Вывод преобразований Лоренца без использования постулата о постоянстве скорости света Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вывод преобразований Лоренца без использования постулата

0 постоянстве скорости света

1 2 В.Г. Пивоваров , В.В. Пивоваров

1 Факультет менеджмента и экономики МГТУ, кафедра прикладной

математики и естественнонаучных дисциплин

2

Институт Космических Исследований РАН, Москва

Аннотация. Предложена новая система постулатов, позволяющая вывести релятивистское преобразование координат и времени. Вместо постулата о постоянстве скорости света предложен постулат о групповом характере искомого преобразования. Этого оказывается достаточно для получения искомого преобразования, содержащего один свободный параметр в. Физический смысл этого параметра вытекает непосредственно из структуры полученных преобразований и состоит в том, что в - это предельная скорость относительного движения инерциальных систем отсчета. При в =<ж приходим к преобразованию Галилея, при в = с - к преобразованию Лоренца, а при в> с, приходим к случаю, когда скорость света с становится величиной переменной.

Abstract. The new system of postulates, which makes it possible to derive the relativistic transformation of coordinates and time has been considered in the paper. The postulate on the group nature of the required conversion has been proposed instead of the light velocity constancy postulate. This is sufficient for obtaining the required conversion, which contains one free parameter в. The values of the parameter в can be found either from the additional experiments or from the additional physical assumptions.

1. Введение

Известно (Мандельштам, 1972; Пивоваров, Никонов, 1999), что преобразования Лоренца могут быть строго выведены на основе трех постулатов:

• постулат об изотропности и однородности пустого пространства и однородности времени в пустом пространстве;

• постулат об эквивалентности всех инерциальных систем отсчета (ИСО) относительно любых физических процессов, носящий название принципа относительности;

• постулат о постоянстве скорости света, т.е. независимости скорости света в пустоте от скорости источника и от скорости приемника света.

Последний постулат находится в прямом противоречии с правилом сложения скоростей, вытекающим из преобразований Галилея, не имеет прямого экспериментального обоснования и причинного объяснения. Людьми, воспитанными на классической механике, этот постулат воспринимается с определенной степенью недоверия. Все нетривиальные следствия преобразований Лоренца рассматриваются обычно как следствия этого постулата, что также не способствует легкому восприятию специальной теории относительности (СТО). С другой стороны, СТО является фундаментом современной физики, и поэтому любое недоверие к ее основам проектируется на всю физику, что крайне нежелательно. В силу этого имеет определенный смысл отказаться от третьего постулата Эйнштейна и заменить его более естественным.

В качестве такого постулата может выступить предложение о том, что два последовательных преобразования координат и времени всегда могут быть заменены одним преобразованием. Это означает, что если координаты и время какого-либо события в ИСО а с помощью преобразований связаны с координатами и временем этого же события в ИСО Д а последние с ИСО у, то всегда найдется такое преобразование, которое сразу же связывает координаты и время рассматриваемого события в ИСО а с координатами и временем этого же события в ИСО у. Это свойство преобразований является отражением их групповых свойств, что означает, что эти преобразования образуют группу. Более подробно об этом говорится в Приложении 1.

2. Формулировка задачи

Предположим, что имеется бесконечное число ИСО а, Д у..., в которых рассматриваются различные физические процессы. Элементом любого процесса является событие - физическое явление,

длящееся настолько недолго, что его длительность можно принять за мгновение, и занимающее так мало места в трехмерном пространстве, что его можно принять за точку. Это позволяет событие в выбранной ИСО характеризовать четырьмя упорядоченными числами: тремя пространственными координатами - x, y, z и одной временной координатой t. При изучении какого-либо конкретного события в каждой из ИСО будем характеризовать это событие такой упорядоченной четверкой чисел (координат). Нас интересует закон, позволяющий связать между собой два любых набора координат одного и того же события, измеренных в двух произвольных ИСО а и ß. Необходимость в таком законе возникает в физике постоянно. Для нахождения закона, связывающего координаты и время одного и того же события в двух различных ИСО, будем предполагать, что

• пустое пространство однородно и изотропно, а время однородно и однонаправлено;

• все ИСО равноправны между собой с точки зрения описания любых физических явлений;

• искомое преобразование образует группу.

3. Вывод преобразований

Рассмотрим две произвольных ИСО а и /ÜB самом общем случае координаты и время одного и того же события в ИСО а - (xa,ya, za, ta) и в ИСО ß - {xß, yß, Zß, tß) могут быть связаны соотношением вида

Xß= fl(x о, ya> zan ta> paß), zß = f3(x os ya> zca ta, paß), (1)

yß=f2(xa, ya, za, ta', paß), tß = J4(xa, ya, z a, ta', paß),

где paß - параметр, отличающий пару ИСО а и ß от всех других пар. Как мы увидим ниже, в качестве такого параметра может выступать скорость относительного движения систем а и ß.

