Выравнивание напряжений в элементах с отверстиями за счет применения материалов с направленной структурой Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 539.319 ЭО! 10.24411/2686-7818-2020-10032

ВЫРАВНИВАНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ С ОТВЕРСТИЯМИ ЗА СЧЕТ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ С НАПРАВЛЕННОЙ СТРУКТУРОЙ*

© 2020А.Л. Лазарев, Н.М. Ноешов**

Приведено описание решения задачи снижения локальных напряжений в области технологических отверстий за счет направленного изменения упругих характеристик материала конструкции в соответствии с желательным наряженным состоянием.

Ключевые слова: напряженно-деформированное модуль упругости, коэффициент Пуассона.

Спектр применения тонкостенных строительных конструкций очень широк и неуклонно расширяется. Их преимущества в качестве ограждающих конструкций для сооружений со значительными внутренними объемами по сравнению другими видами строительных конструкций неоспоримы. Не только инженерные, но также архитектурные критерии зачастую являются основанием для применения тонкостенных строительных конструкций.

Расчет и проектирование элементов, тонкостенных конструкций рассматривает их упругий характер напряженно-деформированного состояния. Очень часто сплошность многих конструкций нарушается различного рода отверстиями по конструктивным, технологическим и другим соображениям. В непосредственной близости от них возможно возникновение локальных напряжений, значительно превосходящие основные в неослабленных плоскостях. В некоторых случаях режим работы конструкций с нерасчетными напряжениями в районе концентрато-

состояние, отверстия, концентрация напряжений,

ров, которыми являются отверстия, приводит к нежелательному перераспределению напряжений, с возможным возникновением недопустимых пластических деформаций [1].

Изучение напряженного и деформированного состояния в зоне концентрации относится к числу наиболее сложных задач теории упругости, пластичности и ползучести [2].

Изучению проблемы снижения локальных напряжений посвящено множество работ отечественных и зарубежных ученых [3 -5]. Однако зачастую приводимые решения не являются исчерпывающими, что связано со сложностью и многогранностью решаемой задачи.

Особый интерес представляют решения, связанные с применением композиционных строительных материалов с направленной структурой.

В работе [6] авторами представлено решение задачи выравнивания напряжений в районе отверстий с применением функционально-градиентные композиционных материалов.

* Работа представлена в качестве доклада на X! Академических чтениях РААСН -Международной научно-технической конференции «Долговечность, прочность и механика разрушения строительных материалов и конструкций», посвященной памяти первого Председателя Научного совета РААСН «Механика разрушения бетона, железобетона и других строительных материалов» Почетного члена РААСН, д.т.н., профессора Зайцева Юрия Владимировича (Саранск, ФГБОУ ВО "Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва", 2020 год).

** Лазарев Александр Львович (aleks-laz@yandex.ru) - кандидат технических наук, доцент; Коешов Нурдин Мателович (koeshovnurdin@gmail.com) - кандидат технических наук, преподаватель; оба - Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарёва (Саранск, РФ).

ф

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2020. № 4 (7)

Рис. 1. Плоское осесимметричное напряженное состояние кольца

Для решения задачи определения характера напряженного состояния пластинки, ослабленной отверстием, предварительно рассмотрим плоское осесимметричное напряженное состояние модели в виде кольца (рис. 1). Внутренняя поверхность кольца, очерченная по окружности радиусао, от нагрузки свободна, а на наружный контур радиуса Ь действуют равномерно распределенные радиальные напряжения q. Предполагается, что упругие свойства материала кольца изменяются в радиальном направлении. В общем случае существует цилиндрическая ортотропия, при которой закон Гука записывается в виде

£в = А2лаг+А2 (1)

Здесь Аи =Аи(П А2з = А2з(П

- упругие характеристики материала кольца, являющиеся функциями расстояния г от центра. Для напряжений и деформаций использованы общепринятые обозначения.

Подстановка выражений (1) в уравнение неразрывности деформаций

■9

г dr приводит последнее к виду

Аиат-

d ч dAu

d I в J r d

A 9

(2)

рактеристик AlirA2lf Als = AZl позволяет двумя из них распоряжаться произвольно (в пределах физически допустимых значений). В частности, цель достигается при использовании неоднородного изотропного материала с переменным модулем упругости Е = Е(г) и постоянным коэффициентом Пуассона v = const. Принимая во внимание, что в этом случае

из формулы (2) получаем

или

dA А

Интегрируя, находим

VGr -Од

dr

А — С ■ exp j

va-y

Ofl

d(nr + dr

dr

или, имея в виду, что при

А = 1/Е, Е = С- ехрр(т) Здесь принято обозначение

1 dQJr + a^

(4)

FGO = |

ав - var

dr

i.y (5)

Таково уравнение неразрывности деформаций в полярных координатах, выраженное через напряжения, для неоднородного цилиндрически ортотропного тела. Наличие в одном уравнении (2) трех упругих ха-

Если

при

г = b Е = Е

ъ.

