CC BY
47
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2011, том 54, №2_____________
ФИЗИКА
УДК 537.611, 530.146
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминов, Ф.Ш.Шокиров
В работе приводятся результаты исследования процессов распада топологических солито-нов двумерной 0(3) векторной нелинейной сигма-модели теории поля вследствие их взаимодействия. Результаты работы получены для анизотропного случая, применением численного моделирования, на основе теории разностных схем.
Ключевые слова: двумерный топологический солитон - О(3) нелинейная сигма-модель - численное моделирование - динамика взаимодействий - распад топологических солитонов - столкновение со-литонов.
Изучение динамики солитонов и выяснение возможных процессов их взаимодействия представляет практический интерес с точки зрения исследования свойств уравнений, полная интегрируемость которых не доказана. Применение методов численного исследования решений подобных уравнений, в частности теоретико-полевых моделей, позволяет получить информацию о характере эволюции описываемых ими нелинейных возбуждений. Настоящая работа является одним из этапов исследований авторов по изучению динамики взаимодействий топологических солитонов (ТС) двумерной 0(3) векторной нелинейной сигма-модели (ВНСМ) [см. например, 1-3]. В данной работе проведением серии численных экспериментов были обнаружены некоторые характерные особенности распада ТС 0(3) ВНСМ на локализованные возмущения (ЛВ) вследствие их взаимодействия, зависящие от их скорости и топологического заряда (ТЗ, иначе индекс Хопфа). В случае анизотропной сигма-модели в компьютерных экспериментах изучена динамика взаимодействия ТС с ТЗ Р=3,4,5,6.
Динамика взаимодействия ТС с ТЗ Q=1,2 и Q>6 в настоящей работе не рассматривалась по следующим причинам: ТС с ТЗ Q=1,2 имеют границу, превышающую область моделирования, а ТС с ТЗ Q>6 обладают относительно сильным градиентом плотности энергии (DH) в кольце, и для получения достоверных численных данных требуется более мелкая сетка при составлении разностного аналога уравнений, нежели та, которая была использована в данной работе. В общих случаях ограничения накладываются оперативной памятью компьютера.
Будем проводить численное исследование динамики взаимодействий ТС, формирующихся из начальных решений вида:
Адрес для корреспонденции: Муминов Хикмат Халимович. 734063, Таджикистан, Душанбе, ул. Айни 299/1, Физико-технический институт АН РТ. E-mail: [email protected], [email protected]
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И РАСПАД ДВУМЕРНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ О(3) ВЕКТОРНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИГМА-МОДЕЛИ
Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан
(1)
r2 = x2 + y2, cos x = x / r, sin X = У / r ,
которые были получены Белавиным и Поляковым [4]. Здесь Q - ТЗ. Устойчивость решений (1) при значениях ТЗ Q = 1...6 и некоторые характерные особенности динамики их взаимодействия были рассмотрены в работах [1-3]. В указанных работах также были получены численные решения, обладающие свойством «дальнодействия»: при встречном движении двух ТС («лобовое» столкновение») происходило отражение без явного их контакта. В настоящей работе, как и в [1-3], для численного исследования эволюции начальных решений (1) была составлена разностная схема с весами явного типа второго порядка точности, как по времени, так и по координате [5]. Параметры численного моделирования: шаг по координате h = 0.01; шаг по времени т = 0.006; время моделирования Т е [0, 60]; область моделирования - прямоугольная {—L < x < L, ~L < У < L} ; L = 10.0 ,Ь2 = 5.0 ; разрешение 2002 х 1001 точек в каждом слое по времени. Для получения эволюционной модели взаимодействия вплоть до времени Т = 60 было произведено более 2^1010 вычислений разностного аналога О(3) ВНСМ в каждой модели.
