CC BY
0
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2
Научная статья УДК 539.3
doi: 10.18522/1026-2237-2024-2-33-39
ЗАДАЧА НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ О РАСТЯЖЕНИИ И КРУЧЕНИИ СОСТАВНОГО ЦИЛИНДРА С ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЁННЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ, СОДЕРЖАЩИМ ВИНТОВУЮ ДИСЛОКАЦИЮ
Леонид Михайлович Зубов1, Сусанна Арутюновна Гайбарян2 в
12 Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия 1zubovl@yandex. ru 2sgaybaryan@sfedu.ru я
Аннотация. Рассмотрена задача о больших деформациях кручения и растяжения-сжатия составного кругового цилиндра из несжимаемого материала Бартенева -Хазановича. Цилиндр содержит центральное круговое цилиндрическое включение, в котором образована сосредоточенная винтовая дислокация и которое предварительно скручено, и растянуто (или сжато) вдоль оси и скреплено с ненапряжённым внешним полым цилиндром. При решении задачи используется единая для составного тела отсчётная конфигурация. Она является естественной (ненапряжённой) для внешнего полого цилиндра и предварительно напряжённой для внутреннего сплошного цилиндра. При записи определяющих соотношений материала внутреннего цилиндра применяется теория наложения больших деформаций. При решении задачи о предварительном напряжённом состоянии внутреннего включения используется нелинейная теория кручения упругих цилиндров, содержащих винтовую дислокацию. Эта теория физически корректна не для любых моделей изотропных упругих материалов, а только для таких, у которых винтовая дислокация в цилиндре обладает конечной погонной энергией и создаёт продольную силу конечной величины. К этому классу относится модель Бартенева - Хазановича. Задача для составного цилиндра решается полуобратным методом, при помощи которого она приводится к нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. Предположение об изотропности и несжимаемости материала позволило найти точное решение задачи.
Ключевые слова: нелинейная упругость, сосредоточенная дислокация, несжимаемый материал, точное решение
Для цитирования: Зубов Л.М., Гайбарян С.А. Задача нелинейной теории упругости о растяжении и кручении составного цилиндра с предварительно напряжённым включением, содержащим винтовую дислокацию // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2024. № 2. С. 33-39.
Благодарности: работа выполнена за счёт гранта Российского научного фонда (проект № 23-2100123, https://rscf.ru/project/23-21-000123/).
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Original article
THE PROBLEM OF NONLINEAR ELASTICITY THEORY OF TENSION AND TORSION OF A COMPOSITE CYLINDER WITH A PRESTRESSED INCLUSION, CONTAINING A SCREW DISLOCATION
Leonid M. Zubov1, Susanna A. Gaybaryan
12 Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia 'zubovl@yandex. ru 2sgaybaryan@sfedu.ru M
© Зубов Л.М., Гайбарян С.А., 2024
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 2
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2
Abstract. The problem of large torsional and tension-compression deformations of a composite circular cylinder of incompressible Bartenev-Khazanovich material is considered. The cylinder contains a central circular cylindrical inclusion in which a concentrated screw dislocation is formed. It is pre-twisted and stretched (or compressed) along the axis and bonded to an unstressed external hollow cylinder. A single reference configuration is used when solving a problem for a composite body. This configuration is natural (unstressed) for the outer hollow cylinder and prestressed for the inner solid cylinder. The large deformation superposition theory is used to write the determining ratios of the material of the inner cylinder. The nonlinear theory of torsion of elastic cylinders containing a screw dislocation is used to solve the problem of the prestressed state of the internal inclusion. This theory is physically correct not for any models of isotropic elastic materials, but only for those for which the screw dislocation in the cylinder has a finite linear energy and creates a longitudinal force of finite value. The Bartenev-Khazanovich model belongs to this class. The problem for a composite cylinder is solved by a semi-inverse method. Using this method, it is reduced to nonlinear ordinary differential equations. The assumption of isotropy and incompressibility of the material makes it possible to find an exact solution to the problem.
