CC BY
15Измерения магнитного момента джозефсоновских сеток. Самоорганизованная критичность и асимметрия магнитной динамики.
Э. В. Матизен (matizen@casper.che.nsk.su), С. М. Ишикаев Институт неорганической химии СО РАН Новосибирск, 630090
Получены экспериментальные результаты по зависимости магнитного момента квадратных сеток джозефсоновских переходов от магнитного поля и температуры. Исследовались сетки с переходами SIS- и SNS-типа. В SIS-сетках наблюдались лавины магнитного потока. Статистический анализ лавин магнитного показал, что их распределение по размерам носит степенной характер с кроссовером, когда показатель степени n меняется от -1.2 при малых размерах лавин, до - 3.5 при больших, а спектр лавин от развертки поля носит 1/f° - характер. Такое поведение лавин интерпретируется как проявление самоорганизованной критичности (СОК). В SNS-сетках лавины не наблюдались, но обнаружилась существенная асимметрия кривой гистерезиса. По величине магнитного момента насыщения определена зависимость критического тока сетки от температуры.
Прямые измерения магнитного момента регулярных двумерных джозефсоновских сеток (J-сетки) в зависимости от поля и температуры представляют большой интерес. Такие эксперименты позволяют обнаружить новые явления, поскольку из-за сложности электродинамики J-сеток не все факторы могут быть учтены в теоретических моделях. Мы обнаружили только одну работу других авторов [1], посвященную прямым измерениям магнитных свойств (восприимчивости) J-сетки, которая была опубликована после наших первого сообщения [2]. В то же самое время имеется большое количество теоретических работ, см., например, [3, 4, 5, 6, 7], посвященных магнитным свойствам, и в той или иной степени нуждающихся в подтверждении адекватности расчетов эксперименту.
Экспериментальные исследования магнитных свойств J-сеток имеют практическую ценность, В настоящее время они рассматриваются как перспективный источник радиоизлучения в еще мало освоенных миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах [8].
Особый интерес представляет проблема существования самоорганизованной критичности (СОК) в J-сетках. СОК - весьма распространенное явление в природе [9, 10]. Это явление наблюдается в широком круге сложных интерактивных систем, имеющих большое количество составляющих элементов, которые взаимодействуют друг с другом. Такая система имеет огромное число метастабильных состояний, в которых она может находиться. Ей присущ хаос, и в этом смысле при своей эволюции она не достигает термодинамического равновесия, из-за чего невозможно построить ее микроскопическую модель методами статистической физики. Однако, несмотря на хаотическое движение, система самоорганизуется, у нее появляется постоянный (в среднем) некоторый параметр, например, у кучи песка - угол ее наклона. Куча песка (sand pile) - излюбленная модель теоретиков, исследующих СОК.
Динамика системы достаточно интересна. При изменении внешних условий ее существования в системе, достигшей СОК, возникают лавины совершенно различного размера вне зависимости от величины внешнего воздействия или флуктуации, которые поддерживают в среднем критическое состояние системы. Важно отметить, что даже совершенно ничтожное воздействие может привести к лавине громадного размера (катастрофе). Другой особенностью является то, что, система сама приходит в СОК, т. е. не надо подстраивать какие-либо ее параметры в отличие, например, от жидкости, когда для достижений критической точки необходимо настроить два параметра (температуру и плотность).
Распределение лавин по размеру носит степенной характер с нецелым отрицательным показателем. Этой зависимости, например, подчиняются магнитуды землетрясений (Закон Гутенберга-Рихтера [11]). За последние полтора десятка лет после пионерских исследований СОК [9, 10, 12] было построено много моделей, имитирующих различные природные явления: землетрясения [13, 14], пересекающиеся фазовые переходы [15], фазовые переходы кварк-адрон [16], дождевые явления [17] распространение лесных пожаров [18, 19], кризисы в экономике [20], развитие популяций в биологии [12] и др.
К настоящему времени экспериментальные данные по СОК получены на весьма ограниченном круге искусственно приготовленных объектов: при исследовании динамики роста песочной кучи [21], при исследовании движения куска наждачной бумаги по нейлоновому ковру [22], в плёночном кипении азота на поверхности высокотемпературного сверхпроводника (ВТСП) вблизи перехода в сверхпроводящее состояние [23], при пластической деформации нагруженного алюминиевого стержня [24].
Однако, в последнее время опубликованы исследования, в которых подвергается сомнению степенная зависимость распределения амплитуд лавин при реализации СОК. Ревизия, опубликованная в [25], и эксперимент [26] показывают, что функция распределения имеет скорее экспоненциальный характер типа Р(х)~ехр(-(х/х0)ц), где д -нецелый показатель. Очевидно, в этом случае имеется характерный масштаб - х0, и не выполняется однородность функции распределения относительно размера лавины. Это противоречит "классическому" СОК, поскольку в этой теории предполагается масштабная инвариантность в наблюдении лавин всех масштабов.
В настоящей работе представлены результаты экспериментальных исследований магнитных свойств сеток с джозефсоновскими переходами двух типов: сверхпроводник - изолятор - сверхпроводик (БК-сетки) и сверхпроводник - нормальный металл -сверхпроводник (БКБ-сетки). Цель работы заключалась в наблюдения особенностей проникновения в 1-сетки магнитного поля. В первом разделе приведены характеристики сеток и сквид-магнитометр нашей конструкции, во втором - результаты исследований СОК, реализующейся в БК-сетках, в третьем - результаты намагничивания БКБ, в которой обнаружена существенная асимметрия кривой гистерезиса. В заключительном разделе обсуждаются результаты исследований.
Эксперимент и образцы
Нами изучались квадратные 1-сетки, состоящие из 100x100 ячеек. Для исследования были разработаны два дизайна сеток, отличающиеся формой сверхпроводящих островков (в виде восьмиугольника и креста - схемы фрагментов сеток показаны на рис.1и рис.2, соответственно). Конфигурации в форме креста отличались примерно вчетверо большей площадью туннельного контакта, что позволяло достичь больших критических токов, и большей индуктивностью ячейки.
