CC BY
6Physical and mathematical sciences / Fizika-matematika fanlari / Физико -
математические науки
International journal of ши^в^щ theoretical and practical
WSÊresearch
Scientific Journal
Year: 2022 Issue: 3 Volume: 2 Published: 31.03.2022
http://alferganus.uz
Citation:
Jurayev, U.Sh., Akhmedov, J.D. (2022). Interaction of harmonic waves with cylindrical structures. SJ International journal of theoretical and practical research, 2 (3), 57-65.
Жураев, У.Ш., Ахмедов, Ж. Д. (2022). Взаимодействие гармонических волн с цилиндрическими сооружениями.
Nazariy va amaliy tadqiqotlar xalqaro jurnali, 2 (3), 57-65.
Doi:
https://dx.doi.org/10.5281/zenodo.6503593
DOT 10.5281/zenodo.6503 593
QR-Article
Uktam Shavkatovich, Jurayev
PhD, Senior Lecturer Fergana Polytechnic institute, Uzbekistan
uktamuktamovich804@gmail.com
Jamoldin Djhalolovich, Akhmedov
PhD,
Head of the Department of Architecture, Fergana Polytechnic institute, Uzbekistan axmedov19735@gmail.com
UDC 622.011.4
INTERACTION OF HARMONIC WAVES WITH CYLINDRICAL
STRUCTURES
Abstract: The paper considers the impact of harmonic waves on a cylindrical shell located in a viscoelastic half-plane. The main purpose of the study is to determine the stress-strain state of a cylindrical shell when exposed to harmonic waves. The basic equation of viscoelasticity in displacements with the corresponding boundary conditions is obtained. The solution is expressed in terms of special Bessel and Hankel functions. Keywords: harmonic waves, cylindrical shell, underground tunnels, special functions, viscoelasticity, displacement, wave scattering.
ВЗАИМОДЕИСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛН С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ СООРУЖЕНИЯМИ
Уктамжон Шавкатович, Жураев
PhD, старший преподаватель Ферганский политехнический институт
©
57
Жамолдин Джалолович, Ахмедов
К.т.н., заведующий кафедрой Архитектуры, Ферганский политехнический институт
Аннотация: В работе рассматривается влияние гармонических волн на цилиндрическую оболочку, находящейся на вязкоупругой полуплоскости. Основной целью исследования является определение напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки при воздействии гармонических волн. Получено основное уравнение вязко упругости в перемещениях с соответствующими граничными условиями. Решение выражается через специальные функции Бесселя и Ханкеля.
Ключевые слова: гармонические волны, цилиндрическая оболочка, подземные тоннели, специальные функции, вязко упругость, перемещения, рассеяние волн.
ГАРМОНИК ТУЛЦИНЛАРНИНГ ЦИЛИНДРИК ИНШООТЛАР БИЛАН
УЗАРО ТАЪСИРИ
Уктамжон Шавкатович, Жураев
PhD, Фаргона политехника институти каттауцитувчиси
Жамолдин Джалолович, Ахмедов
т.ф.н., "Архитектура" кафедраси мудири, Фаргона политехника
институти
Аннотация: Ушбу мацолада цовушцоц - эластик ярим текисликда жойлашган цилиндрик иншоотларга гармоник тулцинларнинг таъсири урганилган. Тадцицотнинг асосий мацсади гармоник тулцинлар таъсирида цилиндрик цобицнинг кучланганлик-деформацияланганлик уолатини аницлашдан иборат. Цовушцоц - эластик мууитнинг кучишлар билан ифодаланган асосий тенгламаси мос чегаравий шартлар ёрдамида олинган. Ечим махсус Бессел ва Ханкел функциялари билан ифодаланган.
Калит сузлар: гармоник тулцинлар, цилиндрик цобиц, ер ости тоннели, махсус функциялар, цовушцоц - эластик, кучишлар, тулцин тарцалиши.
Рассмотрим на изотропном упругом полупространстве у < ^ h > 0, круговую бесконечно протяженную цилиндрическую оболочку радиусом Я. Оболочка характеризуется моделью упругости Ео, коэффициентом Пуассона и
плотностью р0. Пуст на оболочку под углом а падает гармоническая сейсмическая нагрузка в виде рисунка 1.
