CC BY
40
УДК 539.319
М. А. Осипенко, Н. Ф. Таланцев О СВОЙСТВАХ КОЭФФИЦИЕНТА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МАТЕРИАЛА ЛИСТОВОЙ РЕССОРЫ1
Аннотация. Рассмотрен применяемый в технических расчетах коэффициент использования материала листовой рессоры (КИМР). Исследованы простейшие однолистовая и двухлистовая рессоры. Найдены явные выражения для КИМР. Установлено, что КИМР является, прежде всего, мерой равнопрочно-сти рессоры. Изучены задачи максимизации КИМР и минимизации массы рессоры, выяснено, что связь этих задач не является простой. Обе задачи могут не иметь решений; первая задача может иметь решения, а вторая - не иметь; первая задача может иметь много решений, одно из которых является единственным решением второй. Таким образом, КИМР определяет эффективность использования материала в некоторых, но не во всех случаях.
Ключевые слова: листовая рессора, коэффициент использования материала, минимизация массы, равнопрочные рессоры.
Abstract. The material utilization coefficient for a leaf spring (MUCS) that is used in technical computing is considered. The simplest single-leaf spring and double-leaf spring are investigated. The explicit expressions for the MUCS are found. The MUCS is established primarily to be the measure of the full strength of the leaf spring. The problems of MUCS maximization and leaf spring mass minimization are studied. It turns out that the relations of these problems are not simple. The both problems can have no solutions; the first problem can have the solutions, while the second problem has no solutions; the first problem can have many solutions, one of them being the unique solution of the second problem. Thus, the MUCS determines the effectiveness of the material utilization in some cases but not in all cases.
Keywords: leaf spring, material utilization coefficient, mass minimization, uniform-strength springs.
Введение
В технических расчетах качество листовой рессоры часто характеризуется коэффициентом использования материала рессоры (КИМР) [1]. Этот коэффициент также называют критерием рациональности геометрии профиля рессорного листа [2]. Предполагается, что в соответствии со своим названием КИМР определяет эффективность использования материала рессоры, имеющей заданные упругие и прочностные характеристики, и с целью экономии материала следует стремиться к увеличению КИМР. Однако обоснованность такого предположения теоретически до сих пор не исследовалась. Кроме того, не изучалась связь КИМР с важным понятием равнопрочности рессоры [3]. Целью настоящей статьи является частичное восполнение этих пробелов.
Пусть листовая рессора изготовлена из материала с модулем упругости E и находится в равновесии под некоторой нагрузкой; U - потенциальная энергия упругой деформации рессоры; V - объем рессоры; qmax - максимальный модуль главного напряжения в рессоре.
1 Авторы выражают благодарность доценту кафедры теоретической механики Пермского государственного технического университета В. М. Тверье за ценные замечания.
Определим КИМР как безразмерную величину, равную
Т = 2Еи1у а^ах (1)
(здесь и ниже все выражение, стоящее справа от косой черты, считается расположенным в знаменателе дроби).
Значения КИМР по данному определению отличаются от используемых в [1, 2] только множителем 2. Это несущественное отличие внесено для удобства: во всех рассмотренных ниже случаях Т < 1, причем в некоторых случаях Т может подходить к единице сколь угодно близко; единица в качестве точной верхней грани коэффициента, характеризующего качество, более естественна, чем 1/2.
Далее в рамках простейших моделей рессор для ряда частных случаев вычислим КИМР, рассмотрим задачи максимизации КИМР и задачи минимизации массы рессоры и установим, как эти задачи связаны между собой. Выясним также, можно ли назвать равнопрочными рессоры с максимальными КИМР.
