CC BY
62
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 • 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Взаимодействие взаимно перпендикулярных магнитных полей
в сверхпроводнике второго рода.
# 11, ноябрь 2012
Б01: 10.7463/1112.0479190
Игнатьев В. К., Якимец А. Л.
УДК. 53.098
Россия, Волгоградский государственный университет
yakimets_volsu@mail.ru
1. Введение
Исследования, посвященные изучению взаимодействию взаимно перпендикулярных магнитных полей в нелинейных магнетиках имеют почтенный возраст [1]. Как правило, в качестве такой нелинейной среды рассматривают ферромагнитные материалы и среды [2]. Одним из практических результатов таких исследований стала разработка феррозондовых магнитометров, обладающих рекордной (для не квантовых измерителей) чувствительностью [3]. Вместе с тем, хотя современная теория ферромагнетизма не позволяет аналитически описывать гистерезис, анализ работы феррозонда [2] показывает, что гистерезисные потери являются фундаментальным ограничением порога чувствительности феррозондовых магнитометров.
Существенно повысить чувствительность, быстродействие электронной аппаратуры возможно при переходе к более низким температурам, в частности при использовании в измерительной и вычислительной технике сверхпроводящих материалов. Электродинамика сверхпроводников в диапазоне радиочастот, на котором энергия кванта существенно меньше ширины энергетической щели, с достаточной точностью описывается уравнениями Гинзбурга - Ландау [4]. Хорошо известно, что сверхпроводники так же как и ферромагнетики обладают нелинейными магнитными свойствами. Более того, вытекающая из уравнений Гинзбурга - Ландау нелокальность взаимодействия сверхпроводящего конденсата куперовских пар с магнитным полем оказывает существенное влияние на генерацию высших гармоник в радиочастотном диапазоне [5].
А
Рисунок 1. Сверхпроводящий провод во внешнем поле
Поскольку потери в сверхпроводниках в радиочастотном диапазоне пренебрежимо малы, нелинейная восприимчивость сверхпроводников второго рода с успехом используется для измерения слабых магнитных полей [6, 7]. Вместе с тем все существующие сверхпроводниковые магнитометры основаны на взаимодействии параллельных магнитных полей - измеряемого постоянного поля и радиочастотного поля накачки, то есть повторяют конструкцию классического феррозонда с продольным возбуждением. Можно ожидать, что нелинейное взаимодействие взаимно перпендикулярных магнитных полей в сверхпроводниках, рассматриваемых как нелинейный проводящий магнетик [8], позволит разработать магнитометры, не уступающие по чувствительности квантовым, например, сквидам [9, 10]. Улучшение чувствительности возможно благодаря тому, что объем, в котором происходит нелинейное взаимодействие, гораздо больше объема джозефсоновского контакта в сквиде.
Несмотря на большое количество публикаций, посвященных нелинейной электродинамике сверхпроводников второго рода, вопрос о нелинейном взаимодействии взаимно перпендикулярных магнитных полей в них до сих пор не рассматривался. Задачей работы является описание этого взаимодействия по аналогии с классической работой [1] для ферромагнетиков с помощью уравнений Гинзбурга - Ландау и аналитическое решение
полученных нелинейных уравнении для предельного случая проволоки толщинои меньше лондоновской глубины проникновения методом последовательных приближений. Цель работы - оценить потенциальную чувствительность криозонда, использующего взаимодействие взаимно перпендикулярных магнитных полей в сверхпроводнике второго рода в задачах магнитометрии.
2. Постановка задачи
Пусть зондом сверхпроводникового магнитометра, который можно назвать криозондовым, является тонкая проволока из сверхпроводника второго рода диаметром 2 R, причем £ << R << X, где £ - длина когерентности, а X - глубина проникновения. Запишем для проволоки, находящейся во внешнем продольном однородном магнитном поле He, по которой течет ток i (рис. 1), уравнения Гинзбурга-Ландау [4]:
£ 2 (iV + 2лЛ/Ф 0 )2 + 2 = 0, (1)
(iV + 2пЛ/ Ф 0 )пу = 0, (2)
rotrotЛ = - /(yVy-yVy*)ф0/(2nX2 )-|у|2 л/X2 , (3)
где п - вектор нормали к поверхности сверхпроводника, ^(r) = y(r 0 -нормированный параметр порядка, Л(г) - векторный потенциал магнитного поля,
Ф 0 ~ 2,07 х 10-15 Вб - квант магнитного потока.
Выберем цилиндрическую систему координат так, чтобы ось z совпадала с осью проволоки. Пусть напряженность внешнего магнитного поля равна He = He (r)eф = const.
