Задача идентификации коэффициентов при младших членах в системе составного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics 2009, 2(3), 288-297

УДК 517.9

Задача идентификации коэффициентов при младших членах в системе составного типа

Полина Ю.Вячеславова Роман В.Сорокин*

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный 79, Красноярск, 660041

Россия

Получена 18.04.2009, окончательный вариант 20.05.2009, принята к печати 30.06.2009 В работе доказана однозначная разрешимость задачи идентификации четырех коэффициентов при младших членах в системе составного типа в случае данных Коши.

Ключевые слова: задачи идентификации коэффициентов, обратные задачи, уравнения в частных производных, системы составного типа, метод слабой аппроксимации.

В работе исследуется задача идентификации коэффициентов при младших членах в системе составного типа. Системы такого вида описывают колебания среды с учетом влияния теплопроводности [1, 2], различные линеаризованные задачи механики неоднородных жидкостей. Задачи идентификации функции источника в системах составного типа исследовались в работах Ю.Я.Белова, Т.Н.Шипиной, Р.В.Сорокина [3, 4, 5], при этом результаты были получены в классах функций, быстро убывающих на бесконечности по выделенной пространственной переменной. В данной работе результат получен в классах гладких ограниченных функций.

В полосе С[о,т] = {(£, х) | 0 ^ £ ^ Т, х € Е} рассматривается задача определения действительнозначных функций (м1(£, х), п2(£, х), 6ц(£), 612(£), ^21 (£), &22(£)), удовлетворяющих системе уравнений

2

п^, х) + ац(£)пХ(£, х) + Ь1к(£)ик(£, х) = V(£)пХХ(£, х) + fl(t, х),

к= (1) п2(£, х) + а22(£)пХ(£, х) + Ь2к(г)пк(£,х) = /2(4, х),

к = 1

начальному условию

пк(0, х) = пк(х), к = 1,2, (2)

и условиям переопределения

пк(£, 0) = ак(£), пк(£,/) = вк(£), к = 1, 2. (3)

Считаем, что выполнены условия согласования

пк(0) = ак(0), пк(/)= вк(0), к =1,2. (4)

Здесь акк(£), /к(£, х), пк(х), ак(£), вк(£) (к = 1,2), v(t) — заданные действительнозначные непрерывные в С[о,т] функции.

* e-mail: rsor@mail.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

Пусть выполняется соотношение:

|ai(t)e2(i) - «2(^)^1 (t)| > 6> 0, t € [0,T], 6 - const.

(5)

Приведем обратную задачу (1)—(3) к некоторой вспомогательной прямой задаче. Для этого положим в системе (1) х = 0, а затем х = I.

6u(t)ai(t) + 6i2(t)«2(t) = v(t)uXx(t, 0) + fi(t, 0) - an(tK(t, 0) - ai(0), b2l(t)ai(t) + &22(t)«2(t) = f2(t, 0) - 022(t)uX(t, 0) - «2 (0), bii(t)ei(t) + 6i2(t)^2(t) = v(t)uXx(t, l) + fi(t, l) - an(t)uX(t, 1) - ei(l), b2i(t)ei(t) + b22(t)^2(t) = f2(t,1) - a22(t)uX(t,1) - в2 (l).

(6)

Рассмотрим (6) как систему линейных алгебраических уравнений относительно Ьц(£), &12 , ^21^), ^22 (£) с определителем

ai(t) a2(t) 0 0

0 0 ai(t) a2(t)

ei(t) ^2(t) 0 0

0 0 ei(t) ^2(t)

(ai(t)e2(t) - a2(t)ei(t))2

Условие (5) гарантирует существование единственного решения (6ц(£), &12, &21 &22(^)) системы (6) при всех Разрешая (6) методом Крамера, получаем

bii(t) = AiuXx(t, 1) + A2uX(t, 1) + A3uXx(t, 0) + A4uX(t, 0) + A5,

bi2(t) = BiuXx(t, 0) + B2uX(t, 0) + B3«Xx(t, l) + B4uX(t, 1) + B5.

4(M) + C2uX( 22

&2i(t) = CiuX(t,1) + C2<(t, 0) + C3, b22(t) = DiuX(t, 0) + D2uX(t, 1) + D3.

