CC BY
23
УДК 517.51:517.98
ВЫРАВНИВАНИЕ НОРМ В СТРОКАХ ОРТОГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ И РАВНОМЕРНЫЕ ФРЕЙМЫ
© 2009 М.А. Лапшина1
В работе описаны упрощенные алгоритмы Casazza-Leon для построения равномерного фрейма Парсеваля-Стеклова произвольного объема из блочно-диагональной ортогональной матрицы. Приведены примеры равномерных фреймов Парсеваля-Стеклова объема 5 в пространстве R2 и объема Т в пространстве R3.
Ключевые слова: допустимая последовательность, фрейм, фрейм Пар-севаля-Стеклова, равномерный фрейм, фреймовый оператор.
Все рассуждения в работе будем проводить в конечномерном пространстве Rn, в котором введено стандартное скалярное произведение (■, ■) и норма ||x|| = (x,x). Пусть M и N — натуральные числа, причем M ^ N.
Напомним понятие фрейма [1].
Определение 1. Набор элементов {^i}Mi из RN называется фреймом для пространства RN, если существуют положительные числа A и B такие, что
M
A||x||2 ^ ^ | < x,tpi > |2 ^ B||x||2
i=1
для всех x из Rn .
Числа A и B называются соответственно нижней и верхней границей фрейма, причем inf B — оптимальная верхняя граница фрейма, а sup A — его оптимальная нижняя граница. Если оптимальные верхняя и нижняя границы совпадают, то есть A = B, то фрейм называется жестким. Жесткий фрейм, у которого A = B = І, будем называть, следуя В.С.Владимирову, фреймом Парсеваля-Стеклова. В книге [1] и вообще в англоязычной литературе такие фреймы называются фреймами Парсеваля.
Определение 2. Фрейм {^i}Mi называется равномерным, если существует число а такое, что ||<^i|| = а для любого i.
1 Лапшина Мария Александровна ([email protected]), кафедра функцио-
нального анализа и теории функций Самарского государственного университета, 443011,
Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
Заметим, что для равномерного фрейма Парсеваля-Стеклова а =
[2].
м
С каждым фреймом связаны три оператора:
1) оператор анализа ^ : х ^ {< х, ^ >}м=1, ^ :
м
2) оператор синтеза ^* : {а^} Є Мм ^ ^ ада Є , сопряженный для
І=1
оператора анализа;
3) фреймовый оператор £х :
м
£х = ^*^х = ^ < х, ^ > ^, і=1
этот оператор положительный, самосопряженный и обратимый. Заметим, что фреймовый оператор может быть определен для произвольной системы векторов, такой оператор, вообще говоря, необратим.
Для каждого х из Мм справедливо фреймовое представление:
м
х = ^2 < х,£-1^г > <£г. і=1
Теорема 1. Набор векторов {^г}І=1 является фреймом Парсеваля-Стек-лова в пространстве Мм тогда и только тогда, когда фреймовый оператор является единичным: £х = їх, х Є Км.
Доказательство. Пусть {^і}І=1 фрейм Парсеваля-Стеклова. Тогда рассмотрим скалярное произведение
мм < £х, х >=< ^ < х, ^ > ^, х >= ^ < х, ^ >< ^, х >= і=1 і=1
м
I < x, ^i > I2 = |x|2 =< /x, x >
i=1
для всех x из Rn. Отсюда следует, что S = /.
M
Обратно, для произвольной системы векторов {<^i}Mil определяем
M
Sx = ^ < x,^i > <£i
i=1
для всех x из Rn. Если S = /, то
/ M \ M M
< Sx, x >= / ^ < x, ^i > <^, x \ ^ < x, ^i >< ^i, x >= ^ I < x, ^i > I2.
\i=1 / i=1 i=1
M
Таким образом, получаем равенство ^ I <x,^i > I2 = ||x||2, которое явля-
i=1
ется определением фрейма Парсеваля-Стеклова. •
В настоящее время известен простой и универсальный способ построения фреймов Парсеваля-Стеклова. Он состоит в том, что из ортогональной M х M матрицы удаляются произвольные M — N столбцов. Строки оставшейся M xN матрицы будут образовывать фрейм Парсеваля-Стеклова [1, 3]. В прикладных задачах удобнее работать с равномерными фреймами Парсеваля-Стеклова. Общая конструкция, описанная выше, не обеспечивает равенства норм. Поэтому возникает задача выравнивания норм строк ортогональной матрицы после удаления некоторого количества столбцов. Такая задача, видимо, может считаться классической и неявно рассматривалась в работах А.Н. Колмогорова [4] и Ю.В. Линника [5] Общее решение задачи описания ортопроекторов, преобразующих ортонормированный базис в векторы одинаковой нормы, до сих пор неизвестно [3].
