Вывод выражения энергии деформации оболочки в геометрически нелинейной постановке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.62

В. А. Нестеров, А. В. Лопатин

ВЫВОД ВЫРАЖЕНИЯ ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧКИ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ

В геометрически нелинейной постановке рассматривается вариационная задача о деформировании оболочки, податливой при трансверсальном сдвиге. Представлен вывод выражения потенциальной энергии деформации, которое может быть использовано для получения уравнений устойчивости для оболочек с низкой трансверсальной жесткостью.

Ключевые слова: оболочка, трансверсальный сдвиг, вариационная задача.

В последнее время в производстве ракетнокосмической техники все чаще используются композиционные материалы, которые, обладая большой удельной прочностью и жесткостью, позволяют создавать конструкции высокой степени весового совершенства. Однако композиты, в отличие от традиционных конструкционных материалов, отличаются рядом особенностей, которые усложняют классические расчетные модели. Одной из таких особенностей является низкая сдвиговая жесткость по отношению к трансверсальным напряжениям.

Метод конечных элементов - самый распространенный среди современных численных методов расчета конструкций. В общем случае вывод разрешающих уравнений МКЭ предполагает формирование энергетического функционала полной потенциальной энергии объекта. При решении задачи об устойчивости оболочек необходимо оперировать выражением потенциальной энергии деформации в геометрически нелинейной постановке.

Общее выражение потенциальной энергии деформации запишем на основе уравнения, представленного в [1]:

и = 2 Ш (СТ“А“ +СТРАР +СТА +Т«РДаР +

2 (V)

(1)

где коэффициент 1/2 перед интегралом обусловлен линейной зависимостью между напряжениями и деформациями (для линейно-упругого материала);

- обобщенные компоненты

, стр ,

Тар , Тау И Тру

напряжения. Их выражения записываются следующим образом:

II |—Уу СТа . 1 + 5а . * б н -У -1 хар . 1 + 5р . У х ау *УЛ ^ II х ау 1 + 5у

-2У Хра У . °р -2У СТр . У хру -У хру

-2 1 + 5а -2 1 + 5р ’ -2 1 + 5у

-3 х уа У хур -3 хур . У сту: -У СТу

-з 1 + 5а . -з 1 + 5р ’ -з 1 + 5у’

(2)

5а= V1 + 2Аа -1; 5р= V1 + 2Ар -1;

5у= V 1 + 2Ау -1 (3)

^^1 ^^2 3 1 1

В выражениях (2) —-; —; —3— коэффициенты из-

^ ^ S3

менения величины площадок, первоначально перпендикулярных k2, ^ соответственно. Они определяются через компоненты деформации Д:

— ^ (1 + 2Ар )(1 + 2Ау) -А,

-1

= 7 (1 + 2Аа )(1 + 2Ау) -А;

—

(4)

—'з- — ^ (1 + 2Аа )(1 + 2 Ар) -а;

-

І2

лар

Для компонентов напряжения справедливо соотношение

* * /сч

= Ь-. (5)

Введем допущение

Ста = Ста ; стр = стр ; Сту = Сту ;

То — х о ; х — х ; х^, — х^, .

ар ар > ау ау > Ру Ру •

(6)

Оно справедливо при малых величинах А, когда комплексы

£* 1

— 1 + 5,

можно принять равными единице.

Общие выражения для компонентов деформации А запишем в виде

Ар ер +

1 2 ' 1

е„ +

2 а ( 2

1 2 1

2 Єр +( — 2

'ар у

'ар

ау р

+1 — е___________+ I +1 — еа_, - О

где 4а, 4р, 4 - относительные удлинения волокон, первоначально направленных по К къ кз (орты системы координат а, в, у). Они вычисляются по формулам

Аар = Єар + Єа| 2 Єар - Оу і + Єр | 2 Єар + Оу 1 +

*

*

2

2

аа

2

2

У

а

2

2

2

2

А — е + е ( — е + I + е ( — е — I +

ау ау а I 2 ау р І у I 2 ау р 1

+1 — е„а +О,, II — еа„-о„ I;

2 ар у II 2 ру а

Ару — еру + ер [^ еру - Оа1 + еу (— еру + Оа || +

+ (1 еар-Оу^( 2 еау+Ор^) .

Введем упрощения:

- пренебрежем квадратами и произведениями деформаций еа, ер, еав ;

- примем угол поворота Ц равным нулю;

- в выражениях трансверсальных деформаций оставим только линейные члены.