Магнитное поле, создаваемое током, имеет вид Hj = //,■ (г)еф = const = Hii^e^
Выберем калибровку вектор потенциала А^ таким образом, чтобы функция ^F была вещественной. Тогда уравнения (1) - (3) сводятся к нелинейным дифференциальным уравнениям (4) - (6) с действительными коэффициентами и граничным условиям (7) к ним:
£ 2 Л^ +
2 4п 2 Л2 ;
^ + ^3 = 0, (4)
rotrot Л + М 2 л/ X2 = 0, (5)
AW = 0, (6)
Лг (г = Я ) = 0, Лф(г = 0)= 0,
ел.
дг д^
1
дЛ,
г=Я
2пЯ дг
=0
1 дгЛ,
ф
г =0
г дг
= Н
(7)
г=Я
дг
= 0.
г = Я
3. Методика решения
В силу симметрии задачи можно считать, что параметр порядка ¥ и вектор потенциал А зависят только от координаты г. Тогда из уравнения (6) следует Лг (г) = 0, что согласуется с первым граничным условием (7) Таким образом, вектор А имеет только 2 и ф компоненты: А = Л2 (г)е2 + Лф(г)еф . Введем безразмерную координату р = г/X и
безразмерные компоненты вектор-потенциала а2 (р) = Л2 (р)/«0 , аф(р) = Лф(р)^«0 где
а0 = ЯФ0/(2п^Х), и обозначим а = £2/X2 << 1, в = ЯVX2 << 1 - малые параметры. Тогда уравнения (4), (5) и (7) принимают вид
йа № 1Т,
а—2- +--+ ^
йр2 р йр йр
в(аг2 + аф
1й (раф) р йр
¥ 2а
¥3 = 0,
0,
(8)
(9)
1 й р йр
^ йа7л р 2
V
йр
2а2 = 0:
у
(10)
аф(0)= 0,
йа„
йр
IX
йа„
р^ 2па0Я'
йр
= 0,
р=0
йр
0.
1 йаа
р йр
2п£Х2 Не ЯФП
(11)
Если потребовать дополнительно, чтобы при 0 < р < Я/X выполнялись условия:
№
dp
< 1, аф + а2 < 1,
(12)
то уравнения (8) - (10) можно решать методом последовательных приближений, положив ^ = ^о + +Р^2 + ••• . Подставляя это разложение в уравнение (8) и приравнивая
коэффициенты при соответствующих степенях а ив, получим ^о = 1, = 0,
^2 = — (а2 + аф У2 . Тогда уравнения (9) - (12) принимают вид:
А dp
1А (РаФ) р Ар
а
—
РаФ — РаФа*>
г ■
(13)
1А
р Ар
Р 1
V
Ар
= а1—Ра3 — Раа2,
У
(14)
АаФ Аа,
аФ~Г + а2~
V
аФ
Аа
Ар
(0)=о,
Ар
р=о
Ар
= 0,
0 Аа1
Ар
¡X
,=7р 2па0 к
1 АаФ
р Ар
'^л/Р
2п£Х2 Не КФп
(15)
а„
+ а„
Ар Ар
<р, аФ + а,2 < 1.
Р Ф 1
(16)
Найдем приближенное решение уравнений (13) и (14), используя метод регулярного разложения по малому параметру Р , в виде:
(р)= а2 0 (р)+Р- а2\(р)+в 2 ■ а2 2 (р)+ •••,
а„
а„
(р) = аФ0 (р) + Р ■ аФ1 (р) + Р2 ■ аФ2 (р) + ••••
С учетом граничных условий (15) в нулевом приближении, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, получим:
i 10 (р) _Не X ¡! (р)
а, 0 =
2п#а0 ' /1Ш'
аф0 =
а
0 ' 10 Ш'
где 10 (х) и (х) - модифицированные функции Бесселя первого рода нулевого и первого
порядков, соответственно.
Используя известное фундаментальное решение уравнения [11], следующее приближение решения уравнения (13) имеет вид:
а.
ф1
к И а (р)
- аф0 - аф0 а20 йр
р
Ж
ьИ к (р)
3 2
- аф0 - аф0 а20 йр
р
2
Ж
где Ж = /х(р) ■ К (р)-К^р)-(р) = — 1 р - детерминант Вронского, К (х) -модифицированная функция Бесселя второго рода первого порядка. Тогда приближенное решение второго уравнения системы (8) может быть записано следующим образом:
а.
ф
щ(р)+Р- к:(р)| ь (р)-
3 2
■ аф0 — аф0а20 йр
2
р
Ж
11 и к (р)—аф0 — «ф0а20 йр йр.