Ограничения, накладываемые на вид функций f (i = 1,2,3,4) в (1) первым постулатом, приводят к тому, что допускаются только линейные функции по координатам и времени (Мандельштам, 1972; Пивоваров, Никонов, 1999). Чисто геометрическими преобразованиями (сдвигами и поворотами) произвольно расположенные друг относительно друга ИСО а и ß можно привести к стандартному расположению, когда обе ИСО в первоначальный момент времени геометрически совмещаются друг с другом, а в последующие моменты времени расходятся вдоль общей оси x„, xß со скоростью Vaß. Принимается в этом случае, что часы, расположенные в начале координат каждой из ИСО, в момент совпадения систем показывают время ta= 0 и tß= 0. Такой выбор стандартных ИСО не приводит к уменьшению общности и позволяет свести искомое преобразование к виду:

xß = a\xa+ Ü2ta yß = ya (2)

tß = b\xa + Ö2ta Zß = Za.

Коэффициенты преобразования ab a2, bb b2 в (2) неизвестны и их предстоит найти, используя сформулированные выше постулаты. В Приложении 2 показано, что один из коэффициентов остается неопределенным и может быть найден только из дополнительных предположений. Можно считать, что коэффициенты ab a2, bb b2 являются функциями параметраpaß, так что

a: = a: (paß), a2 = a2(paß), b = b (paß), b2 = b2 (paß).

Наша задача выразить через параметр paß и свободный коэффициент все остальные параметры. Для этого запишем первые два уравнения в (2) в матричном виде, вводя векторы-столбцы

(f xa , ( a\ a2

^ p j и ^ ^ j, а также матрицу преобразования Taß= ^ b b ) .

( xß] ( xa Л

У tß) = Taß l ta)

Тогда систему из первых двух уравнений (2) можно переписать в виде

( x ^

= Taß [ x« j , (3)

Выделим явную зависимость Taß от параметраpaß

Taß = T(p aß).

Ниже в качестве параметра, который отличает одну пару ИСО от другой, выберем скорость движения VaßHCO ^относительно ИСО а. На первый взгляд кажется, что имеется несколько таких параметров: скорость Vaß ИСО ß относительно ИСО а; скорость Vßa ИСО а относительно ИСО Д

и два параметра, связывающие стандарты длины e" с еД и стандарты времени eta с

a?? = e?/e?; а«р = e?/e?,

которые мы назовем коэффициентами перехода.

Однако в Приложении 3 будет показано, что всем трем постулатам удовлетворяет только такой набор ИСО, в котором все системы отсчета имеют один и тот же стандарт длины и стандарт времени, так что коэффициенты перехода

а?* = 1 и ataii = 1.

Что касается параметров Уар и Ура, то очевидна их функциональная зависимость, так как ясно, что при и Vра ^ 0, а при V'ар —> 0 и Vра —> 0. Несмотря на то, что о priory эта функциональная связь нам неизвестна, можно считать, что из двух Vap и Vpa только один параметр является независимым. Вот почему мы с самого начала ограничились только одним параметром pap. Получим уравнение на матрицу преобразования, вытекающее из третьего постулата. Для этого рассмотрим три ИСО а, Р и у и произвольное событие, координаты и время которого в каждой из этих ИСО (xa ta); (xp tp); (xr tr), a параметры отличия pap; paf; ppf.

С помощью матрицы T можно написать

(t; = ^ {tr (4)

На основе третьего постулата можно также написать, что

'X:) = T« ((5)

Отсюда вытекает уравнение на матрицу T

Т(Ра7) = T(ppr)-T(pap). (6)

Это матричное функциональное уравнение и является математической формулировкой третьего постулата. Известно, что общих методов решения функциональных уравнений даже для скалярных функций нет, тем более их нет для матричных функций. Обычный метод их решения, иногда приводящий к успеху, связан с получением соответствующего дифференциального уравнения. В Приложении 4 показано, как от уравнения (6) можно перейти к дифференциальному уравнению, которое имеет вид

dT{£)ld£= T(£)-dT(0)/d£ (7)

Здесь вместо pprвведена новая переменная ¿¡, связанная с ppr соотношением

£(pßj) = cj dp/S(p), (8)

где

S(p) = liniS par / д paß. (9)

Кроме того " p

dT(0) /d£ = [dT(p)/dp]|p = 0. (10)

Удобно вместо матрицы dT(0) /d^ ввести другое обозначение A:

dT(0) / d^ = A. (11)

После этого уравнение (7) примет вид

dT(£) / d£= T(£)-A, (12)

где А - числовая матрица, не содержащая параметра отличия одной ИСО от другой. После всех переобозначений и замен параметром отличия стал параметр £ который выражается через р, ар заменяет собой рр7. Константа С в (8) выделена в явном виде для того, чтобы иметь возможность обезразмерить параметр £ Решение дифференциального матричного уравнения (12) можно записать в виде

7(3 =ехр(АЗ=£ Ак£к/ к! (13)

к=0

Для упрощения матрицы диагонализируем матрицу А:

А=Р-АР"1. (14)

Здесь Л - матрица собственных чисел матрицы А: Л = { ^ 0 , (15)

V 0 Л2 )

Р - матрица собственных векторов Р1 и Р2 матрицы А, соответствующих собственным числам и Я2:

Р = (Р Р),

а Р"1 - матрица, обратная матрице Р, такая что Р-Р"1 = Р_1-Р = Е - единичная матрица.

