CC BY
5
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 23. Выпуск 4.
УДК 51-72 517 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-4-262-271
Точное решение задачи о поэтапной деформации многослойного цилиндра из несжимаемого гипоупругого материала1
В. А. Левин, А. В. Вершинин, К. М. Зингерман, Д. Р. Бирюков
Левин Владимир Анатольевич — доктор физико-математических наук, профессор, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: v.a.levin@mail.ru
Вершинин Анатолий Викторович — доктор физико-математических наук, профессор, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: vershl984@mail.ru
Зингерман Константин Моисеевич — доктор физико-математических наук, профессор, Тверской государственный университет (г. Тверь). e-mail: zingerman@rambler.ru
Бирюков Данила Русланович — аспирант, Тульский государственный университет (г. Тула).
e-mail: danilabirukov@rambler. ru
Аннотация
Работа посвящена одной из задач теории наложения больших деформаций. Представлен алгоритм точного решения задачи о формировании бесконечного кругового составного цилиндра из некоторого конечного количества гипоупругих слоёв. Задача решается в квазистатической постановке. Модель гипоупругости, соответствующая материалу цилиндрических слоёв, описывается уравнениями состояния с участием коротационной производной Динса. При присоединении каждый очередной слой претерпевает две фазы деформации на протяжении некоторых отрезков времени. Первая фаза деформации — радиальное расширение или сжатие цилиндрического слоя. Вторая фаза деформации - кручение. Каждый очередной слой присоединяется к составному гипоупругому цилиндрическому телу после окончания деформации предыдущего слоя. При этом, деформация каждого гипоупругого слоя влияет на общее состояние составного цилиндра, то есть на все внутренние слои. Требуется определить поле напряжений в составном гипоупругом цилиндре. В работе описаны используемые при решении задаче обозначения и системы координат. Описаны все основные шаги решения задачи, в том числе вычисление компонент тензора напряжений. Также приведены формулы осевой силы и крутящего момента составного цилиндра. Проведены численные исследования. Результаты численных исследований — графики зависимости осевой силы и крутящего момента от параметров деформаций — представлены в конце работы.
Ключевые слова: гипоупругий материал, многослойный цилиндр, растяжение-сжатие, кручение, наложение больших деформаций, точное аналитическое решение.
Библиография: 17 названий.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнаукп РФ в рамках реализации программы Математического центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению №075-15-2019-1621 в части, связанной с постановкой задачи, при поддержке РНФ (проект 22-11-00110) в части, связанной с разработкой метода и алгоритма решения задачи, и при поддержке гранта Президента Российской Федерации для молодых ученых — докторов наук (грант МД-208.2021.1.1) в части, связанной с численными расчетами.
Для цитирования:
В. А. Левин, А. В. Вершинин, К. М. Зингерман, Д. Р. Бирюков. Точное решение задачи о поэтапной деформации многослойного цилиндра из несжимаемого гипоупругого материала // Чебышевский сборник, 2022, т. 23, вып. 4, с. 262-271.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 4.
UDC 51-72 517 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-4-262-271
Exact solution to the problem of stage-by-stage deformation of a multilayer cylinder made of incompressible hypoelastic material
V. A. Levin, A. V. Vershinin, K. M. Zingerman, D. R. Birvukov
Levin Vladimir Anatol'evich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: v.a.levin@mail.ru
Vershinin Anatoliy Victorovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: vershl984@mail.ru
Zingerman Konstantin Moiseevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tver State University (Tver). e-mail: Zingerman@rambler.ru
Biryukov Danila Ruslanovich — postgraduate student, Tula State University (Tula). e-mail: danilabirukov@rambler. ru
Abstract
The work is devoted to one of the problems of the theory of superimposed large deformations. An algorithm for the exact solution of the problem of forming an infinite circular compound cylinder from a certain finite number of hypoelastic layers is presented. The problem is formulated in a quasi-static statement. The hypoelasticity model corresponding to the material of the cylindrical layers is described by the equations of state with the participation of the corotational Dienes derivative. When attached, each successive layer undergoes two phases of deformation over some time intervals. The first phase of deformation is the radial expansion or contraction of the cylindrical layer. The second phase of deformation is torsion. Each successive layer is attached to the composite hypoelastic cylindrical body after the deformation of the previous layer is completed. At the same time, the deformation of each hypoelastic layer affects the general state of the composite cylinder, that is, all internal layers. It is required to determine the stress field in a composite nonlinearly elastic cylinder. The paper describes the notation and coordinate systems used in solving the problem. All the main steps for solving the problem are described, including the calculation of the stress tensor components. The formulas for the axial force and torque of a compound cylinder are also given. Numerical studies have been carried out. The results of numerical studies - graphs of the dependence of the axial force and torque on the deformation parameters - are presented at the end of the work.
