Метод конечных элементов в задачах предельного равновесия и приспособляемости пластин и оболочек Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧАХ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ И ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

Задачи определения условий предельного равновесия и прогрессирующего формоизменения сформулированы в терминах метода конечных элементов для полей скоростей перемещений, непрерывных внутри каждого элемента и разрывных на границах элементов. На основе соответствующих кинематических теорем получены системы линейных ограничений и формы минимизируемых функционалов при условиях текучести Мизеса и Треска-Сен-Венана.

Предложенные решения позволяют избежать систематических ошибок, возникающих при анализе предельных состояний на основе расчетов кинетики деформирования при последовательно возрастающей нагрузке, и сократить объем вычислений.

Метод конечных элементов стал в настоящее время основным при расчетах кинетики неупругого деформирования. Он позволяет определить напряжения, деформации и перемещения при заданных внешних воздействиях (механических, тепловых и др.). В задачах расчета предельных состояний, то есть прямого определения нагрузок, соответствующих заданным кинематическим признакам процесса деформирования, метод конечных элементов развит пока недостаточно и не находит широкого практического применения.

Теоретически возможно определение предельной нагрузки путем последовательных расчетов кинетики деформирования с помощью МКЭ при возрастающих заданных воздействиях. Практически реализовать эту идею трудно, поскольку поля скоростей перемещений в предельных состояниях, как правило, оказываются разрывными и обычные процедуры численного интегрирования в МКЭ могут давать при этом значительные погрешности, которые не обнаруживаются без специального анализа. В связи с этим развитие метода конечных элементов в задачах предельного анализа представляется необходимым. МКЭ в задачах предельного равновесия и приспособляемости может базироваться на статической или кинематической теоремах [1, 2], соответствующих методам сил и перемещений при расчетах кинетики деформирования. В трехмерных задачах эти подходы, по-видимому, практически равноценны. При расчетах пластин и оболочек кинематический метод позволяет непосредственно ввести гипотезы Коши или Кирхгофа-Лява и не требует построения поверхности текучести в пространстве обобщенных переменных.

В соответствии с кинематической теоремой теории предельного равновесия [1] предельной является минимальная из всех нагрузок, при которых

Здесь Х„ р1 - массовые и поверхностные нагрузки; йп ёх - скорости остаточных перемещений и

пластических деформаций; /,у = 1, 2, 3; Бц- поверхность разрыва скоростей перемещений на величину Дм,, и, - единичный вектор нормали к этой поверхности; V- объем тела; о;у - напряжения на поверхности текучести.

Скорости остаточных перемещений и пластических деформаций в (1) связаны условием совместности, имеющим при малых перемещениях вид

при соответствующих граничных условиях.

Скорости пластических деформаций связаны с напряжениями на поверхности текучести ац ассоциированным законом течения:

где/Жсгу) - 0 - поверхность текучести.

Соотношения (1)-(3) определяют величины скоростей деформаций и перемещений с точностью до общего множителя. При использовании любого численного метода решения, в том числе МКЭ, этот множитель необходимо задавать. С этой целью можно, например, задать скорость пе-

О.Ф. Чернявский

(1)

(2)

(3)

ремещения и{ одной из точек конструкции. Расчет предельной нагрузки в этом случае будет корректным, только если в действительном механизме разрушения скорость перемещения этой точки является ненулевой и направлена так же, как заданная. В противном случае будет получена верхняя оценка предельной нагрузки, не совпадающая с точным решением. Другой, менее удобный в счете, но более универсальный вариант задания общего множителя основан на задании заведомо ненулевой и положительной работы нагрузок [3]. Если, например, поверхностные нагрузки р, в предельном состоянии связаны с заданными эксплуатационными нагрузками рг соотношением р, ~пррп то можно принять, что

|ргй%<18 = пр |р^Б = пр, то есть |р,йгс£5 = 1. (4)

Минимизация параметра нагрузки при ограничениях (1)—(3) является в общем случае задачей математической теории оптимальных процессов [4]; ее решение требует возможности разрывов поля скоростей перемещений при непрерывных и дифференцируемых скоростях в остальной части тела. Метод конечных элементов предъявляет менее жесткие требования. Можно ограничиться, как это было сделано впервые в работе [3], чисто разрывным решением, считая, что пластические деформации сосредоточены по границам абсолютно жестких элементов. Можно искать решение в классе непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций йг, заменяя разрывы скоростей зонами быстрого, но непрерывного изменения. Оба эти подхода ведут к получению верхней оценки предельной нагрузки, теоретически сходящейся к точному решению только при бесконечном уменьшении размеров элементов и абсолютной точности вычислений. Очевидно, что оптимальным является сочетание непрерывных решений в пределах каждого элемента и разрывных на границах.