сс
®
58
ISSN 2181-2357
T. 2. №3. 2022
Рисунок 1. Схема воздействия гармонических сейсмических волн на цилиндрическую оболочку во вязкоупругом полупространстве (а - угол падения волны, п - единичный вектор в направлении распространения сейсмических
волн).
Рассматриваемая проблема сводится к задаче плоской деформации теории вязко упругости. Уравнения движения вязкоупругого полупространства и кругового тоннеля в отсутствие массовых сил имеют вид:
2 Г
+ ((+ ßo)grad di3 ик =Рк ^, (к =1, 2)
dt
2
(1)
где щ (иг, ио) -вектор перемещений среды, V - оператор Лапласа, рк-плотность к-го тела,
(t) = 4
t
f (t) -Jj -T)f (T)dT
; (t)=м
0
t
f (t) -Jj(t-r)f (J)dr
(2)
f ()-произвольная функция времени, ЯЛк ( — т) и Я ( —т)
т« V - / ядра
релаксации к-го материала, Л0к, М0к - мгновенные модули упругости к-го материала, к=1,2. На контакте окружающей вязкоупругой среды и кругового тоннеля ставится условие плотного закрепления (или скольжения):
<k 1 = <7»k+|), <) = <ke+
rr rr ' гв гв '
,.(k) _ (k+1) (k) _ (k+1) ur = ur J U в = U в
(3)
Если на границе контакта отсутствуют трение, то
*) *+V(*) = и(*+
тт тт ' т т '
к) = к+1) = 0
иг О иг О °
(4)
На свободной поверхности z = к ставятся условия свободы от напряжений. На бесконечности ставится условия излучения Зоммерфельда
30
30
59
ISSN 2181-2357
T. 2. №3. 2022
r
Hmrti = const , lim
r —да r—>
limr^t =const , iim
r
r—да V
r
r
r—да V
dr d¥i
ар
= 0
dr
- i ßVi
= 0
(5)
d p) -
i(ax-rnt)
ф(p) =^0cos^0e(ax -¥(p) =¥e¿(ßX-t*) sin
Падающая плоская волна рассматривается распространяющейся в положительном направлении оси х под углом у0 и представляется следующим
образом:
(р) - 0 - при воздействии продольных волн и
(р) = 0 - при воздействии поперечных волн.
Здесь ф0 и -величины амплитуд; а и в - волновые числа, которые должны
быть комплексными числами а = а^а^ Р=Р^ Рь аI < 0 и pI < 0 обозначают коэффициенты затухания; aR и pR обозначают волновые числа продольных волн и волн сдвига соответственно. Рассматриваемый процесс гармонический, поэтому начальные условия не ставятся.
Произведем стандартное преобразование в уравнении (1) следующим образом. Представим вектор перемещений в виде:
ик = дгайфк + го1(фк), (Иуфк = 0. (6)
Здесь рк и (0,^) - соответственно продольные и поперечные потенциалы.
Подставив (6) в (1) и учитывая, что движение частиц имеет установившийся характер, в соответствии с принципом суперпозиции их можно учесть отдельно при решении статической задачи. Тогда получим, в случае плоской деформации, следующую систему волновых уравнений для потенциалов:
t 1 я2
v2 - J [[(t - г) + 2RM(t - r)] V2- - — 2
-да Cpk dt
t 1 Я2
V2 - J RM (t-r) V2kdr =-^^
(7)
-да Сэк &
где с = (Ко + 0) / Рк,сС =/Лк0 / Рк , к =1,2. Решение уравнения (7) ищем в виде:
да да
ф(г,0,г) = =ф(г0)ем; щ(г,0,г) = 2>к(г,0)е"»г, (8)
к=1 к=1
гдеф (г,0) и ^ (г, 0) - действительные функции, удовлетворяющие уравнениям
+ аькф = 0; + ß2 = 0
(9)
2 ак аьк =-"
1-
■ ß2 - —
, ßMk
1-М„
Ьк = ||Х(£) + ]ехр(-/^)а^ ,Мк = /(^ехр^/с^)^
0 0
Исследование взаимодействия и рассеяния гармонических волн на цилиндрическом теле и свободной поверхности производится аналогичным способом. На цилиндрическую оболочку сначала падает падающая гармоническая
@ ©
60
ISSN 2181-2357
Т. 2. №3. 2022
RESEARCH »пч. - MC-
SJIF 2022:5.962
волна ф{р), а затем возникает отражение или рассеяние волны: продольная ффs} и поперечная s) . Потенциалы:
Ф1 = ф(р> + ф(s>, ^ = s>. (10)
Потенциалы продольных и поперечных волн (10) удовлетворяют волновому уравнению (9) и граничным условиям (3) - (5). Затем возбужденная волна (10) падает на границе полуплоскости и в результате
Ф = ф(p) (r, tf, t) + 2 фПs) (r, tf, t),
И=1
(11)
^ = s) (r, tf, * ) + 2 VÍs) (r, tf, * )
и=2
где п-число рассеянных волн. Выражение (11) удовлетворяет граничным условиям (3) - (5) и волновому уравнению (9). Формула (11) учитывает многократное рассеяние волн в вязкоупругой среде с круговой оболочки.
