CC BY
37
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Т о м IV
19 7 3
№ 3
УДК 624.074.4
ВЫВОД УРАВНЕНИЙ МЕТОДА СИЛ ДЛЯ ПЛАСТИНЫ, ПОДКРЕПЛЕННОЙ БАЛКОЙ, НА ОСНОВЕ ВАРИАЦИОННОГО ПРИНЦИПА КАСТИЛЬЯНО
Ю. Ф. Я ре мчу к
Для упругой системы, состоящей из тонкой пластины и балки, без учета напряжений поперечного сдвига, с помощью функционала Рейсснера получена полная система уравнений равновесия и граничных условий, которые вместе с условием экстремальности функционала внутренней энергии системы соответствуют принципу Кастильяно, т. е. совпадают с уравнениями так называемого метода сил.
Для упругой конструкции, состоящей из пластины и балки (см. фигуру), при допущении, что прогибы малы по сравнению с толщиной пластины, функционал полной потенциальной энергии имеет вид
п-Я
й \ (Лот)2 — 2(1 — V)
д2 ту д-т дх2 ду2
д2 ии \2
дх ду
— 2(7® > сіх сіу -
/* /д2 ш\2 ( <Э2 да V
+/ Е1Ы) + 01г\дщ)~2р™ і
( д2 хм
<1с,
(I)
где О — плоская область с границей Г = Г1 + Г2 + Гз и I, / — отрезок прямой с границей 1 = -^1 -}- -)- у3, занимаемые соответственно пластиной и балкой.
У
Через х обозначено положительное направление обхода контура
Точке пересечения границы Г с прямой I соответствует одно из значений 7/. Чтобы экстремум функционала (1) соответствовал действительному деформированному состоянию рассматриваемой конструкции при заданных внешних нагрузках р (£) и д(х, у), непрерывно дифференцируемая функция прогиба у)
должна удовлетворять на частях границы Г,- и у,- граничным условиям:
ди)\
|г дп \ г-
дт I
дт
= 0 (заделка);
'“•I 7,
да|г = да I =0 (опора);
Г), 73 соответствуют свободному краю.
(2)
В выражениях (1) и (2) п— внешняя нормаль к контуру Г, й (х, у) — цилиндрическая жесткость пластины, £/(I) и 0/р(£)— жесткость балки на изгиб и кручение, ч — коэффициент Пуассона.
Минимум функционала (1) и деформированное состояние рассматриваемой системы можно приближенно определить с помощью метода Ритца в классе функций -по, удовлетворяющих условиям (2) [1 — 3]. Такой подход может рассматриваться как применение метода перемещений к решению задач для пластин.
Чтобы сформулировать,вариационную задачу с неизвестными внутренними силовыми факторами, соответствующую так называемому методу сил, применим к функционалу (1) преобразование Фридрихса [1, 3]. В рассматриваемом случае оно выражает известные условия совместности деформаций, связывающие характеристики деформированного и напряженного состояний конструкции [2]:
— 0;
+ ду* ~0;
= 0;
= 0.
(3)
Здесь Мх, Му и М ху — изгибающие и крутящий моменты в пластине, М и МК9~ изгибающий и крутящий моменты в балке.
Воспользуемся методом множителей Лагранжа. Умножая уравнения (3) и (2) множители Лагранжа {а; и о;, проинтегрируем их по области й и границе Г,
I, 7, там, где уравнения (3) и (2) заданы. Складывая полученные выражения' с функционалом (I), в котором производные да заменены их выражениями из (3), получим функционал, который иногда связывают с именем Рейсснера [4 — 6]:
Я = Я 1К + М* - ЪМХ + 2 (1 + V) М21у] - 29да} ах йу +
<1х йу-\-
Мх - '‘Му д2 т Му — VМх (?2 М) + !лз МХу д2 да
К}\" *>( — 'А) + дх*\ 0(1— ч2) г ду* 1.0(1-*)” дх ду
+
М1Р
Е1
с/„
\ Гг /М <?2да\ /-^.кр д2 да \
2рки) (х, [щ- +
, Г Г ды/ , .