МЬ РЬ4 туннельный барьер^ вЮ -изоляция
Рис.1 Конфигурация сетки с дизайном площадок в виде восьмиугольников. На вставке показана вольт-амперная характеристика одиночного перехода при 4.2 К.
г-
Рис.2. Конфигурация сетки с дизайном площадок в виде крестов. 1- верхний слой "островков" - контактных площадок (N5); 2 - джозефсоновский переход БЫБ-типа (ЫЪ-3- нижний слой (N5); 4 - подложка (Б^.
Сетки были изготовлены вакуумным напылением с последующей фотолитографией по специальным фотошаблонам с соответствующим травлением. J-сетки с восьмиугольными островками были изготовлены как в варианте SIS (Nb -NbOx - Pb), так и в SNS (Nb -Cu0.95Al0.05 - Nb), а J-сетки с крестообразными островками - в варианте SIS. Следует отметить, что SIS-сетки были недолговечны, ощутимых изменений их параметров не наблюдалось лишь в течение 2-х месяцев, SNS-сетки были значительно более устойчивы - заметных изменений свойств не наблюдалось до 2-х лет. Характеристики сеток приведены в таблице 1.
Таблица 1. Сравнительные характеристики джозефсоновских сеток SIS- и SNS-типа
тип перехода SIS SNS
структура перехода Nb -NbOx - Pb Nb -Cu0.95Al0.05 - Nb
размеры сеток 100x100 100x100
размеры ячейки, мкм2 20x20 20x20
площадь перехода, мкм2 7-30 7
критический ток при 4.2К, мкА 80-150 1500
нормальное сопротивление, Ом 10-30 10-3
индуктивность ячейки, Гн 2.5-10"12-10"п 2.5-10"12
емкость перехода, пФ 0.04-0.1 0.002
Мы проводили исследования магнитных свойств I - сеток с помощью оригинального СКВИД - магнитометра, разработанного в нашей лаборатории. Наш магнитометр имел ряд особенностей: в конструкции приемных катушек трансформатора потока, в способе компенсации их астатизма, а также в конструкции соленоида. Приемные катушки трансформатора потока были изготовлены в виде симметричного градиометра второго порядка [27, 28], но в отличие от классической схемы центральная катушка разделена на две равные, которые были несколько разнесены, так что образовали подобие катушек Гельмгольца. Это обеспечило ряд преимуществ, в частности, уменьшило микрофонный шум и обеспечило существенно меньшую зависимость сигнала от положения образца, что позволило получать воспроизводимые результаты.
Соленоид состоял из двух сверхпроводящих частей: внешней короткозамкнутой и незамкнутой внутренней. В короткозамкнутом соленоиде замораживалось определенное значение поля, незамкнутый же служил для непрерывного изменения поля в некоторых пределах. Астатизм тщательно изготовленных приемных катушек составлял около 3-10-4; для дополнительной компенсации была введена небольшая катушка из нескольких витков медного провода, намотанных на ту же оправку, что и трансформатор потока и имевшая с ним индуктивную связь. Эта катушка включалась последовательно с незамкнутым соленоидом, и число витков в ней (в нашем случае -шесть) подбиралось таким, чтобы максимально компенсировать астатизм системы приемных катушек. В процессе работы через дополнительную катушку пропускался ток, не равный току соленоида, а пропорциональный ему с неким коэффициентом, причем этот коэффициент можно было варьировать в некоторых пределах. Таким образом, можно было менять общий наклон кривых намагничивания, добавляя к сигналу образца величину, пропорциональную полю, практически полностью компенсируя вклад от экранирующих токов собственно сверхпроводящих пленок N и РЬ. В результате в измеряемом магнитном моменте остался практически лишь вклад от токов, текущих по джозефсоновской сети. Отметим, что при непосредственной регистрации без такой аппаратной компенсации практически невозможно при
последующей обработке сигнала выделить слабовыраженную структуру на фоне большого общего наклона кривой намагничивания.
Для уменьшения дрейфов и помех жидкий гелий, в котором находились трансформатор потока, соленоид и сверхпроводящий магнитный экран, откачкой паров переводился в сверхтекучее состояние. С этой же целью измерения проводились в основном в ночное время. Измерения температуры производилось термопарой Си+0.1%Бе - Си+0.1%0е с чувствительностью около 10мкВ/К в гелии, при этом реперными точками служили сверхпроводящие переходы свинца и ниобия, а также точка перехода гелия в сверхтекучее состояние, которая легко фиксировалась по резкому уменьшению низкочастотных шумов в системе регистрации.
Магнитные свойства 818-сеток
А. Магнитный момент БТБ-сеток при намагничивании
На Рис.3 приведены при различных температурах кривые гистерезиса магнитного момента БК-сетки, изготовленной с конфигурацией с восьмиугольными островками, такой же, как и исследованная ранее [2]. Полученные результаты практически совпадают с полученными в нашей предыдущей работе [2], только более выражены. Кривые М(Н) являются отражением специфического критического состояния, возникающего в регулярной джозефсоновской структуре. Петли гистерезиса выше 5.3К вплоть до ТС свинца 7.2К представляют собой непрерывные воспроизводимые кривые. На всех кривых отчетливо видна регулярная структура с не зависящим от температуры периодом около 59 мЭ. Если учесть ослабление среднего поля в области ячеек сетки в результате экранирующего действия сверхпроводниковых пленок, данная величина хорошо согласуется с АН=Ф0/а2~52 мЭ, где Ф0 -квант магнитного потока, а- период сетки.
Рис.3 Семейство кривых намагничивания сетки с БК-контактами при разных температурах.
