CC BY
38
УДК 534.870
С. В. Русаков, Н. Ф. Таланцев ВЫСОКОТОЧНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЕССОРНОГО ЛИСТА ПОСТОЯННОГО ПРОФИЛЯ
Аннотация. Рассмотрена задача об определении упругой характеристики рессорного листа постоянного профиля. Методом разложения по малому параметру получено приближенное аналитическое решение, позволяющее учесть дополнительные связанные с характеристиками опоры и обладающее высокой точностью в области допустимых значений параметров задачи.
Ключевые слова: рессорный лист, упругая характеристика, разложение по малому параметру.
Abstract. The problem of determining the elastic characteristics of the spring blade constant profile. The method of expansion in the small parameter obtained an approximate analytic solution to consider additional conditions related to the characteristics of support and provides high accuracy in the range of admissible values of the parameters of the problem.
Keywords: spring blade, the elastic characteristics, the expansion in the small parameter.
Введение
Как известно, точность компьютерного моделирования как при расчете, так и при исследовании объекта по его модели целиком и полностью зависит от точности используемой математической модели. До появления компьютеров, учитывая, что повышение точности инженерных расчетов было связано с экспоненциальным ростом трудоемкости процедуры вычисления, а также с ростом вероятности вычислительной ошибки, при расчете листовых рессор сознательно шли на идеализацию вычислительной схемы, игнорировали нелинейные факторы и использовали линейные приближения [1]. Однако, как показано в предыдущей работе авторов [2], в этом случае невозможно обеспечить высокую точность получаемых результатов, что в условиях компьютерного моделирования не имеет оправдания и делает актуальным вопрос об оптимизации математической модели. Очевидна многовариантность решений поставленной задачи. В настоящей работе предлагается одно из решений в нелинейном приближении, обеспечивающее достаточно высокую точность при допустимых наборах данных.
1. Постановка задачи и описание математической модели
Будем рассматривать однолистовую рессору наиболее простой конструкции - лист постоянного сечения с постоянным радиусом кривизны по всей длине. На рис. 1 воспроизведена схема статических испытаний такой рессоры, опирающейся на опоры цилиндрической формы. Существует и реальный пример такой рессоры - задняя дополнительная однолистовая рессора автомобиля ГАЗ 3302 «Газель».
На рис. 1 и в дальнейшем используются следующие обозначения (с учетом наличия симметрии): Lp - плечо рессоры; R - радиус кривизны рессоры в отсутствии нагрузки; RQn - радиус опоры; P - нагрузка на одно плечо
рессоры; Н0 - стрела выгиба рессоры при отсутствии нагрузки (Р = 0); Н -стрела выгиба рессоры при нагрузке Р. Величина Н является упругой характеристикой рессоры и подлежит определению.
Рис. 1. Схема статических испытаний однолистовой балансирной рессоры
Как известно, линейность используемого метода состоит в обнулении первой производной в общей дифференциальной формуле изгиба
У* (х) =
Рх
17Ё
где Js - момент инерции для сечения S (для листа постоянного профиля эта величина постоянна, и индекс S может быть опущен); Е - модуль упругости (модуль Юнга).
При этом величина расчетного прогиба будет определяться по формуле
I2 р1 р1
У _ 1Р Р1Р _ Н Р1Р
У _-----------_ Н о-------.
2Я 3JE 3JE
Следует подчеркнуть, что в данной формуле ни изменение длины изгибающего плеча при скольжении по опоре, ни радиус опоры, ни изменение вектора реакции опоры никоим образом не учитываются.
Перейдем к более полной модели. Будем использовать математическую модель в приближении упругой линии. В этом случае геометрию расчетной схемы можно представить в виде рис. 2. При этом справедливо следующее геометрическое соотношение:
Я = ^оп +
4 + Н 02 2Н 0
(1)
В выбранной системе координат (рис. 2) получаем задачу Коши вида
'( ) і 1 Рх
У (х) = 1------------------------
Я М 008 а
^ (1 + У' 2( х) )3/2;
(2)
у(0) = 0, у'(0) = 0.