В Приложении 5 показано, что матрицу преобразования Т(£) можно привести к виду

7X5) =Р-еМ^=Р { ^ ехр(^) ) Р_1. (16)

Возвращаясь к матрице преобразования от ИСО а к ИСО Д, перепишем (16) в виде

Т(Р N = Р ( еХР(^-1^«Д) 0 ^ р-1 (17)

= Р { 0 ехр(^«Д ^ Р . (17)

Подставляя (17) в исходное функциональное уравнение для Т, получим правило "сложения скоростей"

%аГ= %ар + (18)

Мы взяли в кавычки слова "сложения скоростей", потому что в форме (18) трудно увидеть формулу релятивистского сложения скоростей. Однако, когда мы выразим £ через У, и подставим в (18), то формула сразу же получится в общепринятом виде.

Выразим ^ через относительную скорость ИСО а и Д. Для этого представим Р в виде

Р = ( Р1 Р2 Л V 41 42 )'

Тогда

Р-1 = ( 2 ~Р2 V Бе! Р, I -21 Р1 )

где Бе! Р = р^2 - 21р2 - определитель Р. Подставляя Р и Р"1 в (17), получим следующее матричное уравнение, связывающее координату и время одного и того же события в ИСО а и Д:

ГХ^ = ГГР1 РгЛ Г 0 ^ Г 22 -21 } (хЛ1 , Пе. Р (19)

I = 1.2 ?2; Iо 1-^2 Р1; ^ и\' °е! ()

Отсюда после перемножения матриц и преобразований, получим:

Хр = [ехр(^2 %ар )/(С1 - С2)]{(С1 ф - с2)Ха - ^(^1)4}, (20)

гр = [ехр(^2 %ар)/(С1-С2)]{(^-1)Х„+ (С1-С2^)/„>,

где через ф, с1 и с2 обозначены ф = ехр [{Х1 - Л2)^ар]; с1 = Р1/д1; с2 = Р2/ц2. Свяжем теперь Е,ар с Уар. Для этого рассмотрим событие, состоящее в приходе в момент в точку ха начала ИСО Д (хр = 0). Из первого уравнения (20) при Хр = 0 получаем

ХаНа= [С1С2(^-1)] / (С1ф~ С2). (21)

Но х„ На = Уар - скорость движения ИСО Д относительно ИСО а. Как это принято, опустим индексы а и Ду скорости Уа/?, так что Уар = У, тогда

У = С1С2(0-1)/(С20- С2). (22)

Разрешая (22) относительно ф, получим

ф = (1-У/С1)/(1-У/С2). (23)

А так как ф = ехр [{Л1 - Л2) ¿¡ар], то

= [1/(Л - Лг)] 1п|(1 - У/С1)/(1 - У/С2)|. (24)

Заменяя ф и в матрице преобразования, которую в соответствии с (20) можно записать в виде

т^,)=[ехр(^) / (С1- С2)]( С1^_"1С2 "С;^ ), (25)

после преобразований получим

Т(У) = (1-У/С2)ХЧХ2-ХГ) (1-У/С^2/(^2) { ...1 , т„ ) , (26)

I У/С1С2 1-У(С1+ С2)/ С1С2 ^

Если теперь воспользоваться изотропией пространства, то приходим к условиям на коэффициенты С1, С2, Л1, Л2 (см. Приложение 6)

с1 = - с2 = в, Л1 = - Л2. (27)

После чего матрица преобразования принимает вид

Т(У) = (1-¥2/вУ2{ ^2 "У ) , (28)

или для координат и времени

хр = (ха- У1а)(1 - У2!в2)1'2, = (1а- Ухс/в2)/(1 - ¥2/6>У2. (29)

Параметр в - единственный неопределенный нами параметр. Однако видно, что он имеет размерность скорости. Кроме того, это предельная скорость, допускаемая структурой соотношений, при У > в соотношения теряют смысл.

Если в = со, (29) переходит в преобразование Галилея

хр = ха- уга, га = (30)

Если в - скорость света, приходим к обычным преобразованиям Лоренца. Если же в> 300 000 м/с, скорость света становится величиной, переменной при переходе от одной ИСО к другой.

4. Некоторые следствия полученных соотношений

1) Если подставить (29) в выражение (18) с учетом (24), то получим правило сложения скоростей. Действительно:

= [1/(Я1-12)]1и[(1 - Уар/в)/{ 1 + УарЩ, = [1/(Л-Л2)М(1 - Уат1в}/{\ + Уат1в}], %ру = [1/(Я1-12)]1и[(1 - Уру1в)/{\ +Ург19)\.

Подставляя эти выражения в формулу I; ау = % рг + %ар, получим

(\-Уаг1в) /(1+ Уаг1в) = (1 -Уар1в) /(1+ Уар1в) ■ (1 -Ург1в) /(1+ Ург1в).

Разрешая это уравнение относительно Уау, получим:

УагЮ= (1-1)1(1+/), где/ = (1 -Уар1в) (1 -Ург1в) / (1+Уар/в) (1+Уру/в).