Периодические пики магнитного момента соответствуют увеличению критического тока пиннинга флуксонов (тока депиннинга) при целочисленных фрустрациях, когда на каждую ячейку приходится одинаковое целое число квантов потока (флуксонов), и поэтому их распределение в сетке наиболее регулярное и устойчивое. Устойчивость вихревой системы проявляется в виде увеличения тока депиннинга и, соответственно, общего магнитного момента.
Кроме высоких максимумов, ясно видны небольшие бугорки точно между ними, своеобразная вторая гармоника, которая соответствуют изменению потока внутри сетки в среднем на один флуксон на каждые две ячейки. Видимо это соответствует также довольно устойчивому распределению добавленных квантов потока в J-сетках в шахматном порядке [29, 30]. Надо полагать, в J-сетках также существуют гармоники более высоких порядков, связанные с периодическим образованием сверхрешеток флуксонов с еще большим периодом, но ввиду своей малости не заметные в эксперименте на уровне шумов.
При температурах ниже 5.1К на гистерезисных петлях появляются напоминающие шум скачки магнитного момента, амплитуда которых растет с понижением температуры, так же как на исследованных ранее других J-сетках [2]. Эти скачки появляются сначала на вершинах пиков, а затем распространяются в стороны, образуя сначала периодические компактные группы, расположенные точно напротив пиков на "высокотемпературных" кривых, затем при дальнейшем понижении температуры группы скачков смыкаются.
Кривые намагничивания при изменении внешнего поля в пределах ±15 мЭ при 2.15К показаны на рис.4. Здесь гистерезисные петли также приведены со сдвигом по вертикали, поскольку наложение друг на друга более четырех циклов сильно запутывает картину. Верхняя кривая состоит их 4-х полных циклов, следующих непрерывно, две них из 2-х циклов. Можно отметить наличие на кривых монотонных вполне воспроизводимых участков протяженностью 5-6 мЭ, на которых происходит переход на другую ветвь петли после поворота поля, а также участки, где монотонное изменение магнитного момента прерывается спонтанными резкими сбросами, после которых снова продолжается монотонная зависимость до следующего скачка. Эти скачки происходят при случайных значениях поля и их амплитуды имеют существенный разброс.
=Т0 =5 0 3 ГО
Н, тОе
Рис.4 Петли гистерезиса сетки с SIS-контактами при Т=2.15К в полях до ±15 мЭ.
Отличительная особенность этих скачков - очень малое время (много меньше 0,1 сек. - характерного времени отклика нашей регистрирующей системы), и их определенное направление. Характер наблюдаемых скачков не зависит от скорости развертки магнитного поля в пределах трех порядков 0.01 мЭ/сек - 10 мЭ/сек. При скорости развертки 10 мЭ/сек регистрирующая система уже не успевала отслеживать скачки, и все острые углы на кривых, прилегающие к вертикальным сбросам при этом начинали сглаживаться и размываться.
Таким образом наблюдается некоторая температура Т ~ 5К, при которой меняется характер кривых намагничивания. При внимательном взгляде на кривую намагничивания при температуре 5.5К, рис.3 можно и на ней заметить скачки, но значительно более редкие и с маленькой амплитудой, находящиеся на самых вершинах пиков. При непосредственном наблюдении за пером самописца, регистрировавшего сигнал, можно было уверенно наблюдать характерные резкие сдвиги, очень короткие во времени и всегда в одну сторону, происходящие только на вершинах пиков, чем они уверенно выделялись из шума, то есть имели иной спектральный состав. Таким образом, можно считать, что смена характера кривых гистерезиса при понижении температуры, когда появляются скачки магнитного момента происходит при температуре около 5.8К.
На сетках с новой конфигурацией нам удалось получить достаточно большой массив данных, чтобы можно было определить статистические характеристики лавин. Общий характер кривых гистерезиса новой J-сетки не отличался от прежней сетки с восьмиугольными островками. На рис.5 показан фрагмент кривой намагничивания -зависимости такого типа характерны при исследованиях СОК на совершенно различных моделях.
Рис.5. Фрагмент кривой намагничивания при 4.1К джозефсоновской сетки с SIS-контактами, на котором ярко выражены скачки магнитного момента, соответствующие лавинам магнитного потока.
B. Обсуждение результатов по SIS-сеткам
Изучаемую J-сетку можно представить, как многоконтактный сквид с регулярным расположением контактов. Динамика флуксонов в нем может быть описана уравнением синус-Гордона, также как и в протяженном джозефсоновском контакте. В работе [31] данное уравнение было решено в дискретном представлении в пренебрежении второй производной фазы по времени.
Известно, что можно выделить два режима движения магнитного потока в J-сетке. Для их описания удобно пользоваться параметром k= À/a, где X - глубина проникновения перпендикулярного поля в сетку [3, 4]. Отметим, что параметр k соответствует обратному параметру Гинзбурга V = 1/k [32].
Параметр k зависит от температуры, так как с температурой изменяется глубина проникновения X [33]:
Ф0
X(T ) =-0-(1)
2nWc (T )
À(T ) = X(0)
tanh
Д(0) 2kBT
-1
(2 )
где Л(Т) - зависящая от температуры ширина сверхпроводящей щели, -критический ток джосефсоновских переходов, который растет с понижением температуры. Поэтому понижая температуру, в эксперименте можно перейти от одного режима к другому.
Из полуширины гистерезисных петель намагничивания можно сделать оценку тока депиннинга флуксонов при нецелочисленных фрустрациях, исходя из упрощенного предположения, что токи по сетке текут по концентрическим квадратным контурам, при этом полуширина петли просто пропорциональна току. В случае квадратных линий тока несложный расчет дает следующее выражение для магнитного момента сетки: М = 1йерК3а2/б, где ^ер - ток депиннинга, который считается постоянным по всей сетке.