(3)
Рис. 2. Расчетная схема упругой линии консоли со скользящим концом, имеющей исходный радиус кривизны Я и опору скольжения радиуса Яоп
Обозначим
н(х) = у (х), А = -1, В = - Р
Я 2ЫЕ
Тогда из задачи (2)-(3) получаем
н'(х) = (А - 2Вх 1 (і + н2(х)) , н(0) = 0.
^ 008 а )\ '
(4)
Задача (4) имеет аналитическое решение, которое можно получить интегрированием по частям:
Л
н( х)
I 2 \1/2
(1 + н2( х))
= Ах -
Вх
сое а
(5)
Разрешив уравнение (5) относительно функции w(х) = у (х), после преобразований получаем
У'(х) = /(г, х), у(0) = 0, (6)
где
/ (^, х) =
Ахг - Вх
2
г2 -(хг - Вх2
г = 008 а .
(7)
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Из геометрических соображений (рис. 2) следует, что
tg a = f (cos a, XK); (8)
Lp = Xk cosа + (7к - Доп )sina, (9)
где
XK
YK = у (cos a, Xk ) = J f (cos a, x)dx . (10)
0
При этом интересующее нас значение «стрелы выгиба» определяется
как
H = Xk sin a- Yfr cos a- Доп (1 - cos a), (11)
откуда получаем деформацию при нагрузке P:
Fp = Hо - H . (12)
Таким образом, задача сводится к решению системы нелинейных уравнений (8)-(9) относительно двух неизвестных параметров cos a и Xk, которую, можно привести к виду
gj(z,Xk) = о, j = 1,2, (13)
где
g1(z,XK) = z4 -b0(XK)z2 -C0(XK)z + d0(XK); g2( z, Xk ) = z (Xk +(k (z) - Дои )f (z, Xk))-Lp ;
b0(XK ) = 1 -(X • XK ) , c0(XK ) = 2AB ■ X_3, d0(XK ) = (B ■ XK ) .
2. Решение разложением по малому параметру
Для приближенного аналитического решения системы (13) воспользуемся разложением по малому параметру, в качестве которого выберем
е = —p. Проведем обезразмеривание задачи (6), положив x = -Х-, у = .
R Lp Lp
Тогда она примет вид
У'(x) = f (z,x), у(0) = 0, (14)
где
—2
ft ~\ xz -Px RLp
f (z,x) = e — , z = cosa, p =------—P . (15)
У 771 ~772 2JsE
z -e I xz - Px I
Выражение для искомой величины:
Н = г (/к/(г, /к ) -/к (г) - Яоп)) - )оп .
После аналогичного обезразмеривания система уравнений (13) примет
вид
г4 - ^1 -е2XК ^ г2 - 2е2рХК + е2 ^рХк ^ = 0; (16)
г /к + /к (г) - Яоп)/(г, Хк)) -1 = 0, (17)
где Хк = Х-К-, Гк = ^, Яоп = ^ •
Ьр ^р Ьр
Дальнейшие разложения будем производить в предположении, что е ■« 1, а |Р| ~ 1 во всем диапазоне изменения нагрузки Р (Р < Ртах). При этом будем пренебрегать членами четвертого порядка малости относительно е. Особо отметим, что если первое из этих условий (е 1) выполняется во многих случаях, то второе из этих условий (|Р| ~ 1) является естественным ограничением предлагаемого подхода. Так, например, в случае рессоры без исходной кривизны (Я^<х>) это условие нарушается.
Для представления величин г, Хк и Н воспользуемся разложениями:
г = 1 + е2 г2 + е3 г3 + о/4); (18)
Хк =1 + е81 + е282 + е38з + о/4); (19)
Н = е• Н1 + е2Н2 + е3Н3 + о/4). (20)
Подставив выражения (18)-(19) в уравнения (16)-(17) и собрав члены при одинаковых степенях е, после достаточно сложных преобразований, которые мы опускаем, получим
Н1 = 1 ^ -4Р); н2 = 2(1 -р)(1 -зр)Яоп,
Нз = 1 (1 + Я2п ) - ( 13 + 4Я2п ) Р +1 ^+ 15Я2п ) Р2 - {21+ 4Яоп ] р3 . (21)
Заметим, что размерное значение «стрелы выгиба» - Н = ЬрН . Анализ выражений (21) показывает:
1) линейное приближение ( Н\) не зависит от радиуса опоры;
2) при Р = 1 также исчезает зависимость от радиуса опоры (Н2 = 0, Н3 = -3/140).