1 Модели рессор
1.1 Однолистовая рессора
Модель представляет собой консольно закрепленную прямолинейную балку (лист) Бернулли-Эйлера, испытывающую слабый (линейный) изгиб в одной плоскости (рис. 1). Ось х направлена вдоль листа длины I, поперечное сечение - зависящая, в общем случае, от х область 0(х). Главные центральные оси у, г сечения имеют постоянную (не зависящую от х) ориентацию. Изгиб листа происходит в плоскости хг под действием поперечной нагрузки с заданной эпюрой моментов М(х). Согласно элементарной теории изгиба балок [4]
а (х, у, г) = ЕгК(х); (2)
М (х) = ЕЛ (х) К (х); (3)
и=2Еа2 (х,у,г )сЫауаг=2Е1М7^, (4)
О 0 у ’
где К - кривизна изогнутого листа; а = ахх - единственная существенная компонента тензора напряжений,
J (х) = JJ
z2 dydz (5)
D (x)
(момент инерции сечения); й - пространственная область, занятая листом. Обозначим через S (х) площадь сечения, введем также величину
С,(х) = max \z\. (6)
(y, z )eD( х)
Тогда
l
V = J S(x)dx, (7)
0
а из (2), (3), (6) следует, что
ашах = тах С( Х)\М (х)|/ Л (х).
тах
тах
0 < х < I
(8)
У
Рис. 1 Модель однолистовой рессоры
Из выражения (3) можно найти прогиб (перемещение конца) рессоры
Функции М(х), 3(х), S(х), £(х) считаем непрерывными при
0 < х < I и положительными при 0 < х < I (при х = 0 эти функции могут равняться нулю).
Модель представляет собой два листа с вышеописанными свойствами (рис. 2); ¡1 > - длины листов. Нагрузка - сила Р, сосредоточенная на сво-
бодном конце первого листа. Сечения являются постоянными прямоугольниками одинаковой ширины V, но с различными высотами И 1 и И 2 . В отсутствие нагрузки листы плотно прилегают друг к другу; трением пренебрегаем.
Для расчета изгиба такой конструкции требуется предварительно решить контактную задачу о нахождении сил взаимодействия листов. Как показано в [5], в данном случае листы контактируют только по линии, расположенной на свободном конце второго листа (на рис. 2 - точка С ). Далее из (3), (4), (7)-(9) можно найти
Е* Л (х)
0 4 ’
(9)
1.2 Двухлистовая рессора
Рис. 2 Модель двухлистовой рессоры
и = Р21з Г Х2(3 + А) + 4ц31 |2wЕh3(1 + ц3),
(10)
V = whil1[l + (1 -К)/ц], (11)
(12)
amax = 3PlJ whf jmax ц2 (2 + À)/(1 + Ц3), 2ц3j (1 + |a3),2À
f = 2U/P, (13)
где À = 1 -I2Ili , ^ = h ijh 2 .
2 КИМР как мера равнопрочности рессоры.
Простейшая оценка для КИМР
Первое равенство (4) можно записать в виде
U = V (а2 >/2E,
2
где (а > - средний (по Q, ) квадрат напряжения. Тогда из (1) находим для одно- или двухлистовой рессоры
T = XV (а2 > n/v amax, (14)
n /
где индекс n нумерует листы. Равенство (14) означает, что КИМР следует рассматривать, прежде всего, как меру равнопрочности рессоры, и можно предположить, что максимизация КИМР приведет к равнопрочной (в каком-либо смысле) рессоре. Определяет ли КИМР также степень использования материала, еще предстоит установить.
Утверждение 2.1. T < 1.
Доказательство. Из (14) сразу следует, что T < 1. Предположим, что
для некоторой рессоры T = 1. Тогда из (14) находим, что для каждого листа
/ 2\ 2
(а > = amax , т.е.
z = 0 .
Ц|Га2( х, y, z) -a^ax й Г
Так как подынтегральная функция здесь непрерывна и неположительна, то она равна нулю в й . Отсюда с учетом (2), (3), (6) и неравенства M(х) > 0 (справедливого при х > 0 для однолистовой и для второго листа двухлистовой рессоры) следует, что |z| = £(х) всюду в D(х) при х > 0 . Это означает, что все точки области D(х) лежат на (не более чем двух) прямых |z| = const. Следовательно, S(х) = 0, что противоречит положительности S(х) при х > 0 . Таким образом, равенство T = 1 невозможно и T < 1.