Можно ожидать, что реальные линии токов отличаются от квадратных, они как бы "срезают" углы, поэтому оценка по простейшей модели получается несколько заниженной.
Сравнение расчета с экспериментально измеренной температурной зависимостью ус(Т) (рис.б) показывает, что Я = а при Т ~6К. Это значение соответствует экспериментальному значению температуры, ниже которого характер кривых намагничивания изменяется и появляются скачки магнитного момента.
Рис.б. Зависимость критического тока в БК-контакте от температуры. Синими квадратиками обозначены результаты прямых измерений критического тока в одиночном контакте. Красно-желтые квадратики - оценка тока депиннинга из магнитного момента сетки.
При достаточно высоких температурах, когда Ыс«Фо, ячейка не способна удержать квант потока, и каждый флуксон распределяется на несколько ячеек. Это соответствует условию к >>1 (слабый пиннинг), при этом флуксоны проникают в J-сетку виде гипервихрей, простирающихся на множество ячеек. Взаимодействие между флуксонами при слабом пиннинге приводит к глубокому проникновению их внутрь сетки с почти равномерным распределением по ней. Профиль поля в сетке при этом представляет разбросанные по площади сетки максимумы в местах расположения гипервихрей, см., например, [4, 34]. В случае, когда флуксон простирается на множество ячеек, динамику джозефсоновских вихрей можно описывать в непрерывном пределе. Это подтверждается тем, что экспериментально полученные кривые на рис.5 даже в деталях согласуется с кривыми, теоретически рассчитанными для больших значений джозефсоновской глубины проникновения [3, рис.14].
В обратном случае, при значительной величине критического тока, выполняется условие Ь1с>>Ф0 (где Ь - индуктивность ячейки, 1с - критический ток в джозефсоновском переходе), и в каждой ячейке может находиться только целое число флуксонов. При возрастании внешнего магнитного поля в контурах ячеек (с исходным нулевым потоком) увеличивается экранирующий ток и соответственно растет магнитный момент ячейки. При достижении током критического значения, в ячейку входит флуксон, и ее магнитный момент скачкообразно уменьшается. Динамику движения флуксонов в данном режиме можно описывать как движение дискретных квазичастиц, локализующихся в пределах одной ячейки и обладающих некой эффекивной массой. Это соответствует случаю к <<1 (состояние сильного пиннинга), магнитное поле проникает в J-сетку примерно синхронно по квадратным опоясывающим контурам. При этом профиль поля образует четырехугольную яму со ступеньками от контура к контуру, т. е. организуется дискретное состояние, напоминающее Биновское распределение поля в объемном сверхпроводнике второго рода.
Как было предположено в [31] в J-сетке при к << 1 может возникнуть СОК, поскольку при больших размерах J-сетки ансамбль флуксонов в ней можно считать сложной интерактивной системой. При больших значениях критических токов через джозефсоновские контакты каждая ячейка, а значит и вся сетка в целом, обладают большим числом метастабильных состояний, что также является необходимой чертой систем, в которых наблюдается самоорганизация критического состояния [31]. В медленно меняющемся магнитном поле при приближении величин экранирующих токов к критическому значению система флуксонов достигает неустойчивого состояния, из которого спонтанно под влиянием случайных возмущений переходит в одно из многочисленных метастабильных состояний. Такой способ существования вблизи критического состояния типичен именно для СОК. Конечное состояние, в котором оказывается система в результате каждого такого скачка, естественно, определяется количеством метастабильных состояний системы и их конфигурацией, а также динамикой коллективного движения флуксонов в сетке и множеством случайных возмущающих факторов, например, тепловых флуктуаций.
Мы считаем, что наблюдаемые в наших экспериментах скачки магнитного момента (рис.4, рис.5) являются подтверждением реализации СОК в J-сетке. Построенная гистограмма количества скачков от их амплитуд (рис.7) демонстрирует степенную зависимость, которая является "визитной карточкой" СОК. Показатель степени для сетки с восьмиугольными островками получился равным п=-1.9±0.1. Интересно отметить, что в работе [32] компьютерным моделированием одномерной джозефсоновской сетки (одномерного многоконтактного СКВИДа) получены близкие значения -1.75 и -1.80 для структур, состоящих из 256 и 128 ячеек.
Кривая распределения скачков по их амплитуде в случае сетки с крестообразными островками имеет другой характер: на кривой наблюдается кроссовер, когда показатель степени изменяется от -1.2 до -3.5 с увеличением амплитуды скачков. Некоторые авторы, начиная с работы [11], отмечали такой кроссовер на других объектах или даже получали экспоненциальную зависимость [26].
Рис.7. Распределение скачков магнитного момента (лавин потока) по амплитудам.
На рис.8 приведен Фурье-спектр лавин, в который были разложены кривые намагничивания при развертке магнитного поля с постоянной скоростью, с возникающими скачками-лавинами на них. Из рис.8 видно, спектр ведет себя как 1/Р, что предсказывалось в работе [32].
Frequency. IIz
Рис.8. Фурье-спектр фрагментов кривой намагничивания, на которых возникают лавины
Наши работы пока остаются единственными, где исследовалось поведение магнитного момента при непрерывном намагничивании регулярных J-сеток, и в них наблюдалась СОК. Следует отметить, что это явление было также обнаружено недавно в поликристаллических ниобиевых пленках [35] и практически одновременно с нами в [26]. По утверждению авторов [35] у них наблюдалась степенная зависимость распределения при изменении амплитуд от 1 до 100, хотя проведенная по точкам зависимость в двойном логарифмическом масштабе является скорее выпуклой кривой, нежели прямой. Авторы работы [26] утверждают, что они наблюдали экспоненциальную зависимость функции распределения амплитуд, в связи с чем они сомневаются в существовании самоорганизованной критичности в данной структуре. На самом деле многие расчетные модели дают подобное распределение, которое выглядит в двойном логарифмическом масштабе выпуклой кривой с завалом при больших амплитудах, например, [36].