Соотношение (1) для плоского напряженного состояния (аг- т2Х= х2у — 0) с учетом дополнительного условия типа (4) в частном случае, когда поверхности разрывов скоростей перемещений и параллельны осям хну (учет произвольной ориентации этих поверхностей в соответствии с (1) не вызывает принципиальных трудностей) принимает вид

пР = Я^А + °у€у + ?хуУху ) ^У + £ | (етхМх + ауМу + тхуАй^ ) (5)

у м

Примем условие текучести Мизеса-Хубера-Генки

/ (о-у ) - а\ - ахау + о* + Ът% -<т23= 0. (6)

В соответствии с ассоциированным законом течения (3)

Гху^ытху\ л>о. (7)

Соотношение (5) с учетом уравнений (6) и (7) можно тогда представить в виде

2 ¿2х+ёх£у+£гу+\г1у +

+

2 I 1 2 2 2 ! 2

(8)

где

¿2х+ехеу + ё2у >0, ^(Айх)2 + ^(Мху)2 >0, Айу)2 + ~(^ух)2 >0. (9)

В соответствии с гипотезой Кирхгофа-Лява для пластин и оболочек

ех = ех + гкх\ еу=ёу + гку\ уху = е^ + гк^. (10)

Скорости перемещений в уравнении (4) связаны со скоростями деформаций условиями совместности и соответствующими им граничными условиями закрепления тела. Например, при изгибе пластины

9 У 2

ех ~ еу - еху ~ ^ Кх - ~Т; Ку ~~ ГТ; Кху ~ Г"' ^ '

у дх2 дуг у дх ду

где - скорости прогибов.

Для пластин произвольного очертания, нагруженных нормальным к поверхности давлением р(х,у), при отсутствии сдвиговых разрывов и постоянном по толщине пределе текучести а$ минимизируемый функционал (8) принимает вид _

Чернявский О.Ф.

Метод конечных элементов в задачах предельного равновесия и приспособляемости пластин и оболочек

/ 2 ^ д

дх'

+

дх2

¿У2

+

г л2 ^

о м>

ду

д1м> дх ду

(12)

И I

'диЛ

д

Кдх)

/

—7= сггк

7з

МУ

ду

сН.

Здесь срединная поверхность пластины; — длина линии разрыва скоростей углов поворота.

Переход к конечноэлементной модели выполняется аналогично задачам упругости и расчетам кинетики неупругого деформирования: выбирается сетка конечных элементов и для каждого элемента скорости перемещений представляются в виде

= / = 1,...,*, (13)

I

где у) - базисные функции, С, - неизвестные постоянные. Примем, что разрывы скоростей перемещений и (или) их производных могут иметь место только на границах элементов. В качестве примера запишем вид функционала (12) ддя конечноэлементной модели:

пр = I

ЕХс.с,

' )

дх2

д~м> _±

дх2

' )

дх2

( ±2

ду

+

+

д2ж

ду'

• )

( & \ д ( а2 Л О У* }

^дх ду^ дх ду V )

10,5

(14)

1С,

чк

дх

V г 1

^ + сгзк

к /ук

7з

дм?

¡к-1

¡к-1

ду

с11.

Здесь к - номер элемента.

В отличие от расчетов упругих тел и кинетики неупругого деформирования при нагрузках, меньших предельной, при минимизации функционала (8) в конечноэлементной модели отсутствуют требования непрерывности перемещений и их производных по границам элементов. Система ограничений задачи включает лишь условия типа (4), (9) и условия закрепления конструкции, записанные с учетом уравнения (13).

С целью уменьшения количества переменных, по которым ведется минимизация функционала, можно «запретить» разрывы тех или иных перемещений (сдвиговых, или нормальных к поверхности разрыва, или углов поворота нормалей и т.д.), как это было сделано, например, при записи функционала (12). Последствия такого шага очевидны: в результате будет получена верхняя оценка предельной нагрузки, не совпадающая с точным решением, если «запрещенные» разрывы реализуются в действительном механизме разрушения. Отличие верхней оценки от точного решения будет зависеть от двух факторов: размеров конечных элементов (с уменьшением размера уменьшается погрешность схематизации разрыва зоной быстрого, но непрерывного изменения) и точности численного интегрирования, уменьшающейся по мере приближения к разрывному решению.

Приспособляемость конструкций лимитируется предельными состояниями двух принципиально различных типов: знакопеременным неупругим деформированием и прогрессирующим с числом циклов формоизменением, то есть накоплением остаточных перемещений (частным случаем последнего является состояние предельного равновесия). Знакопеременное деформирование в предельном цикле является локальным процессом [2]. Определение условий его возникновения в опасной точке не требует решения вариационной задачи и выполняется с помощью достаточно простого критерия [2].

Прогрессирующее формоизменение реализуется, если в соответствии с преобразованной теоремой Койтера, обобщенной на случай произвольных внешних воздействий [2],

Т т

¡Х;Аи,с1Г+ ¡¿т^сТу-ог^) + Я^"^) ■ О5)

^ О АО ^

Здесь Х°9 р] - не зависящие от времени составляющие массовых и поверхностных нагрузок; -напряжения от переменных составляющих внешних воздействий, вычисленные в предположении

идеальной упругости материала; г - текущее время цикла (0 < т < Т); Ай{ - разрывы скоростей перемещений за цикл; Дм, - приращения остаточных перемещений за цикл, связанные с приращениями неупругих деформаций Аеу условиями совместности

^ т т

Аеу =— (Дм1>7 +ДА^ = ¡¿¡/^г, Аиг = (16)

2 оо

и соответствующими граничными условиями. Скорости неупругих деформаций ёг] связаны с

напряжениями на поверхности текучести <уц ассоциированным законом течения (3).

