Задача формирования оптимального ассортимента и товарных запасов в розничной торговле в условиях неопределенности Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УПРАВЛЕНИЕ В СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

DOI: 10.24143/2072-9502-2017-2-105-116 УДК 519.85:658.8

А. А. Истомина, В. Я. Бадеников, А. Л. Истомин

ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО АССОРТИМЕНТА И ТОВАРНЫ1Х ЗАПАСОВ В РОЗНИЧНОЙ ТОРГОВЛЕ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Рассматривается двухэтапная задача управления ассортиментом и товарными запасами для предприятий розничной торговли в условиях неопределенности. На первом этапе определяются ассортимент товаров и уровень их объемов, обеспечивающие максимум прибыли торгового предприятия. На втором этапе, с учетом найденного ассортимента товаров и их объемов, определяется оптимальная стратегия пополнения запасов на горизонте управления. Показано, что многие ситуации управления товарными запасами можно рассматривать как задачи массового обслуживания. Разработаны математические модели задачи управления запасами на основе теории массового обслуживания: модель с непрерывным пополнением запасов, когда невыгодно заказывать товар крупными партиями, а выгоднее штучное пополнение, но с широким ассортиментом, и модель пополнения запасов партиями, в которых приходится иметь дело с групповыми поставками.

Ключевые слова: управление ассортиментом, управление запасами, оптимизация, системы массового обслуживания.

Введение

В настоящее время, в связи с развитием рыночных отношений и возникновением различных форм собственности, розничная торговля, как и вся торговая отрасль в целом, становятся самостоятельной сферой деятельности людей, когда каждое торговое предприятие работает на основе полной самоокупаемости. Это существенно повышает заинтересованность торговых предприятий в эффективности их деятельности. В конкурентной борьбе торговые предприятия стремятся обеспечить близость своих товаров к потребителю, высокий уровень обслуживания и качество предъявляемых товаров. Но эффект от проделанной работы часто перечеркивается неправильно сформированным ассортиментом товаров и неверно выстроенной стратегией управления товарными запасами, что приводит к увеличению времени обращения товаров, росту затрат на хранение запасов, сокращению прибыли торговых предприятий.

Проблема усугубляется еще и тем, что во многом экономические результаты деятельности торговых предприятий имеют стохастический характер, негативным образом влияющий на их текущую и перспективную деятельность. Это особенно ярко проявляется в условиях нестабильной экономики, когда торговые предприятия сталкиваются с необходимостью частого изменения ассортимента и стратегии управления товарными запасами. Все эти обстоятельства требуют новых подходов к управлению розничной торговлей и процессом товарооборота в целом.

В условиях функционирования предприятий, складывающихся в настоящее время, одним из важнейших направлений повышения эффективности розничной торговли становится задача значительного совершенствования управления ассортиментом и товарными запасами - их оптимизация на основе математических моделей, связывающих показатели эффективности торговых предприятий с имеющимися ресурсами.

Основные аспекты процесса формирования ассортимента продукции, товаров и услуг, а также управления запасами сформулированы и изучены в работах И. Ансоффа, Дж. Букана, Г. Вагнера, Э. Кенигсберга, А. Кофмана, Н. Прабху, М. Портера, Т. Саати, Т. Уайтина, Дж. Хед-ли, Ф. Хэнссменна, Дж. Шрайбфедера. Расширить теоретический инструментарий, используемый в настоящее время при управлении ассортиментом и товарными запасами, позволили теории, вклад в разработку которых внесли Л. В. Канторович, В. А. Лотоцкий, А. С. Мандель, В. А. Сакович, А. А. Первозванский, Г. В. Рубальский, Ю. И. Рыжиков, Н. Д. Фасоляк, Г. И. Феклисова, О. В. Чкалова.

В то же время обращает на себя внимание недостаточная разработанность проблемы управления ассортиментом и запасами товаров в условиях вероятностного характера спроса на товары. Нет надежных методик определения наилучшего ассортимента товаров, их объемов, размеров партий поставки товаров, особенно в условиях неопределенности, хотя без таких методик торговое предприятие не может стабильно функционировать в условиях рынка.

