CC BY
37
УДК 638.354.8
ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ПРОГРАММЫ РАЗВИТИЯ РЕГИОНА
С.А. Баркалов, И.В. Буркова, А.В. Хатунцев
Рассматривается задача формирования программы развития региона (либо предприятия, холдинга, корпорации), обеспечивающей требуемое значение комплексной оценки с минимальными затратами
Ключевые слова: задача, матрица, программа, регион
Введение
Рассмотрим задачу формирования программы развития региона (либо предприятия, холдинга, корпорации), обеспечивающей требуемое значение комплексной оценки с минимальными затратами.' Примем, что задана процедура формирования комплексной оценки программы. Программа оценивается по т критериям. Обозначим 5у минимальное (граничное) значение ьго критерия, которому соответствует оценка) ( = 1,2,3,4). Таким образом, если значение критерия у лежит в полуинтервале
8^ у , р 8ц+1, то оценка по соответствующему направлению равна |
Имеется п проектов - претендентов на участие в программе. Каждый проект характеризуется затратами Ск и показателями эффекта вклад к-
го проекта в ^ый критерий. Обозначим хк = 1, если к-ый проект включен в программу хк = 0 > 5 в противном случае. Предполагая, что эффекты суммируются, получаем, что увеличение ьго критерия в результате реализации программы составит
А У=Еаьхг, (1)
к
а соответствующая оценка по ьому направлению равна
Л =в(У, =в( У0+А У) (2)
где у° - начальное значение ьго критерия, 0 преобразование численного значения критерия в дискретную (качественную) шкалу. Суммарные затраты на реализацию программы составят
С(х) = Е с X , (3)
/
Обозначим К(1) - комплексную оценку программы при оценках направлений
3 = Ц’Л 2-, Лт)
Задача. Определить множество проектов, обеспечивающих К(1) = Кт при минимальных затра-
Баркалов Сергей Алексеевич - ВГАСУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 76-40-07
Буркова Ирина Владимировна - ИПУ РАН, канд. техн. наук, доцент, тел. (495) 22б-38-54
Хатунцев Андрей Владимирович - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07
тах (3). Задача относится к сложным задачам дискретной оптимизации.
Частный случай
Рассмотрим ситуацию, когда для каждого направления ^ существует свое множество направления проектов Q , 1 = 1, т, причем эти множества
не пересекаются. В этом случае алгоритм решения задачи становится существенно проще.
1 шаг. Решаем т задач о ранце для каждого критерия: минимизировать
С (х) = Е СкХк (4)
к^1,
при ограничении
Е акХк ^ 814-у0=А,-4 (5)
к^1,
Как известно, решение задачи о ранце при правой части ограничения Дм дает оптимальные решения и для всех меньших значений правой части, то есть для Да До и Ди. Обозначим Бд- мини-
мальные затраты, требуемые для достижения оценки I по ьому критерию.
2 шаг. Поскольку структура формирования комплексной оценки является деревом, то решаем задачу, последовательно решая для каждой матрицы процедуры комплексного оценивания задачу с двумя переменными.
Пример 1. Рассмотрим процедуру комплексного оценивания, представленную матрицами (рис. 1 и 2).
Таблица затрат Б = {Бд}приведена ниже
____________________________________Таблица 1
I 1 2 3 4
Б 10 30 40 100
Ж 25 60 90 150
Э 40 70 120 200
Рассмотрим матрицу свертки показателей уровня жизни и уровня экологической безопасности рис. 1. Первое число в каждой клетке соответствует оценке, а второе - затратам, необходимым на получение этой оценки.
Для каждой оценки выбираем клетку с минимальными затратами. В результате получим таблицу минимальных затрат для получения того или
иного значения интегральной оценки социального эффекта
Таблица 2
Оценка 1 2 3 4
Затра- ты 35 90 120 190
Эти данные переносим в матрицу табл. 1 и повторяем процедуру определения минимальных затрат уже для комплексной оценки (табл. 3).
Таблица 3
4;190 2;230 3;260 4;310 4;390
3;120 2;160 2;190 3;240 3;320
2;90 1 2;160 3;210 3;290
1;35 1;75 1;105 2; 155 2;235
X 1;40 2;70 3;120 4;200
В результате получаем таблицу минимальных затрат, необходимых для получения того или иного значения комплексной оценки (табл. 4).