В результате вместо (7) получим

1 (1 )2 1 (1 л2 Аа — еа+ 2 I 2 еау-Ор) . Ар — Єр + 2 I 2 ^ О

А„п — е„,, +1 — е„„, - ) (— е~ +

ар ар

А — е ; А — е

у у > ау ау

Ару еру.

Линеаризованные компоненты деформации еа, ер, еу, еар, еау, еру и проекции угла поворота ^а, ^р, Ц, можно выразить через проекции перемещения и,

V, Ж:

1 дП 1

е„ —----------------+ -

дИ—

1 дИ—

И— да И1И2 др И1И3 ду

V + -

W,

1 дV

1 дИ

W +-

1 дИ

И2 др И2И3 ду И2И— да

П.

1 дW

1 дИ

еу —

-П +-

1 дИ

И3 ду И3И— да И3И2 др

-V,

А А

И— да

_5_ И— да

А А

И2 др

П

И—

е — е —

^ру ^ур

2Оа —

И2 д

(А) А А( п (И31

Из ду( И—

Из ду

Щ _д_ И2 др

(

2Ор —

И 2 Из 1

И—Из

2Оу — -А

у ня.

А (Изк) — (я 2 V) др ду

(И—П) -А (ИзК)

_ду да

— (И 2V) - — (И—П) да 2 др 1

С учетом (9) и (10) запишем выражения комплексов, фигурирующих в (8):

— е -О — —

2

2

—дк +А (И— дП - П дя—I-

И— да И— ( ду ду

-А (п дЯ—+я— дП )+А дК

И— ( ду ду | И— да _

— А (дК - П дА

И— ^ да ду

1 ( гг дV т дИ7 ) 1 дК 1 дК

—| И2-------V—2 |+----------+-------

Я2 ( ду ду | И2 др Я2 др

И

ду ду

—А (дК ^ дА И21 др °у

Здесь учтено, что для оболочек Н3 = 1.

Для дальнейших преобразований понадобятся выражения для коэффициентов Ламе:

(8)

(9)

(10)

И— — А

у

1+-!-я

И2 — А2

у

1 + -!-я

(11)

(12)

и следующие кинематические соотношения [2]:

П — и + у9а ; V — V + убр ; К — м ;

А и 1 дм V 1 дм

9 — Ф +---------------. 9р — +------------. (1з)

а а Я— А— да р р Я2 А2 др

С учетом (11), (12) и (1з) получим:

1

—е -Ор — -11 —-(и + у9 )— I —

т ау р и я™ V ' а/ п

И— (да

я—

— А|Адю-А|-АХ9 — А(^ -9)- (14)

И— (А— да я—) И— Я, а И,У а а7

. А х,

И— я—

И,

І1.

И,

— е + — —

2 ру а Я

дю / „ \ А2

-----(о+у9в) —

д^ ' р' Я2

у ) — А

я— ) Я

А (—

Я

( 1 дю и ) А2 др Я2

-А іг9р— А (^р-9р)-А ^9р— А ^р-

А2 у а _ А2

я2 я2

я2

-9р

р И2

1^^

Я2 ,

И2 я2

А2

—ИТ2 Ур-9р.

И

Соотношения для углов поворота (13) можно записать в следующем виде:

0а=Уа+Юа ; 0р=^р+Юр, (15)

где

и 1 дм

Юа —--------------

я— А— да

_ V 1 дм

т—т ; юр^т:----г "тт. (16)

я2 А2 др

С учетом (15) в^іражения для комплексов (14) можно переписать в виде

— е - О — Ф

2 ау р Та

2 еру +Оа —

' ІL.

а я.

V —

( А,

фр( Я

л

-1 |-Ю„

(17)

Введем еще одно упрощение: в нелинейных

членах компонентов деформации положим уа = 0 и Ур = 0, тогда вместо (17) получим

— е — — —ю ;

2 ау р а >

(18)

Подставим (18) в (8) и запишем

1 2 1 2

А— е„ ю„ ; А— е„ ю„ ;

2

2

а

а а

+

+

еар ера

1

-СО

а

2

2

2

24з

Ар — еар+ЮаЮр . Ау — Єу .

Аау — еау ; Ару — еру. (19)

Подставим законы распределения перемещений (12) в первое, второе и четвертое соотношения системы (9). В результате получим

А

где

еа — 7Г (Єа+уХа) .