До сих пор управление ассортиментом товаров и управление товарными запасами рассматривались российскими и зарубежными исследователями независимо друг от друга. Так, в теории управления запасами рассматривались вопросы о том, когда запасы подлежат пополнению и каковы объемы пополнения запасов, но не исследовалось, товары каких наименований целесообразно иметь торговому предприятию. Обычно задачу управления ассортиментом рассматривают только на одном конечном интервале времени, в течение которого производится лишь одно - начальное пополнение запасов, тогда как управление запасами представляет собой многошаговый процесс управления при переменной интенсивности спроса на товары.

Рассматривая эти две задачи во взаимосвязи друг с другом, можно значительно повысить эффективность торговых предприятий, если задачу управления конкретизировать следующим образом: на первом этапе найти оптимальный ассортимент товаров и уровень их объемов, доставляющих оптимум тому или иному критерию оптимальности функционирования торгового предприятия; на втором этапе, с учетом найденного ассортимента товаров и их объемов, определить оптимальную стратегию управления запасами на горизонте управления, что и явилось целью исследования.

Постановка задачи нахождения оптимального ассортимента товаров

Для достижения поставленной цели необходимо было разработать:

- систему взаимосвязанных моделей оптимизации ассортимента товаров и нахождения оптимальной стратегии управления товарными запасами в условиях неопределенности для различных условий функционирования предприятий розничной торговли;

- эффективные алгоритмы реализации системы моделей.

Очевидно, что для нормального функционирования торгового предприятия необходимо, чтобы его доход от продажи товаров не только покрывал все текущие издержки по хранению и реализации товаров, но и приносил прибыль. Иначе торговая организация не обеспечит свое эффективное развитие, а значит, и свое предназначение по своевременному обеспечению населения товарами. Следовательно, из множества вариантов ассортимента товаров необходимо найти такой, который при эффективном использовании имеющихся ресурсов обеспечил бы удовлетворительный спрос населения и приносил торговому предприятию максимальную прибыль.

Пусть г- спрос на}-й товар или товарную группу. Пусть спрос является случайной величиной с известным законом распределения. Устанавливая вид и задавая параметры распределения вероятностей для описания спроса (такие, как среднее значение для пуассоновского распределения или среднее значение и среднеквадратичное отклонение для нормального распределения и т. п.), мы даем компактное представление степени неопределенности относительно будущего спроса на товар или группу товаров.

Очевидно, что торговая организация не дополучит дохода, если в ней не окажется достаточного количества товаров, желаемых покупателями.

Торговая организация понесет потери и в случае, если количество товаров превысит спрос на горизонте планирования. Эти потери складываются из затрат на их приобретение, хранение, распродажи по сниженным ценам и списания в том случае, если истек срока годности.

Тогда можно считать, что ожидаемая прибыль от продажи товара равна ожидаемому доходу минус издержки торгового предприятия, минус ожидаемая потеря.

Ожидаемый доход торговой организации от продажи /-го товара составит:

Р]Г] , если Г} < X/, Р]Х] , если Г} > ^ ,

где X/ - искомый объем/-го товара или товарной группы (в натуральном выражении); р / - розничная цена]-го товара.

Примем допущение, что переменные х■ и г■ (] = 1, п) непрерывны.

При включении в ассортимент /-го товара торговое предприятие теряет прибыль в объеме

0, если Г/ < X],

л / (гГ] - х]), если Г/ > х/,

где л,. - потеря прибыли из-за отсутствия одной единицы/-го товара.

Товары, которые остались на конец планового периода и для которых не истек срок хранения, продаются со скидкой на сумму

Х,Р, (х; - г1 ), если Г/ < х

0, если Г/ > х/,

где Х/ - торговая скидка на /-й товар.

Тогда ожидаемая прибыль от продажи /-го товара будет равна ожидаемому доходу от продажи /-го товара минус издержки обращения /-го товара, минус ожидаемая потеря, плюс ожидаемый доход от продажи/-го товара по сниженным ценам.

Если обозначить как f (Г/ ) плотность распределения случайной переменной спроса Г/ , то

можно записать ожидаемую прибыль F]■ от продажи /-го товара как

х/ ю

= Р/IГ/(г + рл1f (г - °1х1 -

-ю х/

ю х_/

-п/1(г-х/(г]/Р/I(х/-г/)у(г],

х/ -ю

где с/ - издержкоемкость/-го товара, включая затраты на его закупку.

