Высокоточный расчет упругой характеристики листовых рессор на основе нелинейной модели Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

2007

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА___________________

Математика. Механика. Информатика Вып. 7(12)

УДК 519.62+

Высокоточный расчет упругой характеристики листовых рессор на основе нелинейной модели

1 2 С. В. Русаков , Н. Ф. Таланцев

1Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 2ОАО "Чусовской металлургический завод", Пермский край, г. Чусовой

Исследуются причины и способы устранения методических ошибок при расчете упругой характеристики многолистовых рессор. Показано, что использование нелинейной модели вместо линейной дает возможность существенно повысить точность расчетов. Приводятся сравнения численных расчетов с результатами натурных испытаний.

1.Постановка задачи и описание модели

Натурные испытания рессор с целью построения упругой характеристики и расчета ее параметров носят название статических испытаний рессор. Результаты их используются обычно как для контроля характеристик рессор текущего производства, так и для расчета режимов стендовых испытаний на циклическую долговечность. При широкой номенклатуре производства рессор проведение статических испытаний становится затруднительным из-за особенностей испытательного оборудования: легкие рессоры не могут быть испытаны на оборудовании, предназначенном для более нагруженных рессор, и, наоборот, рессоры с большой статической нагрузкой не могут быть испытаны на оборудовании, предназначенном для легких рессор. Особенно это проблематично для рессор, статические нагрузки которых равны или превышают 8 тс (условное определение тяжелонагруженных рессор). Если по какому-либо виду рессор невозможно проведение статических испытаний, т.е. нет возможности произвести контрольные измерения упругой характеристики,

то нет и возможности провести корректно стендовые циклические испытания рессор. В свою очередь, данное обстоятельство уже не позволяет сделать сертификацию и, следовательно, лишает правовых оснований возможность поставки рессор потребителю, а производство достаточно выгодного и перспективного сектора рынка рессор.

В качестве аналога натурных статических испытаний тяжлонагруженных рессор может быть использовано математическое моделирование. При этом измерения деформации рессоры под нагрузкой заменяются измерениями размеров и параметров выгиба рессорных листов в свободном состоянии. Затем, с учетом результатов полученных измерений, осуществляется имитация нагружения рессоры на компьютере. С метрологической точки зрения состоятельность такого подхода также может быть доказана уже в ходе построения математической модели. Дело в том, что при натурных статических испытаниях рессор основные результаты (параметры упругой характеристики) не получаются путем непосредственных измерений, а являются результатом расчета.

© С. В. Русаков, Н. Ф. Таланцев, 2007

При математическом моделировании указанные данные также получаются в результате расчета. Равенство точечных и однородность интервальных оценок параметров упругой характеристики, полученных при статических испытаниях и при математическом моделировании, будет являться достаточным условием для доказательства метрологической состоятельности применения имитационного моделирования. Такое доказательство предполагается сделать по результатам испытаний обычных рессор. При этом речь идет не о результатах дополнительных экспериментов, а об использовании результатов испытаний, ранее проведенных.

В качестве объекта исследования рассмотрим двуплечную полуэллиптическую многолистовую балансирную рессору.

Как показал анализ, к тяжелонагруже-

ным многолистовым рессорам в подавляющем числе случаев относятся рессоры именно такого типа (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1. Общий вид балансирной рессоры в

спрямленном состоянии

На рис. 1.1 видно, что плечи рессоры симметричны, концы не имеют каких-либо способов крепления рессоры к раме транспортного средства, который осуществляется посредством контакта рессоры с опорами скольжения. Это показано также на рис. 1.2, где приведен общий вид статических испытаний балансирной рессоры при измерении упругой характеристики согласно ГОСТ Р51585.

свободная

теристики согласно ГОСТ Р51585

Основная идея моделирования тяжело-нагруженных балансирных рессор основана не столько на аналогии свойств однотипных конструкций рессор (модель, отработанная на балансирных рессорах со средним значением статической нагрузки, может быть использована для балансирных рессор с более высокой

статической нагрузкой - тяжелонагруженных), сколько на сведении расчета многолистовой рессоры к расчету однолистовой. Сведение многолистовой рессоры к однолистовой позволяет полностью учесть влияние факторов, связанных с нелинейностью упругой характеристики рессоры. К таким факторам относятся:

- наличие исходной кривизны рессоры;

- радиус реальной опоры скольжения;

- поворот вектора реакции опоры как следствия перемещения по опоре точки контакта с рессорой;

- изменение рабочей длины рессоры вследствие перемещения по опоре точки контакта с рессорой;

- взаимодействие плеч двуплечной рессоры;

- переменное сечение листа и изменение параметров сечения листа по его длине;

- влияние на результаты расчета расположения упругой линии рессоры.

