Выявление новых типов геометрических соответствий на основе аппарата кинематики сферы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Литература

1. Статические и динамические экспертные системы: Учеб. пособие / Э.В. Попов, И.Б. Фоминых, Е.Б. Кисель, М. Д. Ша-пот. М., 1996.

2. Рыбина Г.В. Интегрированные экспертные системы:

современное состояние, проблемы и тенденции // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2002. № 5. С. 111-124.

1. Качение сферы по двум пространственным линиям

Рассмотрим качение сферы по двум пространственным линиям а и Ь . Будем считать, что направляющие линии заданы в виде дискретных точечных наборов. Уравнения линий в векторном виде г = т", где / = 1, 2, ..., п и г = г^ , где / = 1, 2, ..., т. Координаты /-й точки каждой из линий обозначим через

^ (, к, )и в/ (, уЬ, 2Ь).

Пусть по заданным пространственным кривым а и Ь катится сфера, радиус которой равен Я . Множество положений сферы заданного радиуса в пространстве является трехпараметрическим множеством (^3). Накладывая на положение сферы условие касания кривой а, получим двухпараметрическое множество (го2). Наложив, кроме предыдущего условия, еще условие касания кривой Ь , получим однопара-

метрическое множество (го1), которое и будем использовать для конструирования поверхностей. Пусть сфера касается линии а в точке А^, следовательно, касательная, проведенная к линии а в точке А^ - I^, будет касательной и к сфере в этой же точке. Радиус сферы, проведенный в точку касания А/ , будет перпендикулярен касательной I^ . Поэтому геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер, радиуса Я , касающиеся линии а в точке А^ является окружностью с центром в точке А/ , радиус которой равен Я , лежащей в нормальной к линии а в точке А^ плоскости а^ (рис. 1).

Построив геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер, касающиеся линии а , в каждой точке этой линии получим каналовую поверхность с направляющей линией а .

3. Ковалев С.М., Финоченко В.А. Интеллектуальные модели анализа слабоформализованной информации в задачах экологического мониторинга // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 10. Вып. 1. М., 2003. С. 173.

4. Гаврилова Т.А., Хорошевский В.Ф. Базы знаний интеллектуальных систем. СПб., 2000.

5. Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика. М., 2001.

г.

Рис. 1

Такой же каналовой поверхностью с направляющей линией Ь является геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер, радиуса Я, касающиеся кривой Ь. Следовательно, центры сфер, касающиеся одновременно и кривой а, и кривой Ь, лежат на линии пересечения этих каналовых поверхностей (рис. 2).

Д г

Рис. 2

Ростовский государственный университет путей сообщения 16 сентября 2004

УДК 515.2

ВЫЯВЛЕНИЕ НОВЫХ ТИПОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СООТВЕТСТВИЙ НА ОСНОВЕ АППАРАТА КИНЕМАТИКИ СФЕРЫ

© 2005 г. А.В. Замятин

Рассмотрим задачу построения этих каналовых поверхностей. Так как направляющие линии заданы в виде дискретных точечных наборов, то и каналовые поверхности построим в виде дискретных линейных каркасов. В качестве линий каркаса выберем образующие окружности с центрами в каждой точке направляющей кривой. Уравнение каналовой поверхности с направляющей а будет иметь следующий вид:

Cb = - 10zb + 18zf+1 - 6z

4+2 + Z i+3 );

Aax + Bay + Caz + Da = 0;

(x - xa )2+(y - y a )2+(z - za )2=r :

(i)

где / = 1,2,..., п .