Здесь

Y(t) = ai(t)e2(t) - a2(t)ei(t),

Ai(t) = Ae(t) =

V (t)^2(t) Y(t) ' -v(t)^4 (t)

A2(t) =

A4(t)

-aii(t)e2(t)

Y (t) ' aii(t)^4(t)

A5(t)

Y(t) ' 7 Y(t) '

(fi(t, l) - в3(1))^2(t) - (fi(t, 0) - ei (0))^4(t)

Bi(t) =

B3(t)

v (t)^3(t) Y(t) '

-v(t)ei (t)

Y(t)

B2(t) =

B4(t)

-aii(t)^3(t)

Y(t) '

an(t)ei(t)

B5 (t)

Y(t) Y(t)

(fi(t , 0) - ei(0))вз(t) - (fi(t,1) - в3(i))ei(t)

Ci(t) =

-Q22(t)e2 (t)

Y(t) '

Y(t)

C2 (t) =

«22(t)e4 (t) Y(t) '

C3(t) =

(/2 (t, 1) - в4 (1))в2 (t) - (f2(t, 0) - в2 (0))e2(t)

Y(t) :

ад) =

-Д22(*Щ*) 7(*) '

^2 (4) =

Д22(*)в1(*) 7(<) '

ад) =

ад,0) - в2(0))вз(*) - ад, 1) - в4(0)ад)

7(<) '

Заметим, что Ао(4),Во(4), Со(4), До(4) — известные функции.

Подставляя полученые выражения в (1), приходим к следующей прямой задаче:

(4, х) + ап(*)и£(*, х) + (А1) + ^(4, 1) + А0) + 0) + А5)и1 (4, х) + (В^^, 0) + Вг«^, 0)+

1) + 1) + Вб)м2(4, х) = V(4)иХх(4, ж) + /1(4, х),

(4, х) + а,22(фХ(4, х) + (С1мХ(4,1) + С2м£(£, 0) + Сз)и^4, х)+

+ 0) + 1) + £з)и2(4, х) = /2(4, х),

(7)

г(0, х) = и§(х), к = 1, 2.

(8)

Ниже докажем классическую разрешимость задачи (7)—(8).

Для доказательства существования решения задачи (7)—(8) применим метод слабой ап-

т

проксимации [6, 7]. Расщепим задачу и линеаризуем ее сдвигом по времени на ^ на втором дробном шаге.

и1т (4,х) + 2а11(ф1т (4,х) «2т (4,х) + 2а22(4)м^т (4,х)

2v (*)<;(*, х), 0, пт < 4 < (п + 1 )т,

(9)

«1т(4, х) + 2(- 2,1) + А«Х(4 - 2,1) + А«^ - 2, 0) +

+А4«Х(4 - 2, 0) + А5)и1т(4, х) + 2(В1иХж(4 - 2, 0) + В2иХ(4 - 2, 0)+ +Вз«Хх(4 - 2,1) + В4«Х(4 - 2,1) + В5)«)2т(4, х) = 2/1(4, х) «2т(4, х) + 2(С1«Х(4 - 2,1) + С2«Х(4 - 2, 0) + Сз)«1т(4, х)+

+2(^1 ад - 2, 0) + - 2,1) + ^з)«2т(4, х) = 2/2(4, х),

(п + 2 )т < 4 < (п + 1)т,

и0 (4, х)

г<0

«о (х),

к = 1, 2,

здесь п

0,Ж - 1, тЖ = Т.

(10)

(11)

Отметим, что на первом дробном шаге решается задача Коши для параболического уравнения и уравнения первого порядка в частных производных. На втором дробном шаге решается система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Введем следующие обозначения:

и т (4)

ЕЕ иОт (4),

0=1я=0

и0т (4)

вир вир

дя

ах? «0т (п,х)

ио (0) = вир

дя

дх? «0(х)

(12)

(13)

Функции ит (4) и и (4) являются неубывающими.

1

и

г

2

и

г

и

Относительно входных данных предполагаем, что они достаточно гладкие, имеют все непрерывные производные, входящие в следущие соотношения, и удовлетворяют им:

|ajj(t)| < C, (j = 1, 2),

ds

ТГ" f k (t,x)

dxs v '

QS

dXS «S(x)

< C, (s = 0,4, k = 1, 2),

< C, (s = 0,4, k = 1, 2),

|A(t)| + |ai(t)| + |ei(t)| + |ai(t)| < C, (i = 0, 2) |v(t)| < C.