Таблица 4
Ком- плекс- ная оцен- ка 1 2 3 4
Затра- ты 75 155 210 310
Оптимальный вариант программы определяется методом «обратного хода».
Так, например, для комплексной оценки 3 минимальные затраты равны 210. Из табл.2 следует, что клетке (3 ;210) соответствует оценка 3 уровня экономической эффективности и оценка 2 социального уровня. Из табл. 3 следует, что клетке (2;90) соответствует оценка 2 уровня жизни и оценка 2 уровня экономической безопасности. В итоге получаем вариант программы (2;2;3) - то есть требуется обеспечить оценки «удовлетворительно» по критериям уровня жизни и экономической безопасности и оценку «хорошо» по критерию экономической эффективности.
Описанный алгоритм естественно обобщается на случай любого числа критериев и шкалы оценок. В общем случае рассмотрим три способа решения задачи. Для этого обозначим Р - множество многоцелевых проектов, то есть проектов, которые дают вклад (эффект) в несколько направлений.
Пусть число многоцелевых проектов невелико. Тогда можно просто перебрать всевозможные варианты вхождения в программу этих проектов. Таких вариантов 2к, где к- число многоцелевых проектов. Для каждого такого варианта можно определить, какой суммарный эффект по каждому на-
правлению должны обеспечить остальные (одноцелевые) проекты. Сравнивая все 2к варианты опреде-ляе м о птимальный .
Пример 1. Имеются по два одноцелевых проекта для каждого направления и два многоцелевых. Данные о проектах приведены в табл. 5.
Таблица 5
Проекты 1 2 3 4 5
Затраты 10 20 45 60 100
Эффект Б 25 30
Ж 70 90
Э 160
Значения минимальных приращений критериев, требуемые для получения соответствующих оценок по направлениям приведены в табл. 6.
Таблица 6
Поскольку многоцелевых критериев 2, то необходимо рассмотреть 22= 4 варианта.
1. Ни один из многоцелевых проектов не включен в программу.
Решая задачи о ранце для одноцелевых критериев и трех направлений, получаем следующую таблицу затрат (Бд) (табл. 7).
Таблица 7
X 1 2 3 4 »
Б 10 10 30 -
Ж 24 45 105 -
Э 100 100 220 220
Пусть требуемое значение комплексной оценки равно 3 (хорошо). Применяя описанный в предыдущем параграфе алгоритм, определяем минимальные затраты, если ни один из многоцелевых проектов не включен в программу
Б = 275
^тт ^
При этом, в программу включаются проекты 1, 2, 5 и 6.
2. В программу включен многоцелевой проект 7. В этом случае по критерию уровня экологической безопасности для достижения целевых установок, требуемых для получения оценок 1, 2 и 3,
одноцелевые проекты не нужны, так как требуемое увеличение эффекта дает проект 7. Только для получения оценки 4 требуется дополнительно 20 ед. эффекта. Аналогично для критерия «уровень жизни» проекта 7 обеспечивает необходимый эффект для получения оценок 1 и 2. Для получения оценки
3 необходимо дополнительно 60 ед. эффекта, а для оценки 4 - 140 ед. эффекта.
Сравнивая два описанных способа, следует, отметить определенные преимущества второго способа. Действительно, в методе ветвей и границ в худшем случае придется перебрать все ветви дерева ветвлений, то есть те же 2к вариантов, где
к - число многоцелевых проектов. Однако, в
данном случае перебор является целенаправленным, так как имеется возможность оценки подмножеств.
Литература
1. Бурков В.Н., Буркова И.В. Задачи управления в социальных и экономических системах // Автоматика и Телемеханика. 1993. № 11. С. 3 - 30.
2. Баркалов С.А., Курочка П.Н., Романченко О.В. Модель определения необходимого числа пунктов геодезической строительной сети. / Вестник Воронеж. гос. Техн. ун - та, 2007 г. т3. № 1. - с. 135 - 140.
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (г. Москва)
PROBLEM FORMATIONS OF THE PROGRAM OF DEVELOPMENT OF REGION
S.A. Barkalov, I.V. Burkova, A.V. Hatuntsev
The problem of formation of the program of development of region (or the enterprises, holding, a korpo-portable radio set), a complex estimation providing demanded value with the minimum expenses is considered
Key words: a problem, a matrix, the program, region
