CC BY
57
Методологические аспекты вывода преобразований Лоренца при выборе стандартов длины и времени
1 2 В.Г. Пивоваров , О.А. Никонов
1 Финансовый факультет МГТУ, кафедра прикладной математики и естественно - научных дисциплин Электромеханический факультет МГТУ, кафедра физики
Аннотация. В работе рассматриваются вопросы выбора стандартов длины и времени в инерциальных системах отсчета (ИСО) и реальности лоренцовского сокращения длины и замедления хода движущихся часов. Как известно преобразования Лоренца выводятся на основе двух постулатов специальной теории относительности (СТО). Кроме этих двух постулатов требуется третий, касающийся свойств пространства и времени. Пустое пространство однородно и изотропно, время однородно и однонаправлено. Такая система постулатов является непротиворечивой и достаточной для вывода преобразований Лоренца. В работе исследуется вопрос об ограничениях, накладываемых на выбор стандартов длины и времени постулатами Эйнштейна.
Abstract. In the work questions of choosing of length and time standards in inertial systems of counting (ISC) and reality of Lorentz length reduction and moving clock slowing down are considered. As it is known Lorentz transformations are deduced on the basis of two postulates of special theory of relativity (STR). Besides, the third postulate concerning characteristics of time and space is needed. Empty space is homogenic and isotropic, time is homogenic and one way directional. Such system of postulates is non-contradictory and enough to conclude Lorentz transformations. So, in this work the question of limitations which apply to choosing of length and time standards has been examined.
1. Введение
Преобразования Лоренца являются фундаментом СТО. Известно, что эти преобразования могут быть выведены корректно на основе нескольких постулатов, два из которых, связанных с именем Эйнштейна, известны как частный принцип относительности и постулат о постоянстве скорости света. Кроме этих постулатов требуется третий, касающийся свойств пространства - времени; пустое пространство изотропно и однородно, а течение времени в нем однородно. Если мы попытаемся разобраться в достаточности этих постулатов для однозначного вывода преобразований Лоренца по имеющейся учебной литературе (Детлафф, Яворский, 1989; Матвеев, 1986; Савельев, 1989 Сивухин, 1980; Трофимова, 1997), то сразу же встретимся с еще, по крайней мере одним, предположением. Оно состоит в том, что если при специальном выборе ИСО скорость движения ИСО K относительно K' V, то скорость движения ИСО K относительно K' равна минус КПопытки обоснования этого соотношения с помощью слов "очевидно" и "ясно" не могут служить доказательством этого утверждения, т.к.
V'=dx'/dt', a V=dx/dt,
где каждый из дифференциалов dx' и dt' измеряется в ИСО K', a dx и dt — в ИСО K.
Вызывает, также недоумение доказательство "на пальцах" без использования основных постулатов того факта, что коэффициенты a и b в преобразованиях
У' = a У z' = b z
равны единице. На самом деле, как это было показано в монографии (Мандельштам, 1972), как первое, так и второе утверждения являются следствиями двух постулатов Эйнштейна.
Есть еще один вопрос, связанный с выводом преобразований Лоренца, который нам представляется важным и который в (Мандельштам, 1972; Матвеев, 1986; Сивухин, 1980) не затрагивается — это вопрос о выборе стандартов длины и времени в ИСО K и K' и их согласовании. Без предварительного решения этого вопроса остается неясным постулат о постоянстве скорости света при
переходе от ИСО К к ИСО К' и обратно, так как скорость света измерена в разных несогласованных друг с другом единицах. Если неизвестны переходные коэффициенты между соответствующими стандартами, то любая связь между измеряемыми величинами а и Ь, вытекающая из постулата о постоянстве скорости света, теряет смысл. Также теряют смысл и сами преобразования Лоренца. Это означает, что прежде чем пользоваться преобразованиями Лоренца, устанавливающими связь между координатами и временем одного и того же события в ИСО К и К', необходимо предложить рецепт выбора стандартов длины и времени в обеих ИСО и установить связь между ними. И только после этого открывается возможность корректного использования второго постулата Эйнштейна при получении преобразований Лоренца. Полезно, кроме того, проследить в процессе вывода преобразований Лоренца, не накладывают ли постулаты Эйнштейна какие-либо ограничения на выбор стандартов длины и времени.