+ 3 “■ +0 “2 + ■«»Н71+7г+
г,+з’з "
дт
Ж
дт
(4)
Для искомого напряженно-деформированного состояния конструкции функционал (4) принимает стационарное значение (б/? = 0), так как для этого состояния функционал (1) тоже принимает стационарное значение, а коэффициенты при щ и аI обращаются в нуль в силу условий (2) и (3):
bR
-я
D (1—v2)
— 2<?5ze/J dx dy + М
МХЬМХ + 2 Му ЪМу—2ч (МхЬМу + Му ЬМх)+4 (1 +v) Млу ЬМхуу
Я
ОЦ!
Мг —
D ( I — v2) + дх2 dx dy -)-д2 bw
+ i
xy
LZ>(1 — V)
(J-2
ЬМ у — vB/И x D (1 — v2)
d2 w dx dy
Я
c>y2
+ Из
M-i ЬМ
6[x2
5/И,
v/И,
£) (| _ v2)
v5,/W„
jry
£> (I — v2) d2 5w
+
Ox2
D (I — v) dx dy
dx dy -|-
+
2 MbM
fU
5
+
2Мкр ЬМкр
GI,
+
Ш
El
P
d2 bw
' W
\ С Г (M d2 w) (MKp d*w у 2/>6ie/j rfS-(-j +dsdri)
d% -f-
о M
кр
d2 5w'
'M G/n +dZdrl
I a; + J Bet! wds + j
/ J 1’ J_r Г
r,+r2
+
f f dbw dw
J a, bwds + J <*2 ds + 5a3 ®|Ti + b + 8i4 r,+r2 r,
dw i S“5^l
+
+ a3
Ч. + Тг'
dbw
di
dbw
= 0.
(5)
Требование равенства нулю коэффициентов при вариациях 8^; и 5а; приводит к выполнению условий совместности деформаций (3) и граничных условий (2).
Выражения при вариациях ЬМ^ дают условия для определения множителей (л^:
fJ-i = — 2МХ-, р2= —2М у, (j-з = — 4М
ху<
кр-
I
(6)
Интегрируя по частям выражения в (5), содержащие производные от вариации 5да, с помощью формулы Гаусса—Остроградского
Я
d2 bw :• р d2U|
,ui dxdy= J j bw dx dy -f |
dbw
■ Sin a COS a ds
Г-f /, + /.j d/j.
f
J dx
^1 дя
COS arfs
COS- ads —
[здесь индекс ,!“ при / означает, что интегрирование производится при обходе I справа, если двигаться в сторону возрастания 6 (см. фигуру), ,2“ — соответственно слева], учитывая (6), вводя обозначения [2]:
Мх cos2 a + My sin2 a — 2Mxy sin a cos a = M„,
(Mx — My) sin a cos a + Mxy (cos2 i — sin2 a)
M„
0MX
dx
dM
xy
dy
fdMy dMxy
\ dy ax
sin a = Qn,
и собирая в (5) подобные члены при вариациях 8да и ее производных, получим
bR
CC(d2 Мх О-М.,
= -2J]U*r + ^yr
d2Mv
dy2
д2М
xy
dx dy
\ f' dbw
+ q bw dx dy \ (a,, — 2Mn) ds —
f dbw Г/ dAfKp\d5w
■ J Mn ^n ds 2 J yMn ! M„ 2 J df] +
1’ i+Г з /
I п I Г) дМпз
а1 + 2 I — д5
■ийя +2^1 С)п-
. -г . Г
ЧТМ д3
+ 2 (Мпз ( — Мпз 2) Вда|,^ +- 2 Ц (С)п ~ (фл —■
дв
+
ода
Т1+1Г2 '
/ дМ\
«з + 2 I Мпз I — Мпз 2 + I
дВда ЭЗшН дВда
+ (а, - 2/И) - 2/И I + (а5 - 2/И,,,,) ~^
II П2 + ТЗ 1
Э2/И <Э£2 — ^
дМ
5да а?;
2 [ ^Ил5 1 ^Л5 2 "Ь ^
ав®
2/Икр
т.
Р (?Г)
= 0
Тг+Тз
(здесь индексы ,1“ и ,2“ снова означают, что величины берутся справа и слева от балки; Г; — точка пересечения границы Г и прямой I).
Приравнивая нулю выражения при вариациях, получим значения множителей а/, которые представляют собой удвоенные значения реакций опор и заделки:
а1 + 2 — дМ
дМп,
С*5
г.+г,
= 0; а, - 2/Ия|Г1 = 0;
2 (Мпз 1 — Мпз 2)Ц , если Г, = 7,+Т2
0, еСЛИ Г; = 7з
= 0;
Т. +12
(7)
а3 + 2 ^/ИЛ51— Мпз2 +
а4 — 2/И[ъ=0; а3 — 2Л^кр|Т1 = 0.