Keywords: hypoelastic material, multilayer cylinder, tension-compression, torsion, superposition of large strains, exact analytical solution.
Bibliography: 17 titles. For citation:
V. A. Levin, A. V. Vershinin, K. M. Zingerman, D. R. Biryukov, 2022, "Exact solution to the problem of stage-bv-stage deformation of a multilayer cylinder made of incompressible hypoelastic material" , Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 4, pp. 262-271.
1. Введение
Важным классом задач теории больших деформаций являются задачи о деформации цилиндрических тел. Интерес к данным задачам связан с тем, что цилиндрические тела представляют собой класс тел сравнительно простых форм, и часто аппроксимация реальных тел цилиндрами при моделировании деформаций оправдана. Подобные задачи, связанные с большими деформациями цилиндрических тел, рассматривались, к примеру, в работах [1-7]. В частности, задачи о кручении цилиндров из неупругих материалов рассмотрены в [1,2]. В [3,4] решена задача о кручении составных цилиндров с предварительно напряженным нелинейно-упругим включением. Решение основано на теории наложения больших деформаций [5,6] с использованием одного из универсальных решений нелинейной теории упругости для несжимаемых материалов [7,8], обобщенного на случай гипоупругих тел [2].
В данной работе получено при больших деформациях точное решение квазистатической задачи о напряженно-деформированном состоянии при формировании бесконечного кругового составного гипоупругого цилиндра из некоторого конечного количества гипоупругих слоёв. Это решение является обобщением решений, полученных в [3,4], на случай гипоупругих материалов.
2. Постановка задачи
В начальный момент времени (а также в начальную фазу) рассматривается бесконечный круговой гипоупругий [2,9,10] цилиндр, претерпевающий две фазы деформации. Первая из них - фаза радиальной деформации, происходящая на протяжении отрезка времени 0 < £ < Тр(1). Вторая фаза - фаза кручения, происходящая на протяжении отрезка времени < £ < Т^. Здесь Трп) - момент перехода между фазами деформации п—ого слоя; Т(п) -момент окончания деформации п—ого слоя.
На каждом этапе, рассматриваемом в задаче - с 1 по N - к цилиндру присоединяется очередной внешний слой. То есть, после совершения всех деформаций рассматриваемый объект
- многослойный (состоящий из N гипоупругих слоёв) цилиндр.
Каждый из присоединяемых слоёв при своём присоединении к составному цилиндру проходит через 2 фазы деформации. Для каждого п—ого слоя это фаза радиальной деформации, на протяжении отрезка времени Т(п 1) < £ < ТрП\ и фаза кручения, происходящая на протяжении отрезка времени ТрП) < £ < Т(п\ Каждый новый слой - внешний по отношению к предыдущему - присоединяется к цилиндру после окончания деформации предыдущего слоя.
Модель гипоупругости, описывающая механические свойства материалов цилиндрических слоёв, представлена уравнениями состояния с использованием производной Динса [9-12]:
ф = СУ, (!)
Т + р! = Б, (2)
где И (Б) - производная Динса [13-15] И (Б) = Б — П ■ Б + Б ■ П; Т - тензор напряжений Коши; Б - девиатор тензора напряжений; р - неопределённая скалярная функция (давление),
выражающая среднее по координатам напряжение; V = --тензор скоростей деформации;
Ь = А ■ А-1 - тензор скоростей дисторсий; А - аффинор деформации; С - модуль сдвига; I
- единичный тензор; Б - производная тензора Б по времени ¿; П = ( ■ Qlт - тензор скоростей вращения; ( - тензор поворота из полярного разложения аффинора А.
Задача решается в квазистатической постановке. Требуется определить поле напряжений в многослойном цилиндре.