Плоская продольная волна с потенциалом ф(р) падает на цилиндрическую оболочку с радиусом Я , частота ® и амплитуда падающих волн ф0 в виде
= ^(^el(ar -с V(p) = 0 , (12)
J- i i y 11
где r = r(cos 6Ql + sin 6Qj), a = «(eos /01 + sin /0j), a = со / с j, 0Q -угол
цилиндрической оболочки в основной системе координат , /0 - угол наклонности
i i
падающих нагрузок, i, j - единичные векторы по оси x и y соответственно (рисунок 1). Далее падающая волна ф( p) в цилиндрических координатах имеет вид:
ф( p > = Фо<е{
2 Jn («Ir)e
in(0+/o )
(13)
Рассеяния волны порядка т можно выразить через функции Ханкеля первого рода п-го порядка комплексного аргумента
ф(^ = 2 н^(а^г) + AsnmH(n)(aLir)_
п=-ю ю
ln(Q0-y)-lot
ln(Q0-y)-lot
(14)
пт) = ^ \вТ н п\рм г)+К нп?\рм 1Г);
Здесь А'пт и Б'пт - комплексные коэффициенты рассеяния порядка т, Н(1) -функции Ханкеля первого рода п- го порядка комплексного аргумента. Коэффициенты Апт, Апт, Впт, Впт определяются из граничных условий, которые в
рассматриваемом случае имеют вид:
( к) = ( k+1) (к) = (к +1) rrm rrm ' r0m r0m '
u(k) = u(k+1).
rm rm
u (k) _ u (k+1) u dm ~ u dm ■
(15)
Аналогично, для каждой падающей и рассеивающей гармонической волны удовлетворяют условия излучения (5).
Решение уравнения (10), для цилиндрических оболочек, выражается через функции Ханкеля 1 -го и 2-го рода п-го порядка:
П=-Ю
ю
61
ISSN 2181-2357
T. 2. №3. 2022
w
Ф2s ) = X {спгНГ&^г) + + Hn2)(«z, 2r) ]],
n=—W w
^2s) = X ]jZH?(ßM2Г) + MsnmH^(ßM2Г)У
(16)
in(0Q—y)— ioit
n=-w
fsm
' n
где С™, , Ь™, М'пт - коэффициенты разложения, которые определяются соответствующими граничными условиями ; Н()(аЬ2г), Н(п2\аЬ2г), /М2г) и Н^2)(/М2г) -соответственно функция Ханкеля 1-го и 2-го рода п-го порядка нп2)(«г) = 1п (от) — 1ып (от) . Решение (14) удовлетворяет в бесконечности г ^ да условию излучения Зоммерфельда (5). Для этого должно быть
~Апт_ ~т)пт _ 0
п п
Решение уравнения (14) представляется в виде:
го
ф[пт) = 2 ^аА™Н^1 (оЬ1г)]е"((—гЬ^,
n=-w w
(17)
пт) = 2 [в-н^/ 1)]^.
Таким образом, с помощью (10) и (11) определяются потенциалы продольных и поперечных волн.
Полный потенциал можно определить путем наложения потенциалов падающих и отраженных волн (10) - (17). Отсюда следует, что напряжения, и смещения легко могут быть выражены через потенциалы смещений „ -дфк ^ 1дЖк-„ _1дфк дУк
dr r дб du
_ rk .
