Задача Коши для уравнения sin-Гордона и однозначная определенность псевдосферических поверхностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ПГПУ

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.7+517.2

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ SIN-ГОРДОНА И ОДНОЗНАЧНАЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ПСЕВДОСФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

© А. Г. ПОПОВ

МГУ им. М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики e-mail: ap129@yandex.ru

Попов А. Г. — Задача Коши для уравнения sin-Гордона и однозначная определенность псев-досферических поверхностей // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 184—185.

— Устанавливается нелокальная разрешимость задачи Коши (существование и единственность ее решения) для уравнения sin-Гордона. Геометрическим приложением этого результата является доказываемая теорема об однозначной определенности псевдосферических поверхностей по их сингулярным особенностям (в частности, по нерегулярным ребрам возврата).

Ключевые слова: уравнение sin-Гордона, псевдосферические поверхности, геометрия Лобачевского

Popov A. G. — The Cauchy problem for the sine-Gordon equation and the unique definiteness of the pseudospherical surfaces // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 184—185. — Nonlocal solvability of the Cauchy problem for the sine-Gordon equation is proved. The established unique definiteness of pseudospherical surfaces according to their singularities is a vital geometrical consequence of this result.

Keywords: the sine-Gordon equation, pseudospherical surfaces, Lobachevsky geometry

1. Задача Коши для уравнения вт-Гордона: существование и единственность решения. Постановка задачи Коши для уравнения 8ш-Гордона с начальными данными для искомой функции г(и, V) и ее производной ги(и, V) на кривой / : V = /(и) определяется как:

гиу = эт г,

г(и /(и)) = М(и) (1)

г„(и, /(и)) = ^(и).

Будем предполагать, что /(и) € С”, п > 2 и /'(и) имеет постоянный знак на некотором отрезке [«1,^2] (для обеспечения существования обратной функции /-1^) € С”). Для определенности будем полагать, что функция /(и) является убывающей: /'(и) < 0 при и € [и1,и2]. Используем обозначения VI = /(и1), V2 = /(и2) позволяющие ввести в рассмотрение прямоугольник П = [иьи2] х ^1^2].

Теорема 1. (Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения вт-Гордона) Пусть ^(и) € С”[и1, и2], V(и) € С”-1[и1,и2]. Тогда при принятых выше условиях на функцию /(и) в пря-

МА ТЕМАТИКА

моугольнике П = [и1, и2] х [V1,V2] существует и притом единственное решение г(и, V) € С”(П) задачи Коши для уравнения вт-Гордона.

Доказательство теоремы основывается на рассмотрении интегрального аналога задачи Коши:

с!_1М Г и г V

v(s)ds +

Ч-1^) Jf(s)

При изучении интегрального уравнения (2) задается итерационная последовательность:

f (v) /•« rv

z(u, v)= ^(/-1(v)) — / v(s)ds + / ds / sin z(s, t)dt. (2)

./« Jf-1(v) Jf(s)

f (v) ,-u ,-v

zfc+i(u,v)= ^(/-1(v)) - / v(s)ds + / dW sinzfc(s,t)dt (3)

A .//-l(v) .//(s)

с начальной (нулевой) итерацией zo = 0. Соответственно первая итерация zi(u, v) имеет вид

/-1(v)

f (v)

Z1 = м(/-1(v)) — V (s)ds.

J u

Задаваемая посредством рекуррентной связи (3) последовательность {z^(u,v)} равномерно сходится при k ^ то к точному решению z(u,v) задачи Коши (1), что следует из получаемой оценки для последовательных итераций:

|zk(»,») - Zk_,(u,v)| = (" - f- f (u))k . (4)

2. Теорема об однозначной определенности псевдосферических поверхностей. Теорема 1 имеет важное геометрическое следствие, связанное с геометрией Лобачевского. В частности, с задачей получения регулярных изометрических погружений частей плоскости Лобачевского в евклидово пространство E3. Возможная реализация двумерной геометрии Лобачевского в E3 связана с построением и изучением псевдосферических поверхностей [1, 2, 3].

Теорема 2. (Теорема об однозначной определенности псевдосферических поверхностей). Пусть имеется регулярная пространственная кривая L С E3, задаваемая своим радиус-вектором R (s) (s - естественный параметр) и характеризуемая кривизной k(s) и кручением a(s), а = ±1.Тогда для всякого фрагмента кривой L : s € [si, S2] на котором k(s) > 0, всегда возможно в параметрической плоскости (u, v) указать прямоугольник П = [u(si), u(s2)] х [v(si), v(s2)] и соответственно две части некоторой псевдосфериче-ской поверхности в пространстве E3, заданные на П, для которых кривая L будет являться ребром возврата.

Наглядно поясняя результат теоремы 2, можно сказать, что для всякой регулярной кривой L С E3 (при выполнении требований теоремы 2) всегда можно однозначным образом указать примыкающую к ней псевдосферическую поверхность, для которой L будет являться нерегулярным ребром возврата.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Э.Г. Позняк, А.Г. Попов, Геометрия уравнения sin-Гордона // Итоги науки и техники (ВИНИТИ). Проблемы геометрии., 1991, Т.23, С.99-130.

2. A. G. Popov, The Non-Euclidean geometry and differential equations. // Singulaties and Differential Equations. Banach Center Publications., 1996, V.33, P.297-308.

3. A. G. Popov, E.V. Maevsky, Analytical approaches to the study of the sine-Gordon equation and pseudospherical surfaces. // J. Math. Sci., New York, 2007. V.142, No.5, P. 2377-2418.