. Канторович в работе [7] указал способ решения задачи Коши, а также краевых задач для дифференциальных уравнений. Сущность этого способа заключается в нахождении решения дифференциального уравнения путём последовательных уточнений начального приближения, находимых из линейных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим непосредственно краевую задачу типа (2.15), (2.16). Дано дифференциальное уравнение

= 0, gz{l) = hz.

(2.15)

автЬ ^*2^ ) (ёг{р)'2 + 4)

(2.16)

{gz)" = g{gz■,{gz)'p■,p)

(3.1)

с краевыми условиями

§г (Ра) = §г |а; ёг {ръ) = gz |&-

(3.2)

Предположим, ЧТО gz(0) = gz(o){p) является приближенным решением уравнения (3.1), удовлетворяющим краевым условиям (3.2): gz^Q^ (ра) = gz |0) ёг{0) (рь) = ёг |6.

Тогда дальнейшие приближения gz(n)(p) (п = 1, 2,...) решения краевой задачи последовательно могут быть определены при помощи уравнения

•§”2(71+1) ё ^■§”2(71) 1 §г{п) 5 Р^ [ёг(п) > ёг{п) ■> Р^ ^•§”2(71+1) ё2(71)^

(ёг(п)’ёг(п)> р) {ёг(п+1) ~~ ёг(п)) (3-3)

с краевыми условиями

^”2(71+1) (Ро) 2 \а1 ёг(п+1) (РЬ) ^?2 |(,- (3-4)

В связи с предложенным методом решения краевой задачи (2.16), (2.15) для определения функции осевого перемещения gz{p) весьма актуальной становится задача отыскания наиболее естественного начального приближения, то есть функции gz(Q){p), что позволило бы оптимизировать количество итераций в методе Ньютона-Канторовича для достижения требуемого результата. Очевидно, что такой функцией будет являться функция, полученная в результате линеаризации уравнения (2.16) и решения соответствующей краевой задачи линейной теории упругости с граничными условиями (2.15). В результате несложных вычислений начальное приближение gz(Q) было найдено в виде

кг (1п р — 1п Я2)

= 1пД1-1пД2 ' (3'5)

В качестве критерия остановки итерационного процесса было выбрано соотношение

к 2

^2 (ё1{п+1) - £*(„)) < е, (3.6)

г=1

где к — количество точек разбиения интервала [Я2/Я1Д]; б — параметр, определяющий условие достижения необходимой точности решения.

В качестве примера демонстрации работы метода и разработанного программного обеспечения рассмотрим нагружение цилиндра с параметрами Я2/Я1 = 0,6, кх = 0,55, е = 0,0001, к = 300.

На графиках г = 1, 2, 3 изображены полученные в результате применения метода Ньютона-Канторовича (г — 1)-я (непрерывная линия) и г-я (штрих-пунктирная линия) итерации.

Условие (3.6) для указанных параметров удовлетворяется уже для 3-й итерации в ходе применения метода Ньютона-Канторовича.

При исследовании решений для различных значений параметров Я2/Я1, /гг, е, к была обнаружена численная сходимость метода.

Существенным (и вполне определяемым из эксперимента) параметром является зависимость приложенной к внешней обойме силы от ее перемещения.

Выражение этой силы имеет вид

Р = 27гЗяго(1)>

(3.7)

Таким образом, для нахождения данной силы необходимо определить функцию осевого перемещения gz{p), поскольку именно от неё, как было показано, в конечном счёте зависят все компоненты представленных в данной статье мер описания напряженно-деформированного состояния сплошной среды.

На рис. 3.1-3.5 представлены графики зависимости силы Р от величины перемещения точек на внешнем радиусе цилиндра /гг.

Рис. 3.1. 0-я и 1-я итерации (метод Ньютона-Канторовича) зависимости функции осевого перемещения точек от радиуса их расположения

Рис. 3.2. 1-я и 2-я итерации (метод Ньютона-Канторовича) зависимости функции осевого перемещения точек от радиуса их расположения

р, радиус

Рис. 3.3. 2-я и 3-я итерации (метод Ньютона-Канторовича) зависимости функции осевого перемещения точек от радиуса их расположения

А осевое перемещение на внешней обойме

Рис. 3.4. Зависимость прилагаемой сдвиговой осевой силы от осевого перемещения на внешней обойме для параметров Я2/Я1 =0.6

Н3, осевое перемещение на внешней обойме

Рис. 3.5. Зависимость прилагаемой сдвиговой осевой силы от осевого перемещения на внешней обойме для параметров Я2/Я1 =0.5

На графиках максимальные представленные значения осевого перемещения на внешней обойме {Ьггпах) являются критическими для конкретного отношения Я2/Д1. Это означает, что при осевом перемещении внешней обоймы

для соответствующего параметра П/х/Ял применяемый метод Ньютона-Канторовича начинает расходиться.

4. Заключение. В данной работе проведено исследование модели осевого сдвига для несжимаемого материала, описываемого уравнением состояния, представленным в [1]. Показано, что все характеристики напряженно-деформированного состояния определяются через сдвиговую деформацию gв■ Показана зависимость прилагаемой сдвиговой осевой силы от осевого перемещения на внешней обойме.

Список литературы

1. Маркин А. А. Нелинейная теория упругости. Тула: ТулГУ, 2000. 72 с.

2. Маркин А.А., Сотников К.Ю. Механика сплошной среды. Тула: ТулГУ, 2003. 132 с.

3. Лавендел Э.Э. Расчет резинотехнических изделий. М.: Машиностроение, 1976. 232 с.

4. Я икс. Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции: формулы, графики, таблицы. М.: Наука, 1964. 344 с.

5. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 752 с.

6. Горшков А.Г., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д-В. Основы тензорного анализа и механики сплошной среды. М.: Наука, 2000. 214 с.

7. Канторович Л. В. Функциональный анализ и прикладная математика // Успехи матем. наук. 1948. Т. 3.

Поступило 01.10.2009

Козлов Виктор Вячеславович (kvwmmfl2@tula.net), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Axial shear of the incompressible, nonlinear-elastic hollow cylinder

V. V. Kozlov

Abstract. Problem of axial shear of the incompressible, nonlinear-elastic hollow cylinder is considered. The material is described by the equation of a condition presented in [1]. Shear deformation as function of radial cylindrical co-ordinate is entered. It is shown, that all characteristics of the stress-strain condition depend on shear deformation only. Research of dependence of the force applied to an external holder from holder displacement is carried out.

Keywords: hollow cylinder, nonlinear elasticity theory, axial shear.

Kozlov Victor (kvwmmfl2@tula.net), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.