р
Ж
Оценим величину магнитного потока через поперечное сечение сверхпроводящей проволоки. Приближенно вычисляя интегралы, входящее в последнее выражение, раскладывая модифицированные функции Бесселя вблизи нуля (р << 1) и ограничиваясь линейными по р слагаемыми, получим:
Лф = а0аф
VXУ
г е 2
1+3
2
&21 ^
ЧФ0Я2 у
2
Откуда:
Ф = | Ай1 = пЯ2 Не
1+-1 18
2
V 7с у
(17)
где ]с = Ф0/(з^/3пX2£) - критическая плотность тока [12], 7 = Б, Б = пЯ2 - площадь
поперечного сечения зонда.
Оценим порог чувствительности криозондового магнитометра. Пусть по зонду протекает переменный ток ¡()= ¡0 sin(юot), создающий в нем плотность тока
]() = 70 sin(юot), близкую к критической. Положим 70 = ¿0 /Б = 0,9]с . Как и в феррозондовом магнитометре, сверхпроводящая проволока является сердечником ЬС контура с резонансной частотой близкой к 2^0 (рис. 1). Если катушка индуктивности является длинным соленоидом, содержащим п витков, то:
H (t )= H 0 + ,
nS di
(18)
где Н0 постоянное или медленно меняющееся измеряемое магнитное поле, д(?) - заряд на
конденсаторе С •
Колебания в резонансном контуре описываются уравнением:
АФ п Ад д
п-
+ + - = 0.
(19)
А? С
Подставляя в уравнение (19) выражение (17) для магнитного потока через сверхпроводящий зонд с учетом соотношения (18), получим дифференциальное уравнение второго порядка:
d 2 х
dx
dx
d2x
„ + x = Ex - D— + aH0sin(т)+ — 2—sin(т)--т-cos(i)
di2 dT 0 W 4 ^ di W di2
где обозначено = 1/2LC (1 + a), т = 2<»0í, 8 = R0/2 L(l + a),
a = SnaV(2L^0^0), D = , ®2/(4®o)= 1 -E, a = (/0/6je)2.
(20)
q = ^0x >
Поскольку а << 1, найдем решение уравнения (20) методом последовательных приближений в виде х = Х0 + аХ1 + ••• . В нулевом приближении, система описывается уравнением:
А Х° + х0 = £х0 — + аН0 sm(т) • Ат2 Ат
Решение имеет вид:
xn
DaH0 cos(T) + -0^ sin(i).
E2 + D2
E2 + D2
При точной настройке контура (Е << ^) для выходного напряжения преобразователя получаем:
и(?) = = и0 ^(2ю0?), и0 = 20иа2 ю0 Ф,
(21)
где Q = 1/ ^ - добротность контура, Ф = £Н0 - поток измеряемого магнитного поля Н 0 через поперечное сечение сверхпроводникового зонда.
Из формулы (21) видно, что напряжение на контуре и (?) осциллирует с частотой 2^0 синхронно с переменным током ¡(?), текущим по проволоке, что позволяет использовать метод синхронного детектирования. Амплитуда и0 выходного напряжения
пропорциональна измеряемому магнитному полю Н 0 , причем крутизна преобразования растет с увеличением частоты Ю0.
Известно, что глубина проникновения переменного электромагнитного поля зависит от его частоты. Критическую частоту, при которой это изменение становится существенным, можно оценить из выражения для комплексной глубины проникновения [12]:
X—1 = Ю 1 — Ю2.
1С у ю2 Ю(Ю + 1У) ' где , Юп - плазменные частоты сверхпроводящих и нормальных электронов, их значения порядка 1010 ... 1011 Гц, V - эффективная частота столкновений, равная 1010 Гц, ю - частота электромагнитного поля. Таким образом, изменение глубины проникновения в л/2
происходит на частоте порядка 1011 Гц и для рабочей частоты 30 МГц ей можно пренебречь. При низких температурах легко получить для контура, содержащего П = 100 витков
добротность Q = 103 . Если 30!jc = 0,9 , то коэффициент пропорциональности в формуле
(21) между амплитудой выходного напряжения и 0 и потоком Ф измеряемого магнитного
поля составит 1012 С 1.
4. Результаты и обсуждение
Собственное шумовое напряжение измерительного усилителя, приведенное к входу,
имеет величину порядка 1 нВ в полосе 1 Гц, тогда порог чувствительности криозондового
^ 1П—21 Вб 1П—7 Ф 0
магнитометра по магнитному потоку Фп = 10 = 5 ■ 10 —не уступает лучшим
д/Гц л/Гц
сквидам [9, 10] при том, что конструкция сверхпроводникового зонда гораздо проще и технологичнее. По сути, сверхпроводниковый зонд очень похож на криотрон [9], в котором
вентиль является зондом, а управляющая катушка - резонансным контуром.