3 Вычисление КИМР в некоторых частных случаях
3.1 Однолистовая рессора с произвольным переменным сечением Из выражений (1), (4), (7), (8) находим
J S ( x)dx
С( x)M ( x) max ——
0 < x < l J ( x)
(15)
3.2 Однолистовая рессора с произвольным постоянным сечением Если сечение не зависит от x, то из (15) находим
T = J0rj SqCo, (16)
где Jq, So, Со - соответствующие характеристики постоянного сечения Dq ,
l
T*=(l/lM^ax MM2(x) dx, Mmax = max M(x). (17)
' 0 < x < l
3.3 Однолистовая рессора с сечением в виде прямоугольника постоянной ширины и произвольной переменной высоты
Если сечение есть прямоугольник постоянной ширины и переменной высоты Н(х), то из (15) находим
з|h(x)dx
0
max
М (x)
0 < x < lh (x)
(18)
Если сечение - постоянный прямоугольник и нагрузка - сосредоточенная на свободном конце листа сила, то Т = 1/9 .
3.4 Двухлистовая рессора Из формул (1), (10)-(12) находим
T = -
X2 (3 + X) + 4 ц3
(19)
9(1 + ц-Х)<тах
2ц3 -X
2X(1 + Ц3)
Для рессоры из двух одинаковых листов (Х = 0, Ц = 1) T = 1/9 .
4 Задача максимизации КИМР
Поставим следующую задачу.
Задача 1. Найти параметры рессоры, для которых T = max (варьируются все параметры, описанные в разд. 1).
Для рассмотренных выше частных случаев рессор справедливы следующие утверждения о решении задачи 1.
Утверждение 4.1. В случае 3.1 задача 1 не имеет решения, а именно: 1) T < 1; 2) существует последовательность рессор, для которой T ^ 1.
Доказательство. 1. Неравенство T < 1 справедливо согласно утверждению 2.1.
2. Рассмотрим рессору с двутавровым сечением (рис. 3; показана четверть сечения). Величины H и w могут зависеть от х и от параметров е, п (см. ниже). В данном случае положим H(х) = const^/M(х), w = const. Из (15) нетрудно найти
T = Тн (Е, л) =
1 + £ + £2/ 3 + Л3е ( 1 + е)2(1 + л/е)
(20)
2
W
гН
T[W
Н
“Т ------------------------------
Рис. 3 Четверть двутаврового сечения листа
Пусть теперь 8 —— 0 и л — 0 так, что л/е — 0; тогда Т — 1. Утверждение 4.2. В случае 3.2 задача 1 не имеет решения, а именно: 1) Т < Т*; 2) существует последовательность рессор, для которой Т — Т* .
ет, что Т < Т*. Предположим, что для некоторой рессоры Т = Т*. Тогда из (16)
Далее, аналогично доказательству утверждения 3.1, из последнего равенства следует, что ¿0 = 0; это противоречит положительности S(х) при х > 0 . Таким образом, равенство T = T невозможно, и T < T.
2. Рассмотрим рессору с двутавровым сечением (рис. 3). В данном случае положим H, w = const. Из (16), (20) T = T^Th (е, Л). Пусть теперь е — 0 и Л — 0 так, что л/е —— 0; тогда T — T .
Утверждение 4.3. В случае 3.3 задача 1 имеет решение, причем неединственное, а именно: 1) T < 1/3; 2) если h(х) = const^M(х), то T = 1/3;
3) если T = 1/3, то h(х) = const^/M(х).