Учитывая, что скорости неупругих деформаций в предельном цикле отличны от нуля лишь в отдельные моменты времени, ограничимся рассмотрением конечного числа дискретных моментов времени цикла Тр (/? = 1,...,«). Число п рассматриваемых моментов времени должно соответствовать реальному числу моментов, в которые е & 0. Оно равно двум при однопараметрических переменных воздействиях и постоянных свойствах материала. С ростом «неупорядоченности» процесса п возрастает и теоретически может стать любым, но практически точное решение не требует рассмотрения большого числа моментов времени. Условие (15) можно теперь записать в виде

Р М Я,

¿Ц/ Аи'г=^Аи^

,07) (18)

(Аи\ - приращение разрыва перемещений за цикл).

В каждый момент времениЛ^) ~ 0, при этом в общем случае (при наличии, например, температурной зависимости свойств материала и ползучести) каждому моменту времени соответствует свое значение предела текучести идеализированной диаграммы деформирования. Приращения деформаций Аеур связаны с напряжениями <тир ассоциированным законом, поскольку в предельном цикле скорости деформаций отличны от нуля лишь в течение сколь угодно малых интервалов времени.

Для плоского напряженного состояния (тХ2 - ту1 = аг = 0) неравенство (17) можно записать в виде

+

(19)

+

( ТхуР ~ Тху]/3 ) + ( тхуР ~ Х^хур ) ки'ухр

Для сокращения записи в условии (19) принято, что поверхности разрывов параллельны осям х и у; произвольная ориентация учитывается в соответствии с уравнением (1),

При условии текучести Мизеса с учетом ассоциированного закона течения правая часть этого неравенства принимает вид

Ш1П

Ни

ур^ур %хУр

Аухур\ + ъЛ^КА)2 + (20)

"К

2\ 2

'(Ди'ур ) + -(Аи'ух/}) - <?§Аи'хр - а{;}ЫуР - (Аи'хуР + Аи'ухр)

Чернявский О.Ф.

Метод конечных элементов в задачах предельного равновесия и приспособляемости пластин и оболочек

Здесь корни из соответствующих сумм неотрицательны согласно ассоциированному закону течения (Я > 0).

Соответственно при условии текучести Треска-Сен-Венана применительно к осесимметрич-ным пластинам и оболочкам (тху = 0)

*Р.

+

Аб

УР

(21)

уР^УР

'Бр

05

Р м

Переход к конечноэлементной модели выполняется теперь так же, как в задачах предельного равновесия:

• Приращение перемещения одной точки или множитель при коэффициенте запаса в выражении для работы внешних сил типа (4) приравнивается к единице;

• приращения перемещений в пределах каждого конечного элемента задаются с помощью базисных функций и неизвестных постоянных в виде (13);

• приращения деформаций в пределах каждого элемента выражаются через коэффициенты при базисных функциях с помощью условий совместности (16), включающих для пластин и оболочек гипотезы Коши или Кирхгофа-Лева в явном виде;

• коэффициент запаса по прогрессирующему формоизменению соответствует минимальному значению функционала (20) или (21).

Таким образом, система ограничений вариационной задачи включает:

• уравнение, конкретизирующее численные значения приращений перемещений (определяемые теоремой Койтера лишь с точностью до множителя);

• кинематические граничные условия задачи (условия закрепления конструкции);

• условия неотрицательности подынтегральных выражений в минимизируемом функционале в каждый момент времени.

При условии Треска-Сен-Венана они обеспечиваются автоматически; при условии Мизеса сводятся к неотрицательности корней в функционале (20).

Система ограничений не содержит - в отличие от упругих и неупругих расчетов при заданной нагрузке - требований непрерывности перемещений и их производных на границах элементов. Такие требования могут быть искусственно включены в систему ограничений с целью уменьшения количества переменных в минимизируемом функционале, но это ведет к получению верхней оценки предельной нагрузки, не совпадающей с точным решением, если исключенные возможные разрывы реализуются в действительном механизме разрушения.

Литература

1. Койтер В.Т. Общие теоремы теории упруго-пластических сред. - М.: ИЛ, 1961. - 79 с.

2. Гохфельд Д.А., Чернявский О.Ф. Несущая способность конструкций при повторных на-гружениях. - М.: Машиностроение, 1979.-263 с.

3. Ржаницын А.Р. Расчет оболочек методом предельного равновесия при помощи линейного программирования// Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. - М.: Наука, 1966.-С. 656-665.

4. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. - М.: Физматгиз, 1961. - 301 с.

5. Чернявский А.О. Практическое применение метода конечных элементов в задачах расчета на прочность. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2001. - 89 с.

Поступила в редакцию 17 апреля 2003 г.