Keywords: nonlinear elasticity, concentrated dislocation, incompressible material, exact solution
For citation: Zubov L.M., Gaybaryan S.A. The Problem of Nonlinear Elasticity Theory of Tension and Torsion of a Composite Cylinder with a Prestressed Inclusion, Containing a Screw Dislocation. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2024;(2):33-39. (In Russ.).
Acknowledgments: the work was supported by Russian Science Foundation (project No. 23-21-00123, https://rscf.ru/project/23-21-000123/).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).
Введение
В современной технике широко используются композиционные материалы, содержащие предварительно напряжённые элементы. В работах [1-7] исследован ряд задач о больших деформациях нелинейно-упругих тел с предварительно напряжёнными частями. Один из видов предварительных напряжений - собственные напряжения, обусловленные дефектами микроструктуры твердых тел, в том числе дислокациями. Дислокации играют важную роль в таких явлениях, как рост кристаллов, пластическое течение, внутреннее трение и др. Прямолинейные винтовые дислокации влияют на механическое поведение нитевидных кристаллов, нанотрубок, нано-стержней и других элементов конструкций. В представленной работе решается задача о нелинейном деформировании составного цилиндра с предварительно напряжённым включением. Причина появления предварительных напряжений состоит в наличии сосредоточенной винтовой дислокации.
Предварительное состояние внутреннего цилиндра
Задача о сосредоточенной винтовой дислокации в круговом цилиндре с точки зрения нелинейной теории упругости была решена в [8] без учёта его кручения и осевого растяжения-сжатия. Было показано, что строгий нелинейный подход позволяет устранить такой парадокс линейной теории упругости, как бесконечное значение погонной энергии деформации, а также коренным образом меняет порядок сингулярности напряжений и деформаций на оси дислокации. Решение задачи о больших деформациях кручения и растяжения-сжатия сплошного кругового цилиндра с прямолинейной винтовой дислокацией было найдено в [9]. Следуя [8], поле конечных деформаций цилиндра с дислокацией будем разыскивать в виде отображения
г = г(р),ф = в + = Ьв + Л0(. (1)
Здесь Ь, Л0, \р0 - постоянные; р, в, ( - цилиндрические координаты точек упругого цилиндра в отсчетной (ненапряжённой) конфигурации; г, ф, z - цилиндрические координаты в промежуточной деформированной конфигурации внутреннего цилиндра; величина Л0 — 1 есть относительное осевое удлинение; 2nlb| - длина вектора Бюргерса винтовой дислокации.
Градиент деформации, соответствующий отображению (1), вычисляется по формуле
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЕ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2024. № 2
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2
cít T b
P = ® er + -efl ® + - efl ® I3 + ® еф + ^¡з ® ¡з, (2)
ep = cos 0 + i2 sin 0, e0 = —sin 0 + i2 cos 0 ,
er = cos ф + i2 sin ф, e^ = — ^ sin ф + i2 cos ф .
В (2) ¡ъ ¡2, ¡з - постоянные орты декартовых координат = г cos 0, Х2 = г sin0, Х3 = z.
Считая упругий материал несжимаемым, из условия несжимаемости det Р = 1 получим дифференциальное уравнение для функции г(р):
dr р .
г— = —-—, (3)
dp Ло-Ь^о
Решение уравнения (3), удовлетворяющее граничному условию r(0) = 0, имеет вид
г = р . (4)
V^o-b^o
В дальнейшем предполагается выполненным неравенство Ао > ^о.
