CC BY
76
УДК 007, 519 Истомина Алена Андреевна,
аспирант кафедры «Автоматизация технологических процессов», ФГБОУ ВПО «Ангарская государственная техническая академия», тел. 8(3955) 676486, e-mail: [email protected]
Истомин Андрей Леонидович, д. т. н., профессор кафедры «Вычислительные машины и комплексы», ФГБОУ ВПО «Ангарская государственная техническая академия», тел. 8(3955) 67-89-15, e-mail: [email protected]
Сумарокова Наталья Николаевна, аспирант кафедры «Автоматизация технологических процессов», ФГБОУ ВПО «Ангарская государственная техническая академия», тел. 8(3955) 67-89-15, e-mail: [email protected]
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЗАКУПКАМИ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
A. A. Istomina, A. L. Istomin, N. N. Sumarokova OPTIMAL PROCUREMENT MANAGEMENT UNDER UNCERTAINTY
Аннотация. Предложены детерминированная и вероятностная математические модели задачи оптимального управления закупками. Детерминированная модель сформулирована в виде задачи линейного программирования. В то же время очевидно, что планирование закупок происходит в условиях неопределенности, когда неизвестен спрос или спрос представляет собой случайную величину. Поэтому детерминированная модель при случайных значениях переменных теряет определенность. В этой связи предложена вероятностная модель задачи оптимального управления закупками. Данная задача относится к задачам нелинейного программирования, для решения которых нет эффективных численных методов. Учитывая, что нелинейная целевая функция является сепарабельной, предложен эффективный метод ее решения на основе кусочно-линейной аппроксимации нелинейной целевой функции. Применение метода кусочно-линейной аппроксимации позволило привести задачу нелинейного программирования к задаче линейного программирования, для которой разработаны эффективные вычислительные алгоритмы.
Ключевые слова: оптимизация, закупки, управление.
Abstract. Deterministic and probabilistic mathematical models of optimal procurement control problems is proposed. The deterministic model is formulated as a linear programming problem. At the same time, it is clear that the planning of the procurement takes place in conditions of uncertainty, when the demand is unknown or the demand is a random variable. Therefore, a deterministic model for random values of the variables loses certainty. In this regard, probabilistic model of procurement optimal control problem is proposed. This problem belongs to nonlinear programming problems which solution is not provided by efficient numerical methods. Given that the nonlinear objective function is separable, we propose an effective method for its solution based on piecewise linear approximation of a nonlinear objective function. Application of piecewise linear approximation helped to reduce the problem of nonlinear programming to a linear programming problem for which effectives numerical algorithms are developed.
Keywords: optimization, procurement, management.
Введение
В настоящее время в большинстве аптек при формировании ассортимента лекарственных средств (ЛС) используется наиболее простой принцип планирования «от достигнутого уровня», когда структура и объемы розничного товарооборота ЛС устанавливаются на основе плана предшествующего периода с некоторой корректировкой по всем или отдельным группам ЛС. Причем корректировка осуществляется управленческим персоналом аптеки зачастую «вручную» без строгих формализованных обоснований. Альтернативой такому подходу является планирование деятельности на основе математической модели, увязывающей основные показатели деятельности аптеки с товарооборотом лекарственных средств, их страховыми запасами, потребительским спросом ЛС и ресурсами, которыми располагает аптека.
Постановка задачи нахожцения
оптимального ассортимента ЛС
Объект оптимизации - ассортимент лекарственных средств, намечаемых к реализации в плановом периоде. Очевидно, что для нормального функционирования аптеки необходимо, чтобы доход аптеки от продажи лекарственных средств
не только покрывал все текущие издержки аптеки по хранению и реализации ЛС, но и приносил прибыль. Иначе аптека не обеспечит свое эффективное развитие, а значит и свое предназначение по своевременному обеспечению населения лекарственными средствами и иными изделиями медицинского назначения. Следовательно, из множества вариантов ассортимента ЛС необходимо определить такие объем и структуру товарооборота, которые при эффективном использовании имеющихся ресурсов и полном удовлетворении спроса населения обеспечили бы аптеке максимальную прибыль.