Первое уравнение системы (1) - это уравнение плоскости, в которой лежит образующая окружность. Для нашей поверхности, как было показано выше, эта плоскость является нормальной к кривой а в точке А, следовательно, вектор нормали плоскости будет коллинеарным направляющему вектору касательной 1а - ыа . Обозначим через Аа , ва , С а координаты вектора, коллинеарного направляющему вектору касательной в точке А^ кривой а. Согласно [1] направляющий вектор касательной ^ в точке А ^ можно определить по формуле

Na = е<

где

Ai x + Bf y + Cf + Di = 0;

(x-xb)) + (y-yb)) + (z-zb )) = R:

Ab = i2(-3xb-i - 10xb +18xb+i -6xb+ 2 + xb+ 3); Bb = 12 (-3 yb-1 -10 yb +18 yb+1 - 6yb+ 2 + yb+ 3);

(3)

т-ч Ь лЬ Ь пЬ Ь /-у ь ь

=-АгХг -ВгУг -<Сг2г ■

Линия пересечения каналовых поверхностей (1) и (3) является траекторией движения сферы при ее качении по двум пространственным линиям.

2. Качение сферы по пространственной линии и торсовой поверхности

Рассмотрим вопрос о качении сферы по опорным элементам в виде пространственной линии а и торсовой поверхности & . Пусть, как и в разделе 1, пространственная линия задана дискретным точечным набором, ее уравнение в векторной форме имеет вид г = га , где I = 1,2,..., п . Точку, принадлежащую направляющей линии а, обозначим через А^, ее координаты - х", у а, 2 а . Отсек опорной торсовой поверхности & зададим в виде дискретного набора отрезков линейчатых образующих. Каждый отрезок образующей определен двумя концевыми точками Р}-

и Qj, их координаты Хр, ур, 2р и х?, у?,

соответственно. Линию, являющуюся совокупностью точек Рл, обозначим через р, а линию, образуемую

(2) совокупностью точек Q j, обозначим через q . Пусть в

Следовательно, коэффициенты плоскости в первом уравнении системы (1), учитывая (2), определяются по формулам:

л?=x a; ва=y a; с=z a.

Используя формулы численного дифференцирования [2], имеем:

л i = ij(-3xa_i - íox?+i8x?i - 6xa+2+xa+3);

B? = 12(-3yi-i -10y? +18yi+i -6ya+2 + ya+3);

c?=¿w-i -10 z?+18 za+i - 6 z?+2+z^);

Из условия прохождения плоскости a i через точку Ai (x?, ya, z?) определим:

da=-a?x?-B?ya-c?za.

Аналогично получим для каналовой поверхности с направляющей b :

качестве направляющих заданы пространственная линия а и отсек торсовой поверхности & , приведенные на рис. 3.

Рисс 3

Будем считать, что по этим направляющим катится сфера, радиус которой равен Я . Множество положений сферы заданного радиуса в пространстве, как отмечалось ранее, является трехпараметрическим множеством (^3). Накладывая на положение сферы условие касания кривой а, получим двухпараметри-

ческое множество (^2). Наложив, кроме предыдущего условия, еще условие касания торсовой поверхности &, получим однопараметрическое множество (^1), которое и будем использовать для конструирования поверхностей.

Как было показано в разделе 1, геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер радиуса Я , касающиеся линии а, представляет собой каналовую поверхность. Уравнение этой каналовой поверхности имеет вид (1).

Рассмотрим условие касания сферы радиуса Я опорного торса й . Пусть сфера касается торса в точке К (рис. 4).

Q

R

R

Рис. 4

Чтобы определить положение центра сферы -точку О, необходимо через точку К провести прямую I, направляющим вектором которой является вектор нормали N, проведенный к поверхности й в точке К. Затем, на прямой I находим точку О, отстоящую от точки К на расстоянии Я . Существует два положения центра сферы, в которых она касается поверхности в точке К - О и О'. Для определенно -сти будем рассматривать только ту точку, которая находится выше поверхности. Таким образом, согласно [3], геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер радиуса Я , касающиеся торсовой поверхности й , представляет собой поверхность й', параллельную заданной и отстоящую от нее на расстоянии Я .

Поэтому для того чтобы сфера касалась и линии a, и торса й одновременно, необходимо, чтобы ее центр принадлежал и каналовой поверхности, заданной уравнением (1), и поверхности й', образующие которой определяются точками Pi' и Qi', т.е. траекторией движения центра сферы является линия пересечения каналовой поверхности (1) и торса й' (см. рис. 5).

3. Качение сферы по двум торсовым поверхностям

Рассмотрим процесс качения, без проскальзывания, сферы заданного радиуса по двум торсовым поверхностям.