1 du,
вк
r дв u
rrk ? ввк .-ч
dr r дв
°rrk = %2Фк + 2%
+ ■
rk
dr
= 1f1 dUrk
к о ( -i/O
2 r дв
+ ■
du
вк
dr
+
u
вк
\d 2Фк d f 1 ^Фк к
dr 2 dr lr dв J
(18)
ввк
= %2Фк + 2%
1( Ф
r dr
1
r dв2
vzz = %ч2Фк ;&гвк =
r dвdr
к ) + 1(1 dVk r r dв
d Vk ■
drdв
r2 dв
где ^ - элементы тензора деформации; ^ - элементы тензора
напряжений.
Для определения произвольных постоянных Апт, Вппт, Сппт, Дпт , Ьппт, М™ -использоваться из граничных условий (15) и условия свободно от усилия на поверхности полуплоскости. Тогда получается системы алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами с 6т неизвестными величинами и уравнениями. Коэффициенты выражается через специальные функции Бесселя и Ханкеля. Для решения системы алгебраических уравнений применяется метод Гаусса с выделением главного элемента. Аналитическое решение получено в бесконечных рядах, сходимости которых исследовано численно. Численные результаты получены на программном комплексе «МАТЬАВ».
Анализ и результаты
62
ISSN 2181-2357
Т. 2. №3. 2022
RESEARCH »пч. - MC-
SJIF 2022:5.962
Рассмотрим задачу о рассеянии волн на упругой полуплоскости с круговых оболочек. Принимаем, что тоннельная конструкция - стальная оболочка с радиусом R1 = 1.75, R2 = 2.0, h = 0.25, в0 = 00, H/R=2.0, m=2. В расчетах использовалось трехпараметрическое ядро релаксации Колтунова-Ржаницына:
-fit ,Л-а
R(t) = Ae~fit / t1-a, с параметрами: A = 0,048;fi = 0,05; а = 0,1.
Рисунок 2. Эпьюры контурных Рисунок 3. Эпьюры контурных
напряжений оболочки при разных перемещений оболочки при разных
частотах частотах
Здесь через линии 1, 2 и 3 представлены эпьюры контурных напряжений и контурных перемещений, соответственно частотам ю=20 Hz, ю=40 Иг, и ю=80 Иг.
Достоверность полученных результатов исследования подтверждается хорошим совпадением с теоретическими и экспериментальными результатами и, полученными другими авторами. Результаты расчетов приведены на рисунке 2 и рисунке 3 при воздействии поперечных волн. Максимальные контурные напряжения в оболочке соответствуют значениям частоты о е [19^ 30]Ш.
Заключение и рекомендации
Выявлены закономерности влияния поперечных нагрузок от воздействия сейсмических волн, направленных нормально к продольной оси кругового тоннеля, на напряженно - деформированные состояния тоннеля. Установлены зависимости напряжений в тоннеле от его диаметра, толщины стенки, интенсивности землетрясения, реологических свойств грунта. При возрастании интенсивности землетрясения и росте диаметра тоннеля напряжение изменяется (увеличивается) следующим образом: для оболочек диаметром 1000 мм - в 1,15...1,25 раза, для оболочек диаметром 1500 мм - в 1,20.1,35 раза, для труб диаметром 1700 мм - в 1,55.1,70 раза. Подготовлены предложения по совершенствованию нормативных документов при расчете тоннеля оболочек на сейсмоопасных участках, учитывающие поперечное сейсмическое воздействие волны по нормали к продольной оси трубопровода.
© ©
63
ISSN 2181-2357
T. 2. №3. 2022
Список использованной литературы:
1. Рашидов, Т.Р., Кузицов, С.В., Мардонов, Б.М., Мирзаев, И. Прикладные задачи сесмодинамики сооружений. Книга 1. Действые сейсмических волн на подземных трубопровод и фундаменты сооружений, взаимодействующих с грунтовой средой. -Ташкент: «Навруз». - 2019. - 268 с.
2. Денисов, Г.В., Лалин, В.В. Собственные колебания заглубленных магистральных трубопроводов при сейсмическом воздействии // Трубопроводный транспорт: теория и практика. 2013. № 4(38). С. 14-17.