При проведении численных экспериментов, изменяя параметры эволюционной системы -скорость (V) и ТЗ (Q) ТС, мы наблюдали динамику двухсолитонных столкновений. В качестве мишени были использованы изученные в работе [1-3] ТС с ТЗ Q = 3.6, которые подвергались столкновению движущимися солитонами, обладающими ТЗ Q = 3. Такие взаимодействия были рассмотрены при различных скоростях «налетающих» солитонов: от V ~ 0.15 до V ~ 0.7 (скорость дана в долях скорости света с). Ниже приведены результаты, сгруппированные по значениям скорости «налетающего» ТС на неподвижную «мишень» (V2 = 0).
1. V1 ~ 0.14834, V2 = 0, Q1 = 3, Q2 = 3...6. Из этой группы приведем результаты экспериментов для различных значений ТЗ мишени: Q2 = 3, 4, 5, 6. В этих экспериментах контроль точности консервативности численной схемы осуществлялся вычислением интеграла энергии, которая сохранялась с точностью АЕ/Е ~ 10-3...10-4.
Рис.1. Численная модель динамики взаимодействия двух ТС с одинаковым ТЗ Q1 = Q2 = 3, один из которых движется со скоростью ¥1 ~ 0.14834 в направлении другого неподвижного ТС.
Время моделирования Т = 60: а) Т = 0.0; Ь) Т = 60.0.
Случай Q2 = 3. Расстояние между ТС вначале составляет 6 единиц (рис.1а)). Налетающий ТС движется прямолинейно. При столкновении с мишенью оба ТС испытывают некоторое возмущение, после которого мишень начинает двигаться прямолинейно в том же направлении, но с определенной
деформацией кольца концентрации энергии. После столкновения мишень к моменту Т = 60.0 передвигается примерно на 4 единицы (рис.1Ь)). Налетающий ТС после столкновения смещается почти на одну единицу в сторону собственного (левостороннего) вращения (см. работы [1-3]), постепенно становясь неподвижным, в этом ТС также наблюдается аналогичная деформация формы кольца плотности энергии.
Случаи Q2 = 4, 5, 6. При увеличении ТЗ мишени результаты взаимодействия, в общих чертах, аналогичны предыдущему случаю. Основное отличие состоит в том, что с увеличением ТЗ мишени увеличивается деформация кольца плотности энергии. Также наблюдается зависимость скорости мишени от её ТЗ - с увеличением ТЗ мишени уменьшается «приобретаемая» ею (вследствие взаимодействия) скорость.
2. У1 ~ 0.28735, У2 = 0, Q1 = 3, Q2 = 3...6. В этом случае увеличена скорость «налетающего» ТС, другие условия взаимодействий аналогичны предыдущим экспериментам. Как и в предыдущем примере, контроль точности консервативности численной схемы осуществлялся вычислением интеграла энергии, которая сохранялась с точностью АЕ/Е ~ 10-3.. ,10-4.
Рис.2. Динамика взаимодействия двух ТС, при движении одного из ТС с ТЗ Ql = 3 со скоростью ¥1 ~ 0.28735 в направлении неподвижного ТС с разным ТЗ: I) Q2 = 3, II) Q2 = 4, III) Q2 = 5, IV) Q2 = 6.
Время моделирования Т=55.
Случай Q2 = 3. Увеличение скорости «налетающего» солитона меняет характер взаимодействия ТС - во всех экспериментах данной группы наблюдается распад системы, состоящей из двух взаимодействующих ТС на несколько ЛВ. В частности, при одинаковом ТЗ ^1 = Q2 = 3) происходит распад мишени на две ЛВ с ТЗ Q2a = 1 и Q2ъ = 2. Пример такого взаимодействия приведен на рис.21, где можно видеть распад мишени на два ЛВ, начинающих движение в том же направлении (рис.2.!Ъ)). Здесь также можно наблюдать характерную деформацию кольца плотности энергии «налетающего» ТС и смещение его центра относительно оси прежнего направления движения.