ер— Я(єр +ухр);

2

еар — Я- (бар+уХар) + Щ (Єра+уХра) ,

1 ди V дА м

єа —------------------------------------------+-1 + —;

А— да А—А2 др я—

1 ду и дА2 м

єр —------------------------------------------1-1-;

р А2 др А— А2 да я2

(20)

Єар

1 ду и дА— 1 ди V дА2

А— да А— А2 др

Єра

А2 др А— А2 да

1 д9 9р дА— .

А— да А—А2 др

(21)

1 д9р 9а дА

Х —___________9р | 9а дА2 . Х — 1 д9^ 9а дА1 .

1р А Ж Л Л Я™ ’ Хар

А2 др А—А2 да

А— да А— А2 др

Хфа

1 д9а 9р дА

А2 др А— А2 да

СТ I е + — Ю2)+СТ„[ е + — Ю2 I + СТ е +

2^1 і а(а 2 а) р I р 2 р| уу

(22)

+хар (еар + ЮаЮр ) + хауеау + хруеру } ИГИ2Ла ЛР Лу.

Физические соотношения в нелинейной теории имеют вид

СТа _ А11Аа + А12 АР ; СТР _ А21Аа + А22 Ар ;

тар _ А33Аар , (23)

где

1 2 1 2

Аа еа+ 2Юа . Ар— ер + 2Юр.

Аар — еар+ЮаЮр .

Для трансверсальных напряжений примем линейные соотношения

хау ^ау еау ; хру ^ру еру .

(24)

Подставим физические соотношения (2з), (24) в

(22) и получим

П — 2/ / /(АХ + 2А—2АаАр+ А-А2 +

2 (V)

+Азз Аар + ^ау еау + ^Зу е(3у ) И—И2 Ла ЛР Лу

(25)

или

П — 2/А— |еа + 1 »>і) + 2А12 (еа + —

Х(ер + 2 I + А— (ер + 2 (еар+ЮаЮр) + (26)

+ °ауе1, + °руер2у } И —И2Ла Лр Лу.

Подставим в (26) выражения для относительных деформаций (20):

П — — Ш{ А

А— / ч 1 2

7Г (8а+уХа)^Юа

+А

+ 2 А,,

И—

А2 1

И (^р+ухр)+-

А— , \ 1 2

И“ (Єа+уХа) + 2 Юа

(27)

+А

А2 1

ЯГ 2ю

Я (Єар-уХар) + А (Єра-уХра) +

а, ■ ЮаЮр

Запишем общее выражение полной энергии деформации (1), заменив в нем компоненты напряжения в соответствии с (6), а компоненты деформации - выражениями (19):

+°ауеау + Чу ер\ } И1И2Ла Лр Лу.

Выполним в (27) следующие преобразования. Выделим комплексы

А— 1

И

-є„ +—юа;

2а

А2 1 2

єр + 2 юр ;

И

А1 А2

7Г 8«Р + ~ГГ 8ра+ЮаЮр .

Н1 Н 2

Это позволит записать квадраты и произведения нелинейных деформаций в виде

А —

А

А

, А (А + у я Ха( я

1

2 А12 2

+ ^772 Ха

А2 — І А єр + — ю2 | + 2у А Х р 1 И2 р 2 р) И2

А — 21 2 А2 2

ххр|Я2єр+ 2Юр)+у Нрр;

(28)

Л Л А 1 2 )( А 1 2 ) А

А Ар—|-1 є +—Ю II —-єр +—юп !+у— х

а р 1 Ч, а 2 аДИ2 р 2 р| 1Я

ХХа

(А_ — 2^ л (

( И2 Єр+ 2 “р

2 А— А,

+у яу ИГ2 ХаХр;

.2 ( А— ^2 і

Аар I Я~ Єар+ ИГ Єра+ЮаЮр I +

А

+2у| А Хар+ А Хра^^Й/У ^р+ Єра +ЮаЮр ! +

2 I А— ^2

+у I А Хар+ Я Хра

2

+

2

+

Ю

р

X

2

+

Х

р

2

+

2

2

2

Заменим истинные деформации трансверсального сдвига их осредненными значениями

еау— Фа ; еру— Фр. (29)

Перепишем (27) с учетом (28), (29):

п——шк

(V)

