Влияние круглого отверстия на напряжённое состояние равномерно растянутой пластины Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

БАРАШКОВ ВЛАДИМИР НИКОЛАЕВИЧ, докт. физ.-мат. наук,

ст. научный сотрудник, профессор,

[email protected]

Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2

ВЛИЯНИЕ КРУГЛОГО ОТВЕРСТИЯ НА НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОМЕРНО РАСТЯНУТОЙ ПЛАСТИНЫ

Расчёт пластин и оболочек, являющихся элементами различных конструкций, предполагает упругий характер напряжённо-деформированного состояния этих элементов. В некоторых случаях нерасчётный режим работы конструкций приводит к нештатному перераспределению напряжений, при котором в некоторых зонах возникают пластические деформации. Такими концентраторами напряжений являются круглые и овальные отверстия различных размеров и разного назначения с приваренными патрубками и отводами, отверстия под заклёпки и болты, различные вырезы, жёсткие включения, сварные швы и др. Поэтому детальная оценка напряжённо-деформированного состояния в этих зонах необходима при проектировании и расчёте прочности таких конструкций.

В работе решение задачи проводится аналитически в двумерной постановке, а также численно в трёхмерной постановке вариационно-разностным методом. Геометрические соотношения берутся в форме уравнений Коши. Физические соотношения принимаются нелинейными и описываются деформационной теорией пластичности Ильюшина, хотя при решении задачи, которое проводится в перемещениях, действующая нагрузка не приводит к появлению пластических деформаций.

Ключевые слова: круглое отверстие; пластина; принцип Сен-Венана; предел упругости; вариационно-разностный метод; метод упругих решений; граничные условия; упругие и упругопластические деформации; перемещения; напряжения; численные расчёты и результаты.

VLADIMIR N. BARASHKOV, DSc, Professor, [email protected]

Tomsk State University of Architecture and Building, 2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia

THE EFFECT OF CIRCULAR HOLE ON STRESS-STRAIN STATE OF UNIFORMLY STRETCHED PLATE

The analysis of plates and shells, which are elements of different structures implies the elastic behavior of their stress-strain state. In some cases, off-design operation mode of structures leads to abnormal stress redistribution, which in some areas arises from plastic deformation. Such stress concentrators are different-purpose round and oval holes with welded spigots and taps, holes for rivets and bolts, various cut-outs, rigid inclusions, weld seams, etc. Therefore, a detailed stress-strain analysis is required for these zones when designing and calculating the structural strength.

The paper presents two-dimensional analysis of the problem and three-dimensional computations using the variation difference method. Geometrical correlations are presented by Cau-chy equations. Physical relations are assumed as non-linear and described by Ilyushin's de-

© Барашков В.Н., 2017

formation plasticity theory, although in solving the displacement problem the live load does not result in plastic deformations.

Keywords: round hole; plate; Saint Venants' principle; elastic strength; variation difference method; elastic solution method; boundary conditions; elastic and elasto-plastic deformation; displacement; stress; numerical calculations.

Методика решения пространственной задачи теории упругости вариационно-разностным методом (ВРМ) в декартовых координатах достаточно подробно представлена в работе [1]. Геометрические соотношения берутся в форме уравнений Коши. В рассматриваемой работе физические соотношения принимаются нелинейными и описываются деформационной теорией пластичности А.А. Ильюшина [2], в которой зависимость между интенсивно-стями напряжений ст; и деформаций е; представляется выражением

at = 3Gs;. [1 -а(е,-)]:

(1)

где ш(ег) — функция пластичности Ильюшина.

Для определения значений функции пластичности используется аппроксимация зависимости (1) моделью упругопластического тела с линейным упрочнением (двузвенной ломаной линией) (рис. 1):

ю = 0, 0 < е < е,

ю = X

Г е ^ 1 — _Т_

V

t j

где X — так называемое разупрочнение, которое определяется из выражения

e

X = 1 — — (для идеально упругопластического материала X = 1); ет — деформа-

3g

ция начала текучести; Е1 — модуль упрочнения, характеризующий тангенс угла наклона участка прямой зависимости сг (ej) к оси за пределом упругости.

