CC BY
57
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________2010, том 53, №9____________
ФИЗИКА
УДК 537.611, 530.146
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминов, Ф.Ш.Шокиров
ДИНАМИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ДВУМЕРНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ В О(3) НЕЛИНЕЙНОЙ ВЕКТОРНОЙ СИГМА-МОДЕЛИ
Приведены результаты исследования динамики взаимодействий двумерных динамических топологических солитонов в О(3) векторной нелинейной сигма-модели теории поля в изотропном и анизотропном случаях. Методами численного моделирования показана устойчивость данного вида солитонов при различных значениях топологического заряда (индекса Хопфа). Получены дальнодей-ствующие модели эволюции динамики упругого взаимодействия двумерных топологических солито-нов.
Ключевые слова: двумерный топологический солитон - О(3) нелинейная сигма-модель - численное моделирование - динамика взаимодействий - столкновение солитонов.
Нелинейные непертурбативные модели теории поля, начиная с пионерских работ Т.Х.Р.Скирма [1], постоянно привлекают внимание исследователей. В непертурбативных моделях, в отличие от хиггсовской модели, элементарные частицы находят свое естественное описание как «сгустки» энергии; другое важное преимущество данных моделей заключается в отсутствии расходимостей, которые в стандартной модели требуют применения техники перенормировок. Вместе с тем, в качестве модельного представления уравнений Янга-Миллса в теории поля также предлагается класс 8и(К) двумерных векторных нелинейных сигма-моделей (ВНСМ) [2].
В данной работе мы проводим численные исследования нелинейных возбуждений с нетривиальным индексом Хопфа в двумерной (2Б) О(3) ВНСМ, уделяя особое внимание динамике взаимодействия топологических объектов. Плотность лагранжиана О(3) ВНСМ в 2Б пространстве, соответственно, в изотропном и анизотропном случаях имеет вид:
Решения, зависящие от времени, данной модели подчиняются уравнениям Лагранжа-Эйлера,
В терминах эйлеровой параметризации полевые функции имеют вид:
Адрес для корреспонденции: Муминов Хикмат Халимович. 734063, Таджикистан, Душанбе, ул. Айни 299/1, Физико-технический институт АНРТ. E-mail: [email protected], [email protected]
Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан
(1)
sasa = 1; ju = 0,1,2; а = 1,2,3.
соответственно,
Sj = sin в cos р, s2 = sin в sin р, s3 = cos в
(3)
Топологические солитоны (ТС), полученные Белавиным и Поляковым [3], имеют следующий
вид:
Qs (r, R) = 2arctg
ґ \m
r
v R j
, фs = mX, (Vs = mX~Т),
(4)
X у
r2 = x" + у", cos x = ~, sm X =
r r
где m - топологический заряд (индекс Хопфа).
Для проведения моделирования эволюции данного начального решения была составлена разностная схема с весами явного типа, второго порядка точности, как по времени, так и по координате
[4]. Параметры численного моделирования: шаг по координате h=0.01, шаг по времени т=0.006, время моделирования эволюции динамики взаимодействий 7=[0-150], область моделирования [^, L] от L=5.0 до L=10.0 [5].
Рис.1. а) Плотность энергии ТС с топологическим зарядом m=1, 2, 3.
Ь) Применение преобразования Лоренца для ТС с m=2, 3, V=0.2, T<е[0, 10.5].
Исследовалась эволюция солитонов (4) в изотропном и анизотропном случаях с различными топологическими зарядами (ТЗ) m. Например, в анизотропном и изотропном (при m=1-3) случаях в начале эволюции двумерные ТС-ы имеют вид, показанный на рис.1(а). В данных экспериментах кон-
троль консервативности численной схемы осуществлялся вычислением интеграла энергии, которая сохранялась с точностью АЕ/Е ~ 10-5 - 10-6. Далее, на основе применения преобразования Лоренца были получены численные топологические решения, движущиеся со скоростями меньше с - скорости света. Исследована эволюция данного типа солитонов и численно продемонстрирована их устойчивость. Например, эволюция ТС с ТЗ m=2-3 анизотропной сигма-модели показана в рис.1(Ь). Результаты численного моделирования динамики взаимодействий топологических солитонов двумерной 0(3)-ВНСМ (анизотропный случай) показывают, что при малых скоростях имеют место упругие взаимодействия.
Примеры приведены для анизотропного случая с топологическим зарядом m=3. Рассмотрены следующие виды столкновений: «лобовое центральное», «лобовое нецентральное», «налетающее» и «догоняющее». Параметры численного моделирования следующие: область моделирования - прямоугольная, с разрешением 2002х1001 точек, среднее время моделирования - T=60.
При лобовом центральном столкновении двух солитонов в области моделирования сталкивались два ТС с ТЗ m=3 (рис.2(а)). Солитоны движутся прямолинейно навстречу, при приближении возникает связанное состояние солитонов (резонансная зона), при котором наблюдается небольшое возмущение плотности энергии солитонов - незначительная деформация кольцеобразной формы концентрации энергии (рис.2(Ь,с^)), и солитоны, отражаясь друг от друга, отдаляются с места столкновения (рис.2(е,!)). Во втором виде взаимодействий также наблюдается взаимное отражение солито-нов с характерной деформацией кольца концентрации энергии. В третьем случае при взаимодействии «налетающий» солитон постепенно теряет скорость и становится неподвижным после столкновения, покоящийся солитон начинает движение в направлении движения первого солитона. В последнем эксперименте «догоняющий» солитон постепенно теряет скорость, становясь медленно движущимся солитоном, второй солитон, приобретая скорость, продолжает движение в том же направлении. Ниже рассмотрим результаты численного моделирования ТС двумерной 0(3)-ВНСМ с отличающимися свойствами. Численные моделирования показали, что процесс столкновения данных ТС имеет характерные особенности: в зависимости от траектории встречного движения взаимодействие ТС-ов происходит разным образом.