Доказательство. 1. Обозначим
Доказательство. 1. Из (5), (6) находим: J0 < Со¿0; тогда из (16) следу-
2
получаем Jq =Со Sq , откуда
If (z 2 -с2 )dydz=0
A = max
0 < x < l
(21)
тогда
(22)
Далее из (18), (21), (22) находим, что Т < 1/3 .
2. Утверждение следует из (18).
3. Если Т = 1/3 , то из (18), (21) находим
Так как подынтегральная функция здесь непрерывна и неположительна (в силу (22)), то она равна нулю при 0 < х < l. Следовательно, h(х) = -s]M(х)/A .
Замечание. Из (3), (4) следует, что однолистовая рессора, для которой h(х) = const^/M(х), является равнопрочной в том смысле, что для нее максимальный по сечению модуль напряжения ^тах(х) = max |q(х,y,z)| не
(y, z) е D (Xs)
зависит от х. Таким образом, в данном случае максимизация КИМР действительно приводит к равнопрочной рессоре и качественное предположение разд. 2 подтверждается. Это справедливо и для случая 3.4 (см. ниже соответствующее замечание).
Утверждение 4.4. В случае 3.4 задача 1 имеет решение, причем неединственное, а именно: максимальное значение функции (19) в области (0 <А< 1, ц> 0) достигается в единственной точке (А = 9/13 , ц = 3/2) и равно 71/423 (неединственность решения задачи 1 состоит в том, что определяются только отношения I2II1 и h 1/h 2).
Доказательство утверждения 4.4 можно получить, выполнив принципиально несложное, но технически несколько громоздкое исследование функции (19).
Замечание. Можно показать, что в данном случае рессора с параметрами А = 9/ 13, ц = 3/2 является равнопрочной в том смысле, что qjax 1 не меняется вдоль листа от точки заделки до точки контакта со вторым листом и равно значению qj^ 2 в точке заделки (см. [5], замечание 2 к теореме 2, где рассмотрены соответствующие параметры для многолистовой рессоры).
5 Задача минимизации массы рессоры
Рассмотрим теперь задачу не максимизации КИМР, а непосредственно минимизации массы рессоры с заданными упругой и прочностной характеристиками. Предположительно решение второй задачи должно приводить к тем же результатам, что и решение первой. Плотность материала рессоры считаем фиксированной, поэтому далее будем говорить о минимизации объема рессоры. Поставим следующую задачу.
Задача 2. При заданных E, l, M(х) (в случае 3.4 - E, I1, P) и при условиях
/ = /0; (23)
qmax < q0 , (24)
где /0 , q0 заданы, найти параметры рессоры, для которых V = min .
Для рассмотренных выше частных случаев рессор справедливы следующие утверждения о решении задачи 2.
Утверждение 5.1. В случае 3.1 задача 2 не имеет решения, а именно: 1) V > V[*; 2) существует последовательность рессор, для которой (23), (24) выполнены и V — V* . Здесь
/оЕа0) тіп М(х)/х . (25)
' '0 < х < I
Доказательство. 1. Из (1), (24) и неравенства Т < 1 (см. утверждение 2.1) следует, что
V > 2Еи/о2 . (26)
Далее из (4) находим
1м
J (х) 0 < X < I
2Еи > ГМ(Х)Х(к тіп М(х)/х . (27)
J (х) 0 < х < 1 ;1
0
Из (9), (23), (25)-(27) следует, что V > VI*.
2. Пусть минимум М(х)/х достигается в точке х* . Введем последовательность ф (х, е) положительных и непрерывных при 0 < х < I функций, сходящуюся (в интегральном смысле) при е^0 к 5 (х-х*)/х (8(х) -дельта-функция Дирака) так, что для любого е
I
| ф( х, е) xdx = 1.
0
Рассмотрим рессору с двутавровым сечением (рис. 3). В данном случае положим
Н(х,е) = Сто//оЕ(1 + е)ф(х,е),
м>(х, е, л) = (1 + е)/о2Е2М(х) ф2(х, е)/4а0(е + л)Тн (е, л).
