Игровая задача преследования и убегания с управлением, заданным разностными уравнениями второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517.9

© М. Ш. Маматов ИГРОВАЯ ЗАДАЧА ПРЕСЛЕДОВАНИЯ И УБЕГАНИЯ С УПРАВЛЕНИЕМ, ЗАДАННЫМ РАЗНОСТНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Введение

Задачам преследования и убегания для различных классов дискретных игр посвящены многочисленные исследования [1,2,3]. Общие вопросы теории дискретных игр рассмотрены в [1], задачи преследования и убегания для линейных игр изучены в [2], задача убегания для нелинейных игр — в [3]. В этих работах движение точек описывается разностными уравнениями первого порядка. Цель настоящей работы — изучение игровых задач с разностными уравнениями второго порядка вида (1). Получены достаточные условия для возможности завершения преследования и убегания в игре (1). При этом для решения этой задачи применяются полиномы Чебышева второго рода.

§ 1. Постановка задачи

Пусть движение точки г т -мерного евклидовая пространства Кт описывается дискретными уравнениями

г(п — 1) — Сг(п) + г(п + 1) = /(п,и(п), ^(п)), п = 1,2,...; (1)

где п — номер шага; С — т х т постоянная квадратная матрица; и, V — управляющие параметры, и — параметр преследования, V — параметр убегания, и(п) € Р(п) С Лр, v(n) € ф(п) С Яд, Р(п) и ф(п) — непустые множества; параметр и выбирается в виде последовательности и = и(-) = (и(1), и(2),... , и(п),...), и(п) € Р(п), п = 1, 2,...; параметр V — в виде последовательности V = v(•) = ^(1)^(2),... ^(п),...), v(n) € ^(п), п = 1, 2,... ; / — заданная функция, отображающая N х Кр х Яд в Лт. Кроме того, в Ет выделено терминальное множество М.

Цель преследующего игрока вывести г(п) на множество М, убегающий игрок стремится этому помещать.

Определение 1. Будем говорить, что в игре (1) из начального положения (го,г1) возможно завершение преследования за N (го,г1) шагов, если по любой последовательности г)(-) можно построить такую последовательность и(-), что решение г(') = (г(0), г(1),... , г(п),...) уравнения

г(п — 1) — Сг(п) + г(п + 1) = /(п,и(п),V(n)), г(0) = г0, г(1) = г1

удовлетворяет условию г(п) € М, где 1 ^ п ^ N(го,г1). При этом для нахождения значения и(п) параметра и на п-м шаге, п ^ 1, разрешается использовать г(п) и v(n).

Определение 2. Будем говорить, что в игре (1) из начального положения (го, г1), го,г1 € М возможно уклонение от встречи с множеством, М, если для любой последовательности и(-) можно построить такую последовательность V(•), что решение ¿(п), п = 1, 2,... уравнения

г(п — 1) — Сг(п) + г(п + 1) = /(п,и(п),V(n)), г(0) = го, г(1) = г1

ни на каком шаге не попадает на М : г(п) € М для всех п = 1, 2,.... При этом для нахождение значения V(n) параметра V на п-м шаге разрешается использовать значения г(п) и и(п) . В случае, когда возможно уклонение от встречи из любого начального положения (го, г1), будем говорить, что в игре (1) возможно убегание.

§ 2. Задача преследования

Пусть дискретная игра описывается уравнениями (1). Через Un(x) обозначим полином Чебышева второго рода степени n :

sin((n + 1) arccos x) , ,

І ----—(--------Л---, Ж < 1

Un (x) = ^ s.in(arccos x) (2)

1 ((„ , .rz2 , .rz2 -(™+l)N

. 2л/х2 - 1

((ж + А^І)га+1-(ж + A^I)'(ra+1)), N>1

Отсюда легко можно получить следующее: и_2(ж) = —1, и_1(ж) = 0, Цо (ж) = 1, ^(ж) = 2ж и так далее. Имеются следующие рекуррентные соотношения для ип(ж) :

ига+2 (ж) = 2жЦп+1(ж) — Цп(ж), п ^ 0, Цо(ж) = 1, и (ж) = 2ж. (3)

Далее через ип(ж) обозначим матричный полином Чебышева от матрицы , определяемой по рекуррентным формулам (3). Отсюда видно, что Ц_2(Х) = Е, и_1(Х) = 0, Цо(Х) = Е, ^(Х) = 2Х, где Е — единичная, а 0 — нулевая матрица.

Лемма 1. Пусть и = и(п), V = V(n), 1 ^ п ^ N — заданные конкретные управления. Тогда решения уравнения (1) с начальными условиями г(0) = го, г(1) = г1 определяются формулой

1 1 п_ 1 1

г{п) = ип-2 (-С) гь - С/п-1 ( 2 С1) ^ ( 2'°) Пк’ й(*0^(*0) •

к=1

Пр едположение 1. М = Мо + М1, где М — линейное подпространство Лт; М1 — подмножество подпространства £ — ортогонального дополнения Мо в Лт.

Через п обозначим операцию ортогональную проектирования из Кт на £. Пусть

k=1 v(fc)eQ(fc)

здесь ип-к~1 (2^) —матричный полином Чебышева.

Пр едположение 2. Пусть существует такое п = по, что

С/гао_2(^с)го - € Ж(по).

—П

Теорема 1. Если выполнены предположения 1, 2, то в игре (1) из начального положения (¿о, ¿1) возможно завершение преследования за N(20,21) ^ По шагов.

П

Список литературы

1. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир. 1967. 500с.

2. Сатимов Н. Ю., Маматов М. Ш. Об одном классе линейных дифференциальных и дискретных игр между группами преследователей и убегающих // Дифференциальные уравнения. 1990. Том 26. № 9. С. 1541-1551.

3. Сатимов Н.Ю., Азамов А. Нелинейные дискретные игры убегания // Кибернетика. 1976. № 4. С. 70-74.

Маматов Машраб Шахобитдинович Национальный университет Узбекистана, Узбекистан, Ташкент e-mail: [email protected]