Сформулируем задачу оптимизации: при заданных объемах ресурсов (труда, издержек обращения, площади торговых залов, поставок и товарных запасов) и установленном плане товарооборота, известных нормативах затрат требуется определить такой ассортимент ЛС, чтобы прибыль от реализации ЛС была максимальной [1].
Введем обозначения. Пусть х• - искомый
объем товарооборота /-го лекарственного средства (в натуральном выражении); А. - торговая скидка
на /-е лекарственное средство; с - издержкоем-
иркутским государственный университет путей сообщения
кость у-го лекарственного средства, включая затраты на его приобретение аптекой; р. - продажная ценау-го лекарственного средства.
Тогда задача нахождения оптимального ассортимента ЛС сводится к нахождению таких значений X•, при которых
г = X {Х]р] - С]) X] ^ тах .
(1)
] =1
X: > а, , ] = 1, К ,
(2)
В соответствии с требованиями Минздрава России фармацевтическое обеспечение населения и лечебных учреждений должно осуществляться с высоким качеством. При этом по ряду ЛС их отсутствие в розничном звене не допускается, что нашло отражение в требованиях к обязательному ассортименту аптечных учреждений [2]. Выполнение этих требований может быть записано следующим образом:
где а - нижняя граница товарооборота у-го лекарственного средства (устанавливается исходя из наличия лекарственных средств).
Издержки, связанные с хозяйственной деятельности аптеки, играют определяющую роль при выборе ассортимента ЛС. Существуют следующие основные типы издержек, связанные с реализацией ЛС:
- приобретение ЛС;
- содержание ЛС до их реализации;
- продажа ЛС.
Издержки на приобретение ЛС можно разделить на две части. Первая из них является суммой, которую следует уплатить поставщику товара. Она представляет собой стоимость поставляемого товара. Вторая часть издержек относится к затратам на оформление и осуществление поставок. Она включает расходы на информационную систему заказчика и делопроизводство, зарплату соответствующим работникам и т. д. Если стоимость транспортировки ЛС оплачена поставщиком, то она включается в его стоимость. Кроме того, существуют издержки приема ЛС, связанные с необходимостью его распаковки, контроля наличия и качества [3].
К издержкам содержания ЛС в аптеке до их реализации относятся страховка, налоги, порча, списание, арендная плата за использование площади под служебные помещения и торговые залы, стоимость использованной электроэнергии, отопление, кондиционирование, оплата охраны и т. д.
Указанные издержки, включая зарплату сотрудников аптеки, составляют основу издержек аптеки.
Издержки дефицита ЛС в момент поступления запроса от потребителя оценить весьма затруднительно. Можно достаточно точно оценить потерю доходов от непроданного ЛС в связи с его отсутствием в аптеке, но оценить потери из-за вероятного «ухода» покупателя к другому продавцу, т. е. потери от продажи в будущем других товаров в связи с потерей интереса и предпочтений потребителей, проблематично.
Очевидно, что всегда существует вариант такого ассортимента ЛС, т. е. объемов и структуры товарооборота ЛС, при котором суммарные издержки минимальны. Поиск такого ассортимента является основной задачей управления деятельностью аптеки [4].
Пусть ац - норматив затрат труда (в человеко-часах) работников аптеки I -й квалификации (категории) на единицу товарооборота у-го лекарственного средства, а Ь1 - объем трудовых ресурсов I -й квалификации, тогда ограничение на трудовые ресурсы можно записать как
п _
X а,]Х] < Ь1 , I = 1, Ь . (3)
] =1
Далее, обозначим через а . норматив затрат
издержек обращения на единицу товарооборота го лекарственного средства по с -й статье расхо-
дов, а
Ь„ -
величина расходов по с -й статье из-
держек обращения. Тогда допустимые ограничения на издержки обращения можно представить в виде
X О,Х] < Ьс
с = 1, С .