После наших экспериментов Н. Е. Савицкая и С. Л. Гинзбург расчетами подтвердили, что лавины в сетках можно наблюдать и при намагничивании J-сетки, а не только при добавлениях импульсов тока в отдельные случайные узлы, как предполагалось в [32]. Причина возможности появления лавин при намагничивании, по их мнению лежит в слабой нерегулярности параметра а, которая находится в пределах технологического разброса при изготовлении J-сетки [36].
Магнитные свойства 8К8 -сеток
С. Магнитный момент БКБ-сетки при намагничивании
На рис.9 и 10 для ряда температур приведено семейство кривых намагничивания [37], где также в значительной мере скомпенсирован пропорциональный внешнему полю большой вклад от сверхпроводящих пленок (джозефсоновских берегов) исследуемой структуры, который при температуре 7 К в поле 300 мЭ более чем на порядок превышает сигнал от собственно джозефсоновской сетки.
На кривых М(Н) в области сверхпроводящего состояния сетки (ниже 8К), отчетливо видны регулярные пики с независящим от температуры периодом по внешнему магнитному полю, приблизительно равным 59 мЭ, также как для БК-сеток. Точно в серединах между большими пиками отчетливо видны маленькие пики, что также соответствует вполне устойчивому распределению добавленных квантов потока в 1-сетке в шахматном порядке [29, 30]. При температурах от 6 до 7.1 К в интервале полей ±60 мЭ можно также вполне отчетливо увидеть особенности, соответствующие изменению потока на треть кванта на ячейку, что также согласуется с результатами [29, 30]. В той части, где наблюдаются периодические пики, их форма прекрасно согласуется с расчетами [3] для случая к>>1.
Наиболее интересным явлением, которое можно ясно видеть на рис.9, является асимметрия магнитной динамики. Острые регулярные пики на петлях гистерезиса наблюдаются лишь при увеличении абсолютного значения поля, в то же время при его уменьшении они практически не выражены и появляются снова лишь после прохождении поля через нуль.
Измерению кривых гистерезиса предшествовало охлаждение 1-сетки ниже сверхпроводящего перехода ниобия в малом поле не более 1 мЭ, что гарантировало отсутствие замороженных абрико-совских вихрей в ниобиевых пленках. Для сравнения на рис.6 приведена гистерезисная петля, когда абрикосовские вихри были заморожены при охлаждении 1-сетки в поле около 180 мЭ. Видно, что кривая гистерезиса в этом случае не имеет асимметрии, а резкие пики выродились в плавные периодические максимумы кривой (нижняя кривая Т=7.1К).
Рис.9. Семейство кривых намагничивания сетки с БКБ-контактами при к>0.
Рис.10. Семейство кривых намагничивания сетки с SNS-контактами при
также и в данной области.
На кривых М(Н) ниже 5.7К высота пиков по отношению к полуширине петли гистерезиса уменьшается, а сами пики уширяются и сглаживаются. Высота пиков уменьшается даже в абсолютном выражении. Асимметрия наблюдается
D. Обсуждение результатов по SNS-сеткам
Одной из целей исследования J-сеток с SNS-переходами было наблюдение проявлений самоорганизованной критичности, какое мы наблюдали в J-сетках с SIS-переходами. Мы рассчитывали, что легко достижимые высокие значения критических токов в SNS-сетках позволят нам провести более разносторонние исследования СОК.
Однако, несмотря на то, что в исследуемой SNS-сетке критический параметр при низкой температуре много меньше единицы (k<<1), что заведомо удовлетворяет необходимому условию СОК [31], мы не наблюдали лавин флуксонов, которые должны были проявляться в виде спонтанных скачкообразных изменений магнитного момента как в SIS-сетках. Их отсутствие в сетке можно объяснить значительной диссипацией при прохождении вихрей сквозь нормальный металл джозефсоновских переходов, из-за малости параметра Маккамбера P=y2mcrçC/ф, для квадратной сетки y=0.2, ic -критический ток через контакт, rc - шунтирующее сопротивление, С - емкость контакта, - в результате чего флуксоны, двигаясь против градиента магнитного поля, по-видимому, не набирают кинетической энергии, необходимой для развития лавин .
Поскольку пики на кривой намагничивания являются отражением упорядоченного заполнения J-сеток магнитным потоком, их отсутствие на убывающей ветви указывает, очевидно, на неупорядоченность в распределении потока в джозефсоновской структуре в процессе уменьшения поля. Таким образом, вхождение флуксонов в сетку сопровождается образованием упорядоченных структур в их распределении, в то время как выход из нее происходит довольно беспорядочно и нерегулярно. Любопытно, что асимметрия намагничивания наблюдается и в J-сеток с SIS - контактами см. рис.3, однако выражена весьма слабо. В первоначально изучавшейся сетке с восьмиугольной конфигурацией асимметрия была еще менее выражена, поэтому мы в своем первом сообщении не обратили внимания на эту особенность. Таким образом, асимметрию можно признать общим свойством коллективного движения джозефсоновских вихрей в J-сеток, как-то связанным с общей геометрией системы, и не зависящим от типа контактов.