3. Описание используемых обозначений и систем координат
Обозначим (гт, <рт, гт) цилиндрические коордипаты в т—ом состоянии (в качестве т—ого состояния далее может рассматриваться произвольное состояние с 1—ого по N—ое). Для задачи о растяжении, сжатии и кручении составного цилиндра из несжимаемого материала верно
г — \(т)г 1 ' т — л ' т— 1
^т — ^т-1 + а(т (3)
-2т — 1( ))
Здесь а(т) — к(т) 2т_ и к(т) - относительный угол закручивания на т—ом этапе; А(т) -кратность радиального удлинения на т—ом этапе. Заметим, что А(т) является константой во всех временных интервалах кроме, быть может, интервала
Т(т 1) < í < Т(т),
на котором этот параметр является заданной непрерывной функцией времени.
Аналогично, кт является константой во всех временных интервалах кроме, быть может, интервала
Т(т) < £ < Т(т)
Обозначим теперь ( ^п|т,^>п|т, 2п|т) координаты частиц п—ого стоя в т—ом состоянии. В общем случае, как следует из (3), верно
г , — Ь(п|т)Г ,
п| т п| п 1
^п\т — ^п|п-1 + а(п|т) (4)
2 1 — 2 I 1(Ь(п|т))-2 п| т п| п 1
где
а(п\ш) = к(п\ш) (5)
т
Ь(п|т) — ^Л(г), (6)
I=п
т
к(п|т) — к(п) + £ ^(Ь^1-1^-2. (7)
г=п+1
4. Аффинор деформации
Из (4) (5) следует, что аффинор деформации п—ого слоя при переходе из (п — 1) —ого состояния в т—ое имеет вид
/ L(n\m)cos а(п\т) —L(n|m) sin а(п|т) —kcL(n\m) rn\n-1sina(n\m) \ A(n|n_1|m) = I L(n\m)sina(n\m) L(n\m)cos a(n\m) k(n\m)L(n\m)ríl\n_1cosa(n\m) I . (8)
V 0 0 (L(n\m ))_2 )
В плоскости 2n\n_i = 0, учитывая (5) и, как следствие, a(n\m) = 0, можем переписать формулу (8) в виде
А(п|п-1|т) _
( £(га|т) 0 0
0 ¿(п|т) ^пт^Л \ 0 0 (£(п|т))-2
(9)
5. Девиатор напряжений
Правая неголономная тензорная мера деформации Ег, соответствующая производной Динса, имеет вид
Ег _ Ег 14=0 + /* ( ■ V ■ (йт. (10)
■ 'о
Тензоры V, ( могут быть вычислены с использованием ранее записанных формул (8) (9).
Е
нием уравнения
Б (Е1^ _ V, (11)
при начальном условии Ег 1о _ 0, связана с мерой Ег соотношением
Е _ ( ■ Ег ■ (. (12)
Из формул (1) и (11) следует, что девиатор Б напряжений для гипоупругого несжимаемого
Е
Б_2СЕг. (13)
В дальнейшем девиатор напряжений п—ого стоя в т—ом состоянии обозначим как Данные обозначения опускались в формулах (10) — (13) для удобства записи. Так как формула (10)
состояний.
6. Определение напряжений в составном цилиндре
Значение скалярной функции р(п\т\ выражающей среднее по координатам напряжение п—ого стоя в т—ом состоянии, определяется из уравнения равновесия цилиндра в проекции на радиальную ось:
д (в1пи — р(п|т)) 8Нт) — 8Нт)
+ -11-^^ _0. (14)
(13)
р^ _2С Ар, (15)
■1гт Р
где Кт - радиальная координата внешней границы последнего присоединённого слоя в
(т)
координатах гП .
Вычислив рПп, можно определить тензор напряжений по формуле (2), которую перепишем в виде
T(n) = s(n) _ «(п)т
J- <m V~Jmm ¡J от -1-'
fm
Таким образом, полученная формула (16) позволяет вычислить поле напряжений в цилин-
дре.
Осевая сила в т—ом состоянии вычисляется по формуле:
fRm
ГПт
Nm = 2W (Tm)33pdp Jo
т—
fRm
Мт = 2ж
(Tm)23p2dp.
(17)
(18)
7. Численные исследования
Проведены численные исследования, для чего алгоритм решения задачи был реализован в системе компьютерной алгебры Maple. В численных исследованиях число слоев, последо-
2
соответствующие моментам переходов между фазами деформации:
T(1) = 1, Tj1) — t(1) = 1, T(2) — T(1) = 1, Tf) — Tj(2) = 1.
