Выявление аналитического творческого мышления студентов при помощи решения проблемных геометрических задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 378.213.062

ВЫЯВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ТВОРЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ СТУДЕНТОВ ПРИ ПОМОЩИ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

© М.Ш. Маматов, Д.М. Махмудова, С.Ю. Темуров

Ключевые слова: мышления; выявления; знания; задача; геометрическое построение. Изучены выявления аналитического творческого мышления студентов при помощи решения проблемных геометрических задач с применением информационнокоммуникационных технологий.

Хорошо известно, что для плодотворной научной работы требуется не только знание и понимание, но, главное, еще самостоятельное аналитическое и творческое мышление как одно из эффективных средств воспитания, выявления и оценки этих качеств, это решение задач при обучении молодежи. Большое значение имеет решение задач при изучении точных наук, таких, как математика, механика, физика и другие. Решение задач дает возможность не только самому студенту применять свои знания к решению практических проблем, но и для преподавателя задачи являются одним из наиболее эффективных способов проверить, насколько глубоко понимает студент предмет. Кроме того, как уже сказано, при обучении молодежи с помощью решения задач можно еще воспитывать и выявлять самостоятельное творческое научное мышление. Математика является весьма подходящим предметом для начального воспитания в юношестве творческого мышления в области естествознания. Очевидно, что не все задачи дают возможность открыть у студента такие способности. Поэтому надо отдельно остановиться о характере таких задач.

Психологи под термином «задача» подразумевают ситуацию, требующую от человека-субъекта некоторого действия, направленного на нахождение неизвестного на основе использования его связей с известным, и показывают, что в зависимости от условий, в которых находится субъект, возможны следующие случаи. Субъект обладает способом-алгоритмом этого действия, т. е. способ решения задачи известен решающему. Такие задачи получили название стандартных. Алгоритм этого действия в принципе существует, но субъект им не обладает. Другими словами, способ решения, вообще говоря, имеется, но он неизвестен решающему. Решающий должен найти этот способ сам. Такого рода задачи обычно называют проблемными. Алгоритм этого действия неизвестен не только субъекту, но и науке. Это т. н. оригинальные творческие задачи [1].

Как правило, задача представляют собой реальную проблемную ситуацию. Проблемная ситуация - это психическое состояние интеллектуального затруднения, вызванного, с одной стороны, острым желанием решить проблему, а с другой - невозможностью это сделать при помощи наличного запаса знаний или с помощью знакомых способов действия, которое создает потребность в приобретении новых знаний или поиске новых способов действий. Анализ проблемной ситуации - важный этап самостоятельной познавательной деятельности. На этом этапе определяется то, что дано и что неизвестно, взаимосвязь между ними, характер неизвестного и его отношение к данному, известному.

Все это позволяет сформулировать проблему и представить ее в виде цепочки проблемных задач или одной задачи. Далее необходимо последовательно работать с каждой проблемной задачей отдельно. Выдвигаются предположения и догадки о возможном решении

2596

проблемной задачи. Из большого, как правило, количества догадок и предположений выдвигаются несколько гипотез, т. е. достаточно обоснованных предположений. Затем проблемные задачи решаются путем последовательной проверки выдвинутых гипотез.

Такими качествами, которые мы упомянули, обладают проблемные геометрические задачи. Например: в работе [2] рассматривалась задача уклонения управляемой точки E, скорость которой ограничена по величине к> 1, от встречи с F\, P2, , Pm преследующих

точек, скорости которых ограничены по величине 1. Был построен способ управления, который обеспечивает уклонение от преследователей, причем движение уклоняющейся точки остается в фиксированной окрестности заданного движения. Построит стратегии убегающего игрока в виде ломаной E0E1E2 ... для решения выше поставленной задачи. В случае т = 1 решение задачи основывается на следующих соображениях:

1. Первый кусок ломаной траектории убегающего, сторона E0E1 равнобедренного треугольника с длиной трех сторон, соответственно, E0P10 = l, E1F10 = 2l cos ф, E0E1 = l и с углами ф, 1800 — 2ф, ф где ф = n, п> 3. Следующий кусок ломаной, сторона E1E2 равнобедренного треугольника с длиной трех сторон соответственно E1P10 = 2l cos ф, E2P10 = = 22l cos2 ф, E1E2 = 2l cos ф и с углами ф, 1800 — 2ф, ф и так далее. п - кусок ломаной, сторона равнобедренного треугольника с длиной трех сторон соответственно En-1Pw = = 2n-1l cosn-1 ф, EnP10 = 2nl cosn ф, En-1 En = 2n-1l cosn-1 ф и с углами ф, 1800 — 2ф, ф. Здесь E0 и P10 положение E и P1 соответственно когда начинается маневр.