Ожидаемая прибыль торговой организации от реализации всех товаров составит:

/=1 \ —ю

у /=11

п ".I п ю п

F = Е Р/1 /(г/щ + Е Рх|/(г/Щ -Е

х,

/=1 х \ х1

х1

- > с3х3 -

-Е пj I(г- х/)/(гЩ +Е Х]р] 1(х- г)/(г/ Щ

у /=1 \

^ opt.

(1)

Пусть Sj - закупочная цена/-го товара; S - общий объем финансовых средств на приобретение товаров торговым предприятием. Тогда суммарная цена всех товаров не должна превышать всей суммы финансовых средств S, т. е.

Ц < я.

/=1

(2)

ю

—со

На переменные х, накладывается ряд ограничений, связанных с издержкоемкостью товаров. Пусть ащ - норматив затрат издержек обращения на единицу 1-го товара по к-й статье

расходов; Ьк - величина расходов по к-й статье издержек обращения. Тогда допустимые ограничения на издержки обращения можно представить в виде

п _

!ак]х] < Ьк , к = 1, К. (3)

1=1

Для приведения выражений (3) к канонической форме вводятся уравновешивающие переменные Zk, характеризующие величины неиспользованной части ресурса к, и условия (3) примут вид

п _

I акХ + Zk = Ьк , к = 1, К. (4)

1=1

В тех случаях, когда торговое предприятие нуждается в дополнительных ресурсах, связанных, например, с наймом новых сотрудников, приобретением дополнительного оборудования, увеличением коммунальных платежей, аренды и т. п., в модель задачи вводятся дополнительные условия по наличию и использованию денежных средств на эти цели. Тогда условия (4) примут вид

п _

Iакзх1 - Ч = Ьк , к = ЪК. (5)

1=1

В выражениях (5) уравновешивающие переменные Zk характеризуют дополнительную

величину ресурса к сверх имеющегося фонда, необходимую для обеспечения нормального режима работы торгового предприятия. Для этого выражения (5) необходимо дополнить условием по наличию и использованию денежных средств на эти цели:

К

I dkzk < D , (6)

к=1

где D- денежные средства, предназначенные на увеличение объемов ресурсов; dк - денежные

вложения на единицу приращения ресурсов к.

Условие (6) может быть представлено в несколько ином виде, если собственных средств Б0 недостаточно:

К _

I dkzk - Б = Б0. (7)

к=1

Здесь искомая переменная Б будет характеризовать потребность в заемных денежных средствах.

Добавим еще обозначения: VI - норматив затрат объема хранения на складе или размещения в торговом зале на единицу 1-го товара, м2; V - общий объем под хранение и размещение товаров в торговых залах и складах торговой организации. Тогда суммарный объем всех товаров не должен превышать объема V, т. е.

п

< Г. (8)

1=1

В ряде случаев в исходных условиях может быть задано фиксированное значение для того или иного товара:

Х, = X; , 1 =Ц , (9)

где L - число наименований товаров, для которых установлен фиксированный товарооборот.

В других случаях могут быть заданы нижние или верхние пороговые значения объемов товара.

Имеют место случаи, когда при формировании ассортимента товаров необходимо учесть соотношения между товарооборотом тех или иных товаров.

Так, например, если между товарооборотом к-го и к + 1-го товара имеется соотношение а: в, то математически это может быть записано в виде выражения

Хк / Хк+1 > а / в , (10)

или, что то же, в разрешимом виде:

в Хщ-а Хщ+1 > 0. (11)

Окончательно задача нахождения оптимального ассортимента товаров в торговой организации заключается в нахождении таких

х, >0, ] = \п, (12)

при которых критерий оптимальности (1) достигает максимума и выполняются ограничения (2)-(12).

Для решения задачи оптимизации ассортимента в постановке (1)-(12) необходимо установить тип распределения спроса на товары и идентифицировать параметры распределения.

