Задача Коши для вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

М.В. Фалалеев

Иркутский государственный университет

Рас сматривается задача Коша для вырожденного интегро-дифференциального уравнения высокого порядка Саема исследования состоит в редукции исходного уравнения к системе Волыперра первого рода и построении непрерывных решений таких систсм Ким дому непрерывному решению системы соответствует непрерывное ре тсние исходной задачи

Ключевые слова: задача Коши, система Волыперра первого рода, непрерывное решение

1. Постановка задачи

Рассматривается задача Коши

г

Вх{к)(1) = V I к^,.з)х(з)с1з + /М, (1)

о

¡^(О) = 0, г = бТЗГП. (2)

Здесь

+ +Л0(г),

В, ЛД/) ,к(1, 5) замкнутые линейные операторы из Е\ в Е2,Е1,Е2 банаховы пространства, оператор-функции ЛД£) и к(Ь,в) достаточное число ра! сильно непрерывно дифференцируемы, О(к) = £)(&(£, в)) и Л = 0(М1)) не зависят от г, ЩВ) = ЩВ), Б(В) С В(к)пА, ЩЩ = О {к) — А — Е\, В - фредгольмов, /(£) - достаточно гладкая функция í

Пусть ср^г = 1,1п - базис ядра Ы{В),4>1,1 = 1 ,т - базис ядра N(3*), 7= 1, т иг„1 = 1,т - соответствующие им биортогональные системы элементов из и через Г будем обозначать оператор Шмидта [1], соответствующий В, а через В+ - псевдообратный оператор [2], связанный с Г соотношением [3]

т

В" V.-

1=1

Задача Коши (1)-(2) в случае постоянных операторов к5) — О

и к = 1, 2 исследовалась ранее в работах [3-8], где в замкнутой форме были построены непрерывные и обобщенные решения этих задач. Интегральное уравнение (1) при к = 0 и к(Ь,з) = к(Ь — й) исследовалось в работах [9; 10], где так же в замкнутой форме были построены непрерывное и обобщенное решения этого уравнения. В данной работе строятся непрерывные решения задачи (1)-(2) в сформулированной постановке.

2. Редукция к системе Вольтерра 1 рода

Решение задачи (1)-(2) будем искать в виде [3]

т

х(1) =Б+г;(*)+ £&(*)¥>., (3)

г=1

< v(t),i/>3 >= 0,3 = l,m, (4)

w(î)(0) = 0, г = 0. А: - 1, ^г)(0) - 0, г = 0 ,к - l,j = 1,т.

После подстановки (3) в (1) получаем относительно v(t) дифференциальное уравнение

t

vik\t) =Dk.i{B+v{t)) + I k(t,s)B+v(s)ds + f(t)+

0

+ E jJ Us)Ht,s)B+lflds + Dk.

которое эквивалентно интегральному уравнению

t N t

V(t) = J IC(t, s) | B+v(s) + £ | ds + j (5)

г=1

здесь

с i*-1»1

s

D;(t) = Aq-1_1(Î) - jt{A~l~l(t)) + - + (-1 = ô^T,

dtz~J

3 = 0,г, A01(t) = A3{t),j=0,k-l Если 7í{t, s) - резольвента ядра IC(t, s)B+, то из (5) получаем

т „ i

i=2 n .

<Pi£tds+

+

(t-s)

k, — l

(k-iy

+

z

I H(t,T)

(t-S)

к-1

(к- 1)!

-dr

f(s)ds

(6)

Отсюда в силу (4) следует, что функции £г(£) удовлетворяют системе интегральных уравнений Вольтерра первого рода

K(t,s) = || KtJ(t,s) =<

b{t) - \\Bj{t) = -J < o

i

I K{t,s)((s)ds = b(t),

IC(t, s) + / 1l(L,T)IC{t,s)dT

Vu^i = 1) Щ

V ; + Tl{t,T)^-r.-'-тгг-dT

(k-iy

(k- 1)!

f(s),ipt > ds,

j = l,m|

Каждому непрерывному решению этой системы по формулам (6) и (3) соответствует непрерывное решение задачи (1)-(2) и наоборот. Следующий раздел посвящен построению непрерывных решений таких систем.