(4)
]=1
Для приведения выражений (3), (4) к канонической форме вводятся уравновешивающие переменные и 2С, характеризующие величины неиспользованной части ресурса с и I, и условия (3) и (4) примут вид
X а]х]+=Ь, 1=1Ь;
]=1
X ас,,х] + = Ьс
с = 1, С .
(5)
(6)
]=1
В тех случаях, когда аптека нуждается в дополнительных ресурсах, связанных, например, с наймом новых сотрудников, приобретением дополнительного оборудования, увеличением коммунальных платежей, аренды, охраны и т. п., в модель задачи вводятся дополнительные условия по наличию и использованию денежных средств на эти цели. Тогда условия (3) и (4) примут вид
X аЧх1 - 21 = Ь1 , 1 = 1ь.
] =1
X ас]х] - 2с = Ьс , с = 1 С .
У =1
(7)
(8)
/-го лекарственного средства, а О - общий объем страховых запасов аптеки (в денежном выражении). Тогда на искомый объем товарооборота накладываются следующие ограничения:
В выражениях (7), (8) переменные и 2С -уравновешивающие переменные, характеризующие дополнительную величину ресурса с и I сверх имеющегося фонда, необходимую для обеспечения нормального режима работы аптеки. Для этого выражения (7) и (8) необходимо дополнить условием по наличию и использованию денежных средств на эти цели
ь с
X+Х^ < Я , (9)
1=1 С=1
где Я - денежные средства аптеки, предназначенные на увеличение объемов ресурсов; й и йс -денежные вложения на единицу приращения ресурсов с и I.
Условие (9) может быть представлено в несколько ином виде, если собственных средств Я0
у аптеки недостаточно:
ь с _
X +Х йсгс - Я = Яо . (10)
г=1 с=1
Здесь искомая переменная Я будет характеризовать потребность в заемных денежных средствах.
Добавим еще обозначения: а]) - норматив
затрат объема хранения на складе или размещения в торговом зале (в дм2) на единицу товарооборота /-го лекарственного средства, а V - общий объем под хранение и размещение ЛС в аптеке. Тогда суммарный объем всего ассортимента аптеки не должен превышать объема аптеки, отводимого под хранение ЛС и их размещение в торговом зале, т. е.:
п
X а Г} ^ < V . (П)
]=1
Для удовлетворения спроса в любой момент, независимо от задержек в поставках или скачка заказов, в систему управления включают страховые запасы ЛС. Недостатки в расчетах нормативов страховых запасов приводят к сокращению сбыта или к дополнительным расходам по содержанию излишних запасов. Расчет нормативов страховых запасов выполняют так же тщательно, как и текущих запасов [5]. Пусть а(8) - норматив страховых
запасов на единицу товарооборота /-го лекарственного средства, ^ - объем страховых запасов
X Р1а 1] х1 < °; 1=1
а(8 ] х1 < 8] , 1 = 1' п .
(12) (13)
В ряде случаев в исходных условиях может быть задано фиксированное значение товарооборота для того или иного лекарственного средства X] = X], ] = 1К, (14)
где К - число наименований ЛС, для которых установлен фиксированный товарооборот.
В других случаях могут быть заданы нижние пороговые значения товарооборота, например, для ЛС из перечня Кн, или верхние пределы, например, на ЛС из перечня Кв . Соответственно в систему ограничений вводятся:
_ (15)
(16)
X > хн/ , ] = 1' Кн
х] < хе] , 1 = 1' Кв .