Оценку точности полученного приближенного аналитического решения проведем на наборе данных, для которого имеются результаты статических испытаний:
Ьр = 600 мм, Но = 30,8 мм, Яоп = 20 мм,
Е = 21000 кгс/мм2, Л = 18894,1 мм4, Ртах = 500 кг.
(22)
Воспользовавшись формулой (1) для набора данных (22) получаем Я = 5879,6 мм, откуда имеем е = 0,10205, Р(Ртах) = 2,2227. Таким образом, выполняются предположения о допустимости используемого разложения.
Для оценки погрешности решения (20)-(21) система уравнений (13) решалась численно методом Ньютона с высокой контролируемой точностью и сравнивалась величина деформации (12) на конечном наборе значений нагрузки: Р/ = 100 + 25(/ - 1), / = 1, ..., 15.
Обозначим ¥р{ - результаты, полученные численно; Гр/(1) - первое
(2)
приближение аналитического решения (Н = Н = 0); Гр/ ’ - второе приближение аналитического решения (Н3 = 0); Гр/(3) - третье приближение анали-
тического решения;
§(т) _
щ
(т)
РРї
- 1
•100%, т _ 1,3 - соответствующие
относительные погрешности; тахт _ тах
§(т)
В результате получено: тах] = 0,711, тах2 = 1,344, тахз = 0,022.
То есть первое приближение дает ошибку порядка 0,7 %, второе даже несколько ухудшает результат (1,3 %), зато третье доводит погрешность до
0,02 %. Таким образом, полученное приближенное аналитическое решение на используемом наборе исходных данных дает результаты с достаточно высокой точностью (на порядок лучше, чем линейное приближение), согласующейся с теоретической оценкой.
Для верификации методики было проведено сравнение результатов расчетов с данными статических испытаний (рис. 3).
Рис. 3. Распределение относительной погрешности (%) рассчитанной деформации по отношению к экспериментальным данным
Из рис. 3 видно, что максимальная относительная погрешность не превышает 0,5 % и не носит систематического характера. Возможно, что имею
щиеся погрешности являются следствием проводимых вручную с помощью штангенрейсмаса измерений на экспериментальной установке, представляющей собой механические весы. Проведение тестовых измерений на более совершенной установке с компьютерным съемом значений параметров упругой характеристики рессорного листа позволит уточнить полученный результат.
Список литературы
1. Пархиловский, И. Г. Автомобильные листовые рессоры / И. Г. Пархилов-ский. - М. : Машиносторение, 1978 - 228 с.
2. Русаков, С. В. Высокоточный расчет упругой характеристики листовых рессор на основе нелинейной модели / С. В. Русаков, Н. Ф. Таланцев // Вестник Перм. ун.-та. - 2007. - Вып. 7 (12) : Математика. Механика. Информатика. -С. 134-139.
Русаков Сергей Владимирович доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики, Пермский государственный университет
E-mail: rusakov@psu.ru
Таланцев Николай Филаретович ведущий инженер ЛАРП,
ОАО «Чусовской металлургический завод» (Пермский край, г.Чусовой)
E-mail: talancev_nf@chmz.ru
Rusakov Sergey Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of applied mathematics and computer science, Perm State University
Talantsev Nikolay Filaretovich Principal engineer,
«Chusov Metallurgical Works» corporation (Chusovoy, Perm region)
УДК 534.870 Русаков, С. В.
Высокоточный метод расчета нелинейной упругой характеристики рессорного листа постоянного профиля / С. В. Русаков, Н. Ф. Таланцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2010. - № 2 (14). - С. 105-111.