Подставляя значение/, после простых преобразований приходим к равенству

Уаг = (Уор+ Ург) / (!+ У ар Ург' ^2).

В частном случае, когда ИСО а и ИСО у тождественно совпадают, что означает Уау= 0, из последнего

уравнения получаем результат, который во многих учебных руководствах считается самоочевидным

уар= ~ура.

2) Напомним, что у Эйнштейна имелись серьезные основания с самого начала постулировать постоянство скорости света, хотя они и не базировались на прямых экспериментах по измерению скорости света в разных ИСО. Эти основания связаны с электромагнитной теорией Максвелла. С одной стороны, в рамках этой теории было показано, что свет представляет собой чисто электромагнитные волны, занимающие определенный спектр частот. С другой стороны, электромагнитные волны для своего существования не требуют никакой среды и могут распространяться в пустоте. При этом скорость распространения в пустоте достигает вполне определенной конечной величины в той ИСО, в какой эти уравнения справедливы, и может быть представлена через параметры пустоты ¿0и с помощью соотношения с = 1/(^о^о)1 , где г0= 8.85-10"12 Ф 1м - электрическая постоянная, а = 4п- 10-7 Гн/м - магнитная постоянная.

Многочисленные экспериментальные данные говорили о том, что уравнения Максвелла сохраняют свой вид во всех ИСО, а единственным видом преобразований координат и времени, оставляющим вид уравнений Максвелла неизменным, являются преобразования Лоренца, что означало с неизбежностью постоянство скорости распространения электромагнитных волн во всех ИСО.

Исходя из абсолютного доверия к электромагнитной теории Максвелла и перечисленных фактов, Эйнштейн постулирует принцип относительности для электромагнитных процессов, постоянство скорости света и показывает, что единственным видом преобразований координат и времени одного и того же события от одной ИСО к другой являются преобразования Лоренца, которые и должны заменить существовавшие до этого преобразования Галилея. Заметим, что опираться на экспериментальные данные Майкельсона и Морли по измерению скорости движения Земли относительно светоносного эфира в этой программе у Эйнштейна не было никакой необходимости. А раз это так, то нет ничего удивительного в том, что в своей работе (Эйнштейн, 1965) он и не упоминает эти эксперименты. Несмотря на то, что имеющиеся экспериментальные

данные не противоречат постулату о постоянстве скорости, у нас нет оснований считать, что таких экспериментальных данных никогда не появится. Эксперименты, которые проводились с электромагнитными волнами до настоящего времени, жестко привязаны к определенным физическим условиям, создаваемым Землей. Мы не знаем скоростей распространения всех видов волн: гравитационных, ядерных. Нам неизвестны скорости электромагнитных волн в пустоте, так как измерения проводились не в пустоте, а в областях, заполненных гравитационными и другими полями, различным веществом. Плохо изучено также воздействие физического вакуума, который является определенной составляющей материи, на различные виды излучений, в частности, на электромагнитное излучение. Без сомнения, константы е0 и |д0 отражают не свойства пустоты, а свойства того физического мира, в которых эти константы экспериментально определены.

С нашей точки зрения, любая из используемых нами констант заслоняет собой огромный мир наших незнаний и по мере уменьшения этих незнаний число используемых нами в настоящее время констант будет уменьшаться (но возможно появятся новые). Поясним нашу мысль следующим примером. Многие термодинамические параметры были введены эмпирически и получили свою расшифровку с развитием молекулярной физики. Целый ряд механических констант (коэффициенты упругости, трения, сопротивления среды) также получили свое объяснение на основе атомной и молекулярной физики.

Вот почему предлагаемый нами вывод преобразований Лоренца представляет определенный

интерес. Приложение 1

В связи с использованием в работе понятия группы, напомним определение этого математического понятия (Математический энциклопедический словарь, 1982).

Пусть G - произвольное непустое множество, на котором задана бинарная алгебраическая операция, т.е. для любых двух элементов а и в из G определен некоторый элемент (обозначаемый например а о в) также из G. Если при этом выполняются условия:

1*) (а о в) о с = а о (в о с) для любых а, в, с из G;

2*) в G существует такой элемент е (называемый единицей, иногда нейтральным элементом), что а- е = е- а = а для любого а из G;

3*) для любого а из G существует такой элемент а'1 (обратный к а элемент), что а - а'1 = а'1 ■ а = е, то множество G с заданной на нем операцией "о" называется группой.

В рассматриваемом случае множество G - это множество всех преобразований (29). Операция "о" - это матричное умножение одного преобразования на другое. Убедимся в том, что действительно выполняются все условия, сформулированные в определении.

Прежде всего, рассмотрим два последовательных преобразования Т(Ур}) и Т(Уа-р), которые преобразуют координаты и время произвольного события в ИСО а в координаты и время того же события в ИСО Д, а затем в ИСО у: Т(Ур})- Т(Уар). Всегда существует такое преобразование Т(У„Г)

У«г= (Уар+Ург)/(1+Уар-Ург1

которое сразу же преобразует координаты и время из ИСО а в ИСО у, при этом

Т(Уаг) = Т(Ург)-Т(Уар).