Наконец, в задаче формирования оптимального ассортимента ЛС могут содержаться условия, учитывающие соотношение между товарооборотом тех или иных лекарственных средств (например, следует соблюдать определенное соотношение между инсулиновыми и сульфаниламидными препаратами; больные сахарным диабетом могут лечиться только инсулинами, только сульфаниламидными либо проходить комбинированное лечение). Так, например, если между товарооборотом к-го и к+1-го лекарственных средств имеется соотношение а : Р , то математически это может быть записано в виде выражения
хк „ а
хк+1
р
(17)
или, что то же, в разрешимом виде
Рхк-а хк+1 > 0 . (18)
Задача нахождения оптимального ассортимента лекарственных средств в аптеке заключается в нахождении таких
х^ > 0, ] = Т7П, (19)
при которых критерий оптимальности (1) достигает максимума.
Возможен другой вариант оптимизационной задачи: при заданной плановой величине прибыли и выполнении условий (2)-(18) определить такую структуру товарооборота, при которой его объем достигает максимума, т. е.
X (1jpj - cj) xj - Z,
j=l
(20)
Q = X PjXj ^ max' (21)
j=
где Z - плановое значение прибыли, а Q - общий объем товарооборота аптеки.
Задача нахождения оптимального ассортимента ЛС (1)-(19) сформулирована как задача линейного программирования, переменные и параметры задачи строго определены. Применение модели опирается на возможность рассмотрения ассортимента в расчлененной форме с учетом затрат всех видов ресурсов и издержек в натуральном выражении в связи с включением в ассортимент единицы того или иного лекарственного средства. Каждый вариант ассортимента характеризуется набором этих затрат и издержек, которые должны быть выбраны так, чтобы были выполнены необходимые ограничения - ассортимент был допустимым, и чтобы целевая функция достигала максимума или минимума - ассортимент был оптимальным. И если спрос на ЛС известен, т. е. все переменные задачи строго детерминированы, данная математическая модель задачи очень эффективна, ее решение может быть легко получено с помощью симплексного метода линейного программирования.
В то же время очевидно, что планирование ассортимента ЛС всегда происходит в условиях неопределенности, когда неизвестен спрос на лекарственные средства или спрос представляет собой случайную величину. В этом случае постановка задачи (1)-(19), основанная на детерминированной модели для детерминированных значений параметров и переменных задачи, теряет определенность. В этом случае актуальной является задача нахождения оптимального ассортимента ЛС в условиях неопределенности на основании только априорной информации.
Построению математической модели задачи нахождения оптимального ассортимента ЛС в условиях неопределенности посвящен следующий пункт статьи.
Постановка задачи нахождения оптимального ассортимента лекарственных средств в условиях неопределенности
В случаях, когда спрос на ЛС не определен, не определены ассортимент и соответствующая ему эффективность, прибегают к вероятностной оценке эффективности, и уже к моменту действия, апостериори, ассортимент и связанная с ним эффективность вполне детерминированы. Очевидно, что от ассортимента зависят экономические показатели деятельности аптеки, поэтому структура и объемы розничного товарооборота ЛС не могут
быть случайными. Следовательно, практический интерес представляет постановка задачи нахождения не случайного, а вполне определенного ассортимента ЛС, основанного только на располагаемой априорной информации [6].
Прием, обычно используемый в этом случае, состоит в максимизации или минимизации математического ожидания целевой функции на определенном интервале времени. В ситуациях, в которых одни и те же условия будут повторяться снова и снова, ожидаемое значение целевой функции может быть интерпретировано как среднее значение за долгий срок. Однако этот же самый критерий используется и тогда, когда некоторые обстоятельства имеют место только однажды, так что нет возможности интерпретировать математическое ожидание как долгосрочное среднее.
Обозначим через Г] спрос нау-е лекарственное средство (количество у-го лекарственного средства, которое желают приобрести покупатели).
Пусть спрос Г] является случайной величиной с известным законом распределения. Далее примем допущение, что все переменные Г],
] = 1,п, непрерывны.
Поскольку формирование ассортимента проводится в условиях неопределенности, можно говорить лишь о вероятностной оценке прибыли, т. е. ожидаемой прибыли.