Пусть оба торса заданы в виде дискретных наборов линейчатых образующих. Обозначим один опорный торс через й, его образующие PiQi, где

i = 1,2,...,n, xp, yp, zp и xf, yf, zf - координаты точек Pi и Qi, соответственно. Линию, являющуюся совокупностью точек Pi , обозначим через p . Линию, представляющую собой совокупность точек Qi , обозначим через q. Другой опорный торс обозначим через й, его образующие PQj, где j = 1,2,...,m ,

У?'

? p н xq 2 j и x j,

yq.

z q - координаты точек P.- и

<2^, соответственно. Линию, являющуюся совокупностью точек Р^, обозначим через р. Линию, являющуюся совокупностью точек << ^, обозначим через д .

Будем считать, что нам заданы два отсека торсовых поверхностей, приведенные на рис. 6. По ним катится сфера радиуса Я .

й _ у г й

Р,

Pij

Q-

Qa pi

Qi Qa

Рис. 6

Рис. 5

Как было показано в разделе 2, геометрическое множество точек, в которых находятся центры сфер радиуса Я , касающиеся торса й , представляет собой торс, параллельный данному и отстоящий от него на расстоянии Я . Обозначим этот торс через й'. Аналогично, множество точек, в которых находятся цен-

тры сфер радиуса Я , касающиеся торса £ , является торсом ££параллельным данному и отстоящим от него на расстоянии Я (рис. 7).

Рис. 7

Тепловое воздействие на отдельные зоны человеческого организма в настоящее время находит все большее распространение. Это связано, прежде всего, с немедикаментозностью проводимых процедур, а также весьма ощутимым положительным лечебным эффектом, связанным с улучшением крово- и лимфообращения в тканях (особенно на поверхности кожи), болеутоляющим и противовоспалительным действием, нормализацией нервной, а также сердечнососудистой систем [1-4].

Обзор существующей литературы, посвященной методам и средствам местного теплового воздействия на человеческий организм, выявил отсутствие развитого математического сопровождения методик и устройств в этой области. Вместе с тем без корректного математического описания теплофизиче-ских процессов, происходящих как в самом биологическом объекте, так и в приборе, осуществляющем воздействие на него, невозможно оценить эффективность процедур, выявить необходимый температурный диапазон воздействия, определить оптимальные параметры устройства (мощность, форму, размеры)

Находим координаты точек Р'(р, у'/, ) и

&((,у ^,^),р.(*7, у/, ) и &(х/, у/, г/),

определяющих линейчатые образующие соответствующих параллельных торсов. Траекторией движения центра сферы в данном случае является линия пересечения £' и ££'.

Литература

1. ПогорелоеА.В. Дифференциальная геометрия. М., 1974.

2. Супрун А.Н., Найденко В.В. Вычислительная математика для инженеров-экологов. М., 1996.

3. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. Т. 1. М., 1947.

г.

и установить связь между условием проведения процедур и конечным результатом. Если можно отметить наличие ограниченного количества работ по математическим моделям, описывающим функционирование устройств в стационарном режиме, то по нестационарным режимам они практически отсутствуют.

С целью восполнения данного пробела авторами настоящей работы предлагается к рассмотрению математическая модель нестационарного теплового режима отдельных зон человеческого организма при местном тепловом воздействии.

В основу данной математической модели положена задача о распространении теплоты по толщине исследуемого участка человеческого организма при наличии теплового потока на одной поверхности и фиксированной температуры на другой. Подобные условия проведения процедур характерны, прежде всего, при местном тепловом воздействии на отдельные участки конечностей человека: стопы, голени, кисти рук, предплечья, а также в некоторых случаях -цилиарного тела глаза.

Ростовский государственный строительный университет_23 сентября 2004

УДК 621.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА ОТДЕЛЬНЫХ ЗОН ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО ОРГАНИЗМА ПРИ МЕСТНОМ ТЕМПЕРАТУРНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

© 2005 г. Т.А. Исмаилов, Р.П. Мейланов, М.А. Хазамова