Радиус внешних) слоя в момент его присоединения принимается за единицу, радиус внут-
2
деформацию на каждом этапе, задаются на соответствующей фазе этого этапа следующим
образом:
А(1) = 1 + (Ai — 1)i, А(2) — А(1) =
t-T
(1)
10
к(1) =
t-T,
(1)
10
fc(2) — fc(1) =
здесь А1 — заданный параметр, характеризующий кратность радиального удлинения внутреннего слоя в момент завершения первой фазы первого этапа деформации.
На рис. 1 и рис. 2 приведены результаты численных исследований графики зависимостей
А1
(2)
завершающего момента времени Т^ . Можно видеть, что зависимости являются существенно нелинейными.
А1
0
Рис. 2: Зависимость крутящего момента от параметра Ai
8. Заключение
Таким образом, получено на основе теории многократного наложения больших деформаций точное аналитическое решение задачи о поэтапной деформации составного цилиндра из несжимаемого гипоупругого материала, когда на каждом этапе к цилиндру присоединяется новый слой, подвергаемый расятяжению-сжатию и кручению. Подробно рассмотрены как модель гипоупругого материала, так и модель, описывающая деформацию цилиндра в данной задаче. Численные исследования демонстрируют возможность точного расчета напряжений в теле при описанных в статье деформациях. Результаты числовых расчетов показывают, что учет нелинейных эффектов в данной задаче является существенным.
Полученное решение может быть использовано при прочностном анализе элементов конструкций, изготовленных посредством последовательного присоединения слоев (например, путем намотки). Также решение может быть применено для верификации программных комплексов для расчета напряженно-деформированного состояния (систем инженерного прочностного анализа) [16,17].
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мартынова Е.Д. Процессы кручения цилиндрических образцов из несжимаемых вязко-упругих материалов Максвелловского типа /7 Прикладная математика и механика. 2019. Т. 83. Вып. 1. С. 95 106.
2. Овчинникова Н.В. Задача о кручении гипоупругого несжимаемого цилиндра /7 Математическое моделирование и экспериментальная механика деформируемого тверд ого тела: Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 3. Тверь: Тверской государственный технический университет. 2020. С. 65-72.
3. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. Torsion of a Composite Nonlinear Elastic Cylinder with Inclusion at Large Initial Deformations /7 International .Journal of Solids and Structures. 2014, V. 51, No. 6. P. 1403-1409.
4. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. Torsion of a Composite Nonlinear Elastic Cylinder with a Prestressed Inclusion /7 Dokladv Physics. 2013. V. 58, No. 12. P. 540-543.
5. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman К.М. An exact solution for the problem of flexure of a composite beam with preliminarily strained layers under large strains // International Journal of Solids and Structures. 2015. V. 67-68. P. 244-249. https://www.sciencedirect.com/ science/article/pii/S0020768315001973?via
6. Levin V.A., Zingerman K.M. A class of methods and algorithms for the analysis of successive origination of holes in a pre-stressed viscoelastic body. Finite strains. Communications in Numerical Methods in Engineering. 2008. V. 24, Issue 12. P. 2240-2251. https://doi.org/10.1002/ cnm.1080.
7. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
8. Truesdell К.: A first course in rational continuum mechanics. Johns Hopkins University, Baltimore, Maryland, 1972, 592 p.
9. Dienes J.K. On the analysis of rotation speed and stress in deformable bodies. Acta Mech. 1979. V. 32. P. 217-232.
10. Dienes J.K. A discussion of material rotation and stress rate. Acta Mech. 1986. V. 65. P. 1-11.
11. Бровко Г.Л. Определяющие соотношения механики сплошной среды. Развитие математического аппарата и основ общей теории. М.: Наука. 2017. 431 с.
12. Бровко Г.Л. Некоторые подходы к построению определяющих соотношений пластичности при больших деформациях // Упругость и неупругость. М.: Московский университет. 1987. С. 68-81.
13. Бровко Г.Л. Объективные тензоры и их отображения в классической механике сплошной среды // Известия АН. Механика твердого тела. 2021. Т. 56. № 1. С. 65-83.
14. Финошкина А.С. Использование новых объективных производных в простейших моделях гипоупругости и пластического течения с кинематическим упрочнением // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика, механика, информатика. 2000. С. 160-166.
15. Финошкина А.С. К построению моделей пластичности при конечных деформациях на основе определяющих соотношений, известных при малых деформациях // Упругость и неупругость: материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения А.А. Ильюшина. М.: Ле-нанд. 2006. С. 256-264.