3. Система интегральных уравнений Вольтерра 1 рода

Рассмотрим систему интехральных уравнений Вольтерра первого рода

K(l,9)£(s)ds = b{t)

Пусть выполнено условие

А) все ядра системы Kpi(t, s),p,l = l,m аналитичны в окрестности точки (0,0) при |i| < R, |.sj < R, и все их частные производные до порядка (n ~ 1) включительно обращаются в ноль в точке (0,0), но не все частные производные п-го порядка равны нулю в точке (0,0) Обозначим через Кг] матрицу сосхавленную из (г,^-коэффициентов Маклорена ядер Kpi(t,s) Гогда для матричной функции K(t, s) справедливо разложение

оо

= £ Е Кг№ (8)

т-пг+]=Г

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 1 Точку t = 0 назовем регулярной особой точкой ядра K(t s) ссли матрица А — не вырождена, г е

г-1-j-n

det Е Кгз^О

í+j=r

Далее предполагаем, что t = 0 - peí улярная особая точка ядра K(t, s) Введем ряд матричных функций

¿a(A)= Е ТТ^ТТ' к = п> п = 1> , А + j + 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 2 Характеристическим уравнением, соответствующим системе (7), назовем уравнение

det Ln(X) = 0 (9)

1акое уравнение возникаем ес1ественным образом, если искать ана ли1ическое решение системы (7)

Для каждого натурального корня Ао характеристического уравнения (9) будем предполагать выполненным условие

В) матрица Ln(Aq) имеет полный обобщенный L^'

жорданов набор, т е для базисов ег Е ЛГ(£п(Ао)) и е* 6 Я(Ь*(Ао)), ¿ = 1,по сущссхвуех линейно независимая система векторов {ё^}, г — 1,по, ] —

i ~(i) -I рг е — ег такая, что

и ¡ -

Ln( А0)ёг(1) = 0, ¿„(Ао)ё(2) = 41,(Ао)ег(1),

причем без ограничения общности можно считать, что

<41)(Ао)в!-)-|42)(А0)в;--1) +

+ • (10)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 3 Кратностью натурального корня Ао характеристического уравнения (9) назовем число то = тах{рг,г = 1,по}

Наряду с кратностью введем показатель для корня Ао, а именно, величину д0 = р1 + р2 + + рп о

Решение системы (7) будем искать в виде

(п)

а=0

хде £„(а) =т + Ьб + Са2(1пя)2 + + (1пз)г<>

ЛЕММА 3 1 Если характеристическое уравнение (9) имеет конечное число натуральных корней 0 < А1 < А2 < .. < А 1 кратностей т\,гп2,. ,гп1 с показателями , Ш, выполнены условия А) и В), 6(£) аналитичес-

кая вектор-функция, 6(0) = 6^(0) = = 0) = 0, тогда система (7) имеет формальное (<71 + (¡2 + + 41)- параметрическое решение вида (11), где

' 0, если 0 < а < А^, гп\, если А] < а < А2, т\ + тгг.2, если А2 < а < Аз,

„ тп\ + Т1%2 + . + т/, если \[ < а. Доказательство. Подставим в (7) разложение К(1,э) из (8) и (11) с гп из формулировки леммы Проведем все формальные интегрирования по частям, получим слева логарифменно-степенное выражение. Вначале сумму выражений, стоящих при одинаковых степенях £ слева, приравняем с соохветсгвующим коэффициентом 6(£), а затем в полученных выражениях приравняем суммы коэффициентов, стоящих при одинаковых степенях 1п£

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 131

В результате для вычисления векторов получим рекуррентные соотношения

о» {Х3 + р)хх^р + вп+х (Л, +р- 1)®А,+р_1 +

и~0 ¡1=О

х(хх

)> (12)

где Л() = 0, то = 0, при ] = 1,1 - 1 р — О, А;+1 — А^ - 1, при J = 0 р > О Здесь введены обозначения:

Яа = - вектор-столбец;

= !|ал = ( ^ < 3 ^ = )(

I. О, г > 3

- число сочетаний из п по

О'' - нулевая квадратная матрица р-го порядка; (аза,Ото) - вектор-столбец, _ размерность которого равна сумме т и размерности вектора ха, последние т координат нули, а остальные совпадают с соответствующими координа-I ами вектора ха.

Соотношения (12) позволяют вычислить все векторы £т. При этом векторы = 0, Ах -- 1 последовательно однозначно вычисляются через

1}п+(Н 1

Координаты вектора хХ[ уже содержат <71 свободных параметров Покажем эго В силу линейной независимости системы векторов функциональный коэффициент при степени будем искать в виде

_ 1г> !'4 _

£а,(8) = Е Е^ДЬзУ +£А1 о,

где при каждом фиксированном ¿1 векторы = 1 ,рп принадлежат ли-

нейной оболочке, натянутой на систему векторов = 1,рх} В этом

случае векторы сг 1:п] = 1 ,рн удовлетворяют линейной однородной систе-

г-1Рн+1

ме уравнении, матрица которой получается из матрицы ип удалением первых т строк и первых т столбцов, т.е

— О,

С^Ь^У^-г +С1РчЬ^(Х1)с11Рп =0, С^ЬМс,^ + Ср^Д^АхКр,^ + С2^ 42)(А1)с11Рп = О,

С^ХгГс^г + Хг)сч2 + ... + С^'14Р'1_1) (Л1)сцРч = О

Отсюда последовательно находим

• с -й ё(1)

Здесь А^ - число размещений из п по к, и в силу условия В) спР11_х =

= <1нрч-]е(^ - Ъ^А1 Подставим выражения для снРч и спРп-\ в

третий блок уравнений рассматриваемой системы, тогда

или, в силу условия В), с,1Р1]_2 = (¿лр^-хАр^ ¿ПР1] А^ё^.