Именно из этого требования и было получено правило сложения скоростей.

Далее заметим, что

1) выполнение условия 1* обеспечено свойством произведения квадратных матриц;

2) во множестве G имеется единичный элемент Е = ^ ^ 1 ^ , который соответствует преобразованию

с нулевой относительной скоростью;

3) в качестве обратного элемента для Т(Уар) выступает элемент Т(Ура), или иначе: прямому элементу Т(У) обратным является Т(—У), в чем легко убедиться непосредственно:

Т(У) -Т(-У) = Т(-У) Т(У) = Е.

2 2 1/9 ( 1 — УУ ^

Таким образом, множество всех преобразований Т(У) = (1-УЮ )- ^ у/д2 1 ) образует группу. Приложение 2

Линейное преобразование координат и времени от одной стандартной ИСО к другой содержит четыре произвольных параметра. Покажем, что требование изотропии пространства позволяет

определить три из четырех параметров, оставляя свободным только один из этих параметров, который должен находиться из дополнительных соображений.

В случае одномерной пространственной задачи постулат об изотропии пространства означает, что при инверсии пространственной координаты (т.е. при зеркальном отражении физического пространственного процесса) никакие законы не должны изменяться. Применительно к преобразованию координат это означает, что при зеркальном отражении всех систем и их движений друг относительно друга закон преобразования координат

( ( ха"\

У ^ ) _ ТаП ¿а)

должен оставаться неизменным.

Если теперь в отраженной картине сделать замену х ^ -х во всех системах, то в матрице преобразования

Т (А = Г Т- (3 Т* (3 ^

т*Р($) ^ тх (з у (а ;

внедиагональные элементы изменят знак, а диагональные останутся без изменения. Обозначим операцию изменения знака крестом (+), тогда будут иметь место равенства

Т хх_т*х т ^_т^ Т *_ Т* Т _ Т*

Действительно, до преобразования

хР= ТХХ-ха+Т*' ■ta, Т* ■х0+ТХ4а.

После преобразования же

хР= Т+ ' ха~Т+ 'ta, = ~Т+ ' ха+Т+ '¿а .

Инвариантность преобразования в силу произвольности события означает, что должны быть равны тождественно коэффициенты при ха и ¿а в обеих системах. Отсюда

Т хх_т*Х. т *__Т Т __Т* Т ^_Т^

Как было показано выше, общий вид преобразования, удовлетворяющий функциональному уравнению (6), имеет вид

т _ [е2 / (С - ся{ С2(е1/е/2"1) ] ,

V е1/ е2-1 с1 - с2 е1/ е2 )

где е12 _ ехр(Я12 Это означает, что параметры с1, с2, Л1, Л2 связаны равенствами

с1е1 - с2е2 _ с1е'1 - с2е'2, е1 - е2_ —(с\ — с2), с1е2- с2е1 _ с1е'2- с2е'1,

где е1,2 = ехр(^1,2 £), а е'и_ ехр(Л.и £').

Из первого и третьего соотношений имеем

(б1 - е'О с1 _ с2(б2- е'2), (б1 - е'О с2_ с1(б2- е'2).

Отсюда (с1- с2)(с1+с2) _ 0. Но с1 Ф с2, т.к. Бе! Р Ф 0, поэтому с1 _ - с2_ в. После чего получаем еще два соотношения

Л1 _ -Л2 _ Л и £ _

Подставляя это решение в выражение для Т(^), после преобразований приходим к выражению

_ ( 6>$М£ )

(<?) I ¡ыл/0 сь^ ) .

Так как параметр Допределен с точностью до числового множителя, то, переобозначая Л1; Д, получим

. _ ( сЬ£ ^

(<?) I сЬ£ ) .

Таким образом единственным свободным параметром преобразования Т(^) после выполнения требования изотропии пространства остается параметр в. Параметр £ мы выразим через скорость ИСО Р относительно ИСО а. Для этого, используя выражение для Т(^), получим следующие уравнения

хр _ х„сЬ£ + в ^Ь^, ¿р _ (ха/в) • + .

Рассматривая событие, состоящее в приходе начала координат ИСО Р в точку с координатой ха в момент ta, получим, учитывая, что хр = О

У = хаиа = -в или ш 5= -У/в.

Отсюда

5= 1п [(1-У/6)/(1+У/6)] /2.

Если вспомнить, что мы переобозначили £ то заменяя -XI; ^ Е,, получаем выражение, совпадающее с полученным ранее (см. (24) с с2 = -с1 = #).

Приложение 3

Рассмотрим в этом приложении вопрос, связанный с выбором стандартов длины и времени. Известно, что выбор стандартов в ИСО выполняется совершенно независимо от выбора аналогичных стандартов в других ИСО. Но перед установлением вида преобразования, связывающего координаты и время одного и того же события в разных ИСО, необходимо согласовать эти стандарты между собой. Такое согласование можно выполнить на основании принципа относительности. Выбирая в качестве универсальных стандартов длины и времени длины волн и период электромагнитного излучения, испускаемого тождественными атомами, покоящимися каждый в своей ИСО, мы можем вообще сделать стандарты одинаковыми. Однако сейчас нас интересует вопрос о требованиях, накладываемых на стандарты длины и времени в сравниваемых ИСО тремя постулатами, положенными нами в основу вывода преобразований.