Требование Я << X фактически использовалось только для упрощения расчетов. При практических применениях достаточно выбирать Я«X, в этом случае взаимодействие скрещенных полей будет происходить по всему объему сверхпроводника. При этом для магнитометрии нужны "плохие" сверхпроводники - с большой глубиной проникновения и малой плотностью критического тока, например ВТСП-керамика с пониженным содержанием кислорода вблизи перехода. При температуре 77 К эффективная глубина проникновения в керамическом сверхпроводнике порядка 100 мкм [13].
Поскольку в соответствии с формулой (17) поток переменного магнитного поля через сечение сверхпроводника не зависит от направления тока в нем, сверхпроводящую проволоку диаметром 0,1 мм можно уложить "змейкой" так, чтобы в соседних звеньях ток протекал в противоположных направлениях. Зонд магнитометра диаметром 1 мм будет состоять из 100 таких звеньев и позволит получить порог чувствительности по магнитному
полю порядка Вп = 10—15 Тл . Такая чувствительность является рекордной даже для
л/Гц
квантовых магнитометров и позволит проводить предельные измерения в области гео- и биомагнетизма. Отметим, что в отличие от сквидов, сигнальная характеристика криозондового магнитометра не является периодической, поэтому такой магнитометр может измерять абсолютное значение магнитной индукции, а не только ее изменение.
5. Заключение
1. Получено приближенное решение задачи о нелинейном взаимодействии взаимно-перпендикулярных магнитных полей в сверхпроводнике второго рода в квазистационарном приближение
2. Показана возможность использования взаимодействия взаимно-перпендикулярных магнитных поле в сверхпроводящей проволоке для измерения напряженности магнитного поля.
3. Оценена предельная чувствительность криозондового магнитометра с поперечным возбуждением, рекордная даже для квантовых магнитометров^
Работа выполнена в рамках реализации ФПЦ «Научные и научно-педагогические кадры инновационной Росии» на 2009 - 2013 годы (соглашение № 14.В37.21.0736).
6. Список литературы
1. Горелик Г.С. О некоторых нелинейных явлениях, происходящих при суперпозиции взаимно перпендикулярных магнитных полей // Известия Академии наук СССР. Серия Физическая. 1944. Т. VIII, № 4. С. 172-188.
2. Зацепин Н.Н. Метод высших гармоник в неразрушающем контроле металлов. Минск: Наука и техника, 1980. 167 с.
3. Афанасьев Ю.В. Феррозонды. Л.: Энергия, 1969. 168 с.
4. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1950. Т. 20, вып. 12. С. 1064 - 1082.
5. Игнатьев В.К. Обобщенная проницаемость сверхпроводника второго рода // Физика низких температур. 2005. Т. 31, № 12. С. 1355 - 1365
6. Игнатьев В.К., Черных С.В. Сверхпроводящий магнитометр с обратной связью по магнитному полю // Приборы и техника эксперимента. 1996. № 2. С. 124 - 126.
7. Игнатьев В.К., Якимец А.Л. ВТСП-магнитометр с двойной модуляцией // Измерительная техника. 2000. № 10. С. 49 - 52.
8. Игнатьев В.К., Якимец А.Л. Нелинейное взаимодействие трех волн в проводящем магнетике // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2002. № 1. С. 55 - 59
9. Алфеев В.Н., Бахтин П.А., Васенков А.А., Войтович И. Д., Махов В. И. Интегральные схемы и микроэлектронные устройства на сверхпроводниках / Под ред. В.Н. Алфеева. М.: Радио и связь, 1985. 232 с.
10. Игнатьев В.К., Краснополин И.Я. Оптимизированный СКВИД с радиочастотным смещением в диапазоне 25 - 30 МГц // Приборы и техника эксперимента. 1982. № 1. С. 198 - 201.
11. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001. 576 с.
12. Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников. М.: МЦНМО, 2000. 402 с.
13. Копелевич Я.В., Леманов В.В., Холкин А.Л.. Частотная зависимость импеданса и глубина проникновения магнитного поля в керамике YBa2Cu3O7-x // Физика твердого тела. 1989. Т. 31, вып. 8. С. 302 - 304.
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE RAIJMAN MS TU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
Interaction of mutually perpendicular magnetic fields in the type II superconductor # 11, November 2012 DOI: 10.7463/1112.0479190 Ignat'ev V.K., Yakimec A.L.