Мы выдвинули предположение о том, что причиной наблюдаемого различного поведения при входе и выходе магнитного потока является непостоянство асимметрии профиля потенциала пиннинга вдоль границы, например, вблизи углов этот профиль
имеет несколько другую форму, чем в серединах сторон сетки. Это может приводить к тому, что вход и выход вихрей в такую структуру может происходить преимущественно через различные участки границы, и соответственно при этом характер распределения вихрей в исследуемой структуре также окажется различным. Вполне возможно, что в одном случае конфигурация потока будет существенно более упорядоченной, в сравнении с другим случаем, что и приведет к наблюдаемой асимметрии в характере движения вихрей в джозефсоновской сетке. Для проверки данной гипотезы были сравнены кривые намагничивания квадратной джозефсоновской сетки, и сетки в форме почти правильного восьмиугольника, полученной из исходной путем механического удаления углов. Амплитуда сигнала от СДП без углов оказалась меньше примерно на 20%, в то время как ее площадь сократилась примерно на 15%. Это связано с тем, что основной вклад в момент сетки дают критические токи, циркулирующие по внешним контурам вблизи границ ввиду их большей площади, и именно эти контуры пострадали в результате удаления углов сетки. Однако принципиальных отличий в петлях гистерезиса СДП квадратной формы и в виде восьмиугольника не наблюдалось. На основании проведенного сравнения этих различных сеток можно утверждать, что особенности поведения магнитного потока в сетке не связаны с наличием углов.
Видимо, существенную роль в возникновении асимметрии петли гистерезиса играет пограничный потенциальный барьер, препятствующий вхождению флуксонов в сетку, что может приводить, в конечном итоге, к различному характеру их распределения в СДП в процессе входа и выхода. Также на особенности магнитной динамики может влиять то, что профиль потенциальной энергии пиннинга в ячейках вблизи границы джозефсоновской сетки имеет асимметричную форму, связанную с краевыми эффектами. В работе [38] показано, что асимметрия потенциала пиннинга может приводить к анизотропии силы пиннинга - своеобразному "диодному эффекту", когда для того, чтобы привести вихри в движение в определенном направлении требуется меньшая сила, чем в обратную сторону. Мы полагаем, что существенную роль играет также то, что в исследованной нами структуре размеры джозефсоновских контактов ( ~ 4-6 цш ) в принципе нельзя считать пренебрежимо малыми с размерами ячеек СДП ( 20 цш ). При моделировании вихревой динамики в джосефсоновских сетях в известных нам работах размеры контактов считаются пренебрежимо малыми, и в этом, видимо, состоит причина того, что подобное асимметричное поведение не предсказывалось ни в одной из теоретических работ.
Здесь, также как и в БК-сетках, можно выделить две области температур, где наблюдается различное поведение кривых М(Н). В первой, более высокотемпературной области (рис.9) глубина проникновения поля в сетку - Х= Ф0/2лцо!С заметно превышает период сетки а. При этом каждый из квантов потока (флуксон) с радиусом ~ X распределяется по нескольким ячейкам, а их собственные поля токов являются малыми (область слабого пиннинга). Поэтому токи слабо возмущают суммарный магнитный поток, и при этом неоднородность поля в сетке очень мала. В данной области температур наблюдаются резкие пики М(Н) на восходящих ветвях петель гистерезиса, соответствующие состояниям, когда на каждую ячейку приходится целое число квантов потока. (переделал)
При низких температурах, когда X заметно меньше а (область сильного пиннинга), всегда в каждой ячейке находится целое число квантов потока, и их поведение можно описывать с помощью дискретной динамики. При этом собственные поля текущих по СДП экранирующих токов настолько велики, что приводят к неоднородному распределению флуксонов по сетке, что в итоге выражается в увеличении ширины пиков на кривых намагничивания и уменьшению их относительной высоты, как видно
из рис.10. Это соответствует выводам работы [29, 30], где показано, что отношение высоты пиков на кривых намагничивания (и, соответственно, тока депиннинга) при целых f и значений при промежуточных f ("на пьедестале") уменьшается с понижением температуры, что связано с увеличением эффектов собственного поля при уменьшении X. Для исследованной структуры расчетное значение размера флуксона 2Х становится равным периоду структуры a=20 цш при температуре около 6.5 К.
На рис.11 приведена в логарифмическом масштабе температурная зависимость тока депиннинга 1<1ер, оцененного из полуширины петель гистерезиса: М = ^К^/б. Сплошной кривой показана теоретическая зависимость для квадратной сетки, которая дает в соответствии с [29, 39] с учетом эффектов собственных полей токов: 1скр = 0.1 1с (1+1.5 8Д), где 1с - критический ток отдельного перехода. Температурная зависимость 1с для БКБ перехода в "грязном" пределе дается следующим выражением: 1с = 0.1 1с(0) (1-Т/Тс)2 е"а^т, где Тс = 9.2 К - температура сверхпроводящего перехода
берегов джозефсоновского контакта (см. например, [40]). Коэффициент а = 3.6 найден из прямых измерений температурной зависимости критического тока через одиночный джозеф-соновский переход БКБ с нормальной прослойкой того же самого состава. Значение множителя 1с(0) = 3.6 А получено подгонкой для наилучшего соответствия эксперименту в области температур вблизи Тс, и близко к значению 1с(0) = 3.9 А, полученному из прямых измерений критического тока одиночного контакта.
Рис.11. Зависимость тока депиннинга БКБ-сетки от температуры.
Видно, что выше 3.7 К экспериментальные данные хорошо соответствуют теоретической зависимости, однако при низких температурах имеется существенное расхождение. Очевидно, это связано со значительным искривлением силовых линий и их концентрацией вблизи края сетки, вследствие чего магнитное поле в этой области существенно превышает внешнее и способно заметно подавлять критические токи переходов. Причем подавляются преимущественно токи, циркулирующие вдоль границ, то есть имеющие наибольшие площади контуров и дающие наибольший вклад в общий магнитный момент. При высокой температуре эффект подавления не проявляется, поскольку критические токи малы и магнитное поле довольно легко проникает внутрь, вследствие чего не происходит его концентрации на краю сетки.
Заключение
Проведенные экспериментальные магнитные исследования регулярных квадратных джозефсоновских сеток выявили ряд новых эффектов. К ним в первую очередь относятся наблюдения лавин магнитного потока в SIS-сетках, подчиняющихся законам СОК; и асимметрия кривой намагничивания SNS-сетки, причина которой до сих пор не вполне понятна.