Рис. 1. Зависимость интенсивности напряжений ст, от интенсивности деформаций ei

Соотношения для напряжений записываются следующим образом:

стx = a11S x + a12S y + a13S z, Txy = a41y xy'

ст y = a21S x + a22S y + a23S z > 1 yz = a51yyz,

= a31S x + a32S y + a33S z > = a61y zx, ,

где an = а22 = a33 = K + 4G(1 -ш)/3; a41 = a51 = a61 = G(1 -ю); a12 = a13 = a21 = = a23 = a31 = a32 = K - 2G(1 -ю)/3; K = Е/[з(1 - 2ц)] - модуль объёмной дефоРмации; ст, ^, оz, Txy, TyZ, Tzx и Sx, Sy, sz, y y, yyz, yxz - шотаетстаетш компоненты тензоров напряжений и деформаций; E — модуль упругости при растяжении-сжатии (модуль Юнга); ц — коэффициент поперечной деформации

(коэффициент Пуассона); G = Ej [2 (1 + ц)] — модуль упругости при сдвиге.

Следует отметить, что выражения коэффициентов an,..., a61 в аналогичных формулах для напряжений, представленных в работе [1] для случая упругого деформирования материала, не содержат ®(s¿ ), т. к. в этом случае функция пластичности равна нулю.

При анализе напряженно-деформированного состояния (НДС) необходимо иметь информацию о выходе материала конструкции за пределы упругости, для чего следует знать величины интенсивностей напряжений и/или деформаций, которые определяются по формулам

ст, =

-стy )2 + (стy -CTz)2 + (CTz -стx)2 + 6(x2y +x2z

S, = ■

42

(S x -S y )2 + (S y -S z )2 + (S z-s x )2 + 3

+ y

xy > yz

+y L).

Для решения упругопластической задачи используется метод упругих решений, при помощи которого нелинейная задача минимизации неквадратичного функционала полной потенциальной энергии системы, представленной через перемещения, сводится к последовательности линейных задач минимизации квадратичных функционалов.

В работе рассматривается задача определения напряжённого состояния прямоугольной дюралюминиевой пластины с небольшим круглым отверстием посередине, подвергающейся действию равномерного растягивающего усилия интенсивностью Р. На основании принципа Сен-Венана можно утверждать, что изменениями напряжений в пластине вследствие наличия отверстия можно пренебречь на некоторых расстояниях, больших радиуса этого отверстия.

Расчётная схема пластины представлена на рис. 2. Пластина моделируется цилиндрической панелью радиуса Я = 100 см, толщиной 1 см и размером (8 X 8) см, радиус отверстия а = 1 см, Р = 10 МПа. Коэффициент Пуассона материала пластины ц = 0,3; модуль упругости Е = 70 000 МПа.

Рис. 2. Расчётная схема пластины

Вследствие симметрии расчётной схемы и действующей нагрузки рассматривается лишь четвертая часть пластины. В кружочках цифрами 1-7 обозначены участки поверхности (грани) исследуемой пластины, на которых ставятся следующие геометрические и статические граничные условия:

- на грани 1 - осевая нагрузка интенсивностью Р при отсутствии касательных напряжений:

Тгх = Тгу = 0 а = Р;

- на грани 2 - жёсткая стенка без трения:

м = 0, т„ = = 0;

' 2Х 2у '

- на гранях 3, 5 - свободная поверхность:

ах12 + аут2 + 2ТуЫ = 0, (а, = 0),

(ау-ах) 1т + т^(12 -ш2) = 0, (тгф = 0),

т „/+т ут=а (1Г2 =0); на грани 4 - жёсткая стенка без трения:

V = о т =т = 0' ух уг '

- на грани 6 - свободная поверхность:

ах!2 + аут2 - 2ту,1т = 0, (аф = 0),

(ау-ах) 1т + Тху(12 -ш2) = 0, (тгф = 0)