Если задачу о винтовой дислокации исследовать на основе линейной теории упругости, то погонная энергия цилиндра с сосредоточенной дислокацией оказывается бесконечной [10, 11]. Этот парадокс сохраняется и в нелинейной теории упругости для некоторых материалов, например для широко распространённых моделей Трелоара и Муни - Ривлина [8]. Кроме того, для указанных моделей материалов продольная сила, обусловленная наличием дислокации, также оказывается бесконечной [8]. Вместе с тем в нелинейной теории упругости существует класс материалов, для которых винтовая дислокация в цилиндре обладает конечной погонной энергией и создаёт продольную силу конечной величины [8]. К этому классу относится модель несжимаемого материала Бартенева - Хазановича [12], задаваемая следующим определяющим соотношением:
T = 2^V —роЕ. (5)
Здесь Т - тензор напряжений Коши; ^ - модуль сдвига; Е - единичный тензор; ро - давление в несжимаемом теле, не выражаемое через деформацию; V - тензор растяжения, являющийся положительно определённым квадратным корнем из меры деформации Фингера; F - градиент деформации, отсчитываемый от натурального, ненапряжённого состояния упругого тела.
По указанным выше причинам при решении поставленной задачи о деформации составного цилиндра будем использовать модель материала Бартенева - Хазановича.
Деформация составного цилиндра
За отсчётную конфигурацию составного цилиндра примем такую, в которой точки тела имеют цилиндрические координаты г, 0, z. Эта конфигурация является естественной для внешней цилиндрической оболочки и предварительно напряжённой для центрального включения. Цилиндрические координаты точек составного цилиндра в финальной деформированной конфигурации обозначим R, Ф, Z. Решение задачи о совместном кручении и растяжении составного цилиндра ищем в виде
R = ß(r), Ф = ф + ^z, Z = Az, (6)
где ^ и А - угол закручивания и кратность осевого удлинения в составном цилиндре. Условие
несжимаемости позволяет определить функцию i
ß(r)=A-2 г. (7)
С учётом (7) градиент деформации, соответствующий отображению (6), записывается в виде i
" ';R + ^ еФ) + ^ еФ
eR = ¡! cos Ф + i2 sin Ф, еф = —sin Ф + i2 cos Ф.
Выражение (8), подставленное в (5), даёт представление тензора напряжений Коши во внешнем цилиндре. Для того чтобы найти напряжения Коши во внутреннем цилиндре с дислокацией, в (5) следует заменить F на Р • F, где тензорные множители Р и F выражаются соотношениями (2) и (8). Имеем
Р • F = -= 1 еп ® eR + ( . 1 = + ^^) eß ® еф+
VA(Ao-b^o) Р R VV¿(¿o-b^o) W °
+ ^efl ®1з + (^ + Ло^я)»з®еф+ЛоА»з®»з. (9)
F = A 2(er ® ей + е^ ® еф) + ^¡з ® еф + ^¡з ® ¡з, (8)
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2
При решении уравнений равновесия, описывающих деформацию составного цилиндра, за независимую переменную удобно принять эйлерову радиальную координату Я. Для этого координаты р и г при помощи формул (4) и (7) следует выразить через Я. Результат имеет вид _ 1
р = ^Л(Л0 - Ьф0)Я, г = Л2Я. (10)
Особенностью модели материала Бартенева - Хазановича является запись определяющего соотношения через тензор растяжения V, который вычисляется путём извлечения квадратного корня из тензора. Хотя эта операция в общем случае нетривиальна, для её осуществления известны явные формулы [13]. Используя их, находим с учётом (9), (10) выражение тензора V, отсчитываемого от натуральной конфигурации внутреннего цилиндра: 1
V = (¥т Рт Р ¥)2 = Уккек ®ек + Уффеф ® еф + +Уфг(.еф ® ¡з + ¡3 ® ^ф) + У22\3 ® ¡з, (11)
17 _ _1_ Т7 _ РВц-дВ21 „ _ В11В12+В22В21 Т7 _ РВ22+ЯВ12
Уяя = Ж-Ш Уфф = ж-ад Уф2 = ~72+Г~, ^ = Vр2+«2 , (12)
1+ъ-ф _ ъ-А
^А(А0-Ъ^0У 12 =
В22 = Л0Л, Р = В11 + В22, Ч = В12 — В21. (13)
1
Выражения для компонент тензора V = (Рт • Р)2, отсчитываемого от ненапряжённого состояния внешнего цилиндра, более просты:
( А-2+А)А-2+гр2я2 ( А-^+А)А
У =— V = \ ' У = АхрЯ V = \ ' (14)
Уж = Ту, УФФ = I , , УФ2 = I , , У22 = I , . (14)
А-2+А) +гр2Я2 \(А-2+А) +гр2Я2 \(А-2+А) +гр2Я2
Bu = J+Z,. V В12 = и Т„ „, В21 = Wo+*о№,
Обозначим через Я0 радиус составного цилиндра в конечном деформированном состоянии, а через - радиус границы раздела внутреннего и внешнего цилиндров. Таким образом, центральное включение, содержащее винтовую дислокацию, занимает в деформированной конфигурации область 0 < Я < Я1, а внешний полый цилиндр - область Я1 < Я < Я0. Очевидно, спра-
_1 1
ведливы формулы Я1 = Л 2гъ Я0 = Л 2г0, где ^ и г0 - внутренний и внешний радиусы внешнего цилиндра.