В серии работ P.G. Casazza, M. Leon [6-8] были приведены алгоритмы для решения задачи построения фреймов Парсеваля-Стеклова с заданным набором норм. В данной работе упрощенные алгоритмы применены к построению равномерных фреймов Парсеваля-Стеклова. В итоге получилось развитие предыдущей работы [9], в которой мы использовали две матрицы. Здесь используется целый класс матриц блочно-диагонального вида и, таким образом, строится достаточно широкий класс равномерных фреймов Парсеваля-Стеклова произвольного объема.
Определение 3. Числовая последовательность {ci}Mi называется до-
M
пустимой, если с2 ^ 1 и с2 = N.
i=1
Группу ортогональных матриц пространства RM будем обозначать O(M), и — единичная матрица пространства RL.
Опишем кратко упрощенный вариант алгоритма Casazza-Leon (ACL). Фрейм Парсеваля-Стеклова {^i}Mi с заданными нормами ||^>i|| = е, где {c}Mi — допустимая последовательность, будет построен из ортогональной матрицы O £ O(M), которая имеет вид:
о = ( Rn 0 \ 0 Rm-n
где Rn £ O(N) и RM-N £ O(M — N).
Используя матрицу O и матрицу вращения Гивенса [10]
0(t, k, M) =
V
-1 -а -1 0 0 0
0 cos t 0 sin t
0 0 ^M-fc-1,M-fc-1 0
0 — sin t 0 cos t
вычисляем индуктивно матрицы Оі,О2,...,Ом-ь В матрице Ом-і первые N столбцов будут образовывать фрейм Парсеваля-Стеклова {да}Мі с заданными нормами.
Матрица Оі определяется соотношением Оі := 0(іі, 1, М)О, где іі : = = arg(cl + 3\/1 — с2) и ^ — мнимая единица.
Рассмотрим два случая.
I случай: если cf + ^ 1, то t2 — произвольное решение уравнения
1 - С2 sin21 _ 1 c2 Sin t2 _ ----к—,
c1
и вычисляем
O2 :_ 0(t2, 2,M)Oi.
II случай: если cf + c2 < 1, то t2 — произвольное решение уравнения
c2
2 c2
sin2 t2 _ 2
1 - cl
и вычисляем
O2 := 0(t2,M - 1,M)Ol.
Действуя аналогично, получим:
I случай: если c2 + c2 +... + cm-1-2 ^ m + 1, то tm-г-2 находим как одно из решений уравнения
1 - C2
■ 2 , cm-1-2
Sin tm-1-2 = 2 , 2 ,---2---------,
C1 + c2 + ... + Cm-1-1 - m
и вычисляем
Om-1-2 := ^(tm-1-2, m + 2, M)Om-i-l, m := m + 1.
II случай: если c° + c2 + ... + cm-г-2 < m + 1, то tm-г-2 находим как одно из решений уравнения
C2
• 2. _ ___________cm-1-2__________
Sin tm-1-2 — . 2 2 2 ,
m + 1 - C1 - C2 - ... - Cm-1-1
и вычисляем
Om—1—2 := $(tm—M — l — 1, M)Om—Z-Ъ l := l + 1.
Пример 1. Опишем построение равномерного фрейма Парсеваля-Стек-лова в пространстве R2 из пяти векторов и единичной матрицы
/ 1 О О О О \
ОІООО O = О О 1 О О
0 О О 1 О
00001
Как было описано выше, итогом такого построения является система векторов одинаковой нормы, которая с необходимостью равна . Таким образом, числа Cl = c2 = c3 = c4 = c5 = \J\.
Вычисляем tl и Ol :
tl := arg(V І + jV1 - 2) = argw 2 + jV 3),
отсюда
2 3
008 *1 = у 5 И 81П *1 = у 5;
Оі := 0(іь1, 5)0 =
/ /1о 5 0 0 0 /15 \ 5 / 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
V /15 5 0 0 0 /ю , 5 / V 0 0 0 0 1
Оі =
/ Цр 0 0 0 /І \
0 10 0 0
0 0 10 0
0 0 0 1 0
000
V
/15
5
/1о
5 /
Так как сі + = 5 < 1, то это второй случай и
008 *2 = у3 и 8ІП *2 = у 2;
02 := 0(*2, 4, 5)01 =
1 0 0 0 0 \ / /1о 5 0 0 0 /15 \ 5
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 /з з /6 з 0 0 0 1 0
0 0 0 /в 3 /3 3 / . /15 \ 5 0 0 0 /1о . 5 /
и т := 0, I := 1.