А 1 2) „ А єа + -юа I + 2у — Х И— а 2 а) И—

А 1 ) А2

1 „ I 2 I „,2 „2

+А22

+2А1

Х Ха | Я" Єа+ 2 Юа!+у ЩЬ Ха

А єр+—юр і + 2уА Хр(А єр+—юр ^+у2 А х2 И2 р 2 ^ ГИ2 р(Я2 р 2 р| Г И2рЛр

"А 1 2)(А 1 2) А ( А 1

+2С33 (Хар + Хра ) (еар + Бра + ЮаЮр ) +

+-33 (Хар + Хра )2 + КаЧ>I + Кр^2 } Ла

Рассмотрим физические соотношения (23). Вычислим с их помощью усилия и моменты по формулам

h-s h-s h-s

Ма = | СТа ЛУ ; ^ар = { 'ар ЛУ ; N = { °р ЛУ ;

—s - s ^

h-s h—s

ба = { 'ау ЛУ ; QР = | 'ру ЛУ ;

-s -s

h—s h—s

Ма = | УСТа ЛУ ; Мар = | У'ар ЛУ ;

єа+-юа

Я а 2 а

єр +—Юр

И р 2 р

+у И г.

єр+—Юр (И2 р 2 р

п—а

мр— / устр Л у.

(зз)

+А

—2 ( А— 1 2 ) 2 ДА2 "І

+Т Я2 Хр ( А Єа + р"” )+у А ЯГХаХр]+ (з0)

А єар + А єра +Ю,Ю11 + 2ї| И Ха* + Я Хра

I А— — \ 21 А— —

Х I И 8ар+ 12^ра+ЮаЮр^+У (я Хар + ЩТХра

+°ауФа + ЧуФ2 } И1И2Ла Лр Лу .

Запишем (з0) для случая, когда не учитывается изменение метрики по толщине:

Подставим в (зз) соотношения для напряжений

(2з), в которых предварительно выразим Ла , Ар , Лар через относительные деформации еа, ер, еар. Последние, в свою очередь, выразим через обобщенные деформации Єа, Єр, Єар, Єра, Ха, Хр, Хар, Хра, т. е. используя формулы (4.20), в которых не будем учитывать изменение метрики по толщине:

є. — Єа + у Ха; ер—єр+уХр;

еар — Єар+Єра+у (Хар + Хра ). (з4)

Тогда физические соотношения (2з) примут вид

СТа — А11 (єа + у Ха + 2 Юа ) + А12 [ Єр +уХр + р Юр

(V )

єа+ 2 юа) + 2ух* ('єа+ 2 Юіа і+у2х.

СТр — А21 I Єа+уХа^Юа !+ А22 I Єр +уХр ^ 7Т ю2 1 . (з5)

+А,

+2 А,

1 2 і _ | 1 2 I 22

єр+ 2Ю I + 2ухр I єр + 2ю і+у х

+ (з1)

2 Юа) + А22 ^р +уХр + 2

хар — Азз _Єар + Єра + у (Хар + Хра ) + ЮаЮр ] .

Подставим (з5) в (зз) и получим

(єа+ р Ю.^(Єр+ — Юр I + у Ха (єр + :2ю2 ) + Ма 3—1 ((Єа+ 2 Юа ))+ 3—2 ((Єр+ 2 Юр ))+ С—1Ха+ С—2Хр ;

+уХр I Єа^Юа I +у2ХаХр

+А-,-

(Єар +Єра +ЮаЮр)2 + 2у(Хар +Хра)(Єар +Єра +ЮаЮр) +

+у2 (Хар +Хра)2 + СауЧІ + ЧуФр } Ла Ф Лу.

Проинтегрируем (з1) по толщине оболочки:

П — — ГГк {є + — ю21 + 2С11х (є + — ю21 + Ц—Х2 +

2 ^ ^ 11 (а р а І 11/^ а I а р а І 11/^ а

+ 322 (Єр + р Юр ) + 2С22Хр (Єр + р Юр ) + -^22ХР +

а ^11 | а 2 а I !2 I Р 2 р I 11Ла

^р = В21 |6а + ®а ^ + В22 ^6р + ®Р ^ + ^21Ха + С22Хр ;

^ар = В33 (еар +ера +ЮаЮр) + С33 (Хар+Хра) ; (36)

Ма = С11 ^^а + 2 Юа^| + С12 ^6р + Юр ^ + D11Ха + D12Хр ;

Мр = С21 ^^а + 2 Юа^| + С22 ^6р + ^ ^ + D21Ха + D22ХР ;

Мар = С33 (еар + ^ра + ЮаЮр ) + -^3 (Хар + Хра ) ;

ба = КаФа ; бр = КрФр .