Индукцией по у — 0,рг, - 1 получаем

с - " , Ак ё{к+1)

с»1Рц-7 — .¿.Л "г1Рч

к=0

Для вычисления вектора £Л10 имеем неоднородную систему

Ьп(ЛгКА1о - Е + ¿г12 (41)(Л1)в<;)-

11—1

-^(АО^) - ... + (^(М^-

-^(А!)^-1' + ... + } + Ьп+Х1+и

которая в силу условий (10) разрешима относительно при этом все коэффициенты — однозначно определяются через Ьп+д1+1 по

формулам

= (-1)Р'1+1 < Ъп + Х1 + 1,Гг1 > ■

Отсюда находим

?Л,0 = Е Е (-1)^гиё;Г1) + /4(Л1)5п+л1+1-

Здесь все <1Ц) произвольные постоянные, а последнее слагаемое есть частное решение неоднородной системы, записанное через псевдообратную матрицу для Ьп(Х\). Далее, все £т при Ах < а < как видно из (12), однозначно находятся через предыдущие векторы При вычислении компонент £д,(.ч) появятся новые свободные параметры в количестве q2 штук. Чтобы в этом убедиться, достаточно представить £д2(з) в виде

т 1 7по Р*о

а—0 12 = 1.7 = 1

Затем для вычисления компонент векторов с^у надо повторить все рассуждения, проведенные при вычислении таких же векторов для £Л] (й). Для получения £,х>п наД° (Т711 + Раз повторить рассуждения, проведенные при вычислении (0, на каждом таком повторе один блок постоянных в силу условия (10) будет однозначно вычисляться, а другой блок повторяться. В резулыате все свободные параметры окажутся среди координат векторов ^о.ёл.,1,- >£а,ш>-1 и так далее.

Лемма доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ 3.1. Описанный процесс построения формального ло-гарифменно-стеиенного решения однозначно определяет, при выполнении условия В), количество новых степеней логарифма, которые должны появиться в разложении решения при совпадении индекса суммирования а с натуральным корнем Аг характеристического уравнения (9). Если при этом добавить логарифмических слагаемых больше, чем указано в лемме, то коэффициенты при этих дополнительных степенях 1п t при вычислении ■инулятся. Если логарифмических слагаемых взять меньше, то при вычислении координат вектора т1 + гт [ нарушатся условия разрешимости и процесс вычислений остановится.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть характеристическое уравнение (9) имеет I целых неотрицательных корней 0 < А1 < А2 < ... < А; кратностей Ш),т2,...,т| с показателями <72 > • ■ •! <7ь £ = 0 - регулярная особая точка ядра К(1,з), функции К(Ь,з) и 6(£) - достаточно гладкие в окрестности нуля и 6(0) =

Ь(1)(0) = ... = 6{п)(0) = 0. Тогда общее решение системы (7) в классе С[—В,, В] при достаточно большом номере N представимо в виде

N

= + (13)

где $а(з) из леммы г}(з) = о(зпри в 0, т.е. каждая компонента вектора 1](з) есть о(з1^1) при з —» 0, а значит, г)(л) = 5^7(5),7(3) —> 0 при з -> 0 и 7(5) е С[~Я,Щ.

Доказательство. Для функций К"(£, й) и 6(£), в силу условий теоремы, справедливы разложения

п + .Ы

к^,з)= £ Е КцМ+Г(1,з),

г=а l+J=l

п + ЛЧ 1

ь(о= Е ьге+щ,

I =п+1

причем при £ О Г{1,1) - о(Г+л,),<5(£) = о(Г+лг+1). Подставим эти разложения и (13) в уравнение (7). По доказанной лемме относительно 7(5) получаем систему

I

о

где

ж*) = т - Е [т,*)и*)зас1з 1 - 0(г^лч1) «=<) ^ )

при £ —> 0. Продифференцируем эту систему один раз

I" К+ 1'зк1ф,з)%ч)дз = ({),$'(() = 0.