По поводу вопроса, возникшего в последнее время, о законе распределения лавин, мы хотели бы заметить, что согласно нашим данным, скорее всего в распределении лавин по их размеру имеется кроссовер. В работе [26, рис.3], также явно виден кроссовер в распределении лавин, хотя авторы описывают его расширенной экспонентой.
Предлагаемая нами модель для экспериментального изучения СОК обладает рядом преимуществ. В этой модели можно легко изменять внутренние и внешние условия и изучать их влияние на характеристики СОК. Экспериментальная модель предполагает возможность расчета магнитной динамики J-сетки на основе разработанной теории и проверить адекватность ее результатов.
В заключение необходимо отметить, что изучение причин, приводящих к интересным проявлениям СОК и асимметрии в динамике магнитного потока, требует дополнительных, как теоретических, так экспериментальных исследований регулярных J-сеток разных типов (SIS и SNS) и дизайна, с различными площадями контактов и плотностями критических токов.
Авторы благодарят В.А.Обознова, и В.В.Рязанова за синтез образцов J-сетки и полезные советы, а также С.Л. Гинзбурга и Н.Е. Савицкую за плодотворные обсуждения результатов работы.
Работа поддержана грантом РФФИ 02-02-16564, а также Госконтрактом №40.012.1.1.1356.
Литература
1. W. Maluf Jr. , G. M. Cecato, P. Barbara, C. J. Lobb, R. S. Newrock, F. M. Araujo-Moreira. "Magnetic properties of SIS and SNS Josephson junction". J. of Magnetism and Magnetic Materials, vol.226-230, p.290-292 (2001)
2. С. М. Ишикаев, Э. В. Матизен, В. А. Обознов, В. В. Рязанов, А. В. Веретенников. "Магнитные свойства двумерных джозефсоновских сеток. Самоорганизованная критичность в динамике магнитного потока". Письма в ЖЭТФ, т.72, вып.1, с.194-198, (2000). S. M. Ishikaev, E. V. Matizen, V. V. Ryazanov et. al. , JETP Lett. , 72, 39-44 (2000)
3. D. Dominguez and J. V. Jose, Phys. Rev. B 53, 11692 (1996),
4. D. -X. Chen, A. Sanches and A. Hernando, Phys. Rev. B 50, 10342 (1994); D. -X. Chen, J. J. Morreno and A. Hernando, Phys. Rev. B 53, 6579 (1996);
5. D. Reinel, W. Dieterich, A. Majhofer, T. Wolf. "Magnetic-flux distribution in square Josephson-junction array with inductances". Physica C, vol.193, c.243-200 (1995)
6. В. В. Брыксин, А. В. Гольцев, С. Н. Дороговцев. "Проникновение магнитных полей в джозефсоновские структуры". Письма в ЖЭТФ, т.51, вып.1, с.53-56 (1990)
7. F. M. Araujo-Moreira, P. Barbara, A. B. Cawthorne, C. J. Lobb. "Reentrant ac Magnetic Susceptibility in Josefson-Junction Arrays". Phys. Rev. Lett. , vol.78, № 24, p.4625-4628 (1997)
8. P. Barbara, A. B. Cawthorne, S. V. Shitov and C. J. Lobb, "Stimulated Emission and Amplification in Josephson Junction Arrays" Phys. Rev. Lett. vol.82, №9, p. 1963-1966 (1999)
9. P. Bak, C. Tang, K. Wisenfeld, "Self-organized criticality: An explanation of the 1/f noise". Phys. Rev. Lett. , 59, 381 (1987)
10. P. Bak, K. Chen, M. Creutz. "Self-organized criticality "Game of Life"". Nature. Vol.342, p.780-782, (1989)
11. B. Gutenberg, C. F. Richter. Ann. Geophys. Vol.9, p.1 (1956)
12. P. Bak, K. Snoppen. "Punctuated Equilibrium and Criticality in Simple Model of Evolution"
13. Z. Olami, H. J. S. Feder, K. Christensen. "Self-Organized Criticality in Continuous, Nonconservative Cellular Automation Modeling Earthquakes". Phys. Rev. Lett. Vol.68, №8, p.1244-1247 (1992)
14. J. M. Carison, J. S. Langer. "Properties of Earthquakes Generated by Fault Dynamics". Phys. Rev. Lett. , vol.62, №22, 2632-2635 (1989)
15. В. П. Коверда, В. П. Скрипов. "Самоорганизованная критичность в системе двух независимых нелинейных стохастических уравнений". В сборнике научных трудов
Института теплофизики УРО РАН "Метастабильные состояния и фазовые преходы", Екатеринбург, (2000, с.140), с.45;
V.N. Skokov, A.V. Reshetnikov, V.P. Koverda, A.V. Koverda. "Self-organized criticality and 1/f-noise at interacting nonequilibrium phase transitions". Phisica A, vol.372, p.1-12, (2001)
16. R. C. Hwa, J. Pan. " Self-Organized Criticality in Quarc-Hadron Phase Transition". Nuclear Physica A590, p.601c-604c (1995)
17. R. F. S. Andrade, S. T. R. Pinho, S. C. Fraga, A. P. M. Tanajura. "New Toppling Dynamics for the Self-Organized Critical Rainfall Model ". Physica A, vol.314, p.405-410 (2002)
18. B. Drossel. "Self-Organized Criticality and Synchronisation in Forest-Fire Model". Phys. Rev. Lett. , vol.76, №6, 936-939 (1996)
19. B. Drossel, F Schwabl "Self-Organized Criticality Forest-Fire Model". Phys. Rev. Lett., vol.69, №11, 1629-1632 (1992)
20. G. Iori, S. Jafarey. "Criticality in Model of Banking crices"