Исследование выборок продаж товаров различных видов в торговых организациях различных форм собственности показало, что описать точно спрос на товары определенным законом распределения для всей генеральной совокупности не представляется возможным. Однако если расчленить вероятностные распределения на всем интервале времени на подинтервалы, равные, например, горизонту управления ассортиментом и товарными запасами, то спрос на товары можно достаточно точно аппроксимировать с помощью закона Пуассона [1].

Особенностью задачи (1)-(12) является то, что она содержит нелинейную целевую функцию (1), что позволяет отнести ее к классу задач нелинейного программирования. К сожалению, задачи нелинейного программирования всегда решаются значительно труднее, чем задачи линейного программирования. Но поскольку целевая функция (1) является сепарабельной, т. е. может быть представлена как сумма функций, каждая из которых зависит от одной пере-

п

менной F = 1 Fi (х1), она может быть легко аппроксимирована кусочно-линейными зависимо-

г=1

стями, а исходная задача преобразована в задачу линейного программирования [2]. Приближенные методы решения задач нелинейного программирования с сепарабельными функциями подробно представлены в работе [3, гл. 4].

Очевидно, что при кусочно-линейной аппроксимации размерность задачи возрастает, но поскольку в качестве метода решения используется симплексный метод линейного программирования, данный алгоритм имеет высокую эффективность и легко реализуется на ЭВМ.

Нахождение оптимальной стратегии управления запасами

Анализ задачи управления запасами показал, что многие ситуации управления товарными запасами можно рассматривать как задачи массового обслуживания - не только в том смысле, что покупатели могут простоять в очереди за товарами, но и в том смысле, что товары, ожидающие покупателей, также образуют очереди [4]. Если покупатели отсутствуют, то запасы товаров увеличиваются. Если нет очереди товаров (нет запасов), то имеет место дефицит, покупатели не обслуживаются. Если требованиями и заявками в системе массового обслуживания (СМО) считать запасенные товары, а обслуживающими устройствами - покупателей товаров то, зная интенсивность прибытия покупателей, можно определить оптимальную интенсивность поступления товаров в условиях тех или иных ограничений.

Пусть прибытие покупателей за товарами и поступление товаров в торговую организацию происходит с интенсивностью ц и Л, соответственно и характеризуется пуассоновским распределением. Рассмотрим две стратегии управления запасами: с непрерывным пополнением запасов и пополнением запасов партиями.

Стратегия с непрерывным пополнением запасов. Такая стратегия весьма эффективна в тех случаях, когда невыгодно заказывать товар крупными партиями, а выгоднее штучное пополнение, но с широким ассортиментом, например при торговле автомобилями, ювелирными изделиями или дорогой мебелью.

Обозначим как Sn состояние СМО, когда в магазине присутствует п товаров, как «обслуживаемых» покупателями, так и ожидающих обслуживания. Система выходит из состояния Sn в состояние Sn+1, когда прибывает дополнительная единица товара, или в состояние Sn _1, когда товар куплен покупателем. Случайный процесс, протекающий в системе £, можно трактовать как процесс блуждания системы в цепи состояний, в которой каждое состояние £п (кроме двух крайних - £0 и ) связано прямой и обратной связью с двумя соседними - £п _1, £п+1, а каждое из двух крайних связано прямой и обратной связью только с одним соседним. Схема случайного процесса движения товаров представлена на рис. 1.

£0

£

S.

SN

SN

Рис. 1. Случайный процесс движения товаров

Интенсивность пуассоновских потоков событий, ведущих к уменьшению товаров, обозначена как ц, а к увеличению - как Л,.

Пусть Рп - вероятность того, что в наличии имеются п единиц товара (Р0- вероятность того, что товар отсутствует); dPn /dt - скорость изменения состояния £п . Тогда скорость изменения объемов запасов товара можно определить с помощью уравнений Колмогорова:

-P dt dP

-p- = -(к + ц) P +XPo + цР2, dt

dP

-.л. = -(к + ц)Р„ +XP„-, + цр dt

dP

N

dt

N-1'

(13)

где N - максимальное число товаров.

Очевидно, что для системы с дискретными состояниями £0, £1, времени сумма вероятностей состояний равна единице:

£ы в любой момент

N

X P = 1,

i=0

(14)

как сумма вероятностей полной группы несовместимых событий.