(15)

(16)

(17)

(18) (19)

Получим априорные оценки, которые гарантируют компактность семейства решений (и1т(£, х), и2т(¿,х)) задачи (9)—(11) в классе непрерывных функций. Рассмотрим нулевой целый шаг по времени (п = 0). На первом дробном шаге имеем систему уравнений:

| «1т(t, x) + 2an(t)wXT(t, x) = 2v(t)«XX(t, x), (t,x) +2a22(t)wXT(t,x) = 0, 0 < t < 2.

(20)

Рассматривая первое уравнение системы, в силу принципа максимума получим, что

(t,x)| ^ sup |м1(х)|, при 0 < t ^ 2 •

ЖЁЁ1

Второе уравнение системы (9) — уравнение первого порядка в частных производных, и его решение известно: и2т(£, х) = (х — у>(£)), где у/(£) = а22^), ^(¿)|(=о = 0. Отсюда получаем

|м2т(t, x) | ^ sup |«0(x)|

xeE i

при 0 < t ^ ^.

Сложив полученные оценки, приходим к неравенству

|«1т (t, x) | + |«2т (t, x)| ^ sup I«1 (x)| + sup |«0(x)| ,

xeE i

xeE i

0 <t < 2 .

(21)

Аналогично, дифференцируя (9)—(11) по х от одного до четырех раз и повторяя рассуждения, получим оценки

ds

dxs «1т (t,x)

+

ds

dxs «2т (t,x)

<

^ sup

xeEi

dxs «0(x)

+ sup

xeE i

dxs «0(x)

, 0 <t < -, s = 1, 4. (22)

Возьмем от левых частей неравенств (21),(22) sup sup и сложим полученные пять

o^n^t xeEi

неравенств. Учитывая обозначения (12)-(14), получим

ит(t) < и(0), 0 <t < -.

(23)

s

s

На втором дробном шаге, проинтегрировав уравнения системы (10) в пределах от ^ до I, получаем:

t

(t,x)| < |ulT (2 (|fl(n,x)| + (|Ai||uXx(n - 2,1)1 +

|м1т(t,x)

+ |A2| |uX(n - 2,1)| +1 A31 |«L(n - 2,0)| + |A4| |uX(n - 2, o)| +

+ |AS|) |ulT(n, x)| + (|Bi| |uXx(n - 2,0) | + |B2| K(n - 2,0)| +

ч ,,x

+ |Вз| |uXx(n - 2,1)| + |B4| |uX(n - 2,1)| + |BsO|u2T(n,x)0 dn,

,2T (t,x)| < |u2T (2 ,x)|+2y (|f2(n,x)| + (|Ci ||uX(n - 2,1)| +

+ |C21 |uX(n - 2,0)| + Сз|) |ulT(n, x)| + (|Di| |uX(n - 2,0) | +

+ |D2| |uX(n - 2,1)| + |D3| )|u2T(n,x)|) dn, 2 <t < T.

Возьмем sup sup от правых, а затем левых частей неравенств. Учитывая обозначения (12)-(14), получим:

t

UolT(t) < UolT (2) + 2oJ [1 + (1 + U1T(n - 2) + UilT(n - 2))u1(n)+

—1 + UlT(n - 2) + UlT(n - 2)) Uo2 (n)] dn

Uo2T(t) < Uo2T (2) +2c f [1 + (1 + Ul2T(n - 2))Ul(n)+

—1 + u2t(n - 2))U2(n)] dn, 2 <t < T.

Сложив неравенства (24), получаем UolT (t) + Uo2T (t) < UolT (2) + Uo2T (2) +

+ 2c| [1 + (1 + UllT(n - 2) + UlT(n - 2)+

(24)

+и2т(п - 2)) (иКп) + Ц? (п))] ¿п, 2 <* < т. (25)

Дифференцируя задачу (9)—(11) по х от одного до четырех раз и повторяя рассуждения, приведенные выше, получим неравенства

(*) + и2т (*) < (2) + и2т (2) +

t

+ 2c f [1 + (1 + UllT (n - 2) + UlT (n - 2)+

+Ul2T(n - 2)) (Us1 (n) + U2(n))] dn

2 <t < T, s = 1,4. (26)

Суммируя неравенства (25)—(26), получаем

г

ит(г) < ит(2) + с I (1 + (1 + ит(п - 2)) ит(п)) ¿п, 2 < г < т.