16. Konovalov D., Vershinin A., Zingerman К., Levin V. The implementation of spectral element method in a CAE system for the solution of elasticity problems on hybrid curvilinear meshes. Modelling and Simulation in Engineering, 2017, 2017, 1797561.
17. Karpenko V.S., Vershinin A.V., Levin V.A., Zingerman K.M. Some results of mesh convergence estimation for the spectral element method of different orders in FIDESYS industrial package. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2016, 158(1), 012049.
REFERENCES
1. Martvnova, E.D. 2019, "Torsion processes of cylindrical samples from incompressible viscoelastic materials of the Maxwell type". Prikladnava Matematika i mekhanika (J. of Applied Mathematics and Mechanics) vol. 83, Issue 1, pp. 95-106.
2. Ovchinnikova, N.V. 2020 "The problem of torsion of a hvpoelastic incompressible cylinder". Mathematicheskoe modelirovanie i eksperimental'naya mekhanika deformiruemogo tverdogo tela: Mezhv. sbornik nauch. trudov. Vvpusk 3. Tver: Tverskov Gosudarstvennv Tekhnicheskiv Universitet. 2020, pp. 65-72.
3. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M.: "Torsion of a Composite Nonlinear Elastic Cylinder with Inclusion at Large Initial Deformations". International Journal of Solids and Structures, 2014, V. 51, No. 6, pp. 1403-1409.
4. Levin, V.A., Zubov, L.M., Zingerman, K.M.: "Torsion of a Composite Nonlinear Elastic Cylinder with a Prestressed Inclusion", 2013, Dokladv Physics, V. 58, No. 12, pp. 540-543.
5. Levin, V.A., Zubov, L.M., Zingerman, K.M. 2015. "An exact solution for the problem of flexure of a composite beam with preliminarily strained layers under large strains", International Journal of Solids and Structures, vol. 67-68. pp. 244-249. https://www.sciencedirect.com/ science/article/pii/S0020768315001973?via
6. Levin, V.A., Zingerman, K.M. 2008, "A class of methods and algorithms for the analysis of successive origination of holes in a pre-stressed viscoelastic body. Finite strains", Communications in Numerical Methods in Engineering, vol. 24, Issue 12. pp. 2240-2251. https://doi.org/ 10.1002/cnm.l080
7. Lurie, A.I. 1980, "Nonlinear theory of elasticity" Nauka, Moscow, 1980, 512 p.
8. Truesdell K. "A first course in rational continuum mechanics". Johns Hopkins University, Baltimore, Maryland, 1972, 592 p.
9. Dienes, J.K. 1979. On the analysis of rotation speed and stress in deformable bodies. Acta Mech. vol. 32. pp. 217-232.
10. Dienes, J.K. 1986, "A discussion of material rotation and stress rate". Acta Mech. vol. 65. pp. 1-11.
11. Brovko G.L.: "Constitutive relations of continuum mechanics", Development of the mathematical apparatus and foundations of the general theory, 2017, 431 p.
12. Brovko G.L.: "Some approaches to the construction of constitutive relations of plasticity at large deformations", Elasticity and inelasticity, M.: Mosk. un-t, 1987, pp. 68-81.
13. Brovko G.L.: "Objective tensors and their mappings in classical continuum mechanics", Mechanics of Solids, 2021, Vol. 56, no. 1., pp. 65-83.
14. Finoshkina A.S.: "Using new objective derivatives in the simplest models of hypoelasticitv and plastic flow with kinematic hardening", Tula State Univ., 2000, no. 6, pp. 160-166.
15. Finoshkina A.S.: "On the construction of models of plasticity at finite deformations based on constitutive relations known at small deformations", Elasticity and Inelasticity: Proceedings of the International Scientific Symposium on the Problems of the Mechanics of Deformable Bodies Dedicated to the 95th Anniversary of A.A. Ilvushin. M.: LENAND, 2006, pp. 256-264.
16. Konovalov, D., Vershinin, A., Zingerman, K., Levin, V. 2017. "The implementation of spectral element method in a CAE system for the solution of elasticity problems on hybrid curvilinear meshes", Modelling and Simulation in Engineering, vol. 2017, paper no. 1797561.
17. Karpenko, V.S., Vershinin, A.V., Levin, V.A., Zingerman, K.M. 2016. "Some results of mesh convergence estimation for the spectral element method of different orders in FIDESYS industrial package". IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, vol. 158, no. 1, paper no. 012049.
Получено: 29.08.2022 Принято в печать: 8.12.2022