Случаи Q2 = 4, 5, 6. При увеличении ТЗ мишени результат взаимодействия отличается от предыдущего распадом обоих ТС на ЛВ. Например, при Q2 = 4 (рис.2.П) система двух взаимодействующих ТС распадается на 5 ЛВ с ТЗ, равными 2 (два ЛВ) и 1 (три ЛВ). При Q2 = 5 (рис.2.Ш) в момент времени Т = 55.0 можно наблюдать образование четырёх ЛВ с ТЗ, равными 4 (одно ЛВ), 2 (одно ЛВ) и 1 (два ЛВ). Увеличение ТЗ мишени до Q2 = 6 также приводит к образованию четырёх ЛВ (рис.2.ГУ) с ТЗ, равными 4 (одно ЛВ), 2 (два ЛВ) и 1 (одно ЛВ).
Аналогичные численные эксперименты были проведены для скоростей налетающего солитона ¥1 ~ 0.41036 и ¥1 ~ 0.7071, где также наблюдается распад взаимодействующей двух-солитонной системы на ЛВ.
Следует отметить, что при определении ТЗ вышеописанных образовавшихся ЛВ мы исходили из численного анализа проекций изоспина взаимодействующей двухсолитонной системы на ком-
2 2
плексную плоскость, появляющуюся вследствие стереографической проекции £ - Ясотр при использовании комплексной параметризации в О(3) ВНСМ [1-3].
В заключение отметим, что общее свойство, наблюдаемое при проведении численных экспериментов настоящей работы, заключается в сохранении суммы ТЗ взаимодействующих ТС независимо от количества ЛВ, формирующихся из двух начальных сталкивающихся солитонов.
Поступило2 7.12.2010 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. - ДАН РТ, 2010, т.53, №9, с.679-684.
2. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. - Материалы VI междун. научно-технической конференции. -ВолГТУ, Вологда, 2010, т.1, с.206-211.
3. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Пакет компьютерных программ для проведения численного моделирования визуализации эволюции и взаимодействий частицеподобных объектов двумерных О(3) нелинейных сигма-моделях непертурбативных квантовых теорий поля. Свидетельство о регистрации интеллектуального продукта, 0241Т от 16.03.2010 г.
4. Белавин А.А., Поляков А.М. - ЖЭТФ, 1975, 22(10), с. 503-506.
5. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. - М.: Наука, 1971, 553с.
^Д.Муминов, Ф.Ш.Шокиров
ТАЪСИРИ МУТАЦОБИЛА ВА ПАРОКАНДАШАВИИ СОЛИТОЩОИ ТОПОЛОГИИ ДУЧЕНАИ О(3) СИГМА-МОДЕЛИ ВЕКТОРИИ ГАЙРИХАТТЙ
Институти физикаю техникаи ба номи С.У.Умарови Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон
Натичах,ои тадкики равандх,ои парокандашавии солитонх,ои топологии дучена дар О(3) сигма-модели вектории гайрихаттии назарияи майдон тах,ти таъсири мутакобила оварда шуда-анд. Натичах,о барои полати анизотропй, бо истифодабарии тархрезии ададй, дар асоси назарияи схемах,ои фаркй ба даст оварда шудаанд.
Калима^ои калиди: солитони топологии дучена - О(3) сигма-модели вектории гайрихаттй -тарурезии ададй - динамикаи таъсири мутацобила - парокандашавии солитонуои топологи -бархурди солитонуо.
Kh.Kh.Muminov, F.Sh.Shokirov INTERACTION AND DECAY OF TWO-DIMENSIONAL TOPOLOGICAL SOLITONS IN O(3) NON-LINEAR VECTOR SIGMA-MODEL
S.U. Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
The paper presents the results of study of decay processes of topological solitons of two-dimensional O(3) vector nonlinear sigma model of field theory due to their interaction. The results of the work were obtained for the anisotropic case, using numerical simulation based on the theory of finite difference schemes. Key words: two-dimensional topological soliton - 0(3) nonlinear vector sigma-model - numerical simulation - dynamics of interaction - disintegration topological solitons - soliton collision.
