Многошаговые дискретные игры преследования, описываемые системами уравнений второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Mamatov M.Sh., Makhmudova D.M., Temurov S.Yu. IDENTIFICATION OF CREATIVE THINKING OF STUDENTS BY MEANS OF DECISION PROBLEM GEOMETRICAL TASKS

The creative ways of thinking students studied using geometric problem solving information and communication technologies are studied.

Key words: thinking; identifications; knowledge; task; geometrical construction.

УДК 517.977. 8

МНОГОШАГОВЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ ИГРЫ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ, ОПИСЫВАЕМЫЕ СИСТЕМАМИ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Ключевые слова: преследование; преследующий; убегающий; управление преследования; управление убегания.

Работа посвящена изучению одного класса дискретных игр, которое описывается системами уравнений второго порядка. Решается игровая задача с начальными условиями с помощью полинома Чебышева второго рода.

Задачам преследования различных классов дискретных игр посвящены многочисленные исследования. В этих работах движение точек описывается разностными уравнениями первого порядка. В работе [1] изучается игровая задача преследования описываемых системами разностных уравнений высокого порядка с граничными условиями на пространстве комплексных переменных. Поставленная задача решается с помощью разностные аналоги интегральных формул Коши.

Данная работа посвящена изучению квазилинейных дискретных игр преследования, описываемых уравнениями второго порядка. Для решения поставленной задачи применяется полином Чебышева второго рода.

В этой заметке рассматривается игровая задача, описываемая уравнениями

где гп, /п € Ет, С — т х т постоянная квадратная матрица, ип € Рп С Е, ип € Qn С С Е , Рп и Qn непустые компакты, ип - управляющий параметр преследующего, ип -управляющий параметр убегающего, /п : Рп х Qn ^ Ет векторная функция. Кроме того, в Ет выделено терминальное множество М. Цель преследующего игрока вывести го на множество М, убегающий игрок стремится этому помещать.

Определение. Будем говорить, что в игре (1) из точки го = /о, = /1 мож-

но завершить преследования за N(го,г\) ^ по шагов, если по любой последовательности и1,и2,...,ад-1 значений управления убегания можно построить такую последовательность и1, и2,..., иN-1, управления преследования, что решение (го, г1,г2,..., ) урав-

нения гп-1 — Сгп + гп+1 = /п(ип,ип),п ^ 1, го = /о й ^ N, ^ = /1, п = 1,...^ — 1 при некотором удовлетворяют условию: € М.

Пусть дискретная игра описывается уравнениями (1). Через ип(у) обозначим полином Чебышева второго рода степени п [2]:

© М.Ш. Маматов, Е.Б. Ташманов, Х.К. Алимов

Z"-l - CZ" + Z"+l = f"(U", U"), n ^ 1, Zo = fo, Zl = fl,

(1)

259В

Легко видеть, что и_2(у) = —1, и-1(у) = 0 , Щ(у) = 1, и1(у)=2у , и т. д. В [2], [3] имеются следующие рекуррентные соотношения для ип(у) :

ип+2(у) = 2уПп+1(у) — ип(у), п ^ 0, По(у) = 1, и1(у) = 2у. (3)

Далее через ип(У) обозначим матричный полином Чебышева от матрицы У, определяемой по рекуррентным формулам (3). Отсюда видно, что и-2(У) = —Е, и-1(У) = 0, ио(У) = Е, и1(У)=2У, где Е - единичная, а 0 - нулевая матрица.

Л е м м а. Пусть и = ип = и(п), и = ип = и(п), 1 ^ п ^ N - заданные управления. Тогда решение уравнения (1) с начальными условиями го = г(0) = /о, г1 = г(1) = /1 определяется формулой [см. 2]

гп = г(п) = Цп-2 ^1С^ /о — Цп-1^1 С^ /1 + Г и,п-к-1 1 С^ /к (и(к),и(к)). (4)

Пр едположение1. М = Мо + М1, где Мо - ( т — 7 )-мерное линейное подпространство Ет; М1 - подмножество подпространства Ь - ортогонального дополнения Мо в Ет. Через П обозначим операцию ортогонального проектирования из Ет на Ь, а через А + В и А - В алгебраическую сумму и геометрическую разность множеств А, В, соответственно. Пусть

п 1 -(

2

W(n) = £ nv{k)eQnU"-k-l (1 с) fk(Pk,u(k)) - Ml,

Пр едположение2. Пусть существует такое n = no, что

'1~) . (1

-П

Є W(no).

Теорема. Если выполнены предположения 1, 2, то в игре (1) из начального положения (/0, /і) возможно завершение преследования за N (/о,/і) ^ п0 шагов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Маматов М.Ш. Многошаговые игры преследования, описываемые системами разностных уравнений // Аналитическая механика, устойчивость и управление. Труды 10 международной Четаевской конференции. Казань, 2012. С. 114- 120.

2. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

3. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1983.

Mamatov M.Sh., Tashmanov Y.B., Alimov H.N. MULTI-STEP DISCRETE GAME OF PURSUIT, DESCRIBED BY THE EQUATIONS OF THE SECOND ORDER SYSTEMS

The work is dedicated to the study of a class of discrete games, which is described by equations of the second order systems. Dare’s challenge with initial conditions using Chebyshev polynomial of the second kind.

Key words: pursuit; pursuer; evader; pursuit control; evasion control.

2599