Мы воспользуемся видом преобразования, полученного нами в Приложении 2

. = ( ^ (?) I ) .

Рассмотрим сначала бесконечное множество ИСО с одинаковыми стандартами длины и времени, для которых преобразование Лоренца заведомо справедливо. Произвольно изменим стандарты каждой из ИСО:

Ху ^ е1 tу ^ et 'tу .

Обозначим исходные ИСО через ха, ta, а ИСО с измененными стандартами через ха, 4, тогда для ИСО из первоначального набора справедливо соотношение

( хр Л _ гр/ а ( ха ^

I н) =Т(а I га).

Заменим хр, ха, tp ta на хр ха, tp ta в соответствии с их определением:

хр = Хр/ еД ха = ха/е"; tp= 7р/е/; ta = 7а/е"

в формуле преобразования, тогда

(*р/ еЬр\ _ ( Т* ^ ( ха/е,а ^

V 7р/еР ) = I Т- Т* Я 7Ж ) .

Отсюда

~хр = Гх еД е,а + 7аТ1 е?/ еД 7р = хаТ*еД е,а + 7аТ« е?/ еД

Так что матрица преобразования для измененного набора ИСО принимает вид

= ( Тхх еД е¡а Т1 еД е? \ Т У Т* еД е,а Т1 еД е° ) '

Принцип относительности требует, чтобы матрица преобразования зависела лишь от относительных величин, а не по отдельности от величин, связанных только либо с ИСО а (еД, еД), либо с ИСО Д (еД еД). Это означает, что отношения стандартов могут зависеть только от £, т.е.

еР / е,а = щ (£), еР/ е? = щ (£), е// е,а = щ (£), е// е? = щ (£). Из этих соотношений следует, что

щг/ уи = еДеД

Левая часть этого уравнения зависит только от £, а правая от параметров ИСО а (ниже будет показано, что на самом деле такой параметр только один). Это возможно только в том случае, если

щ (£) /щ(5) = е?/е,а= и,

где U - const. Так что

Wk (£) = Щ (¿)/U.

Аналогично

Щ(ЛШ(£) = ef lef = V. Но независимость eta/e¡a от «означает, что и для ИСО Ротношение ef/ef также равно U. Поэтому

V = 1/U и щ(£) = U щ(£).

Далее

щ (£) / ^ (£) = (e// e") -(eta/ e/) = U/U = 1, Vtt (<í) = Vn (£).

Обозначая у/ц(£) через y/(%), найдем

f Txx Txt/U ^ T(4) = V(%) ^ TtxU TJ .

Подставим полученное выражение в функциональное уравнение для Т: Получим

,, ) ( Tarxx Tarxt/U} = ) ) Г TpX Tfirxt/U } (

taf¡aí ta/í a/u Л _

^ У UTJ Ta; J ^Шар) у uTp* Tfy A UTJ Tap )

f rp xx rp xx I rp xt rp tx /rp xx rp XX\>p xt rp tt\ ITT \

= l//^ W^ ) 1 'LaP + lPr'laP \LPr ■ LaP + lpr-lap)lU I

tx^dPy) Y\bap} т л rp xx rp tx , rp tt rp tx\ rp tx rp xt , rp tt rp tt •

V U(T ap 'T Р/ + T Pr ' T ар ) T pr ' T ap + T py ' T ap ■>

Это матричное равенство эквивалентно четырем алгебраическим равенствам

Ц^^ау) Тау*_ УК£р>) ТРу*' Та/Г+ТРу 'Тар X

УК^а^ Тау _ ЧК^Р^) И^оД ТРу*- Та/3 +Т& 'Тар ),

Таг _ И^Д») Та/Г- ТРу +ТРу 'Та/} X

ТаГ _ УК£аР)( Тр1 ' ТаР +ТРу 'Тар ).

С другой стороны, если в функциональное уравнение подставить Т, действующее на координаты и время неизменённых ИСО, мы придем к соотношениям между элементами матрицы вида

гр хх _ гр хх гр хх,гр х! гр !х гр х! _ гр хх гр х!,гр х! гр й

1 ау = 1 Ру • 1 ар +т Ру ар , 1 ау _ 1 Ру ' 1 ар +1 Ру '1 ар ,

гр 1х _ гр хх гр ^(¡гр И ^ 1х гр Ц _гр 1х гр ххХ\гр Ц ™ 11

1 ау _ 1 ар • 1 Ру +1 ру •1 ар , 1 ау _1 Ру ' 1 ар +1 Ру '1 ар .

Сравнивая с предыдущими соотношениями, приходим к равенству

Щ(£ау)= у/(£ру)-Щ(£ар). Используя равенство (18), получаем функциональное уравнение на функцию у/

¥(%рг+£ар) = ¥(£ру> у/(£ар).