Согласно [1, 2] физической моделью многолистовой балансирной рессоры (рис. 1.2) может быть однолистовая модель, составленная из разделенных на полосы двух однолистовых рессор трапецеидальной формы, как это показано на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Многолистовая двуплечая рессора, составленная из двух однолистовых консольных рессор трапецеидальной формы (вид сверху)

Однако представленная модель не самодостаточна и не отражает ряд важных свойств. Положение можно исправить, если наряду с данной схемой показать консольную половину рессоры, как это сделано на рис. 1.4, и ее однолистовую модель и расчетную схему (рис. 1.5 и 1.6).

Рис. 1.4. Плечо многолистовой балансирной

рессоры

дели плеча многолистовой балансирной рессоры

Очевидно, что представленная на рис. 1.5 однолистовая модель более информативна с точки зрения представления факторов, создающих нелинейность упругой характеристики рессоры. В то же время такая модель хорошо согласуется с расчетной схемой для консоли со скользящим концом (рис. 1.6).

товой балансирной рессоры (расчетная схема упругой линии консоли со скользящим концом, имеющей исходный радиус кривизны Я и опору скольжения радиуса Яоп)

Далее расчетная схема, приведенная на рис. 1.6, преобразуется в более удобный вид в системе координат с началом в точке контакта рессоры с опорой (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Преобразованная расчетная схема плеча балансирной рессоры

В качестве основной математической модели примем нелинейное уравнение упру-

гой линии:

d2y’

dx'2

QX

EJ„

1 +

dy’

dx’

(1)

Здесь Е - модуль упругости, 3 - суммарный момент инерции в точке 5 . При этом функция распределения моментов инерции 3 кусочно-постоянная, полностью согласуется с моделью рессоры, приведенной на рис.1.3 и вычисляется по формуле

(2)

Для численного решения уравнения (1) применяется метод Рунге-Кутта второго порядка [3]. При этом использовался следующий алгоритм.

Берем в качестве начального значения Q = Р. Технология расчета заключается в расчете на каждом шаге к по х' величин х', у' и ёу’

----. При этом рассчитываются также

ёх’

ds-h

1 +

rd^2

dx

s = s + ds’

I h

-

a = arccos — |; Lc = x’ cosa + y’ sino' - Ronsma.

yds,

где А/ - разница между рабочей и расчетной длиной плеча рессоры (смещение проекции точки приложения нагрузки относительно таковой при выпрямленном положении рессоры); У - сумма моментов инерции в поперечном сечении рессорных листов на интервале

[/г-Ъ /].

Следует пояснить, почему здесь не приводятся формулы расчета самих моментов инерции сечений рессорных листов. Дело в том, что величина момента инерции сечения рессорного листа даже в случае изготовления листа из полосового проката рассчитывается по более сложным формулам, чем просто умножение ширины листа на куб его толщины и деление на 12, так как, в частности, учитываются радиусы скругления боковых кромок сечения. Для рессорного проката асимметричного профиля (Т-образного, трапециевидного т.д.) расчет еще сложнее. Поэтому расчет момента инерции сечения листа ./ производится с помощью специального алгоритма, которой здесь не приводится.

Линейная модель отличается тем, что в ней в правой части уравнения (1) полагаем

ау’ П

----= и, что соответствует предположению о

(Лх'

малости перемещений. Радиус выгиба рессоры в свободном (не нагруженном) состоянии определялся по формуле

R = R„

LPI 2_

+ Н:

2Нп

(3)

где Яоп - физический радиус опоры скольжения; Ьр - расчетная длина многолистовой ба-лансирной рессоры; Н0 - стрела выгиба рессоры при отсутствии нагрузки (результат измерения).