Тогда из (8), (9), (20) нетрудно найти, что / = /0 и атах = ^ , т.е. (23), (24) выполнены. Далее из (7) получаем
V = 2 /0Е-----Гм(х)ф(х, е)ск .
°0Тн (е, л) 0
Пусть теперь е —> 0 и л —^ 0 так, что л/е ^ 0; тогда, с учетом (25) и свойств ф(х, е), находим, что V — V1 * .
Утверждение 5.2. В случае 3.2 задача 2 не имеет решения, а именно:
1) V > V2*; 2) существует последовательность рессор, для которой (23), (24) выполнены и V — V? *. Здесь
V, * = /0ЕМтУ а2 |М(х)xdx . (28)
0
Доказательство. 1. Из (1), (24) и неравенства Т < Т* (см. утверждение 4.2) следует, что
V > 2Еи/а0 Т* . (29)
Далее из (4), (9), (23) находим
l ll
2U = /0 JM2(х)дх / JM(х)хдх . (30)
0 /0
Из (17), (28)-(30) следует, что V > V2* .
2. Рассмотрим рессору с двутавровым сечением (рис. 3). В данном случае положим
H(е) = Mmaxl/q0V2*(1 + e) ,
w (e, Л) = q0V22* (1 + £)/4Mmaxl2 (e + ЛТн (e, Л) .
Тогда из (8), (9), (20) нетрудно найти, что / = /0 и qmax = q0 , т.е. (23), (24) выполнены. Далее из (7) получаем
V = V2 * Тн (е, Л).
Пусть теперь е — 0 и Л —0 так, что л/.е — 0; тогда V — V2 *. Утверждение 5.3. Если B <^ , то в случае 3.3 задача 2 имеет единственное решение, а именно: 1) V > V3*; 2) если h(х) = h*(х), w = w*, то (23), (24) выполнены и V = V3 *; 3) если V = V3* и (23), (24) выполнены, то h(х) = h*(х), w = w* . Если B = ^, то в случае 3.3 задача 2 не имеет решений,
а именно: 4) существует последовательность рессор, для которой (23), (24) выполнены, и V — 0 . Здесь w - ширина прямоугольного сечения листа,
\ х дх
B = J-
Vм (x) ’
0
/
Vs* = 2
а2 5
Г^fM(Х)dx; (31)
00
К* (х) = 2ао ВуІМ(х)//о Е; (32)
= 3 /02 Е 2/2а3 В2. (33)
Доказательство. 1. Из (8), (24) находим
К(х) > д/6М(х)/^ао . (34)
Из (9), (23), (33), (34) следует, что
^ . (35)
Тогда из (7), (31), (33)-(35) следует, что V > V}*.
2. Утверждение следует из (7)-(9), (31)-(33).
3. Если V = Vз*, то из (7), (31), (33), (34) находим: ^ < w* . Тогда из (35) следует, что ^ = w* . Из этого равенства, (7), (31)-(34) и из равенства V = V?* находим
/ I
|И(х)ёх = |И* (х)ёх, И(х) > И* (х).
0 0
Отсюда, в силу непрерывности И(х), И*(х), следует, что И(х) = И* (х).
4. Введем параметр Мо > 0 . Положим
гл,г \ 3/02Е2 [[ М(х)хёх |
м>(Мо) =^ I------------------о/2 \ ,
2а0 / [0 М(х) + М0 ]3/2 ]
И(х,М0) = ^6 [М(х) + М0 V^(М0)а0 .
Тогда из (8), (9) нетрудно найти, что / = /0 и атах < а0, т.е. (23), (24) выполнены. Далее из (27) получаем
I
V = ^6^(М0) [М(х) + М0 ]/а0$х.
0
Пусть теперь М0 ^ 0. Так как 5 = ^, то w(Mо) ^ 0, следовательно,
V ^ 0.