Решение уравнений равновесия
Согласно (5), (11), тензор напряжений Коши для материала Бартенева - Хазановича как во внутреннем, так и во внешнем цилиндрах имеет такое представление в базисе цилиндрических координат:
Т = ак(Я)ек ®ек + Оф(Я)вф ® вф + т2ф(Я)(вф ® ¡3 + ¡3 ® вф) + а2(Я)\з ® ¡3. (15) Уравнения равновесия при отсутствии массовых сил ^^Т = 0) в силу (15) приводятся к одному скалярному уравнению
йок+оЕ-о±=0. (16)
йЯ Я к '
Исключая давление р0 из (5), получим в области 0 < Я < Я1 соотношения
ак-Оф = 21Л(УКК - Уфф), (17)
а2-ая = 21Л(У22 - Укк), (18)
Тф2 = 2цУф2, (19)
где компоненты тензора растяжения выражаются формулами (12), (13) и известны как функции
переменной Я. Уравнение (16) с учётом (17) интегрируется в квадратурах относительно функции
аЯ(Я). После определения аЯ(Я) напряжение а2 находится по формуле (18).
В области Я1 < Я < Я0, занимаемой внешним цилиндром, на основании (5), (14) имеем
I \
aR — аф = 2/л1
Л-2-
2 ( А 2+А )А 2+ip2R2
А 2+А ) +\p2R2
(20)
)
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2
if.-
Л 2+A)À
T0Z = '
V
Л 2+л) +-ф2Я2
1
)
Л-фЯ
(21) (22)
Л 2+Л ) +-ф2я2
Здесь через обозначен модуль сдвига материала внешнего цилиндра. Формулы (20)-(22) служат для решения уравнения (16) относительно Од в области < Я < и определения всех напряжений в этой области. Касательное напряжение т ф% имеет явное представление (19), (12), (13) в области 0 < Я < Я1 и (22) - в области Е1 < R < Е0 и может быть построено как функция радиальной координаты 0 < г < г0 согласно соотношению (7) для функции Я (г) (рис. 1).
Граничные условия, которыми необходимо дополнить уравнение (16), имеют вид
ал(Й1-0) = ал(Й1 + 0), ак(Яо) = 0. (23) Поскольку, согласно (17), (20), разность (он — аф)-известная функция в области 0 < Я < Я0, напряжение а л находится в квадратурах из уравнения (16) с учётом граничного условия (23) в виде
0-
ч" О ' ■■»
'■-л,,..
0.2 0, 4 0.6 0, г S 1
■ ■
р ■
Or = f
RoVrr(R')-V,P,P(R')
dR'.
Рис. 1. Распределение касательного напряжения т 0Z(r) для различных значений длины вектора Бюргерса и при фиксированных значениях параметров ф = 0, Л = 1 и = 0, Л0 = 1 / Fig. 1. Tangential stress diagram for different values of the length of the Burgers vector and for fixed values ip = 0, Л = 1 и ф0 = 0, Л0 = 1
Яг
После этого при помощи (17)-(22) определяются все остальные напряжения.