С учетом (36) выражение для потенциальной энергии деформации можно записать в следующем виде:

+2312 I Єа ^Юа Ц Єр + р Юр ) + 2С12Ха I Єр + р Юр К (з2)

+ 2С12Хр ^Єа + р Юа) + 2^12ХаХр + 3зз (єар + Єра +ЮаЮр) +

П — 2 //][^а^а + ^ Юа^ + ^р(єр + ^Юр ^] +

+^ар (Єар +Єра +ЮаЮр)+ МаХа + МрХр + (з7)

+ Мар (Хар + Хра ) + баФа + брФр } Ла Лр.

+

+

+

2

+

+

Функционал (37) является выражением потенци- моделях которых учитывается трансверсальный альной энергии деформации, которое следует исполь- сдвиг.

зовать при решении нелинейных задач о деформиро- Библиографические ссылки

вании оболочек с низкой трансверсальной сдвиговой

^ ^ 1. Новожилов В. В. Теория упругости. Л. : Суд-

промгиз, 1958.

жесткостью.

Оно также необх°димо для получения разрешаю- * 2. Васильев В. В. Механика конструкций из компо-Щих уравнений устойчивости оболочек, в расчетных зипионных материалов. М. : Машиностроение, 1988.

V. A. Nesterov, A. V. Lopatin

ENERGY DERIVATION OF DEFORMATION OF THE SHELL IN GEOMETRICAL NONLINEAR ARRANGEMENT

In geometrically nonlinear arrangement a variational problem of deformation of shell with low value of transverse shear stiffness is considered. The conclusion of expression of potential energy of deformation which can be used for generation of the equations of stability for shells with low value of transverse shear stiffness.

Keywords: a shell, transverse shear, variational problem.

© Нестеров В. А., Лопатин А. В., 2010

УДК 535.5; 538

Е. А. Попов

ВЛИЯНИЕ УПРУГОЙ ПОДСИСТЕМЫ МАГНИТНОГО ДИЭЛЕКТРИКА НА ЕГО ОПТИЧЕСКИЙ СПЕКТР

Обсуждаются результаты изменения тонкой структуры оптического спектра антиферромагнитного диэлектрика под действием одноосного давления. По расщеплению и смещению полос поглощения света определены состояния ионов, порождающие серии полос поглощения, оценено изменение компонент кристаллического поля на поглощающем свет ионе.

Ключевые слова: экситон, магнон, поглощение света, антиферромагнетик.

Спектры поглощения света кристаллов, содержащих 3d-, 4£- и другие ионы, формируются из спектров входящих в их состав ионов, изменённых действием кристаллического поля и взаимодействиями между ионами. Положение полос поглощения хорошо описывается в теории поля лигандов [1]. Интенсивность полос поглощения и тонкая структура спектров не объясняется в рамках этой теории и является следствием коллективных возбуждений различных подсистем кристалла (электронной, магнитной, упругой), хотя исходно и порождается прямыми электронными переходами в 3d-, 4£- и других ионах. В антиферромагнит-ных кристаллах, содержащих 3d5-ионы (МП24, Fe3+), основное состояние которых ^, прямые электронные переходы запрещены по спину и по чётности в электро-дипольном приближении. Поэтому интенсивные линии в спектрах поглощения света таких кристаллов имеют сложную многочастичную природу. Связать полосы поглощения спектра с конкретными электронными переходами возможно лишь после анализа реакции полос спектра на внешние воздействия. В данной работе рассмотрено изменение спектра оптического поглощения антиферромагнитного кристалла RbРMnQ4

при действии на него одноосного давления с целью выявления прямых источников серий полос поглощения в районе частот ~26 500 см-1, образованных с участием перехода 6А^(^) ^ 4Т^(^) в ионах Мп2+.

Кристаллы RbРMnQ 4 при комнатной температуре имеют тетрагональную структуру симметрии D4h17. При температуре ниже Тм = 57 К в кристалле устанавливается антиферромагнитный порядок с анизотропией типа лёгкая ось. Магнитные моменты направлены параллельно С 4 оси симметрии кристалла [2]. Элементарная ячейка при переходе из парамагнитного в антиферромагнитное состояние удваивается, а симметрия понижается до ромбической.

Рассмотрим поляризованные спектры поглощения света кристалла RbРMnQ4 в области энергии ~26 000 см-1 при температуре Т = 4,2 К при приложенном к нему внешнем одноосном давлении, направленном вдоль оси С4 (рис. 1). Поглощение света в этой области энергии происходит благодаря переходам 6А^(^) ^ 4Т^(^) в ионах Мп2+. Поляризация полос поглощения света, связанных с прямыми переходами (экситонными полосами) и парными экситон-магнонными в этой области спектра, должна соответ-