2. Выбор стандартов длины и времени в ИСО
Напомним, что всякая ИСО характеризуется телами отсчета, системой координат, масштабными линейками и идентичными синхронизованными часами. Под часами мы будем понимать любой периодический процесс, а под временем — показание часов. При выводе преобразований Лоренца используется обычно декартова система координат. Выберем в ИСО К стандарты длины и стандарт времени (что связано с выбором периодического процесса). Стандарты длины могут быть различны по осям х, у, 2. Обозначим эти стандарты через ех, еу, е2 и е, Аналогично поступим относительно ИСО К'; там соответствующие стандарты будут ех', еу', е2', е'. Из однородности пространства и времени и специального выбора ИСО К и К' общий вид функциональной связи между координатами и временем одного и того же события, измеренными в ИСО К и К' сводится к виду
х = ац х + а}4(
У' = а22 У
(1)
2' = а33 2 t = а4! х + а44 t
где а11, а14, а41, а44, а22, а33 — параметры преобразования.
Введем вместо физических величин х, у, 2, t, х', у', 2', V их безразмерные значения х*, у*, 2*, * х*', у*', 2*', тогда
х*'ех '=а11х*ех+а14*е1 у*'еу'=а22у*еу
(2)
2*'е2'=а332*е2
t*'et'=a41x*ex+a44t*et.
Заметим, что а11, а22, а33, а44 — безразмерные величины а14 и а41 — размерные. Рассмотрим далее событие, состоящее в приходе в точку с координатой х* в момент времени ^ начала координат ИСО К'. В соответствии с (2) из первого уравнения следует
0=а11х*ех+а14*еР (3)
Поделим левую и правую части равенства на et ^получим
0=а11х*ех/ е4*+а14.
Если обозначить х*/^ через V*, то видим, что
а14 = - V* апе/ е^ (4)
Так как а11 — безразмерно, то а14 — имеет размерность скорости. Сама же величина V* ех/ ег имеет простой физический смысл — это скорость движения ИСО К' относительно К.
Рассмотрим далее в ИСО К' событие, которое состоит в приходе начала ИСО К в момент в точку х*'. Тогда координаты этого же события в К: х* = 0, у* = 0, 2* = 0, а время этого события так что первое и четвертое уравнения системы (2) принимают вид
х*'ех'=а14{*еь
t*'et'=a44t*et.
Поделим первое уравнение на второе и пользуясь (4) получим
х*'ех'/( ^'е')= -( ех/etап / а44 ).
Отсюда
( ех/ е'х )(1/( е'/ е, )^*'= - V* ап / а44, где V*' ( е'х/ е\) - скорость движения системы К относительно К'. Введя коэффициенты перехода
Рх=( е'х/ ех); &=( еЧ ), получим еще одно соотношение между коэффициентами преобразования
а44 = - & /Рх )а11 . (5)
Используя (4) и (5), преобразования (2) можно переписать в виде
х*'рх =а11(х* - V* * у*' Ру=а22у*
(6)
2*' Р2=а33г*
*' А =а41х*(ех е ) - Д /Рх )а11*
Рассмотрим далее два последовательных процесса — посылку и прием светового сигнала из точки А в точку В. Пусть точка А совпадает с началом координат ИСО К в момент ^ = 0, точка В — с произвольной точкой пространства, имеющей координаты х*, у*, 2* и время Тогда выполняется равенство
х2 + у2 + 22 = Л2
или
ех2х*2+ е/у*2+ е222*2= с*2* {е2/е2 )е2 = с*2е2 (7)
где е1 — стандарт длины вдоль распространения света в К. Эти же два события в ИСО К' имеют координаты (0, 0, 0) и t*' = 0 для точки А и (х*', у*', 2*') в момент для точки В, так что
х'2 + у'2 + 2'2 = с'¥2
или
ех,г х*'2 + еул у*'2+ е' 2*'2= с*'2 е1 '2 ^'2, (8)
где е1' — стандарт длины вдоль направления распространения света в К'. Предположим, что равенство скорости света во всех ИСО можно записать в виде
с*=с*'( р1 /р,), (9)
где $х=е{/ех . Преобразуем с помощью (8) штрихованные координаты и время в нештрихованные, тогда штрихованные координаты точки А и штрихованное время первого события перейдут в нештрихованные, аналогично штрихованные координаты точки В и штрихованное время второго события перейдут в нештрихованные. Тем самым будет совершен переход от ИСО К' к ИСО К, при этом в соответствии с (9) с' должна быть заменена на с. В этом случае возникающее соотношение и соотношение (7) должны быть тождественно равны друг другу.