Т уг1 -ТгхШ = 0, (Тгф = 0)-

гф

- на наклонной грани 7 - свободная поверхность:

ах1 + тут + Т хгП = 0, (Хч = 0)

Тух1 + а ут + т у2п = 0, (7„ =0),

тх + тгут + а2п = 0, (2„ =0),

где и, V, м - соответственно компоненты вектора перемещений на оси х, у, г декартовой системы координат; I, т, п - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности; Хх, Ту, Zv - проекции интенсивности внешней нагрузки соответственно на оси х, у, г.

Граничные условия на поверхностях пластины в декартовых координатах получены с помощью формул преобразования компонент тензора напряжения для цилиндрической системы координат (рис. 2). Поэтому для наглядности рядом с некоторыми статическими граничными условиями в скобках содержатся записи этих же условий в цилиндрической системе координат г, ф, г [3].

Для получения аналитического решения используются результаты работы С.П. Тимошенко [4]. В полярных координатах г,0 получены выражения для напряжений, лежащих на окружности с радиусом г > а :

Р

аг = 2

■ - 4

г

(

1 -

V

2 (

1 а

1 + — -

г

1+

3а4

г 4 3а

4а „2

2

008 20

4 Л

Р

Тг 0= 2

1 -

3а4

2а „2

008 20

8Ш 20.

(2)

С увеличением радиуса г величины напряжений стремятся к значениям напряжений для случая пластинки без отверстия. На краю отверстия г = а из формул (2) следует

аг =тг е = 0

а0 = Р(1 - 00820).

Если для этого случая провести анализ зависимости поведения напряжения а от значений величины полярного угла 0, то можно сделать следующие выводы. Тангенциальное напряжение ае будет наибольшим растяги-

л % 3л

вающим напряжением, когда полярный угол 0 = —, —, т. е. в точках В по

2 2

концам диаметра 2а, перпендикулярного к направлению растяжения пластины. В этих точках

Ютах =3Р

а0

т. е. величина тангенциального напряжения в три раза больше равномерного растягивающего напряжения Р, приложенного на нижнем и верхнем торцах пластины. В точках А, в которых полярный угол 0 = 0, 0 = п , тангенциальное

напряжение се является сжимающим и принимает наименьшие значения

(°0 )тт = —Р

Для сечения пластины (рис. 3, линия ВС), проходящего через центр от-

а п

верстия и перпендикулярного к направлению растяжения, угол 0 = —, и из

2

формул (2) имеем:

^г 0= 0,

30 |Л СУ0,МПа

20, \ 2

10 1 ^^

0 0

9\\/ B C

—а

; : : Г у

1 1 1111 1 \

Р 0 2

(

2 + —-

3а

4 Л

(3)

P

Рис. 3. Результаты расчёта:

кривая 1 - аналитическое решение; кривая 2 - численное решение

По мере увеличения координаты г величина напряжения с0 приближается к значению Р = 10 МПа осевой растягивающей силы. В работе [4] приводится следующий вывод о применимости решения (2), полученного для бесконечно большой пластины: если величина ширины Н не меньше четырёх диаметров отверстия, то ошибка определения (ст0 )тах не превосходит 6 %. На рис. 3 кривой 1 показано распределение напряжения сте вдоль линии (грани) ВС, построенное по формуле (3). Таким образом, влияние отверстия на распределение напряжений в пластине носит ярко выраженный локальный, местный характер.

Кривая 2, представленная на рис. 3, получена численно ВРМ. Погрешность вычисления тангенциального напряжения сте в точке В по сравнению с определённой по формуле величиной (ое)тах = 30 МПа, составляет 3 %. В точке А численные расчёты дают

значение се « —9,8 МПа, что на 2 % отличается от теоретического значения напряжения (ст0)т^ =—10 МПа. Из анализа рис. 2 и 3 следует, что в принадлежащих грани ВС точках пластины величина определённого в полярных координатах тангенциального напряжения сте и величина осевого напряжения стг, вычисленного в прямоугольной или цилиндрической системах координат, равны между собой. Также следует отметить, что согласно ВРМ параметры НДС пластины определяются для середины ячеек конечно-разностной сетки.