Так как с2 + с2 + с3
( /ш
5 0
02 =
00 10 0 0 1
/9о
' 15
0
0
0
0 0
/15 \
5
0
0
/6о
15
5
^ 1, то это первый случай и
, 1 . , ^3
008 *3 = 2 и 81П *3 = —;
Оз := 0(*з, 2, 5)02 =
/ 1 0 0 0 0 \
0 1 2 0 0 /3 2
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
V 0 /3 2 0 0 1 2 /
( /Ш
5 0
00
10
0 0 1
/90 ' 15
0
0
0
0 0 ^З3
/15 \ 5 0
0
/во
15
\ 0 0 -# # )
6
/ /І0 б О О О /ТІ б
/ІІ 1 О /І8 /І0
10 2 б 10
О О І О О
/90 О О /з /б0
15 з 15
1 /4І ' зо /з О /б /зо
2 б зо
Оз =
и m := 1, l := 1.
Так как с2 + c2 + с2 + с2 = | < 2, то это второй случай и
11 cos t4 = и sin t4 = ;
л/2 л/2
О4 := 0(І4, 3, 5)Оз =
І О О О О \
О І О О О
О О /2 2 О /2 2
О О І О О
О О /2 2 О /2 2 /
/ /І0 К О О
/ /0 б
/ІІ 10 О
/90 15
\ /4І
х зо
т
2
О
О
_/з
О4 =
/ІІ ' 10
О
/90 _/б /2
V
б0
/90
15
/90 ' б0
4
О
/б
4
2
О
/2
2
О /| \
и б
/І8 /І0
б 10
/І2 /б0
б0 /б0 _ 15
/І2 /б0
12 б0 /
12
/з
з
О
0
1 О О
О \
/is /То
б
О
/з
з
/б
б
10 О
/б0 15
/зо /
зо 7
и т := 1, 1 := 2.
Таким образом, мы вычислили матрицу О4, в которой строки первых двух столбцов образуют равномерный фрейм Парсеваля-Стеклова из пяти элементов в пространстве М2 (норма каждого элемента равна ).
Пример 2. Опишем построение равномерного фрейма Парсеваля-Стек-лова в пространстве М3 из семи векторов. Для построения будет исполь-
зована матрица
О =
/1 з
/3 3
/3 3
О О О О
/б
3
_/б
б
./в
б
О
О
О
О
О
/2
2
/2
2
О
О
О
О
О
О
О
Т
2
/2
2
О
Т
2
О
О
О
Т
2
О
/2
2
Т
2
О
О
О
Т
2
/2
2
О
Т
2
\
О О О
Т
2
О
/2
2
- 2 }
Как было описано выше, итогом такого построения является система векторов одинаковой нормы, которая с необходимостью равна . Таким об-
разом, числа ст = с2 = сз = с4 = сб = сб = с7
О
Вычисляем іі и Оі :
*і := ^^7+ц4),
отсюда
Оі := 6(іь 1, 7)0 =
/3 3 0
0
0
2 /21 \ 21
3 4
7 И 81П І1 = V 7;
/ /63 /126 0 /7 /7 /7 _/7 \
'21 21 7 7 7 7 х
/6
6
0
0
0
2 /42 0 21
/2
2
_/2 0 2 и
0
0
0
/2І
0 І
2 2 2
0
/2І
14
0
0
1
2
0
/2
2
/21
14
Так как с^ + с^ = | < 1, то это второй случай и
0 V 21 у 21 у 21 у 21 /
и 14 14 14 14 /
0
0
1
2
/2
2
0
/21
14
1
2
0
/2
2
008 ^2 = у 4 и 8ІП ^2 = у 3, О2 := 6^2, 6, 7)01;
02 =
/ //61 21
/3
3
/3 3 0
0
_/7
7
\ /21
\ 21
и т := 0, I := 1.