Систему уравнений (13) нужно решать при начальных условиях р (0) > 0 (/ = 0, N), при выполнении требования (14). Так, например, если в начальный момент времени ? = 0 в магазине отсутствовал товар, то решать систему уравнений (13) следует при начальных условиях Р(0) = 1, р (0) = 0 (/ = ).

к

к

к

к

ц

ц

ц

ц

ц

При постоянных значениях интенсивности потоков и конечном числе состояний существует стационарный режим. В стационарном режиме процесс будет менять свои состояния, переходя из одного в другое, но вероятности этих состояний уже не зависят от времени и окончательно примут следующий вид:

р = (1 -р)/(1 -рN+1),

р II

р =р2 р, (15)

PN =р Ч-

В системе уравнений (15) параметр р представляет собой приведенную интенсивность потока, определяемую как р = X / ц .

Среднее число ожидаемых товаров (средний объем запасенного товара), находящихся в системе, определяется по формуле

- р(1 -р" (Ы +1 - N0))

п =-гт-;-•

(1 -р "+')(1 -р)

Ожидаемое число единиц товара, реализованного на горизонте управления, равно

N = ц

1 --

1 -р

N+1

1-р

Пусть С - издержки выполнения заказа одной единицы товара; С2 - затраты на хранение единицы товара; С3 - потери из-за дефицита товаров в единицу времени. Тогда С1X - издержки выполнения заказа товара или С^ц; С1 п - затраты на хранение запасенного товара; С3 Р0 - потери из-за дефицита товаров на горизонте управления.

Пусть доход на единицу проданного товара равен X. Тогда прибыль на горизонте управления товарными запасами составит

Е = Хц

1-

1-р

1 N

1 -р

- С\рЦ- С

р(1 -рN (N +1 - "р)) (1 -р "+1)(1 -р)

-С

1 -р

31 -р "+1

(16)

Взяв производную от Е по р и приравняв ее к нулю, получим

dF Х — = -Хц

р " (N + 1)(р-1)

N+1 1 р -1

С; [рN (N - 1) - 1] (р-1)(р N+1 - 1)

(р ^ -1)2

- С2р[рN ^ - Nр +1) -1]__С2р^рN - ^N-1 (N - ^ +1)]

С2PPN (N + 1)[рN ^ - Nр +1)]__Сз , СзрN (N + 1)(р-1)

(р- 1)(р N+1 -1)2

N+1 , р -1

(рN+1 - 1)2

= 0.

(17)

Из выражения (17) находим значение р, доставляющее максимум прибыли (16). По найденному р и известному ц из выражения р = Х/ ц находим оптимальную интенсивность пополнения запасов X.

Пример 1. Пусть спрос на товар составляет 100 единиц в неделю. Оформление заказа единицы товара обходится магазину в 9 000 руб., а доход от продажи единицы товара - 10 000 руб. Пусть стоимость хранения единицы товара в неделю 500 руб., а потери от дефицита товара в неделю - 50 000 руб. Разместить в магазине можно не более 40 единиц товара.

1

Из (17) находим значение переменной р = 0,92, при котором критерий оптимальности (16) достигает максимума. Тогда оптимальное значение интенсивности пополнения товара в неделю к = цр = 60- 0,92 = 55,2. Округляя до целого значения, находим оптимальное целочисленное значение - к = 55 .

Вероятность того, что в течение недели запас товара будет исчерпан, равна

P0 = = 0,083.

0 1 -рN+1 1 - 0,92

Средний запас товара будет равен

- р(1 -pN (N+1 - Np)) 0,92(1 - 0,9240(40 +1 - 40 - 0,92)) 1Л11

n =-гт";-=-п-= 10,11

(1 -pN+1)(1 -р) (1 - 0,92)(1 - 0,92)

или 10 единицам. Ожидаемая реализация товара равна: ц (1 - P0) = 91,7 или 92 единицы. Ожидаемые потери от дефицита 4 135 руб., затраты на хранение - 5 056 руб. Ожидаемая прибыль от реализации товара составит 80 100 руб.