3. Teshaev, M.K., Safarov, I.I., Kuldashov, N.U., Ishmamatov, M.R., Ruziev, T.R. On the Distribution of Free Waves on the Surface of a Viscoelastic Cylindrical Cavity// Journal of Vibrational Engineering and Technologies, 2020, 8(4), стр. 579-585.
4. Жураев, У. Ш. (2010). Численное решение плоской задачи Лемба. Пробл. мех,(4), 5-8.
5. Sagdiyev, K., Boltayev, Z., Ruziyev, T., Jurayev, U., & Jalolov, F. (2021). Dynamic Stress-Deformed States of a Circular Tunnel of Small Position Under Harmonic Disturbances. In E3S Web of Conferences (Vol. 264). EDP Sciences.
6. Safarov, I. I., Kulmuratov, N. R., Nuriddinov, B. Z., & Esanov, N. (2020). On the action of mobile loads on an uninterrupted cylindrical tunnel. Theoretical & Applied Science, (4), 328-335.
7. Жураев, У. Ш., & Турсунов, К,. К,. (2020). ФарFOна вилояти тарихий шахдрларидаги турар-жой биноларида ганч ва ёFOч уймакорлигининг шакилланиши ва ривожланиши. Science and Education, 1(3), 264-267.
8. Safarov, I. I., Kulmuratov, N. R., Nuriddinov, B. Z., & Esanov, N. (2020). Mathematical modeling of vibration processes in wave-lasted elastic cylindrical bodies. ISJ Theoretical & Applied Science, 04 (84), 321-327.
9. Эсанов, Н.К. (2020). Свободные колебания трубопроводов как тонкие цилиндрические оболочки от внутреннего давления. Научные доклады Бухарского государственного университета , 3 (1), 46-52.
10. Esanov, N. K. (2020). Free oscillations of pipelines like thin cylindrical shells with regards to internal pressure. Scientific reports of Bukhara State University, 3(1), 46-52.
11. Ибрагимович С.И., Нарпулатович А.С., Гурбанович Е.Н. Динамический расчет трубопроводов на мелководье на основе теории тонкого тонкого слоя. Международный журнал инноваций в инженерных исследованиях и технологиях , 7 (07), 75-79.
12. Эсанов, Н. К., Сафаров, И. И., & Алмуратов, Ш. Н. (2021). Об исследования спектров собственных колебаний тонкостенкий пластин в магнитных полях. Central asian journal of theoretical & applied sciences, 2(5), 124-132.
13. Rustam, А., & Nasimbek, M. (2021). А New Method Of Soil Compaction By The Method Of Soil Loosening Wave. The American Journal of Engineering and Technology, 3(02), 6-16.
14. Zikirov, M. (2012). Development of Small business in transition economies of Tajikistan. Bulletin of Tajik National University of Republic of Tajikistan, 2/5 (92), 4851.
64
ISSN 2181-2357
Т. 2. №3. 2022
RESEARCH »пч. - MC-
SJIF 2022:5.962
15. Ахунбаев, Р., Махмудов, Н., & Хожиматова, Г. (2021). Новый способ уплотнение грунта методом волна разрыхления грунта. Scientific progress, 1(4).
16. Salimov, A. M., Qosimova, S. F., & Tursunov, Q. Q. (2021). Features of the use of pilgrims for tourism in the Fergana region. Scientific-technical journal, 3(4), 42-47.
17. Tursunova, D. (2021, August). Architectural history of Margilan city: https://doi. org/10.47100/conferences. v1i1. 1231. In Research Support Center Conferences (No. 18.05).
18. Юнусалиев, Э. М., Абдуллаев, И. Н., Ахмедов, Ж. Д., & Рахманов, Б. К. (2020). Инновации в строительной технологии: производство и применение в узбекистане строп из текстильных лент и комбинированных канатов. In Энергоресурсосберегающие технологии и оборудование в дорожной и строительной отраслях (pp. 421-431).
19. Nurmatov, D. O., Botirova, A. R., & Omonova, Z. (2021). Landscape solutions around the roads.
20. Axmedov, J. (2021). The preservation of ancient architectural monuments and improvement of historical sites-factor of our progress. 36ipHUK наукових праць А'ОГО£.
© ©
65