/126
21
_/6
6
0
0
/126
21
/42
21
_/6 /2 0
6 2 и
/2
2
0
1
2
2
2
/63
28
/21
28
/7
7
/2 _ 4 /6 4
/I _/7 \
7 7 '
00
/63 28 _ /21 28
0
1 2 /2 2
/63
28
/21
28
0
1 2
-^ 0
/2 _ 4
/63
28
/6 _ /21 і
4 28 /
Так как с1 + с^ + с| = 9 ^ 1, то это первый случай и
008 І3 =
3и 81п і3 =#
0
0
0
0
0
0
0
03 =
О3 := 6(І3, 2, 7)02,
/ у/63 уі^б
' 91 91
Убз УІ26
2І І \/Т26 2І ч/Гв 2\/7
3 63 Уз І8 2І У6
3 6
0 0
0 0
27 УІ26
7 \/І8 \/7 2 І І \/І26
' 9 2І 3 63
I := 1.
0
Уб
6
_ У2
2
0
0
УІ2
У7 _ У7 \
7 7
27 27 27 27
7 Ч/Т26 У36 7 4/126 7 ^/T/6 У36 7 ч/Г^
84 І2 84 84 І2 84
0 0 0 0
І І І І
2 у/2 2 ч/63 2 2 0 У63 2 У^ 2 ч/63 2 2 0 У63
28 \/63 4 \/І8 2 8 \/63 28 \/63 4 \/І8 28 \/63
84 І2 84 84 І2 84
Матрицы О4, О5, Об вычисляются аналогично. Запишем только получившийся равномерный фрейм Парсеваля-Стеклова.
6
/ /63 \ ( 1 - /126 \
л/15 + 2/50 ( /18 /7)
15 25 ^ 9 21 >
_/30 + 2/50 ( 1 _ ^126) 3^ 25 '3 63 >
/10 2/6
10 15
, 21 , 3 — 63
= /126 Шо = _ /Ц _ ъИ
21 ’ ^2 18 21
( /2 (_ 2/15 + /50 (_ /18 2 V 1 5 "Г" 25 V 9
/2 (/30 + /2 ( 1 _ /1 2 У 15 "Г" 5 V3 63
( -/7 \
^6 = -/Й , ^7
7
V 0 /
Описанный алгоритм можно реализовать в системе компьютерной математики (СКМ) Maple, а также в програмной среде Delphi. В работе [7]
предлагается реализация в СКМ MATLAB.
Литература
[1] Christensen, O. An Introduction to Frames and Riesz Bases / O. Christensen. — Boston: Birkhauser, 2002.
[2] Драбкова, Е.С. Объем фрейма Парсеваля / Е.С. Драбкова, С.Я. Новиков // Вестник Самарского государственного университета. — 2007. — №9/1(59). — С. 91-106.
[3] Casazza, P.G. The known equal norm Parseval frames as of 2005 / P.G. Casazza, N. Leonhard. Preprint 2006. Режим доступа: www.math.missouri.edu/~pete/
[4] Колмогоров, А.Н. К обоснованию метода наименьших квадратов / А.Н. Колмогоров // Успехи математических наук. — 1946. — Т.1. — Вып. 1. — С. 57-70
[5] Линник, Ю.В. Метод наименьших квадратов / Ю.В. Линник. — М.: Физматгиз, 1962. — С. 352.
[6] Casazza, P.G. Frames with a given frame operator / P.G. Casazza, M. Leon. Preprint. — Режим доступа: www.math.missouri.edu/~pete/
[7] Casazza, P.G. Existence and construction of finite tight frames / P.G. Casazza, N. Leon. — Режим доступа: www.math.missouri.edu/~pete/
[8] Casazza, P.G. Custom Building Finite Frames / P.G. Casazza. Preprint. — Режим доступа: www.math.missouri.edu/~pete/
[9] Лапшина, М.А. Равномерные фреймы в пространстве RN / М.А. Лапшина // Вестник Самарского государственного университета. —
2008. — №6. — С.112-122.
[10] Хорн, Р. Матричный анализ j Р. Хорн, Ч. Джонсон. — М.: Мир, 1989. — С. 655.
Поступила в редакцию 9j//j2009; в окончательном варианте — 9j//j2009.
NORM EQUALIZATION IN ROWS OF ORTHOGONAL MATRIX AND UNIFORM FRAMES
(c 2009 M.A. Lapshina2
The simplified versions of Casazza-Leon algorithms for the construction of the uniform Parseval-Steklov frame of arbitrary volume from a block-diagonal orthogonal matrix are described in the paper. There are examples of uniform Parseval-Steklov frames of volume 5 in R2 and of volume Т in R3.
Key words and phrases: admissible sequence, frame, Parseval-Steklov frame, uniform frame, frame operator.
Paper received 9j//j2009. Paper accepted 9j//j2009.
2Lapshina Mariya Alexandrovna ([email protected]), Dept. of Theory of Func-
tions and Functional Analysis, Samara State University, Samara, 443011, Russia.