т 2

В силу неотрицательности и монотонности функции ит (г) на любом полуинтервале (?т, (а + 1)т] приходим к неравенству

г

ит(г) < ит(2) + с! (1 + (1 + ит(2)) ит(п)) ¿п <

т 2

г

< ит(2) + с (1 + ит(2)) у (1 + ит(п)) ¿п, 2 < г < т.

Учитывая неравенство (23), на нулевом временном шаге получим

г

ит(г) < и(0) + с (1 + и(0)) у (1 + ит(п)) ¿п 0 < г < т.

о

Отсюда, используя неравенство Гронуолла,

ит(г) < (и(0) + 1)еС(1+и(0))г - 1 < (и(0) + 1)еС(1+и(0))т - 1, 0 <г < т. (27)

Оценка функции ит (г) на нулевом целом шаге получена.

Повторяя рассуждения, приведенные выше, и учитывая (27) на первом дробном шаге (т < г ^ 2т), нетрудно показать, что

с

е

(и (0) + 1)е

С(и (0) + 1)т

т - 1, 0 < г < 2т.

ит(г) < [(и(0) + 1)ес(и(0) + 1)т

Предполагая, что т достаточно мало и выполняется неравенство

еС(и(0) + 1)т ^ 2,

получим

ит(г) < (и(0) + 1)е3С(и(0)+1)т - 1, 0 < г < 2т. На втором дробном шаге (а = 2) при условии е3С(и(0)+1)т ^ 2 имеет место оценка

ит(г) < (и(0) + 1)е5С(и(0)+1)т - 1, 0 < г < 3т,

и так далее.

На ]-м шаге (а < N)

ит(г) < (и(0) + 1)еС(и(0)+1)(ад+1)т -1, 0 < г < (а + 1)т.

Рассмотрим постоянную г*, 0 < г* ^ Т, удовлетворяющую неравенству

е2С(и(0)+1)г* ^ 2.

Заметим, что г* не зависит от т, поскольку константы с и и(0) не зависят от т. Таким образом, справедлива оценка

ит(г) < (и(0) + 1)еС(и(0)+1)2г* - 1 < с, 0 < г < г*.

Получили равномерно по т

2 4 д*

ЕЕ

к=1 я=0

дХ* икт (г,х)

< с, (г,х) е с[0,г1. (28)

Легко заметить, что в силу (15)-(19),(28) правые части уравнений (9), (10) ограничены равномерно по т на любом временном шаге, попадающем в отрезок [0, г*], следовательно, справедлива равномерная по т оценка

|и1т(г, х)| + |и2т(г, х)| < с, (г,х) е с^г*].

Дифференцируя уравнения (9), (10) по переменной х и используя оценки (15)-(19), (28), получим равномерно по т:

(г, х)| + |«2т(г, х)| < с, (г,х) е С[0,г*].

Дифференцируя уравнения (9), (10) по переменной х дважды и используя оценки (15)-(19),(28), получим равномерно по т:

|м4тж(г, х)| + |м4тж (г,х)| < с, (г,х) е с^г*]. (29)

Оценки (28),(29) гарантируют равномерную по т ограниченность и равностепенную непрерывность семейства решений икт (г, х) в С[0,г*] вместе с их производными по х до второго порядка включительно.

В силу теоремы Арцела о компактности и теоремы сходимости метода слабой аппроксимации [6] некоторая подпоследовательность икт| (г, х) последовательности икт (г, х) решений задачи (9)—(11) сходится вместе со своими производными по х до второго порядка включительно к решению задачи (7)—(8).

Таким образом, доказана разрешимость задачи (7)-(8).