При Ьс = Ьр процесс цикла расчета прекращается и производится оценка величины Q по следующему критерию: при выполнении

условия

Q-(P / cos а)

Q

h_

77

полагаем

Q = -

p

и производим вычисления сначала, cosa

При достижении требуемой точности результатом является

а0 =а, Х'0= X, ¥0' = у',

Н = Xr0sina0-Y'cosa0-Ron l-cosa0i Lc = Хд cosа0 + 70'sinar0 -Ron sina0.

F = H0 - H.

Величина выгиба рессоры Н и прогиба (деформации) рессоры F являются искомыми результатами расчета.

2. Результаты тестовых испытаний методики

В качестве исходных данных взяты параметры и результаты статических испытаний рессоры "УралАЗ 5557-2912012-11".

Исходные данные для расчета следующие:

• Свободная стрела Н0 = 110,4 мм.

• Расчетная длина рессоры Lp= 1400 мм;

• Контрольная нагрузка Рк = 4768 даН (на плечо Рк / 2= 2384 даН).

• Радиус опор скольжения Roll = 20 мм.

• Модуль упругости рессорной стали Е= = 21000 даН/мм2.

3

2 N

• Кроме того, использовались данные по значениям длин ї, (см. рис. 1.3), которые позволили рассчитать моменты инерции сечений 3.

• Для сравнения использовались результаты, полученные по линейной модели.

В качестве нагрузок Р для расчета используются нагрузки, которые уже были применены при измерении упругой характеристики рессоры.

Такой подход позволяет произвести сравнительный анализ результатов расчета относительно результатов измерений.

На рис. 2.1 приведены сравнительные результаты, полученные в расчетах, отнесенные к результатам измерений (натурных испытаний): видно, что нелинейная модель по сравнению с линейной уменьшает ошибку расчетов примерно в 2 раза.

Ж

1000 2000 3000 4000

Нагрузка на рессору Р, кгс

Рис. 2.1. Результаты обработки натурных испытаний и расчетов

Рис. 2.2. Расположение "упругой линии"многолистовой рессоры

Дальнейшее уточнение результатов расчетов базировалось на следующих предположениях. При аппроксимации многолистовой рессоры упругой линией мы имеем дело не с реальным радиусом опор скольжения, а с не-

которым его виртуальным (условным) аналогом (см. рис. 2.2). Определять значение виртуального (условного) радиуса опоры будем экспериментально (варьируя радиус опоры), ориентируясь на среднеквадратичное отклонение расчетных данных от данных натурных испытаний. Результаты проведенной серии расчетов приведены на рис. 2.3: видно, что минимум ошибки достигается при = 100 мм, что соответствует полусумме толщины пакета рессоры и радиуса физической опоры скольжения.

Условный радиус опоры Rоп, мм

Рис.2.3. Распределение величины среднеквадратичной ошибки отклонения в зависимости от условного радиуса

На рис. 2.4 представлены сводные срав- опоры относительная ошибка нелинейной мо-нительные результаты, по которым видно, что дели не превышает 1%. при правильно выбранном условном радиусе

Нагрузка на рессору Р, кгс

Рис. 2.4. Результат обработки натурных испытаний и расчетов

Учитывая то, что на практике до сих пор пользуются линейными моделями, результаты работы являются на сегодняшний день особенно актуальными, так как показывают, что предложенная нелинейная математическая модель и численная методика позволяют существенно повысить точность расчетов (снизив с 10% до 1% ошибки).

Список литературы

1 Пархиловский И.Г. Автомобильные листовые рессоры. М.: Машиностроение, 1978.

2 Раймпель Й. Шасси автомобиля. Элементы подвески. М.: Машиностроение, 1987.

3 Калиткин Н.Н. Численные методы. М: Наука, 1978.

Precision calculation of the elastic characteristic of sheet springs on the basis of nonlinear model

S. V. Rusakov, N. F. Talanzev

Perm State University, 614990, Perm, Bukireva st., 15

In work the reasons and ways of elimination of methodical mistakes are investigated at calculation of the elastic characteristic of multisheet springs. It is shown, that use of nonlinear model enables essentially to raise accuracy of calculations in comparison with linear. It is spent comparisons of numerical calculations with results of natural tests.