Найдем выражение для ожидаемой аптекой прибыли.
Очевидно, что аптека понесет потери, если в аптеке не окажется достаточного количества ЛС на желаемое покупателем лекарственное средство. Эти потери складываются из недополученного дохода от продажи данного ЛС вследствие его отсутствия.
Аптека понесет потери и в случае, если количество ЛС превысит спрос на горизонте планирования. Эти потери складываются из затрат на их приобретение, хранение и списание в случае достижения срока использования.
Тогда можно считать, что ожидаемая прибыль от продажи ЛС равна ожидаемому доходу минус издержки аптеки (затраты на заработную плату сотрудникам, коммунальные и прочие расходы на содержание аптеки и хранение ассортимента), минус ожидаемая потеря.
Тогда доход аптеки от продажи у-го лекарственного средства составит
рГ: , если Г: < X: ,
(22)
pjxj, если г > xj, где р - розничная цена у-го лекарственного средства.
n
Г] < х], Г] > х],
+ Л]Р] |(х] " Г] )/(г] )йГ>
где
с] -
издержкоемкость у-го лекарственного
Р]
+ Е
]=1
| ] (Г] )&]
-да
л
п
Р]х] |/(г] ^ —Ес
х ) ] п (
—Е ж] I (г] - х])/(г]
] = 1 х
V х]
А х,
п ]
+Е ]] |(х- Г )/(Г^
]=1
При включении в ассортимент у-го лекарственного средства аптека теряет прибыль в объеме
0, если г, < х ,•,
, , ' ] (23)
(Г] — х]), если Г] > х],
где ж ■ - потеря прибыли из-за отсутствия одного
у-го лекарственного средства.
Лекарственные средства, оставшиеся на конец планового периода и для которых не истек срок хранения, продаются со скидкой на сумму А]Р] (х] — Г]), если
0, если
(24)
где X. - торговая скидка на у-е лекарственное средство.
Тогда ожидаемая прибыль от продажи у-го лекарства будет равна ожидаемому доходу от продажи у-го лекарства минус издержки обращения у-го лекарства, минус ожидаемая потеря, плюс ожидаемый доход от продажи у-го лекарства по сниженным ценам.
Обозначим через / (Г]) плотность распределения случайной переменной г]. Тогда ожидаемая прибыль X] от продажи у-го лекарственного средства определяется как
х] да
х] = Р] | Г]/(Г] )й?Г] + Р]х] |/(Г] )й?Г] -
—да х ]
да
—]]—ж] |(Г]— х])/(Г] Щ +
(25)
Тогда задача нахождения оптимального ассортимента лекарственных средств для случая, когда спрос на ЛС представляет собой случайную величину, заключается в нахождении таких
х}. > 0, ] = Щ, (27)
при которых критерий оптимальности (26) достигает максимума и выполняются условия (2)-(18), рассмотренные в предыдущем параграфе.
Метод кусочно-линейной аппроксимации задачи нелинейного программирования Особенностью задачи (26) с ограничениями (2)-(18) является то, что она содержит нелинейную целевую функцию (26) и линейные ограничения (2)-(18), что относит ее к классу задач нелинейного программирования.
К сожалению, задачи нелинейного программирования всегда решаются значительно труднее, чем задачи линейного программирования, - эффективные вычислительные приемы разработаны для решения лишь немногих типов задач. В то же время существует большое разнообразие практических ситуаций, когда задачу нелинейного программирования можно свести к задаче линейного программирования.
К классу задач нелинейного программирования, изученному наиболее основательно, относятся задачи с линейными ограничениями и нелинейной целевой функцией. Причем эффективные вычислительные методы разработаны лишь в тех случаях, когда целевая функция имеет определенные свойства. Два из них представляют особый интерес [7].
В первом случае целевая функция может быть записана как сумма линейной и квадратичной форм, так что
/ = /(хи х2 , хп ) = Е
с л, +
средства, включая затраты на его закупку.