о

¡¡ля функции К(1, /) справедливо следующее асимптотическое представле-

ние

здесь о(1) - квадратная матрица ш-го порядка, каждая компонента которой есть о{ 1) при t 0. Поскольку t = 0 - регулярная особая точка ядра K(t, s), го при достаточно малом t матрица (А + о(1)) обратима и для 7(t) получаем систему

7 (i) = K7«, (14)

1де

о •

Докажем сжимаемость оператора К, заданного на пространстве непрерывных вектор-функций с нормой ||7(s)|j = max max |7j(s)|. Этим будет доказана однозначная разрешимость уравнения (14) в пространстве С[—R, Л] В силу iпадкости ядер Kij(t, s) в окрестности (0; 0) получаем, что при |i| < R и js| < R найдутся две положительные константы с\ и с2 такие, что

цх;(м)11 <сМ + \*\)п~\ ¡¡(A + oii))-1!!^^.

Следовательно, V71(t),72(i) 6 C[-R, Л] имеем

||K7x(i) - K72(i)|| < С1С2 j _ -7-2(i)|| <

0

П-1 1 71-1

0

Итак, для достаточно большого N оператор К будет сжимающим, а значит, уравнение (14) однозначно разрешимо в С[—R, Я]. Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ 3.2. Утверждения леммы 3.4 и теоремы 3.6 являются обобщениями аналогичных результатов, полученных ранее H.A. Магницким и авюром для одного интегрального уравнения Вольтерра первого рода [11], [12].

ТЕОРЕМА 3.2. Если для задачи (1)-(2) и соответствующей ей системы (1) выполнены условия теоремы 3 Ь, то задача (1)-(2) имеет [q\ + g2 + .-I-qi)-napaMempu4ccKoe непрерывное решение, которое можно выписать в соответствии с формулами (3), (6), (13), (12), (14)-

-(г)

ЗАМЕЧАНИЕ 3 3 Если в условиях теоремы 3 6 не все Ь (0) равны нулю, то можно поставить и решить задачу о построении обобщенных ре шений задачи (1)-(2)

Список литературы

1 Вайнберг М М , Треногин В А Теория ветвления решении нелинейных урав нении М Наука 1969 528 с

2 Nashed М Z Geneiahzed Inveises and Applications Academ Ргеьь New York, 1976

3 Сидоров H А, Романова OA О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнении с вырождением // Диффе ренц уравнения 1983 Т 19 №9 С 1516 1526

4 Сидоров Н А , Фалалеев М В Обобщенные решения дифференциальных уравне нии < фред''ольмовым оператором при производной // Дифференц уравнения 1987 Т 23 N 4 С 726 728

5 Фалалеев М В Обобщенные решения дифференциальных уравнении с оператором конечного индекса при производной // Методы оптимизации и их применения Ир кутск Изд во Сибирск энергетич ин та, 1988 С 231 237

6 Фалалеев М В Непрерывные и обобщенные решения одного класс а дифференци алтых уравнении второго порядка с вглрождением в банаховых пространствах // Краевые ¡адачи Иркутск Изд во Иркут ун та, 1990 С 54 62

7 Фалалеев М В Обобщенные pcuie ния дифференциально, о уравнения второго по рядка с фред ольмовпк оператором при старшей производной в банен овыс про с транс швеи Иркутск Изд во Иркут ун та (в печати)

Ь Фалалеев М В Непрерывные и обобщенные решения вырожденного дифференци ильного уравнения второго порядка в банаховых пространствах // XVI Всесоюзн шк по к ории операторов в банаховых пространствах Тез докл Н Новгород Изд во Ниже город ун га, 1991 С 232

9 Сидоров Н А Об одном классе интегральных уравнений Вольтерра с выромеде нием в банаховых прострете твах М 1982 Деп в ВИНИТИ №2579 82

10 Сидоров Н А , Фалалеев М В Обобщенные решения вырожденных дифференци ачньи и нтс ранних уравне нии в банаговых пространствах // Меюд функции Ляпунова в аналии динамики систем Новосибирск Наука СО АН СССР 1987 С 308 318

11 Магницкий Н А Асимптотика решении интегрального уравнения Волетсрра 1 рода // ДАН СССР, 1983 1 269, N1 С 29 32

12 Фалалеев М В Асимптотические представления не прерывных и обобщенных ре шении шппегрального уравнения Вольтерра 1 рода М 1987 Деп в ВИНИТИ М 1553 В87 44с '

SUMMARY

Of concern ib the Cauchy problem for the degenerate mtegro-diffeiential equation of high order Ihe schemc of research includes the reduction oi initial equation to the 1st type Volterra system and the construction of such system с ontmuous solution Every continuous solution of the system corresponds to a continuous solution of initial problem