Получим те условия, при которых это выполняется:
ап2 = 1+ с*2 а412(в,2/в12 ), ап = с*2а41 (в!2 Д /(в, ех') )(1/ V*'), (10)
аи2( V*2/ V*'2)( р2 / Д.2)(1- вх' V*'2 /(в2 Д2 с*2))= 1.
Кроме того,
а222 = 1, а332 = 1.
Соотношения (10) совместны, если
V*' = - V*( Д /Рх ),
ап = ((1 - вх2 V*2/(el2 с*2))-1/2, (11)
а41 = - е< вх V*/[ е2 с*2 ((1 - вх2 V*2/(el2 с*2))1/2].
Подставляя (11) в (6) после простых преобразований получим
х*'рх =(х* - V* ,*)/((1 - вх2 V*2/(el2 с*2))1/2 у*' Ру=у*
(12)
2*' /3=2*
,*'&=(,*- х* вх2 V*2/(e2 с*2))/((1 - вх2 V*2/(el2 с*2))1/2.
Из выполненного исследования можно сделать вывод о том, что постулаты Эйнштейна не накладывают никаких ограничений на выбор стандартов длины и времени как внутри каждой из ИСО так и на одновременный их выбор. Кроме того, соотношение (12) не имеет физического смысла до тех пор, пока остаются неизвестными коэффициенты перехода Дх, Д,, Д, Д. Это означает, что использование преобразований Лоренца требует предварительного согласованного выбора стандартов длины и времени вИСОК и К'.
3. Согласование выбора стандартов длины и времени
Для согласованного выбора стандартов длины и времени в ИСО К и К' выберем произвольным образом стандарт длины в ИСО К. Пусть это будет набор стержней одинаковой длины. В ИСО К мы расположим эти стержни вдоль осей Ох, Оу, О2 , тем самым задав один и тот же стандарт длины по всем трем осям. Обозначим его через в. В силу изотропности пространства стержни могут быть повернуты под любым углом и следовательно внутри ИСО одним и тем же стандартом длины можно измерять расстояния между двумя любыми точками. Заставим далее эти стержни, предварительно расположив их вдоль осей Оу или 02, двигаться со скоростью V. Как следует из преобразований Лоренца, длины стержней не изменяются при таком их расположении. Свяжем с ними ИСО К'. В ИСО К' эти стержни покоятся и, следовательно, их можно располагать так как нам необходимо. Расположим один из стержней вдоль оси О'х', оставив остальные покоиться вдоль осей О'у', 0 2'. Тем самым мы зададим стандарт длины в ИСО К' , один и тот же вдоль трех осей О'х', О'у', О'2'. Изотропия пространства позволяет проводить измерения этими стержнями вдоль любого направления. Обозначим введенный стандарт через в'.
Таким образом, стандарт длины вдоль оси O'x' совпадает со стандартами длины вдоль осей O'y' и O'z', которые в свою очередь совпадают со стандартами длины вдоль Oy и Oz. Но так как эти стандарты равны (тождественно) стандарту вдоль оси Ox, то стандарты вдоль Ox и вдоль O'x' также равны и, следовательно, e = e'.