Russia, Volgograd State University yakimets_volsu@mail.ru
The problem of interaction of crossed magnetic fields in the superconductors is considered. The expression which connects values of longitudinal and cross components of a magnetic field was obtained. The possibility of using this effect for measuring a magnetic field is shown; assessment of sensitivity of such a magnetometer was carried out.
Publications with keywords : superconductor, magnetometer, SQUID, cryotron, the crossed magnetic fields, non-linear magnetic
Publications with words:superconductor, magnetometer, SQUID, cryotron, the crossed magnetic fields, non-linear magnetic
References
1. Gorelik G.S. O nekotorykh nelineinykh iavleniiakh, proiskhodiashchikh pri superpozitsii vzaimno perpendikuliarnykh magnitnykh polei [Some nonlinear phenomena occurring in the superposition of mutually perpendicular magnetic fields]. Izvestiia Akademii naukSSS., Seriia Fizicheskaia [Bulletin of the Academy of Sciences of the USSR. Physics], 1944, vol. 8, no. 4, pp. 172-188.
2. Zatsepin N.N. Metod vysshikh garmonik v nerazrushaiushchem kontrole metallov [The method of higher harmonics in the nondestructive testing of metals]. Minsk, Nauka i tekhnika, 1980. 167 p.
3. Afanas'ev Iu.V. Ferrozondy [Ferroprobes]. Leningrad, Energiia, 1969. 168 p.
4. Ginzburg V.L., Landau L.D. K teorii sverkhprovodimosti [To the theory of superconductivity]. Zhurnal eksperimental'noi i teoreticheskoi fiziki [Journal of experimental and theoretical physics], 1950, vol. 20, no. 12, pp. 1064-1082.
5. Ignat'ev V.K. Obobshchennaia pronitsaemost' sverkhprovodnika vtorogo roda [Generalized permeability of superconductor of the second kind]. Fizika nizkikh temperature [Physics of low temperatures], 2005, vol. 31, no. 12, pp. 1355-1365
6. Ignat'ev V.K., Chernykh S.V. Sverkhprovodiashchii magnitometr s obratnoi sviaz'iu po magnitnomu poliu [Superconducting magnetometer with feedback on the magnetic field]. Pribory i tekhnika eksperimenta [Instruments and techniques of experiment]], 1996, no. 2, pp. 124-126.
7. Ignat'ev V.K., Iakimets A.L. VTSP-magnitometr s dvoinoi moduliatsiei [HTSC-magnetometer with double modulation]. Izmeritel'naia tekhnika [Measurement technique], 2000, no. 10, pp. 49-52.
8. Ignat'ev V.K., Iakimets A.L. Nelineinoe vzaimodeistvie trekh voln v provodiashchem magnetike [Nonlinear interaction of three waves in a conducting magnetic]. Fizika volnovykh protsessov i radiotekhnicheskie sistemy [Physics of wave processes and radio engineering systems], 2002, no. 1, pp. 55 - 59
9. Alfeev V.N., Bakhtin P.A., Vasenkov A.A., Voitovich I. D., Makhov V. I. Integral'nye skhemy i mikroelektronnye ustroistva na sverkhprovodnikakh [Integrated circuits and microelectronic devices on superconductors]. Moscow, Radio i sviaz', 1985. 232 p.
10. Ignat'ev V.K., Krasnopolin I.Ia. Optimizirovannyi SKVID s radiochastotnym smeshcheniem v diapazone 25 - 30 MGts [Optimized SQUID with radio-frequency shift in the range of 25 - 30 MHz]. Pribory i tekhnika eksperimenta [Instruments and techniques of experiment], 1982, no. 1, pp. 198 - 201.
11. Zaitsev V.F., Polianin A.D. Spravochnikpo obyknovennym differentsial'nym uravneniiam [Handbook on ordinary differential equations]. Moscow, Fizmatlit, 2001. 576 p.
12. Shmidt V.V. Vvedenie v fiziku sverkhprovodnikov [Introduction to the physics of superconductors]. Moscow, MTsNMO Publ., 2000. 402 p.
13. Kopelevich Ia.V., Lemanov V.V., Kholkin A.L. Chastotnaia zavisimost' impedansa i glubina proniknoveniia magnitnogo polia v keramike YBa2Cu3O7_x [Frequency dependence of the
impedance and the depth of penetration of the magnetic field in the ceramics YBa2Cu3O7-x ]. Fizika tverdogo tela [Solid state physics], 1989, vol. 31, no. 8, pp. 302 - 304.