Кроме того, получим условия, которым должны удовлетворять /И; и которые представляют собой известные уравнения равновесия и естественные граничные условия:
<Э2/ИУ д? М* у + 2
д? Мх
дх2 М,
+
о>_у2
л1г2+г3 = °; Оп -
мп1 — м„9 —.
кр
= 0; \<2П-
дМ„, дв
^Тг+Тз = 0; ^р1ь+Тз = 0;
дхду + 9 = 0;
дМП5
= 0; Гз
+ (<?« дМп<;
д2М
Ж Р
= 0;
I
Мп5 1 Мп5 о '
дМ + {(Мп.з1 - Мк 2)|рг, если Г; = Ь
1 0, если Г; = 7, + 72
= 0.
(8)
Таким образом, требование стационарности функционала Рейсснера дает условия совместности деформаций, уравнения равновесия и граничные условия, т. е. соответствует решению задачи определения напряженно-деформированного состояния исследуемой конструкции [4].
Физический смысл членов функционала (4), содержащих множители состоит в следующем. Представим себе .всюду разрезанную" конструкцию, тогда ввиду (6) величины рассматриваемых членов пропорциональны работе напряжений, не обязательно удовлетворяющих условиям равновесия, на перемещениях, возникших вследствие нарушения условий совместности деформаций.
Если потребовать, чтобы функционал (4) достигал экстремума при дополнительных условиях (3) и (2), то приходим к исходной задаче отыскания экстремума функционала (1) и получаем принцип возможных перемещений: среди возможных деформированных состояний конструкции, удовлетворяющих условию совместности деформаций (3) и геометрическим граничным условиям (2), деформированное состояние, удовлетворяющее условиям равновесия (8), доставляет функционалу (I) стационарное значение.
Если в качестве предварительных условий при отыскании экстремума (4) потребовать выполнения условий (8), то, подставляя (6)—(8) в (4), после некоторых преобразований приходим к задаче — найти экстремум функционала
и = -
1
О (I-,2)
[/И* + М\ - 2-,Мх Му + 2 (1 + V) м2ху] (1х(1у +
■К-
/И2
Е1
М.,
01п
(9)
при дополнительных условиях (8)—и получаем принцип Кастильяно: среди возможных напряженных состояний конструкции, удовлетворяющих условиям равновесия (8), напряженное состояние, удовлетворяющее условиям совместности деформаций (3) и (2), доставляет стационарное значение функционалу (9).
Итак, функционал Рейсснера (4) позволяет получить основные уравнения для обоих принципов строительной механики и теории упругости. Кроме того, функционал R может быть использован для приближенного определения напряженно-деформированного состояния, если в него подставить значения и а,-из (6) и (7). При этом не требуется удовлетворения никаких условий, кроме условия дифференцируемости W (х, у).
По сравнению с методом единичной силы и чисто физическим подходом,, при котором предъявляются более жесткие требования к идеализации конструкции и приходится строить „самоуравновешенные” системы (что является трудной задачей), сформулированный в выражениях (8), (9) аналитический подхода к методу сил позволяет более эффективно отыскивать классы функций, удовлетворяющих однородной (р = q = 0) системе (8), для довольно сложных конструкций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Михлин С. Г. Вариационные методы математической физики. М., Гостехиздат, 1957. ,
2. Тимошенко С. П., В о й н о в с к и й-К р и г е р С. Пластинки и оболочки. М., Физматгиз, 1963,
3. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т.1, М., Гостехиздат, 1951. -
4. Relssner Е. On a variational theorem in elasticity. J. Math, and
Phys., 29, No 2, 1950. ■
5. Re issner E. On a variational theorem for finite elastic deformations. J. Math, and Phys., 32, No 2—3, 1953.
6. А м e н з а д e Ю. А. Теория упругости. М., „Высшая школа‘,
1971. ' '
7. Argyris J. Н. Современные методы расчета сложных стати- , чески неопределимых систем. Сб. статей под ред; проф. А. П. Фи- ’■ лина. Л., Судпромгиз, 1961.
Рукопись поступила I2/V1 1972 г.