С другой стороны, измерим длину стержня, покоящегося в K' и расположенного вдоль оси O'x' в ИСО К. Использование преобразований Лоренца приводит к длине этого стержня
I = e(1 - К2/ с2)1/2,
где е — длина покоящегося в К' стержня, а V — скорость его перемещения вдоль оси Ох относительно ИСО К. Отсюда видно, что I < е. Но это находится в очевидном противоречии с тем обстоятельством, что предложенная нами процедура согласования стандартов обеспечивает равенство длин стержней в К и К'. Снятие этого противоречия связано с предположением, что физическая длина стержней при переходе от одной ИСО к другой остается неизменной, а меняется лишь результат измерения длины, который определяется процедурой измерения длины движущегося стержня. Сама процедура измерения продиктована требованием постоянства скорости света и ее конечностью. Для того, чтобы лучше понять сказанное, рассмотрим следующую процедуру измерения длины стержня. Предположим, что за длину стержня АВ в произвольной ИСО К будем принимать длину проекции стержня на перпендикуляр к лучу, соединяющему начало отсчета с серединой стержня (как показано на рис. 1)
Тогда в ИСО К1 с началом в точке О1 длина стержня А1В1, а в ИСО К2 с началом О2 длина этого же стержня А2В2. Мы видим, что предложенная процедура измерения длины стержня делает эту величину относительной, хотя сам стержень АВ при этом не затрагивается. Подчеркнем, что это не объяснение лоренцовского сокращения длины, а лишь иллюстрация к фразе о возможной зависимости измеряемого параметра от предложенной процедуры.
Перейдем теперь к согласованию выбора стандартов времени в ИСО К и К'. В ИСО К воспользуемся колебательным процессом, возникающим при движении вдоль оси У светового импульса между двумя зеркалами, плоскости которых параллельны координатной плоскости ХО2. Если Ь -расстояние между зеркалами, то
Т = 2 Ь/с.
Аналогично можно поступить с выбором стандарта времени в ИСО К'. Выбирая расстояние между зеркалами Ь', равное Ь, что можно сделать всегда, как об этом говорилось выше, и используя постулат о постоянстве скорости света в К и К ', получим
Т' = Т = 2 Ь/с.
Но это утверждение находится в противоречии с результатом измерения хода движущихся часов на основе преобразований Лоренца, позволяющих сделать вывод о замедлении хода движущихся часов. Это противоречие можно снять, если предположить, что процедура измерения периода колебания в ИСО движущихся вместе с К' часов сам процесс колебания не затрагивает и не влияет на физическую
величину промежутка времени между двумя колебаниями часов, а дает лишь результат измерения периода, аналогично тому, что мы имели при измерении длины, и отражает процедуру измерения времени.
Подобно тому, как мы иллюстрировали зависимость измерения длины тела от предлагаемой процедуры измерения, можно проиллюстрировать и измерение временных интервалов в зависимости от рецепта измерения времени. Действительно, примем за временной интервал между двумя событиями, происходящими, например, на удаляющихся (или приближающихся) электричках, промежуток времени между двумя звуковыми гудками (импульсами света), испущенными в момент рассматриваемых событий. Если электричка будет приближаться к нам, то временные интервалы, принимаемые нами, будут меньше реальных, а если удаляться, то больше. Но вряд ли кто-нибудь возьмется утверждать, что реальный промежуток времени между событиями тот, который мы воспринимаем, а не тот, который измеряется на электричке между событиями.
Сказанное позволяет утверждать, что лоренцовское сокращение длин и замедление хода движущихся часов представляют собой отражение введенных рецептов измерения времени и длины движущихся объектов.
3. Заключение
Выполненный анализ возможных ограничений на выбор стандартов длины и времени при выборе преобразований Лоренца на основе постулатов Эйнштейна указывает на необходимость предварительного согласования друг с другом этих стандартов в используемых ИСО K и K '. Без такого предварительного согласования второй постулат Эйнштейна и преобразования Лоренца, на наш взгляд, лишаются физического содержания. Предложенная процедура согласования позволяет сделать вывод о том, что лоренцовское сокращение длины и замедление хода движущихся часов не затрагивает сами физические пространственные и временные интервалы, а лишь отражают через предлагаемые процедуры измерения длины движущегося тела и скорости хода движущегося периодического процесса требование постоянства скорости света при переходе от одной ИСО к другой.
Литература
Детлаф A.A., Яворский Б.М. Курс физики. Учеб. пособие для втузов. М., Высш. шк., 608с., 1989. Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М., Наука, 440с., 1972.
Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. Учеб. пособие для физ. спец. вузов. М., Высш. шк., 320с., 1986.
Савельев И.В. Курс физики. Учеб. В 3 т. Т.1. Механика. Молекулярная физика. М., Наука. Гл. ред. физ.-
мат. лит., 352с., 1989. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. М., Наука, 752с., 1980. Трофимова Т.И. Курс физики. Учеб. пособие для студентов. М., Высш. шк., 542с., 1997.