Покажем, что решение задачи (7)—(8) удовлетворяет условиям переопределения (3). Положим х = 0 в системе (7), получим

и1 (г, 0) + ап(г)и£(г, 0) + (Ащ^М) + ^^(М) + Аз^^, 0) + А^г, 0)+

4(г, 0) + В2«Х(г, 0) + Вц^

+40 (и1(г, 0) ± в1(г)) + (В1«Хх(г, 0) + ^(г, 0) + В^*, 1)+

+Й4М X(г, 1) + В5)(м2(г, 0) ± в2(г)) = V(г)и Хх(г, 0) + /1 (г,0),

«2 (г, 0) + а22(г)«Х (г, 0) + (с^ X (М) + с2 «X (г, 0)+

+сз)(«1(г,0) ± в1(г)) + (А« X(г, 0) + £2« X(г, 1)+

+£з)(«2 (г, 0) ± в2(г)) = /2(г,х).

Введем обозначения

к1 = и1(г, 0) - а1(г), к2 = и2 (г, 0) - а2(г).

С учетом условий согласования (4) функции к1 (£), к2(£) являются решением задачи Коши

|А1(£)к1 + 71(£)к2 = к' (£),

\л2(£)к1 + 7 2(£)к2 = к2 (£), к1(0)=0, к2(0)=0,

где А3(4),73= 1, 2 — функции, выражающиеся через коэффициенты системы (1) и производные по х функций п3 (4, х) при х = 0 и х = /.

Очевидно, что к3- (4) = 0 является единственным решением системы, следовательно, п1(£, 0) = а1(£), п2(4, 0) = а2(4) при 4 € [0, Т], и мы доказали выполнение первой пары условий переопределения (3).

Полагая х = / в системе (7) и повторяя рассуждения приведенные выше, с учетом условий согласования (4), получаем, что п1(£,/) = в1(£), п2(4,/) = в2(£) при 4 € [0, Т]. Таким образом, доказали выполнение второй пары условий переопределения (3).

В результате доказано, что решение прямой задачи (7)—(8) является решением обратной задачи (1)-(3).

Покажем, что решение задачи (1)-(3) единственно.

Пусть и = (п1(£, х), п2(4, х), Ь11 (£), Ь12(£), Ь21(£), Ь22(£)), и = (м1(£,х), м2(£,х), Ь11(£), Ь12(4), 621(4), Ь22(£)) — два различных решения задачи (1)-(3).

Введем функции:

х) = п1(£, х) — и1 (4, х), ^2(4, х) = п2(4, х) — м2(£, х), ^и(*) = Ьц(£) — Ьп(£), ^12(4) = Ь12 (£) — 612(4), <^21 (4) = Ь21 (4) — Ь21(4), ^22(4) = Ь22(4) — Ь22(4).

Нетрудно получить, что (^1(4, х), ^2(4, х), ^ц(4), ^12(4), ^21 (4), ^22(4)) есть решение задачи:

(4,х) + аи(4)^1 (4,х) + Ьц(4)^1(4,х) + ^ц(4)м1(4, х)+

+Ь12(4)^2(4, х) + у>12(4)м2(4, х) = v(t)w,1x(t, х), (4,х) + а22(4)^2(4,х) + Ь21(4)^1(4, х) + ^21(4)м1(4, х)+

(30)

+Ь22(4)^2(4, х) + ^22(4)м2(4, х) = 0,

шк(0, х) = 0, х € Е1, (31)

^к(4,0)=0, шк(4, /) = 0, 4 € [0,Т],к = 172. (32)

Рассмотрим уравнения системы (30) при х = 0 и х = / с учетом (31)-(32). Разрешим систему полученных четырех уравнений относительно у>ц(4), ^12(4), ^21 (4), ^22(4). Подставляя полученные выражения в (30), приходим к прямой задаче определения пары функций (^1(4,х), ^2(4,х)):

^ + «11(4)^1 + Ь11(4)^1 + (М^х^г - а11(4)^1|х=г)^2 —

— (V (*)"Хх1х=о — ац(4)^Х |х=о)в2)7 (4)-1 + &12 (^2 +

+ (4)^1х|х=0 — «11(4)^1 |х=0)в1 —

— (v (4)^1ж|х= — «11(4)^11 х=г)^0 7 (4)-1м2 = К4^ x,

+ «22(4)^2 + Ь21(4)^1 + (а22(4)^21 х=ов2 — «22(4)^^1 х=;<£>)) 7 (4)-1 +

+Ь22(4)^2 + («22(4)^21 х=г^1 — «22(4)^21 х=ов1 ЬМ-1«2 = 0,

(0, x) = 0, x e E1, k = 1, 2.