Стратегия пополнения запасов партиями. Как и в модели с непрерывным пополнением запасов, покупатели прибывают за товаром с интенсивностью ц человек в единицу времени. Распределение спроса во времени является пуассоновским.

Длительность промежутка времени от момента подачи заказа на пополнение запасов до момента поступления товара имеет показательное (экспоненциальное) распределение. При показательном законе и потоке событий с интенсивностью к среднее время доставки заказа составляет T = 1/ к .

Пусть при уменьшении уровня запасов до критического (до «точки заказа») P заказывается количество товара, равное Q единицам, так что

P + Q = M, (18)

где М - максимальное количество товара, которое может принять торговая организация. Поскольку величина М для каждого наименования товаров была получена из решения задачи оптимизации ассортимента товаров и их объемов, определению подлежит либо точка заказа P для каждого наименования товара, либо объем заказа каждой партии Q . Очевидно, что установив любое из этих значений, второе можно найти из уравнения (18).

Пусть, как и в предыдущей модели Рп, есть вероятность того, что в наличии имеются п единиц товара.

Применение правила «Заказывать Q единиц товара, когда уровень запасов уменьшится до P, и заказывать М единиц товара, когда уровень запасов уменьшается до нуля» означает, что:

1) система S переходит из состояния Sn в состояние Sn_j при продаже единицы товара с интенсивностью ц;

2) система S переходит из состояния Sn (п ф 0) в состояние Sn+ß и из состояния S0 в состояние SM , при пополнении запаса с интенсивностью к .

Случайный процесс, протекающий, например, в системе S с шестью состояниями (максимальный запас товара равен пяти единицам, а точка заказа двум единицам товара), показан на рис. 2.

к

Рис. 2. Случайный процесс движения товаров при заказе товара партиями

На рис. 2 видно, что при отсутствии товара делается заказ на пополнение запаса до максимального уровня. Далее, как только запас товара уменьшается до двух единиц (до «точки заказа»), следует заказ товара в количестве трех единиц. Пополнение запаса может наступить до прибытия очередного покупателя (в этом случае система перейдет из состояния S2 в состояние S5) либо уже после прибытия очередного покупателя и продажи ему единицы товара (в этом случае система перейдет из состояния 5 в состояние S4) и т. д.

Стационарные решения в случае заказа товара партиями:

Р = Р

í хУ ц + Х

V

Рп = Рс

ц + Х

ц

V

ц

0 < п < Р.

Р < п < М - Р +1

Рп = Р0

И

V цу

1 +

Г \ \Р ( -0--1' ц + X ц+ X

М - Р +1 < п < М .

где

. р+1

Р0 =

ц

(ц+х)Р (ц+QX)

Среднее число запасенных товаров, находящихся в системе в стационарном режиме, определяется по формуле

п =

ц

X

(ц + X) (ц + QX) ц

1 -

ц + X

Р + 1 - Р

ц + X

ц

• +

1-

ц + X

ц

М (М + 1) - Р (Р + 1) V ц + X

ц_ V ц

Пусть, как и ранее, X - доход на единицу проданного товара; С1 - издержки выполнения заказа; С 2 - затраты на хранение единицы товара; С3 - потери из-за дефицита товаров в единицу времени. Если спрос на товар на горизонте управления составляет ц, то количество заказов в установившемся режиме будет равно ц / 0.

Тогда прибыль на горизонте управления товарными запасами составит

Е = Хц

1-

ц

\

1-

+ Р (

ц

Р + 1 - Р

(ц + X)Р (ц + 0!) ц +

- С -ц-С

С1 ^ С 2

ц

X

0 (ц + X)Р (ц + QX) ц

ц

1-

ц + X ц

М(М + 1) -Р(Р + 1) У ц +

ц

Р+1

- С 3

ц

(ц + X)Р (ц + QX)

(19)

Нас интересуют критический уровень заказа Р и объем каждой партии 0, максимизирующие Е. Поскольку Р и 0 связаны уравнением (18), подставим в (19) М - Р вместо 0. В результате получим

1

п-

ц

ц

X

Р

Р

ц

X

2

2

X

Р

X

2

2

(

F = Z|

1 -

|

. p+1

Л

1-

(ц + А)P [ц + (M - Р)А]