Для численного исследования влияния сосредоточенной винтовой дислокации на деформации кручения и растяжения-сжатия составного цилиндра модули сдвига материалов внутреннего цилиндрического включения и внешнего полого цилиндра возьмем равными /1 = ^ = 1.
Крутящий момент С и продольная сила Q, действующие на торцах цилиндра, вычисляются по формулам
Р Р Р Р
С = 2п$01 тФZR2dR + 2п тФZR2dR, Q = 2n$01 ozRdR + 2п ozRdR. (24)
Величины С и Q являются функциями активных переменных А и параметрически зависят от ^с, А0, Ъ.
На рис. 2 приведены диаграммы кручения и продольной деформации составного цилиндра для различных значений длины вектора Бюргерса. Влияние сосредоточенной дислокации на полученные зависимости крутящего момента от угла закручивания С(^) при А = 1 и продольной силы от кратности осевого удлинения Q (Я) при ^ = 0 рассмотрено в случае значений параметров ^с = 0, Ас = 1.
Согласно диаграмме крутящего момента (рис. 2а), при одном и том же значении угла закручивания с увеличением длины вектора Бюргерса сосредоточенной дислокации (абсолютного значения Ь) крутящий момент возрастает (по абсолютному значению). Продольная сила (рис. 2б) не зависит от знака длины вектора Бюргерса дислокации. Согласно диаграмме Q(A), для задания одного и того же значения кратности осевого удлинения требуется приложение большей силы при образовании во внутреннем цилиндре сосредоточенной дислокации. Для рассмотренного случая винтовая дислокация в предварительно напряжённом цилиндрическом включении увеличивает сопротивление составного цилиндра кручению и продольному деформированию.
2
1
2
1
Рис. 2. Диаграммы кручения и продольной деформации составного цилиндра при различных значениях
длины вектора Бюргерса и фиксированных значениях параметров р0 = 0, Л0 = 1: а - зависимость крутящего момента от угла закручивания G(p) при кратности осевого удлинения X = 1; б - зависимость продольной силы от кратности осевого удлинения Q(X) при угле закручивания р = 0 / Fig. 2. Diagrams of torsion and longitudinal deformation of a composite cylinder at different values of the length of the Burgers vector and fixed values of parameters р0 = 0, X0 = 1: a - the dependence of torque on the torsion angle G (р) with a multiplicity of axial elongation X = 1; b - the dependence of the longitudinal force on the multiplicity
of axial elongation Q(X) at the torsion angle р = 0
Заключение
В данной работе найдено точное решение новой задачи нелинейной теории упругости о больших деформациях растяжения-сжатия и кручения составного упругого цилиндра. Внутреннее цилиндрическое включение содержит предварительные напряжения, обусловленные наличием сосредоточенной прямолинейной винтовой дислокации. Материал цилиндра считается изотропным и несжимаемым. При помощи полуобратного метода поле напряжений в теле определяется в квадратурах. Получены формулы для крутящего момента и продольной силы, выражающие эти величины как функции осевого удлинения и угла закручивания.
Список источников
1. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. The torsion of a composite, nonlinear-elastic cylinder with an inclusion having initial large strains // Int. J. of Solids and Structures. 2014. Vol. 51, iss. 6. P. 1403-1409.
2. Levin V. A., Zubov L. M., Zingerman K. M. An exact solution for the problem of flexure of a composite beam with preliminarily strained layers under large strains // Int. J. of Solids and Structures. 2015. Vol. 67-68. P. 244-249.
3. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. An exact solution for the problem of flexure of a composite beam with preliminarily strained layers under large strains. Part 2. Solution for different types of incompressible materials // Int. J. of Solids and Structures. 2016. Vol. 100-101. P. 558-565.
4. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. Multiple joined prestressed orthotopic layers under large strains // Int. J. of Engineering Science. 2018. Vol. 133. P. 47-59.
5. Zubov L.M. Universal solution of nonlinear elasticity for a hollow cylinder with prestressed coatings // Acta Mechanica. 2019. Vol. 230. P. 4137-4143.
6. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. An exact solution to the problem of biaxial loading of a micropolar elastic plate made by joining two prestrained arc-shaped layers under large strains // European J. of Mechanics. A Solids. 2021. Vol. 88. P. 104237.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2024. No. 2
7. Zubov L.M., Karyakin M.I. Nonlinear deformations of a cylindrical pipe with pre-stressed thin coatings // Mathematics and Mechanics of Solids. 2022. Vol. 27, № 9. P. 1703-1720.
8. Zubov L.M. Nonlinear Theory of Dislocations and Disclinations in Elastic Bodies. Berlin: Springer, 1997. 208 p.
9. Галаско А.А., Зубов Л.М. Нелинейная теория кручения упругих цилиндров с винтовой дислокацией // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2015. № 4. С. 35-43.
10.Хирт Дж.П., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Мир, 1972. 599 с.
11. Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах. М.: Мир, 1985. 352 с.
12. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
13. Зубов Л.М. Рудев А.Н. Явное выражение для элементов полярного разложения тензора второго ранга // Докл. РАН. 1996. Т. 351, № 2. С. 188-191.
References
1. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. The torsion of a composite, nonlinear-elastic cylinder with an inclusion having initial large strains. Int. J. of Solids and Structures. 2014;51(6):1403-1409.
2. Levin V. A., Zubov L. M., Zingerman K. M. An exact solution for the problem of flexure of a composite beam with preliminarily strained layers under large strains. Int. J. of Solids and Structures. 2015;67-68:244-249.
3. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. An exact solution for the problem of flexure of a composite beam with preliminarily strained layers under large strains. Part 2. Solution for different types of incompressible materials. Int. J. of Solids and Structures. 2016;100-101:558-565.
4. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. Multiple joined prestressed orthotopic layers under large strains. Int. J. of Engineering Science. 2018;133:47-59.
5. Zubov L.M. Universal solution of nonlinear elasticity for a hollow cylinder with prestressed coatings. Acta Mechanica. 2019;230:4137-4143.
6. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. An exact solution to the problem of biaxial loading of a micropolar elastic plate made by joining two prestrained arc-shaped layers under large strains. European J. of Mechanics. A Solids. 2021;88:104237.
7. Zubov L.M., Karyakin M.I. Nonlinear deformations of a cylindrical pipe with prestressed thin coatings. Mathematics and Mechanics of Solids. 2022; 27(9):1703-1720.
8. Zubov L.M. Nonlinear Theory of Dislocations and Disclinations in Elastic Bodies. Berlin: Springer; 1997. 208 p.
9. Galasko A.A., Zubov L.M. Nonlinear theory of torsion of elastic cylinder with a screw dislocation. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2015;(4):35-43. (In Russ.).
10. Hirth J.P., Lothe J. Theory of dislocations. Moscow: Mir Publ.; 1972. 599 p. (In Russ.).
11. Teodosiu C. Elastic models of crystal defects. Moscow: Mir Publ.; 1985. 352 p. (In Russ.).
12. Lur'e A.I. Nonlinear theory of elasticity. Moscow: Nauka Publ.; 1980. 512 p. (In Russ.).
13. Zubov L.M., Rudev A.N. An explicit expression for elements of the polar representation of a second-rank tensor. Doklady Akademii nauk. 1996;41(11):544-547.
Информация об авторах
Л.М. Зубов - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.
С.А. Гайбарян - преподаватель, научно-образовательный центр «Перспективные решения в образовании».
Information about the authors
L.M. Zubov - Doctor of Science (Physics and Matematics), Professor, Department of the Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science.
S.A. Gaybaryan - Lecturer, Scientific and educational center "Promising solutions in education ".
Статья поступила в редакцию 04.02.2024; одобрена после рецензирования 20.02.2024; принята к публикации 24.05.2024. The article was submitted 04.02.2024; approved after reviewing 20.02.2024; accepted for publication 24.05.2024.