Анализ осевых напряжений стг и интенсивностей напряжений ст; показывает, что наличие отверстия в пластине вносит достаточно большое возмущение в величины численно определяемых параметров НДС в пределах некоторой области по сравнению с результатами для пластины без отверстия. Упомянутая область ограничена кривой линией, по форме напоминающей эллипс с центром в точке 0 (рис. 2), соответственно с полуосями 3a и 3,5a по направлениям 0A и ОС.

При растяжении пластины без отверстия по соотношениям

Sz = °z / Sx = Sy =-HEz (4)

определяются теоретические величины деформаций: sz = 1,43 -10-4, ех=е =

= -4,29 -10-5. Численные расчёты для дальнего от отверстия края грани 1, где приложена нагрузка P, приводят практически к аналогичным результатам

для деформаций: sz = 1,43-10-4, sy =-4,23-10-5, sx=-4,30-10-5. Однако по

мере приближения к отверстию результаты численного расчёта все более отличаются от величин деформаций, определяемых по формулам (4).

При решении задачи теории упругости и пластичности в вариационной постановке статические граничные условия удовлетворяются автоматически при минимизации функционала энергии. Так, граничные условия на грани 1 для напряжения сг выполняются с погрешностью 1,0-1,5 %. Приведенные численные результаты получены на относительно грубой сетке с количеством узлов (4 X 8 X 14) соответственно по осям прямоугольной системы координат х,y,z (рис. 2).

Все результаты для напряжений и деформаций согласуются с утверждениями С.П. Тимошенко о наличии в пластине, ограниченной некоторым радиусом, области, в которой сказывается возмущение от отверстия, что подтверждает принцип Сен-Венана. Характер распределения полученных аналитическим и численным методами величин напряжений в окрестности отверстия аналогичен. Завершая обсуждение задачи о пластине с отверстием, следует заметить, что результаты С.П. Тимошенко можно рассматривать как точные только в тех зонах, где напряжения не превышают предела упругости материала. В случае превышения предела упругости следует отдавать предпочтение численным результатам, полученным с учетом пластических деформаций.

Библиографический список

1. Барашков, В.Н. Моделирование пространственного напряженно-деформированного состояния балки-стенки / В.Н. Барашков, А.А. Матвеенко // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. - 2010. - № 3. - С. 92-104.

2. Ильюшин, А.А. Пластичность / А.А. Ильюшин. - М.; Л. : ОГИЗ, 1948. - 376 с.

3. Барашков, В.Н. Численное моделирование трехмерного упругопластического деформирования секторов ведущего устройства / В.Н. Барашков // Известия Томского политехнического университета. - 2004. - Т. 307. - № 4. - С. 22-27.

4. Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко. - М.; Л. : ОНТИ, 1937. - 456 с.

References

1. Barashkov V.N., Matveenko A.A. Modelirovanie prostranstvennogo napryazhenno-deformiro-vannogo sostoyaniya balki-stenki [Spatial stress-strain state modeling for wall beam]. Vestnik of Tomsk State University of Architecture and Building. 2010. No. 3. Pp. 92-104. (rus)

2. Ilyushin A.A. Plastichnost' [Plasticity]. Moscow, Leningrad: OGIZ Publ., 1948. 376 p. (rus)

3. Barashkov V.N. Chislennoe modelirovanie trekhmernogo uprugoplasticheskogo deformiro-vaniya sektorov vedushchego ustroistva [Numerical simulation of three-dimensional elasto-plastic deformation of the sectors leading devices]. Izvestiya Tomskogo politekhnicheskogo universiteta. 2004. V. 307. No. 4. Pp. 22-27. (rus)

4. Timoshenko S.P. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow, Leningrad: ONTI Publ., 1937. 456 p. (rus)