Ожидаемая прибыль аптеки от реализации всего товарооборота лекарственных средств составит:
С х, Л
п
X=Е
]=1
]=1
+ ЕЕ ёЧх'х] = с1х1 + С2 х2 + i=1 ]=1
I • ф < С^хп $11 $12 ^2
(28)
х2
пп п
(26)
+ • .. + $1пх1хп + ••• +
Такие нелинейные задачи называются задачами квадратичного программирования.
Во втором случае целевая функция может быть записана как сумма п функций, каждая из которых является функцией только одной переменной, т. е.
/ = /(^ х2, хп) = /1(х) + /2(х2) +
+- + /п (хп )-
Если целевая функция может быть записана в форме (29), она называется сепарабельной.
(29)
х
да
п
п
+
да
/
Метод кусочно-линейной аппроксимации применим к задачам, в которых все нелинейные функции сепарабельны. Идея заключается в построении задачи на условный оптимум, которая является линейной аппроксимацией исходной задачи [8].
Для простоты изложения рассмотрим произвольную непрерывную функцию f (х) одной переменной, определенной на интервале 0 < х < а . Функция f (х) может, например, иметь вид, показанный на рис. 1.
/ (х) = f (Xk ) + ^
У(xk+1) - У(xk)
^к±1_
хк+1 — хк
(х - хк) . (30)
фиксированном х, хк < х < хк+1, существуют единственные значения Ак и Ак+1, такие, что
х = Акхк + Ак+1хк+1,
(31)
/ (х) = (хк ) + Ак+т/ (хк+1)'
Л + Ак+1 =1, Ак, Ак+1 > 0
На самом деле для любого х, 0 < х <а можно записать
х = XЛkXk к=0
г
У (х)=xv (хк),
(32)
(33)
к=0
0 Х1Х2Х3Х4Г5Хб=а X Рис. 1. Кусочно-линейная аппроксимация функции У (х)
Выберем на интервале 0 < х <а г + 1 точек хк так, что х0 = 0, х1 < х2 <... < хг = а . Вычислим для каждой точки хк величину /(хк). Соединим попарно точки (хк'у(хк)) и (хк+1' у(хк+0), к = 0'...,г — 1, отрезками прямых. Получим, таким образом, кусочно-линейную функцию, которая аппроксимирует функцию У(х) на интервале 0 < х < а .
Эту кусочно-линейную функцию обозначим через У (х). Такая аппроксимация может быть выполнена с любой точностью за счет выбора точек
хк.
Далее найдем аналитическую запись кусочно-линейной функции /(х). Если х лежит в интервале хк < х < хк+1, мы аппроксимируем У(х) следующей функцией /(х):
XX\ = 1, \ > 0, к = 0, г, (34)
к=0
условившись, что положительным может быть либо одно Як, либо максимум два соседних Ак и Ак+1 . Для х, выраженного с помощью (32), функция /(х), имеющая вид (33), является аналитическим выражением ломаной, изображенной на рис. 1. Поскольку любую непрерывную функцию можно приблизить ломаной, следовательно, любую непрерывную функцию можно описать выражениями (32)-(34).
Вернемся к задаче нелинейного программирования. Пусть требуется найти максимальное значение в задаче следующего вида:
У = X (х-) ^ таХ
¡=1
п _
X 8] (х, ){<' =' Щ' ] = 1' т,
(35)
(36)
Отметим, что любое значение х в интервале хк < х < хк+1 можно представить в виде х = Ахк+1 + (1 - А)хк за счет выбора некоторого А, 0 < А < 1. Отсюда х - хк = А(хк+1 - хк), так что выражение (30) может быть переписано в виде У (х) = А(хк+1) + (1 - А)У (хк). Если принять А = Ак+1, а (1 - А) = Ак, можно утверждать, что при
х, > 0, , = 1, п.