P f

- С

|

P+1

M - P

- С 2

(ц + А)P [ц + (M - Р)А] ц

Р + 1 - Р

v ц у V ц у

1-

Ц + А

2

M(M + 1) - Р(Р - 1) Y Ц + А

2

ц

-С

3 (ц + А)Р (ц + (M - Р)А)' Взяв производную от F по Р и приравняв ее к нулю, получим

Z|

ц Р+1А

ц P+1 1п(ц+А) -ц P+1 1п(ц)

[ц+A(M - Р)]2(ц+А)Р [ц+l(M - Р)](ц+А)Р

(M - Р)2

С2ц Р+1А

( ц+А^ V ц у Р V ц у f ц + А^ Ц у Р 1n ( ц+ V Ц у (Р - Р Ц+А+1] V ц у

V Ц 2

^^(M - Р)](ц + А)Р

C2 ц Р+1А2

ц+А

Р - Р

V ц у v ц 2

-1 fn+А^

M(M + 1) - Р(Р + 1) 2 2

|[|+^(M - Р)]2(ц+А)Р

С2ц Р+1А

Р

ц

р+21+

ц+А

ц

ЛР f ln

ц+А

ц

M (M + 1) Р(Р + 1) 2 - 2

v l

|[|+^(M - Р)](ц + А)Р

С2ц Р+1А 1п(ц+А) ( ц+А^ V Ц у p (Р - Р Ц+А+1^ V Ц у -1 ( ц + А^ Р " M (M + 1) Р(Р + 1) 1

'ц+А ^ ц у 2 V Ц у _ 2 2 J

|[| + ^(M - Р)](ц+А)Р

C2 ц Р+1А 1п(ц) ( ц+А^ V Ц у p (p-Pц+а+; V Ц у -1 ( ц+А^ Р " M (M + 1) Р(Р + 1) 1

'ц+А ^ ц у 2 V Ц у _ 2 2 J

С3цP+11п(ц + А)

|[|+^(M - Р)](ц + А)Р

С3ц Р+1А

С3цP+11п(ц)

[|+^(M-Р)](ц + А)Р [| + ^(M-Р)]2(ц + А)Р [| + ^(M-Р)](ц+А);

= 0.

(20)

А

х

Р

+

х

ц

ц

Р

2

+

+

+

Из выражения (20) находим оптимальное значение критического уровня запаса Р , а размер партии 0 определяем из разницы М - Р .

Пример 2. Пусть спрос на товар составляет 200 единиц в неделю. Максимальный объем запаса товара не должен превышать 40 единиц. Среднее время доставки заказа составляет 6,7 часов или 0,04 недели. Оформление одного заказа обходится магазину в 2 000 руб., а доход от продажи единицы товара - 500 руб. Хранение единицы товара в неделю обходится магазину в 50 руб. Потери в связи с отсутствием товара в течение недели составляют 10 000 руб.

Требуется определить критический уровень запасов товара и размер заказа, при которых прибыль магазина от реализации товара будет максимальной.

Из уравнения Т = 1/ X найдем интенсивность потока пополнения запаса X :

XI — = 25.

0,04

Далее, для найденного XI25 и заданных ц = 200 , М = 40, X = 500, С1 = 2 000, С2 = 50

и С3 = 10 000 из уравнения (20) находим оптимальное значение критического уровня запаса

*

Р = 12,01. Округляя решение до ближайшего целого, получаем значение 12.

Тогда оптимальная стратегия управления запасами будет заключаться в следующем: каждый раз, когда уровень запаса достигает 12 единиц, следует заказывать 28 единиц товара.

При данной стратегии вероятность дефицита Р0 будет равна 0,054, средний уровень запаса п составит 22 единицы, а ожидаемая прибыль магазина будет равна 78 650 руб.

Заключение

Таким образом, по результатам исследования:

1. Построена математическая модель задачи нахождения оптимального ассортимента товаров в условиях вероятностного характера спроса на товары и разработаны эффективные алгоритмы ее реализации.

2. Построены математические модели управления товарными запасами в условиях вероятностного характера спроса на товары для различных стратегий пополнения запасов и разработаны эффективные алгоритмы их реализации.