2. Тогда

E0E1 + E1E2 + ... + En-1En = l + l(2cos ф) + l(2cos ф)2 + ... + l(2cos ф)П = (2 coS^^+l^ cos у-1) .

С другой стороны, P0En = l(2cos ф)'а+1, и для того, чтобы E не было пойманным, мы должны обеспечить неравенство

P0En — l> k (E0E1 + E1E2 + ... + En-1En), т.е k> (2 coS TL )n+l(2 coS TL-1).

Ясно, что это неравенство можно обеспечить для любого к> 1, за счет увеличения п. В случае т> 1 дальнейшее рассуждение нужно проводить как в [2].

Приведем другой пример. Пусть АВС заданный произвольный треугольник. Точки А*, В*, С* в начале находившиейся в угловых точках треугольника А, В, С, соответственно, двигаются по сторонам с одинаковой постоянной скоростью по часовой стрелке. Найти множество точек пересечений отрезков АА*, ВВ*, СС*. Ясно, что задача довольно трудная, дело в том, что по условии задачи точки А*, В*, С* не одновременно будут находиться в угловых точках треугольника. Поэтому искомое множество, если его можно найти, может состоять из нескольких кусках. Если треугольник АВС равносторонний, то легко можно доказать, что искомое множество является тремя дугами окружности.

Характерной чертой таких задач является то, что они не имеют определенного законченного ответа, поскольку студент может по мере своих склонностей и способностей неограниченно углубиться в изучение поставленного вопроса. Самостоятельное решение такого рода задач дает студенту тренировку в научном мышлении и вырабатывает в нем любовь к научным проблемам.

Нами изучены выявления творческих мышлений студентов при помощи решения проблемных геометрических задач с применением информационно-коммуникационных технологий.

ЛИТЕРАТУРА

1. Брушлинский А.В. Избранные психологические труды. М.: Издательство "Институт психологии РАН 2006.

2. Черноусько Ф.Л. Одна задача уклонения от многих преследователей // Прикладная математика и механика. Т. 40. Вып.1, 1976. С.14-24.

2597

Mamatov M.Sh., Makhmudova D.M., Temurov S.Yu. IDENTIFICATION OF CREATIVE THINKING OF STUDENTS BY MEANS OF DECISION PROBLEM GEOMETRICAL TASKS

The creative ways of thinking students studied using geometric problem solving information and communication technologies are studied.

Key words: thinking; identifications; knowledge; task; geometrical construction.

УДК 517.977. 8

МНОГОШАГОВЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ ИГРЫ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ, ОПИСЫВАЕМЫЕ СИСТЕМАМИ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Ключевые слова: преследование; преследующий; убегающий; управление преследования; управление убегания.

Работа посвящена изучению одного класса дискретных игр, которое описывается системами уравнений второго порядка. Решается игровая задача с начальными условиями с помощью полинома Чебышева второго рода.

Задачам преследования различных классов дискретных игр посвящены многочисленные исследования. В этих работах движение точек описывается разностными уравнениями первого порядка. В работе [1] изучается игровая задача преследования описываемых системами разностных уравнений высокого порядка с граничными условиями на пространстве комплексных переменных. Поставленная задача решается с помощью разностные аналоги интегральных формул Коши.

Данная работа посвящена изучению квазилинейных дискретных игр преследования, описываемых уравнениями второго порядка. Для решения поставленной задачи применяется полином Чебышева второго рода.

В этой заметке рассматривается игровая задача, описываемая уравнениями

где гп, /п € Ет, С — т х т постоянная квадратная матрица, ип € Рп С Е, ип € Qn С С Е , Рп и Qn непустые компакты, ип - управляющий параметр преследующего, ип -управляющий параметр убегающего, /п : Рп х Qn ^ Ет векторная функция. Кроме того, в Ет выделено терминальное множество М. Цель преследующего игрока вывести го на множество М, убегающий игрок стремится этому помещать.

Определение. Будем говорить, что в игре (1) из точки го = /о, = /1 мож-

но завершить преследования за N(го,г\) ^ по шагов, если по любой последовательности 01,02,...,-1 значений управления убегания можно построить такую последовательность и1, и2,..., иN-1, управления преследования, что решение (го, г1, г2,..., ) урав-

нения гп-1 — Схп + Хп+1 = /п(ип,ип),п ^ 1, го = /о d ^ N, г1 = /1, п = 1,...^ — 1 при некотором удовлетворяют условию: € М.

Пусть дискретная игра описывается уравнениями (1). Через ип(у) обозначим полином Чебышева второго рода степени п [2]:

© М.Ш. Маматов, Е.Б. Ташманов, Х.К. Алимов

Zn_l — Czn + Zn+l = fn(un, Un), n ^ І, Zo = fo, Zl = fl,

(І)

(2)

2598