(34)

Покажем, что ш1^, х) = (2(£,х) = 0. Рассмотрим неотрицательные, неубывающие на отрезке [0, £*] функции.

#S(t) = sup sup

o^e^t xeEi

as

k = 1, 2.

(35)

Применив принцип максимума к первому и второму уравнениям системы (33), учитывая при этом (34) и монотонное возрастание функций Ф^(£), Ф^), получим

V(t,x)| < C(Фl(t) + Ф2С0 + Фl(t) + ф0(*))*, |^1(t,x)| < c(Фl(t) + Ф0(t) + Ф2(t)), 0 < t < t*.

(36)

Продифференцировав уравнения системы (33) по х, аналогичным образом получим неравенства:

Г ((*, х)| < С(Ф1(^) + Ф1(*) + Ф1(*) +

(*, х)| < С(Ф1(^) + Ф?(*) + Ф?(*)), 0 < * < Г. Продифференцировав уравнения системы (33) по х дважды, приходим к неравенствам:

(37)

|^1x(t,x)| < C(Фl(t) + Фl(t) + Ф1 (t) + ф2(t))t, |^1x(t,x)| < c(Ф2(t) + Ф2(t) + Фl(t)), 0 < t < t*.

(38)

Возьмем от левых частей неравенств (36)-(38) sup sup и просуммируем их одновре-

o^e^t xeEi

менно, усилив неравенство:

Е Е Ф (t)| < с ЕЕ Ф (t)|t,

fc=1l = 0 fc=11=0

0 < t < t*.

Из последнего неравенства следует, что при £ € [0, е], где е < С, выполнено соотношение

22

Е Е |Ф? (£)| = 0, следовательно, (£,х) = 0 при (£, х) € С[о,е].

к = 1 1=0

Повторяя рассуждения для £ € [е, 2е], получим , что (£, х) = 0 в С[е,2£]. Через конечное число шагов докажем, что (£, х) = 0 в С[о,4*], на основании чего легко доказать, что V = V

в ^[0,4*].

Доказана теорема:

Теорема 1. Пусть выполняются условия (4),(5), (15)-(19). Тогда задача (1)-(3) имеет единственное решение (м1(£,х), и2(£,х), 6ц(£), &12(£), &21 (£), 622^)), где (£, х) € С4 (С[о,4*]), к = 1, 2, (£) € С(С[о,4*]), г,= 1, 2. При этом в С[о,4*] справедливо соот-

ношение:

ЕЕ

S=1 s=o

ds

dxs «S (t,x)

+ E |bij(t)| ^ C. i,j= 1

Список литературы

[1] Р.Рихтмайер, Звук и теплопроводность, Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики, Новосибирск, Наука, 1966, 183-185.

[2] Р.Рихтмайер, К.Мортон, Разностные методы решения краевых задач, М., Мир, 1972.

[3] Р.В.Сорокин, О стабилизации решения одной обратной задачи для системы составного типа, Вестник Красноярского гос. университета, серия физ.-мат. науки, (2005), №1, 167-178.

[4] Р.В.Сорокин, Т.Н.Шипина, О разрешимости одной обратной задачи для системы составного типа, Вычислительные технологии, 8(2003), №3, 139-146.

[5] Yu.Ya.Belov, T.N.Shipina, The problem of determining the source function for a system of composite type, J. Inv. Ill-Posed Problems, (1998), №4, 287-308.

[6] Ю.Я.Белов, С.А.Кантор, Метод слабой аппроксимации, Красноярск, КрасГУ, 1999.

[7] Н.Н.Яненко, Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Новосибирск, Наука, 1967.

The Problem of Identification of Coefficients by the Lowest Terms for a Composite Type System

Polina Yu.Vyacheslavova Roman V.Sorokin

We prove unique solvability of the problem of identification of four coefficients by the lowest terms for a composite type system with Cauchy data.

Key words: the problem of identification of coefficients, inverse problem, partial differential equations, composite type system, method of weak approximation.