Утверждение 5.4. В случае 3.4 задача 2 имеет единственное решение, а именно: 1) V > У4* ; 2) если w = w*, И = , И2 = И2*, /2 = /2*, то (23), (24)
выполнены, и V = ^4*; 3) если V = ^4* и (23), (24) выполнены, то w = w*,
Й = И *, И2 = Й2 *, /2 = 12*. Здесь w - ширина прямоугольных сечений листов,
V4* = (423/71)(( Е/а2); (36)
w* = (59319/10082)/02Е2/а0/3); (37)
И1* = (142/169) $о0/Е/0), И) = 2Й1*/3 , /2* = 4^/13 . (38)
Доказательство. 1. В данном случае Т < 71/423 (см. утверждение 4.4). Отсюда, с учетом (1), (13), (23), (24), (36), находим, что V > V4* .
2. Утверждение следует из (10)-(13), (36)-(38).
3. Если V = V4*, то из (1), (13), (23), (24) находим, что Т > 71/423 . Поскольку Т < 71/423, то Т = 71/423. Отсюда следует, что /2//1 = 4/13 и И2/И = 2/3 (см. утверждение 4.4). Тогда из (10), (13), (23), (36)-(38) и равенства V = ^* следует, что w = w*, И = И1*, И2 = И2*, /2 = /2*.
Выводы
КИМР является, прежде всего, мерой равнопрочности рессоры. Максимизация КИМР приводит к равнопрочным (в различных смыслах) рессорам. Это свойство данного коэффициента не вполне выражается термином «КИМР».
Связь максимизации КИМР (задача 1) и минимизации массы рессоры (задача 2) не является простой. Для рассмотренных частных случаев обнаружены следующие ситуации:
1) задачи 1 и 2 не имеют решений;
2) задача 1 имеет много решений, задача 2 не имеет решений;
3) задача 1 имеет много решений, одно из которых является единствен-
ным решением задачи 2.
Таким образом, выражаемое термином «КИМР» свойство этого коэффициента определять эффективность использования материала существует в некоторых, но не во всех случаях.
Следует отметить, что были рассмотрены только простейшие задачи минимизации массы рессор, содержащие лишь самые необходимые ограничения. Вполне возможно, что при добавлении ограничений (например, требования, чтобы ширина листа не превышала заданной величины) связь максимизации КИМР и минимизации массы рессоры станет иной.
Список литературы
1. Пархиловский, И. Г. Автомобильные листовые рессоры / И. Г. Пархилов-ский. - М. : Машиностроение, 1978. - 232 с.
2. Таланцев, Н. Ф. Критерии оценки рессор / Н. Ф. Таланцев // Автомобильная промышленность. - 1988. - № 10. - С. 20-21.
3. Баничук, Н. В. Введение в оптимизацию конструкций / Н. В. Баничук. - М. : Наука, 1986. - 302 с.
4. Работнов, Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Работнов. -М. : Наука, 1988. - 712 с.
5. Няшин, Ю. И. К теории изгиба листовой рессоры / Ю. И. Няшин, М. А. Осипенко, Р. Н. Рудаков // Изв. РАН. МТТ. - 2002. - № 6. - С. 134-143.
Осипенко Михаил Анатольевич
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра теоретической механики, Пермский государственный технический университет
E-mail: oma@theormech.pstu.ac.ru
Таланцев Николай Филаретович
ведущий инженер, авторессорный цех, лаборатория авторессорного производства, ОАО «Чусовской металлургический завод»
E-mail: Talancev_NF@chmz.ru
Osipenko Mikhail Anatolyevich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of mechanics theory, Perm State Technical University
Talantsev Nikolay Filaretovich Principal engineer, car spring workshop, laboratory of car springs production, public enterprise «Chusov metallurgic works»
УДК 539.319 Осипенко, М. А.
О свойствах коэффициента использования материала листовой рессоры / М. А. Осипенко, Н. Ф. Таланцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. - № 2 (10). - С. 134-144.