Его решение имеет вид

= ехР(^1).

Таким образом, матрица преобразования для ИСО с измененными стандартами принимает вид

тугч г /ч_1_\е// м ( С1 ф~ С2 -С1 С2(ф-1)-1/и Л т _ [ехр(Я2+Ж/ (С1 - С2)]1 и(5- 1) С1 -С2 Ф ) .

Вводя скорость относительного движения V, получим

ф _ (1 - ¥П/с:)/(1 - ¥П/С2).

Но так как ф _ ехр{(Я1 - ^2)^}, то

[1/(Я! -^2)]-1п[(1 - Уи/ С!) /(1 - Уи/ С2)] , ПУ, _ (,-иу,с) (!-иу,С2) ( и2у1,С2 1-иУ(с;Гс2)/с1С2 ] '

Требование изотропии (х ^ —х, У ^ -У) приводит к равенству

(= f (V) ( 1 -V ^ ( хаЛ

I tp) J ( ) I U2Vl€iC2 1-UV(C1+ C2)/CiC2 Л ta) '

где f (V) = (1-UV/c1)(12+^)/(11"12)- (1-UV/c2)(11+^)/(12"21).

(-Xp\ = f(_V) Г 1 V V

I tp ) J ( ) I -U1V/C1C2 1 + UV(C1+ C2)/CjC2 Я ta ) .

Сравнивая эти два матричных равенства, приходим к двум независимым уравнениям

f (V) = f (-V),

f (^[1-(UV/C1C2)(C1+C2)] = f (-V)[1+(UV/dC2)( C1+C2)]. Из второго уравнения с учетом первого вытекает

C1 = -C2 = в-U.

Из первого при учете полученного соотношения между c1 и c2 получаем

(1_V/6)12^ / (^1 _12)(1+V/g)11^ / (^2~ ^1) = (1 + V/5)(12+^) / (^1 _12) (1_V/g)(^1+^) / (^2-^1)

Отсюда

Л.1 + Я2+ 2^= 0.

Так как для ИСО с одинаковыми стандартами должно выполняться условие ^-1 + ^2=0, то отсюда с неизбежностью вытекает ^=0 и у/{£) = = 1.

После этого преобразование примет вид

T(V) = (1-v2/^2)-1'2 [ v/v "v ) .

Но так как if/(g)= щ = ef / eja = 1, то ef = e", и аналогично ef = eta, так как = у/ц =1. Поэтому три постулата, накладываемые на вид преобразования, требуют равенства всех стандартов в сравниваемых ИСО.

Приложение 4

Функциональное уравнение (6) на матрицу преобразования

T(par) = T(ppr)-T(paß),

мы преобразуем в дифференциальное уравнение. Для этого продифференцируем левую и правую части этого уравнения по pap, предварительно сделав ряд вспомогательных замечаний:

• параметр pay является функцией параметраpap, т.е.

Pay = par (pap , ppj);

• параметры ppr и pap выступают как независимые переменные;

• если а ^ ß, то pay ^ ppr, а pap ^ paa . Эту константу можно выбрать произвольно. Поэтому примем, чтоpaa= 0. Тогда а^ ßэквивалентноpap^ 0;

• в силу сделанного замечания относительно параметра pay, можно написать

dT(par)/dpap = (dpaJdpap)-dT(paf)/dpay.

Тогда, дифференцируя исходное равенство, получим

(8par/dpaß)-dT(par)/dpar= T(ppr)-dT(pap)/dpaß.

Заметим, что вид функции dT(p„r)/dpar от par полностью идентичен виду функции dT(pap)/d pap от pap , т.е. можно написать, что dT(paj)/dpay= <p(par); dT(paß)/dpaß = (p(paß).

Перейдем теперь в дифференциальном выражении к пределу а^ ß. При этом

(Р (par) ^ (Р (ppr), dT(pap)/dpaß ^ (р (0).

Обозначая ppr через p, получим

S(p)-dT(p)/dp = T(p)-dT(0)/dp, где S(p) = lim dparldpap, а dT(0)/dp = lim dT(p) Id p.

a^ß p^Q

От независимой переменной р перейдем к новой независимой переменной £

р

С I dp/S(p),

о

где С - произвольная постоянная, позволяющая обезразмерить ¿¡.

Так как ё^(р) /С _ йр, то после подстановки вместо йр его выражения через Л; приходим к уравнению

йТ(§/й£, _ Т(£)-йТ(0)/й£

При этом мы откалибровали S(p), положив S(0) _ 1.

Приложение 5

Рассмотрим решение матричного дифференциального уравнения

йТ{^)/й^_ Т(£-А,

где А - числовая матрица. Решение этого уравнения можно записать в виде

Т(£ _ ехр(А^).

Эта формальная запись означает, что правую часть можно записать в виде бесконечного ряда по степеням А£ т.ч. ш

Т(£) _ £Лк (£к /к!).