21. G. A. Held, D. H. Solina, D. T. Keane, W. J. Haag, P. M. Horn and G. Grinstein, "Experimental Study of Critical-Mass Fluctuations in an Evolving Sandpile" Phys. Rev. Lett. vol.65, № 9, p.1120-1123 (1990)
22. H. J. S. Feder and J. Feder, " Self-Organized Criticality in Stck-Slip Process". Phys. Rev. Lett. vol.66, №20, p.2669-2672 (1991)
23. В. П. Коверда, В. Н. Скоков. В. П. Скрипов. "1/Я-шум в критическом неравновесном фазовом переходе". Письма в ЖЭТФ, т.63, вып.9, с.739-742 (1996)
24. M.A.Lebyodkin, Y.Brechet, Y.Estrin, and L.P.Kubin, "Statistics of the Catastrophic Slip Events in the Portevin-Le Chätelier Effect", Phys.Rev.Lett., vol.74, p.4758-4761 (1995); М.А.Лебедкин, Л.Р.Дунин-Барковский, ЖЭТФ, т.113, с.1816 (1998)
25. E. Laherrere, D. Sornette. "Stretched exponential distribution in nature and economy: "Fat Tails" with characteristic scale". Eur. Phys. B, vol.2, №4, p.525-539 (1998)
26. K. Behnia, C. Capan, D. Mailly, B. Etienne. "Internal Avalanches in a Pile of Superconducting Vortices". Phys. Rev. , vol.61, №6, p. R3815 - R3818 (2000-II)
27. S.M.Ishikaev and E.V.Matizen, "The remanent magnetization of Bi-Ca-Sr-Cu-O ceramic rings in weak magnetic fields", High Temperature Superconductivity: New Materials and Properties, Joint Symposium of the SB RAS and the CNEAS TU, Tohoku University, Japan 1999, p.65
28. С.М. Ишикаев, "Оптимальная конфигурация приемных катушек СКВИД-магнитометра", Приборы и техника эксперимента, N.3, с.145 (2002)
29. T. E. Trias, J. R. Philips, H. S. J. van der Zant and T. P. Orlando, IEEE Trans. Appl. Supercond.5, 2707 (1995)
30. J. R. Philips, H. S. J. van der Zant, J. White and T. P. Orlando, Phys. Rev. B. , 47, 5219 (1993)
31. С. Л. Гинзбург. "Самоорганизация критического состояния в джозефсоновских решетках и гранулированных сверхпроводниках". ЖЭТФ, т.106, вып.2(8), 607-626 (1994)
32. С. Л. Гинзбург, Н. Е. Савицкая. "Самоорганизация критического состояния в цепочке СКВИД". Письма в ЖЭТФ, т.69, №9, 688-694 (1998)
33. С. J. Lobb, D. W. Abraham, M. Tinkham. "Theoretical Interpretation of Resistive Transition Date from Arrays of Superconduction Weak Links". Phys. Rev. , vol.27, №1, p.150-157 (1983)
34. V. Marconi, D. Dominguez. "Melting and Transverse Depinnigof Driven Vortex Lattices in the Period Pinning of Josphson Junction Array". Phys. Rev. B. , vol.63, 1740509-1 -1740509-16 (2001)
35. E. Altshuler, T. H. Johansen, Y. Paltiel et al. "Vortex Avalanches and Self Organized Criticality in Suprconducting niobium". arXiv:cond-mat/0208266 v1 13 Aug 2002
36. С. Л. Гинзбург, Н. Е. Савицкая, "Возникновение Самоорганизация критического состояния в одномерном многоконтактном СКВИДе, как следствие случайного расположения контактов" Письма в ЖЭТФ, т.73, 163-166 (2001)
37. С. М. Ишикаев, Э. В. Матизен, В. А. Обознов, В. В. Рязанов. "Магнитные свойства двумерных джозефсоновских сеток с SNS-переходами" Письма в ЖЭТФ, т.76, вып.3, с.39-44, (2002)
38. B. Y. Zhu, L. V. Look, V. V. Moshchalkov et. al. , Phys. Rev. B. , 64, 12504 (2001)
39. M. S. Rzchowski, S. P. Benz, M. Tinkham, and C. J. Lobb, Phys. Rev. B. , 42, 2041 (1990)
40. А. Бароне, Дж. Патерно. Эффект Джозефсона, 1984, с.198, М. Мир
Подписи к рисункам
Рис.1 Конфигурация сетки с дизайном площадок в виде восьмиугольников. На вставке показана вольт-амперная характеристика одиночного перехода при 4.2 К.
Рис.2. Конфигурация сетки с дизайном площадок в виде крестов. 1- верхний слой
"островков" - контактных площадок (КЫЬ); 2 - джозефсоновский переход БКБ-типа (Nb-Cu0.95Al0.05-Nb); 3- нижний слой (КЬ); 4 - подложка (Б^.
Рис.3 Семейство кривых намагничивания сетки с БК-контактами при разных температурах.
Рис.4 Петли гистерезиса сетки с БК-контактами при Т=2.15К в полях до ±15 мЭ.
Рис.5. Фрагмент кривой намагничивания при 4.1К джозефсоновской сетки с БК-контактами, на котором ярко выражены скачки магнитного момента, соответствующие лавинам магнитного потока.
Рис.6. Зависимость критического тока в БК-контакте от температуры. Синими
квадратиками обозначены результаты прямых измерений критического тока в одиночном контакте. Красно-желтые квадратики - оценка тока депиннинга из магнитного момента сетки.
Рис.7. Распределение скачков магнитного момента (лавин потока) по амплитудам.
Рис.8. Фурье-спектр фрагментов кривой намагничивания, на которых возникают лавины
Рис.9. Семейство кривых намагничивания сетки с БКБ-контактами при к>1.
Рис.10. Семейство кривых намагничивания сетки с БКБ-контактами при к<1.
Рис.11. Зависимость тока депиннинга в БКБ-сетке от температуры.