Здесь предполагается, что целевая функция и все функции в ограничениях являются сепара-бельными.
Чтобы найти решение задачи (35), (36), функции У (х1) и 8] (х ,) заменим кусочно-
линейными функциями У- (х;) и 8г) (хг). Заменим,
таким образом, задачу (35), (36) следующей задачей:
У = X У(х-) ^ таХ
¡=1
п _
X 8 ] (х,- ){< =, >}Ь], ] = 1, т,
(37)
=1 (38)
х, > 0, , = 1, п. Задачу (37), (38) будем называть прибли-
г
п
1
п
женной задачей для задачи (35), (36).
Допустим, что определено а, - максимальное значение, которое может принимать переменная х,. Разобьем 0 < х, < а, на г подинтервалов с помощью г +1 точек хй, так что х0, = 0 , хц = а,.
Тогда функции У (х{) и (х,) можно записать в виде
f(x) = Л- = fi(Xk), i = 1, », (39)
k-0
ri
Sij (xi) = X Aâ;, gkij = % (xk ), j =1, ^ (40)
k=0
где
kixki,
Xi = XA
k=0
ri
XA = 1, A > 0 ПРИ всех k
и г
(41)
(42)
k=0
них Ли и Л
'k+1,z
Подставляя теперь в (37) выражения функций у (х,) (39), а в (38) - функций 8у (х,) , в соответствии с (40) переходим к следующей форме
приближенной задачи с переменными сто X :
Л
/V » i
f = XX fA ^ maX
вме-
(43)
i=1 k=0
XXjK =, Щ, j = 1, m,
i=1 k=0
• г _
XA = 1, i = 1 »
(44)
kj k=0
A > 0
k = 0, r,, i = 1, ».
В результате приближенная задача в форме (43), (44) становится задачей линейного программирования, которая может быть решена симплексным методом. Найденные в результате решения задачи (43), (44) значения Аи используются для
помня, что для данного х, положительными могут быть либо одно Ак, , либо как максимум два сосед-
определения приближенных значений xi в соответствии с соотношениями (41).
Заключение
Планирование ассортимента лекарственных средств происходит в условиях неопределенности, когда неизвестен спрос на лекарственные средства или спрос представляет собой случайную величину. Данная задача относится к задачам нелинейного программирования. Учитывая, что функция является сепарабельной, предложен эффективный метод ее решения на основе кусочно-линейной аппроксимации нелинейной целевой функции. Применение метода кусочно-линейной аппроксимации позволило привести задачу нелинейного программирования к задаче линейного программирования. Очевидно, что при аппроксимации размерность задачи возрастает, но поскольку в качестве метода решения используется симплексный метод, данный алгоритм имеет значительную практическую ценность.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Истомина А.А., Истомин А.Л., Сумарокова Н.Н. Постановка задачи нахождения оптимального ассортимента лекарственных средств // Вестник Ангарск. гос. техн. акад. 2014. № 8. С. 17.
2. Лоскутова Е.Е., Пак Т.В., Тарасенко М.А. Рациональный ассортимент - основа эффективной деятельности аптечной организации // Новая Аптека. 2001. № 1.
3. Управление запасами оборотных активов в муниципальных аптеках / В.В. Гацан и др. // Фармация. 1998. № 4.
4. Шрайбфедер Дж. Эффективное управление запасами. М. : Альпина БизнесБукс, 2006. 304 с.
5. Лотоцкий В.А., Мандель А.С. Методы и модели управления запасами. М. : Наука, 1991. 188 с.
6. Истомина А.А., Сумарокова Н.Н. Оптимизация закупок лекарственных средств в условиях неопределенности // Сб. науч. тр. молодых ученых и студентов. 2014. С. 12.
7. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М. : Мир, 1967. 506 с.
8. Математическое обеспечение системы принятия решений в планировании и организации учебного процесса в вузе // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. № 1(29). С. 106.
Г
Г
r
»
<