к_0

Если А записать в виде А _ Р Л Р1, где Р - матрица, составленная из собственных векторов матрицы А: Р: и Р2, так что Р _ (РР2), а Р - матрица, обратная Р, т.е. такая, что РР1 _ Р"1Р _ Е - единичная матрица, матрица Л -диагональная матрица собственных чисел

А _ ( Л1 0 ^

Л _ I 0Л2 ) ,

то этот бесконечный ряд можно свернуть и представить в более обозримом виде. Действительно,

к раз

Ак_ (РЛР-1)к_ (РЛР"1) (РЛР"1)......(РЛР"1) _ РЛкР"1,

к раз

но лк _ ^ 0 1к _'и 0^ и 01 и 0^ _(л,к 0 1 но л _ 10 ь) у 0 ^; 10 ^;....... 10 ^; I 0 л*),такчто

_и( (А^ /к! 0 ^ р-1

Ак ^ /к! _ Р С 0 ■ (^ ПА) Р

Подставляя это выражение под знак суммы, получим для Т(£)

ш ( (А^к/к! 0 1 ТЕ (А^/к! 0 1 ( 01

ТО) _ Е Р| I Р_1_ Р 1к_0 „ I Р_1_ Р| I Р"1.

к_0 10 (^к /к\) У 0 £ (^2^)к/к! ) К0 ех£)

к-0

Пусть матрица Р = {р Р21 , тогда Р"1 = { 42 41 1 /Д где Б - определитель матрицы Р.

V Ч: 42) V -р2 Р: )

Б = Р1Ч2 -41Р2.

Перемножая матрицы и преобразовывая, можно Т(^) привести к виду

вд_ [ехр,««,-С), ( С2 -ССС;^7> ],

где с: _р1/ч1; с2_р2/ч2; ф_ ехр^-А)^. Если ввести обозначение е12_ ехр(Я12 то матрицу преобразования можно записать также в виде

Т(£ _ [1/(с1 - С2)] { С! е1" С2 е2 "С! С2(е! " е2) 1 .

V е: - е2 С е2 - С2 е: )

Приложение 6

В соответствии с (26), матрицу преобразования можно записать в виде

Т(У) = (1-У1с2)кУ{Х1'Х1) (1-К/С1)^2) { УС , т/, ),

V У1С1С2 1-У(С1+ С2)/ С1С2 )

Так что

где

(Xß\ ( 1 -Vaß \ (xa\

I I = f (Vaß) I II L

l tß) \ Vafjci02 1-Vaß(ci+ С2УС1С2 ) У ta)

21/ (22-21)n T/ I \ 22/ (21-22)

или

/ (Уар) = (1-^/С2Г' КА2-А1)(1-Уар1С1)

ХР=/(Уар)Ха~/(УаД)' Уa/}^ta,

*Р = /(Уар)(Уар/С\С2) Ха+ /(Уа/})(1- УаДС1+С2)/ С^)^ (а)

Изотропия пространства требует, чтобы при замене ха^ -ха; Хр ^ -Хр и Уар ^ -Уар преобразование сохранилось, т.е.

-Хр = -/ (~Уар)Ха+ А-УсфУУа/} '(а , (р = /(~Уар)(Уар /С1С2) Х„ + /(~Уар)(1+Уар(С1+С2)/С1С2)(а. (б)

Сравнивая (а) и (б), приходим к двум уравнениям

/ (Уар) = / (-Уар),

/(УаД1-УаД С1+С2)/ С1С2) = А~Уар)(1 + Уар( С1+С2)/С1С2).

Из второго соотношения с учетом первого получаем

С1 = -С2 = в ,

а из первого с учетом найденных С1 и С2

(1+Уа/?/6)11/ (12_11)(1-Уа/?/ #)12/ (11"12) = {1+Уар/в)Х2/(Х1~Х1){1-Уар/0)(12_11),

отсюда

(1 _ Ур / 5)[12/ (А1 -22)]-[ 21/ (22-21)](1+У^ / ^ ) [21/ (22 - 21)]- [22/ (21 - 22)] = 1

и после преобразований получаем

[(1-Уа/?/0)/(1+Уа/?/0)](11+12) / (11"12) = 1.

Это равенство при всех У возможно только тогда, когда

^-1+^-2 = 0 или = -Я2.

Подставляя найденные значения Я,, С,- (г = 1,2) в выражение для Т(У), приходим к выражению Т(У) = (1+У/в)~1'2 (1-У1в)~т [ _У^2 "У ) = {1/[1-(У/6)2]1/2} "У ] ,

что по форме полностью идентично преобразованиям Лоренца. 5. Заключение

Таким образом, показано, что постулат о постоянстве скорости света может быть заменен более общим предложением о групповом характере искомых релятивистских преобразований. Значения параметра в можно найти либо из дополнительных экспериментов, либо из общефизических дополнительных предложений.

Литература

Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М., Наука, с.440, 1972. Пивоваров В.Г., Никонов O.A. Методологические аспекты вывода преобразований Лоренца при

выборе стандартов длины и времени. Вестник МГТУ, т. 2, № 1, с.119-125, 1999. Эйнштейн А. К электродинамике движущихся тел. Собрание научных трудов. М., Наука, т.1, с.14-26, 1965. Математический энциклопедический словарь. М., Наука, т.1, 664 е., 1982.