CC BY
98
УДК 500:508.217
МЕТОД "ЗАТРАТЫ-ЭФФЕКТ" В ЗАДАЧАХ ФОРМИРОВАНИЯ ПРОГРАММ
РАЗВИТИЯ
В.В. Зубарев, О.И. Дранко
В статье рассматривается применение метода "Затраты -эффект" к задачам формирования программ развития (предприятий, корпораций, регионов и т.п.). Суть метода в оценке эффективности каждого проекта, претендующего на включение в программу и отбора проектов в очередности убывания эффективностей в условиях ограниченности финансовых ресурсов (или до достижения требуемого суммарного эффекта). При этом предполагается, что для каждого направления (критерия) программы имеется свое множество проектов, и эти множества не пересекаются. Дается обобщение метода для случая, когда имеются проекты, дающие вклад (эффект) в несколько направлений (многоцелевые проекты)
Ключевые слова: затраты, метод, оценка, эффект
Введение
При формирования программ развития (предприятий, корпораций, муниципальных образований, регионов и др.) применяется целый ряд информационных технологий (комплексное оценивание состояния, метод "Затраты-эффект"(метод ЗЭ), планирование денежных потоков, когнитивное моделирование и др.) [1]. Метод ЗЭ используется для формирования предметной области программы (состава проектов, реализация которых обеспечит достижение целей программы). Суть метода состоит в том, что оценивается эффективность проектов (отношение ожидаемого эффекта к затратам на реализацию проекта). Далее проекты отбираются в программу в очередности убывания эффективности до достижения требуемого эффекта. Метод применяется в случае, когда для каждого направления программы существует множество проектов, дающих вклад (эффект) в это направление, причем множества проектов различных направлений не пересекаются.
Однако многие проекты обеспечивают вклад в несколько направлений. Например, строительство больницы дает вклад в рост уровня здравоохранения, и в то же время - в рост экономического уровня за счет платных услуг. Такие проекты назовем многоцелевыми. В статье дается обобщение метода ЗЭ на случай наличия многоцелевых проектов.
Постановка задачи
Рассмотрим задачу формирования программы развития региона (предприятия, холдинга, муниципального образования и др.), обеспечивающую достижение целевых установок по т направлениям программы с минимальными затратами. Обозначим Ь - целевую установку по у-му направлению. Для реализации программы имеется п проектов, из которых множество М проектов являются многоцеле-
Зубарев Виктор Владиславович - ИПУ РАН, канд. техн. наук, доцент, тел. (495) 334-79-00
Дранко Олег Иванович - ИПУ РАН, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. (495) 334-79-00
выми. Обозначим Pi - множество направлений, в которые дает вклад многоцелевой проект i, Qj -множество одноцелевых проектов, дающих вклад в направление у, - затраты на реализацию ,-го про-
екта.
Пусть М = 0. В этом случае для каждого направления можно применить метод ЗЭ. Суть метода состоит в том, что все проекты для каждого направления упорядочиваются по убыванию эффективности (отношение эффекта к затратам) и отбираются в программу в очередности этого упорядочивания до достижения требуемых оценок по направлениям.
Для применения метода ЗЭ в случае, когда имеются проекты, дающие вклад в несколько направлений (М = 0), поступим следующим образом. Разделим затраты многоцелевого проекта на т1 частей, где т^ - число направлений, в которые дает вклад ,-й проект, Р, - множество соответствующих направлений. Обозначим части у е Р,. Заметим, что
Е •% = е,, , е М (1)
УеР,
Теперь можно применить метод ЗЭ для каждого направления. Обозначим ¿(5) - затраты на программу при заданных 5 = {•,, у е Р,, , е М}. Имеет место
Теорема 1. ¿(5) дает нижнюю оценку затрат на программу (с учетом погрешности метода ЗЭ).
Доказательство. Задача, решаемая для каждого направления при заданных {•,}, это классическая задача о ранце. Метод ЗЭ является приближенным методом ее решения. Если решат задачу о ранце точно (например, методом дихотомического программирования), то сумма затрат в оптимальных решениях задач о ранце по направлениям, очевидно, дает нижнюю оценку для исходной задачи. Поскольку метод ЗЭ является приближенным, полученная оценка является нижней оценкой с учетом погрешности метода. Теорема доказана.
Задачи, решаемые для каждого направления, назовем оценочными.
Следствие. Если в решении оценочных задач каждый многоцелевой проект , либо входит в программу для всех у е Р,, либо не входит в нее, также для всех у е Р,, то полученное решение является оптимальным для исходной задачи (с учетом погрешности метода ЗЭ).
Доказательство очевидно, поскольку полученное решение является допустимым для исходной задачи, а значит оптимальным в пределах точности метода ЗЭ. Если условия следствия не выполняются, то можно улучшить (увеличить) нижнюю оценку, изменяя разбиение затрат на части. Пусть, например, проект , входит в программу по множеству направлений и не входит в программу по множеству направлений К,, Qi и К, = Р,. Очевидно, что для увеличения оценки следует увеличивать Яу для уе Qi за счет уменьшения Яу для у е К,. Пусть ц - максимальная эффективность проектов у-го направления, не вошедших в программу, у е К,, а Гу -минимальная эффективность проектов у-го направления, вошедших в программу (у е Qi). Ясно, что Гу > Цу. Обозначим Ау (-Ау) - изменение оценки, у е Qi (у е К,). Для того, чтобы полученные решения оценочных задач не изменились, необходимо, чтобы выполнялись условия
ау ан
----у--> Цу или Ау <^~-Яу, у е^ ,
Цу
•у +Ау
•у -АУ 1
Обозначим
(.
щ = Е
V, = Е
1еК1
- -
V
у
ау
АЦ = — - Яг} , у е ^
Цу
•у
1 У
Если и, > V,, то
■ -
V
у е Я.