Приведенные модели позволяют не только находить оптимальные ассортимент и стратегии пополнения запасов, но и моделировать систему обслуживания, численно оценивать результаты прибыли, устанавливая различные стоимостные показатели и интенсивность спроса и пополнения.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Истомина А. А., Бадеников В. Я., Истомин А. Л. Оценка спроса на лекарственные средства в задаче управления товарными запасами // Вестн. Ангарск. гос. техн. ун-та. 2016. № 10. С. 153-158.

2. Истомина А. А., Истомин А. Л., Сумарокова Н. Н. Постановка задачи нахождения оптимального ассортимента лекарственных средств в условиях неопределенности // Вестн. Ангарск. гос. техн. ун-та. 2015. № 9. С. 118-122.

3. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Мир, 1967. 507 с.

4. Истомина А. А., Бадеников В. Я., Истомин А. Л. Оптимальное управление товарными запасами на основе теории массового обслуживания // Вестн. Ангарск. гос. техн. ун-та. 2016. № 10. С. 148-152.

Статья поступила в редакцию 11.01.2017

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Истомина Алёна Андреевна — Россия, 665830, Ангарск; Ангарский государственный технический университет; инженер кафедры технологии электрохимических производств; ist-fam@yandex.ru.

Бадеников Виктор Яковлевич - Россия, 665830, Ангарск; Ангарский государственный технический университет; д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры автоматизации технологических процессов; a.l.istomin@mail.ru.

Истомин Андрей Леонидович - Россия, 665830, Ангарск; Ангарский государственный технический университет; д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры вычислительных машин и комплексов; a.l.istomin@mail.ru.

A. A. Istomina, V. Ya. Badenikov, A. L. Istomin

A PROBLEM OF FORMING OPTIMAL ASSORTMENT AND INVENTORY IN RETAIL TRADE IN TERMS OF UNCERTAINTY

Abstract. The article studies a two-stage problem of controlling assortment and inventory of retailers in conditions of uncertainty. At the first stage the authors determine a range of products and their volumes, which can give the maximum profit to the retail enterprise. At the second stage, the obtained range of products and their volumes help to find out the optimal strategy of goods stock replenishment on the horizon of management. The article shows that different situations in the inventory management can be considered as Queueing problems. There have been developed mathematical models of the problem of inventory control based on Queueing theory: a model with continuous replenishment of goods when it appears not profitable to order bulk goods, and small piece products are more desirable; and a model of restocking goods in batches.

Key words: assortment management, inventory management, optimization, Queuing systems.

REFERENCES

1. Istomina A. A., Badenikov V. Ia., Istomin A. L. Otsenka sprosa na lekarstvennye sredstva v zadache upravleniia tovarnymi zapasami [Assessment of demand for medicinal products within the task of inventory control]. Vestnik Angarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2016, no. 10, pp. 153-158.

2. Istomina A. A., Istomin A. L., Sumarokova N. N. Postanovka zadachi nakhozhdeniia optimal'nogo assor-timenta lekarstvennykh sredstv v usloviiakh neopredelennosti [Task statement for finding optimal assortment of medicinal products in terms of uncertainty]. Vestnik Angarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2015, no. 9, pp. 118-122.

3. Hadley G. Nonlinear and Dynamic Programming. Addison-Wesley Pub. Co., 1964. 496 p.

4. Istomina A. A., Badenikov V. Ia., Istomin A. L. Optimal'noe upravlenie tovarnymi zapasami na osnove teorii massovogo obsluzhivaniia [Optimal management of inventory based on Queueing theory]. Vestnik Angarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2016, no. 10, pp. 148-152.

The article submitted to the editors 11.01.2017

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Istomina Alena Andreevna - Russia, 665830, Angarsk; Angarsk State Technical University; Engineer of the Electric Chemical Department; ist-fam@yandex.ru.

Badenikov Victor Yakovlevich - Russia, 665830, Angarsk; Angarsk State Technical University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department of Automatic Technological Processes; a.l.istomin@mail.ru.

Istomin Andrey Leonidovich - Russia, 665830, Angarsk; Angarsk State Technical University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department of Computing Machines; a.l.istomin@mail.ru.