В частности, в случае лобового нецентрального столкновения солитоны сначала движутся по параллельным траекториям, но динамика их взаимодействий чувствительна к симметричному изменению траекторий.
Для исследования причин вышеуказанных свойств взаимодействий была исследована структура ТС с точки зрения анализа проекции первых двух составляющих единичного изовектора Sa (a = 1,2,3). Например, с этой точки зрения, структура модели лобового столкновения ТС при m=3 (анизотропный случай) представлена на рис.3(Ь). ТС имеют левостороннее вращение (в данной схеме). Проекции компонент единичного изовектора Sa вращаются в обратном направлении (рис.3(а)). Для исследования динамики взаимодействий ТС-ов, с точки зрения анализа вышеуказанных свойств, была произведена серия изменений в структуре одного из ТС-ов. Эти изменения соответствуют замене топологического заряда на противоположный.
«Лобовое-централыюе» столкновение (эволюция ПН)
а) Т = 0.0 Ь) Т = 30.0
Рис.2. Динамика взаимодействий ТС («лобовое-центральное» столкновение), V=0.1, Tє[0, 60], m=3.
І \ і I \
Рис.3. a) Структура направлений вращений проекций компонент единичного изовектора Sa ^=1,2,3) на комплексную плоскость. Ь) Вид проекции при T=10.5.
«Лобовое центральное» столкновение (эволюция DH, новая модель)
а) т=о.о ь) г=зо.о
е) Т = 49.0
Рис.4. Динамика взаимодействий («лобовое-центральное» взаимодействие, отражение без столкновения) новых
решений в виде ТС, V=0.1, T <е[0, 49], m=3.
После многочисленных экспериментов с моделями столкновений, в процессе которых наблюдались различные варианты эволюции взаимодействия солитонов, от полного затухания излучением сконцентрированной в них энергии до состояния коллапса, нами получена новая группа моделей эволюции взаимодействия солитонов, отличающихся от всех других наших экспериментов - ТС-ы отражались без явного столкновения (так называемое дальнодействие) (рис.4).
Таким образом, методами численного моделирования нами получены новые движущиеся ТС-ы белавин-поляковского типа и установлена их устойчивость в процессе эволюции при различных значениях индекса Хопфа. Получены модели эволюции динамики упругого взаимодействия двумерных топологических солитонов, отличающиеся от известных проявлением дальнодействующих сил.
Поступило 12.07.2010 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Skyrme T.H.R. - London: Proceedings of the Royal Society - Mathematical and Physical Sciences, Series A, (Feb. 7, 1961), vol.206, No.1300, pp.127-138.
2. Косевич А.М., Иванов Б.А., Ковалёв А.С. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. - Киев: Наукова думка, 1983, 193с.
3. Белавин А.А., Поляков А.М. - ЖЭТФ, 1975, 22(10), с. 503-506.
4. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. - М.: Наука, 1971, 553 с.
5. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Пакет компьютерных программ для проведения численного моделирования визуализации эволюции и взаимодействий частицеподобных объектов в двумерных О(3) нелинейных сигма-моделях непертурбативных квантовых теорий поля. Свидетельство о регистрации интеллектуального продукта, 0241TJ от 16.03.2010 г.
^Д.Муминов, Ф.Ш.Шокиров
ДИНАМИКАИ ТАЪСИРИ МУТАЦОБИЛАИ СОЛИТОЩОИ ДУЧЕНАКАИ ТОПОЛОГИ ДАР О(3) СИГМА-МОДЕЛИ ВЕКТОРИИ ГАЙРИХАТТЙ
Институти физикаю техникаи ба номи С.У.Умаров Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Тадк,ик,оти динамикаи таъсири мутакобилаи солитонх,ои топологии дученака дар О(3) сигма-модели вектории гайрихаттии назарияи майдон дар х,олатх,ои изотропй ва анизотропй гузаронида шудааст. Тавассути усулх,ои моделсозии ададй устувории чунин намуди солитонх,о барои кдмматх,ои гуногуни бори топологй (нишондоди Хопф) нитттон дода шудааст. Моделх,ои дуртаъсиркунандаи динамикаи таъсири чандирии солитон^ои топологии дученака х,осил карда шудаанд.
Калима^ои калиди: солитони топологии дученака - О(3) сигма-модели вектории гайрихаттй -тарурезии ададй - динамикаи таъсироти мутацобил - бархурди солитонуо.
Kh.Kh.Muminov, F.Sh.Shokirov DYNAMICS OF INTERACTION OF TWO-DIMENSIONAL TOPOLOGICAL SOLITONS IN O(3) NON-LINEAR VECTOR SIGMA-MODEL
S.U. Umarov Physical-Technical Institute,Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Dynamics of interaction of two-dimensional topological solitons in O(3) vector non-linear sigmamodel in isotropic and anisotropic cases are investigated. By numerical modeling methods we show the stability of this type solitons with different values of topological charge (Hopf index). New long range interacting models of dynamics of elastic interaction of two-dimensional topological solitons are received.
Key words: two-dimensional topological soliton - 0(3) nonlinear sigma-model - numerical simulation -dynamics of interaction- soliton collision.