А,у = Яу---- > у е Я •
Гу
Описание алгоритма улучшения оценки.
1 шаг. Обозначим через Т множество целевых проектов, для которых Qi ф 0 и К, ф 0. Упорядочим эти проекты по убыванию
Е ау
а =
уеР1
2 шаг. Рассматриваем проекты множества Т в очередности убывания аДля каждого проекта
определяем Ау в соответствии с выражениями (2), (3). Корректируем значения Яу.
Оценка, полученная после рассмотрения последнего проекта, применяется в методе ветвей и границ.
Пример. Имеется 3 направления, данные о которых приведены в таблицах 1-3.
Таблица 1.
Про- екты За- тра ты Эффект Эффек- тив- ность Сум- марные затраты Сум- мар- ный ре- зульта
1 20 100 5 20 1т 0
2 30 120 4 50 220
3 10 30 3 60 250
4 60 120 2 120 370
5 160 80 0,5 200 450
6 40 10 0,25 240 470
Таблица 2. Исходные данные по направлению 2
Про- екты За- тра ты Эффект Эффек- тив- ность Сум- марные затраты Сум- мар- ный ре- зульта
7 50 200 4 50 200
5 160 240 1,5 130 440
8 40 50 1,25 170 520
9 60 60 1 230 580
10 20 10 0,5 330 630
Таблица 3.
Про- екты За- тра ты Эффект Эффек- тив- ность Сум- марные затраты Сум- мар- ный ре- зультат
10 20 120 6 20 120
11 40 200 5 60 320
12 60 240 4 120 560
13 30 90 3 150 650
14 50 100 2 200 750
15 80 80 1 280 830
Заметим, что проект 5является общим для первого и второго направления, а проект10 - для второго и третьего направлений.
Пусть целевая установка по первому направлению = 350, по второму - Е2 = 340, по третьему
- = 500.
1 шаг. Разделим затраты проекта 5 поровну между направлениями 1 и 2, а проекта 10 поровну между направлениями 2 и 3 .Определяем проекты для каждого направления на основе метода ЗЭ. Обозначим Ту - множество решений для у-го направления. Для первого направления в программу входят проекты Т = {1; 2; 3; 4}. Для второго на-
Г
а
Если и1 < V,, то
а
V
а
е
правления в программу входят проекты Т2 = {7; 5}. Для третьего направления в программу входят проекты Т3 = {10; 11; 12}. Оценка снизу затрат равна 120 + 130 + 110 = 360. Определяем
320 2 130 65
а = — = 2; а п = — = 6,5.
5 160 10 20
2 шаг. Рассматриваем проект 10. Имеем
Ц3 = 3, г 2 = 3,
и = а10,3 • =120 10 = 30
*40,3
•'*10,2
3
= 10 -10=62.
33
, 2
Берем А10 3 = А10,2 = 6— . Оценка снизу затрат увеличилась и равна
3
2 2 120 +130 +116- = 366-,
33
Рассматриваем проект 5. Имеем q2 = 1,25,
ri = 2,
42
240
1,25
— ^5 2 —----80 —112,
v5 — 55д —51 — 80 —- — 40 .
80
2
Берем А51 = А5 2 = 40 . Оценка снизу затрат увеличилась и равна
22 120 +170 +116- = 406—.
3 3
Заметим теперь, что при полученных оценках затрат применяя метод ЗЭ мы имеем по нескольку решений для каждого направления:
Т1 = {(1; 2; 3; 4); (1; 2; 3; 5; 4)},
Т2 = {(7; 5); (7; 10; 5)},
Т3 = {(10; 11; 12)}.
Возьмем для первого направления набор проектов {(1; 2; 3; 5; 4)}, для второго - {(7; 10; 5)} и для третьего - и {(10; 11; 12)}. Теперь условия леммы выполняются, и поэтому полученное решение является оптимальным (с учетом погрешности метода ЗЭ). Затраты равны 450.
Метод перебора
При небольшом числе многоцелевых проектов можно просто перебрать все возможные варианты. При числе многоцелевых проектов к число вариантов равно 2к. Применим этот метод для приведенного выше примера.
1 вариант. Ни один из многоцелевых проектов не входит в программу. Этот вариант недопустим, поскольку без проекта 5 целевая установка по второму направлению недостижима.
2 вариант. В программу входит проект 5, но не входит проект 10.
Имеем:
Т1 = {(5; 1; 2; 3; 4)},
Т2 = {(7; 5)},
Т3 = {(11; 12; 13)}.
Затраты равны 460.
3 вариант. В программу входят оба проекта, 5 и 10. Этот вариант был получен выше. Затраты равны 450.
Выбираем вариант 3 с затратами 450.
Литература
1.В.Н. Бурков, И.В. Буркова, М.В. Губко и др. Механизмы управления: Учебное пособие (под ред. Д.А. Новикова) М: ЛЕНАНД. 2011 - 192с. (Умное управле-
ние).
Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (г. Москва)
r
2
a
5,2
5
"EXPENSE-EFFECT" METHOD IN PROBLEMS FORMATIONS OF PROGRAMS
OF DEVELOPMENT
V.V. Zubarev, O.I. Dranko
In article method application "Expenses - effect" to problems of formation of programs of development (the enterprises, corporations, regions, etc.) is considered. A method essence in an estimation of efficiency of each project applying for inclusion in the program and selection of projects in sequence of decrease in the conditions of limitation of financial resources (or before achievement of demanded total effect). Thus it is supposed that for each direction (criterion) of the program there is a set of projects, and these sets aren't crossed. Generalization of a method for a case when there are the projects giving the contribution (effect) in some directions (multi-purpose projects) is given
Key words: expenses, a method, an estimation, effect