Е-, = С -zXvFib), следовательно,

то

(6)

Рис. 2. Расчетная схема пластинки, ослабленной отверстием радиуса а и растягиваемой напряжениями а

Потребуем, чтобы окружные напряжения аТ распределялись по кольцу равномерно (рис. 1). Тогда из условий равновесия

О*

а

в-

В частности

ч

(7)

(8)

Подстановка (8) в (5) дает следующее выражение:

(9)

у * Г'

Далее в соответствии с выражением (6) нетрудно получить

(10)

При V = 0 формула (10) дает неопределенность, источником которой является неопределенность, появляющаяся в правой части формулы (9). Раскрывая ее, получим, что при V = 0

после чего

(11)

Перейдем к задаче о пластинке, ослабленной отверстием радиуса а и растягиваемой напряжениями а (рис. 2). Модуль

упругости и коэффициент Пуассона пластинки обозначены через Е0 и v0. Отверстие окружено вставкой-шайбой с наружным радиусом b. Эта вставка предназначена для снижения напряжений возле отверстия.

Полагаем, что вставка представляет неоднородное изотропное тело с переменным

модулем упругости £ = и постоянным

коэффициентом Пуассона-у = const ■

Если в пределах шайбы-вставки задать характер распределения окружных напряжений о~д, то можно использовать решение предшествующей задачи. В дальнейшем это распределение принимаем равномерным, полагая, что tjg = р .

Радиальные напряжения, действующие на границе вставки, обозначим через q. Их величина в соответствии с (4.8) определится как

q = Q - аУр

(12)

а

Здесь принято обозначение СС = —. Ок-

Ъ

ружные напряжения в пластинке на линии контакта со вставкой будут равны

сг.

,

(13)

тогда с учетом (4.12)

ао\г=Ь = 2а~0-~ а)Р

Эти напряжения, которые для пластинки, окружающей вставку, являются максимальными, ограничим некоторой величиной [у], находящейся в пределах от а до 2 а. Из равенства

t)

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2020. № 4 (7)

находим

а = 1-п(К-1) (14)

В формуле (14) использованы обозначения

Ы

(15)

2Е7

К =— ;П = [tj] р

после приравнивания правых частей формул (17) и (18), получаем

Еь Еп

lv9(Kiy

(19)

Еъ_ 1 v{K-i)

(20)

Отношение К = 2 а/[ а] показывает, во сколько раз снизятся максимальные напряжения в пластинке благодаря включению вставки, окружающей отверстие. Используя (14), формулу (12) переписываем в виде

О = ПрС\ -1) (16)

Относительные окружные деформации на линии сопряжения пластинки и вставки записываются следующим образом. Для вставки имеем

или с учетом (16) и обозначений (15)

Если модуль упругости вставки на ее наружном крае равен , то

или, имея в виду (16)

Из условия совместности деформаций, т. е. равенства

Если принять окружные напряжения в пластинке и вставке вдоль линии их контакта одинаковыми (когда п = 1), то будем иметь

Е0 1-у0(К-1)

Получив из формулы (19) или ее частного случая (20) величину, по формулам (10) или (11) находим закон изменения модуля упругости вставки, при котором реализуется заданное напряженное состояние. Градиентное изменение модуля упругости вставки при практической реализации может заменяться дискретным.

Библиографический список

1. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. - Киев: Наукова думка, 1968. -891 с.

2. Биргер И.А. Расчет на прочность деталей машин: Справочник / И.А. Биргер, Б.Ф. Шорр, Г.Б. Иосилевич. - М.: Машиностроение, 1993. -640 с.

3. Мамедсадыгов Г.Г. Напряженное состояние круглой пластинки, изготовленной из физически нелинейного материала, ослабленной круглыми отверстиями, подверженной внутренним и внешним давлениям: дис. ... канд. физ.-мат. наук / Г.Г. Мамедсадыгов. - Баку, 1984. -191 с.

4. Карпов Е.В. Концентрация напряжений и разрушение вблизи круговых отверстий в композитных элементах конструкций: дис. ... канд. физ.-мат. наук / Е.В. Карпов. - Новосибирск, 2002. - 119 с.

5. Барашков В.Н. Моделирование пространственного напряженно-деформированного состояния балки-стенки / В.Н. Барашков,

A.А. Матвеенко // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. - 2010. - № 3. - С. 92-104.

6. Селяев В.П. Функционально-градиентные композиционные строительные материалы и конструкции / В.П.Селяев, В.А.Карта шов,

B.Д. Клементьев, А.Л.Лазарев. - Саранск: Изд-во Мордов.ун-та, 2005. - 160 с.

Поступила в редакцию 03.06.2020 г.

STRESS EQUALIZATION IN ELEMENTS WITH HOLES, DUE TO THE USE OF MATERIALS WITH A DIRECTIONAL STRUCTURE

© 2020 A.L. Lazarev, N.M. Koeshov*

A description of the solution to the problem of reducing local stresses in the area of process holes due to a directional change in the elastic characteristics of the construction material in accordance with the desired dressed state is given.

Keywords: stress-strain state, holes, stress concentration, modulus of elasticity, Poisson's ratio.

Received for publication on 03.06.2020

* Lazarev Aleksandr Lvovich - Candidate of Technical Science, Associate Professor; Koeshov Nurdin Matlovich - Candidate of Technical Science, Lecturer; both - National Research Ogarev Mordovian State University (Saransk, Russia).