Выпуклость шара в пространстве Громова–Хаусдорфа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №6

41

УДК 514.774.8, 514.17

ВЫПУКЛОСТЬ ШАРА В ПРОСТРАНСТВЕ ГРОМОВА-ХАУСДОРФА

Д. П. Клибус1

В работе изучается пространство M всех непустых, рассматриваемых с точностью до изометрии метрических компактов, которое наделено расстоянием Громова-Хаусдорфа. Показано, что в M шар с центром в одноточечном пространстве является выпуклым в слабом смысле, т.е. всякие две точки такого шара можно соединить кратчайшей, которая принадлежит этому шару, и невыпуклым в сильном смысле: неверно, что всякая кратчайшая, соединяющая точки шара, принадлежит этому шару. Также показано, что шар достаточно малого радиуса с центром в пространстве общего положения выпуклый в слабом смысле.

Ключевые слова: метрика Громова-Хаусдорфа, выпуклость в слабом смысле, выпуклость в сильном смысле.

In this paper we study the space M of all nonempty compact metric spaces considered up to isometry equipped with the Gromov-Hausdorff distance. We show that each ball in M with the center at the one-point space is convex in the weak sense, i.e., any two points of such a ball can be joined by a shortest curve that belongs to this ball, and is not convex in the strong sense: it is not true that every shortest curve joining the points of the ball belongs to this ball. It is also shown that a ball of sufficiently small radius with the center at a space of general position is convex in the weak sense.

Key words: Gromov-Hausdorff metric, convex in the weak sense, convex in the strong sense.

Расстояние Громова-Хаусдорфа было определено в 1975 г. Д. Эдвардсом [1], затем в 1981 г. переоткрыто М. Громовым [2].

В статье исследуется геометрия пространства M всех метрических компактов (рассматриваемых с точностью до изометрии) с расстоянием Громова-Хаусдорфа. Хорошо известно, что расстояние Громова-Хаусдорфа является метрикой в M [3]. Пространство Громова-Хаусдорфа — польское (полное сепарабельное) и линейно связное. А. О. Иванов, Н.К. Николаева, А. А. Тужилин [4] показали, что метрика Громова-Хаусдорфа является строго внутренней.

Настоящая статья посвящена следующему вопросу: являются ли шары в пространстве Громова-Хаусдорфа выпуклыми? Существуют два понятия выпуклости: в сильном смысле (каждая кратчайшая кривая, соединяющая любую пару точек множества, принадлежит этому множеству) и в слабом смысле (для любой пары точек множества найдется кратчайшая кривая, которая соединяет эти точки и принадлежит этому множеству). Мы покажем, что шар ненулевого радиуса с центром в одноточечном пространстве является выпуклым в слабом смысле, но не выпуклым в сильном. Также мы покажем, что шар достаточно малого радиуса с центром в пространстве общего положения выпуклый в слабом смысле.

1. Основные определения и предварительные результаты. Расстояние между точками x и y произвольного метрического пространства будем обозначать через |xy|. Пусть X — метрическое пространство. Для каждого е > 0 определим е-окрестность Ue(x) точки x € X, положив Ue(x) = {y € X : |xy| < е}. Множество Ue (x) называют открытым шаром радиуса е с центром в точке x. Кроме того, если A — непустое подмножество пространства X, то е-окрестность множества A определяется как Ue(A) = UaeAUe(а). Замкнутым шаром радиуса е с центром в точке x называют множество Be(x) = {y € X : |xy| ^ е}. Для x € X и непустого A С X положим |xA| = inf{|xa| : а € A}. Для непустого A С X и неотрицательного r (возможно, равного то) замкнутой r-окрестностью множества A или замкнутым шаром радиуса r с центром в A назовем множество Br (A) = {x € X : |xA| ^ r}.

1 Клибус Дарья Петровна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: dasha.klibus@yandex.ru.

42

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №6

Определение 1. Пусть А и В —два непустых подмножества метрического пространства. Расстоянием Хаусдорфа между А и В называется величина

йн(А, В) = М [е > 0 | (ие(А) э В) & (ие(В) э А)} .

Для произвольного метрического пространства X обозначим через Н(Х) семейство всех его непустых замкнутых ограниченных подмножеств.

Предложение 1 [3]. Пусть X — метрическое пространство, тогда йн является метрикой на Н(Х).

Предложение 2 [5]. Для любого метрического пространства X, каждого А € Н(Х) и любого неотрицательного г имеем Вг (А) € Н(Х).

Определение 2. Пусть а, Ь € X, |аЬ| = г, в € [0, г]. Будем говорить, что с € X находится в в-положении между а и Ь, если |ас| = в и |сЬ| = г — в.

Предложение 3 [5]. Пусть А, Б € ), г = йн(А, Б), в € [0, г]. Тогда если множество С € ) находится в в-положении между А и Б, то С С В8(А) П ВГ-8(Б).

Множество В8(А) П ВГ-8(Б) из предложения 3 будем обозначать С8(А, Б).

Определение 3. Пусть X и К — произвольные непустые компактные метрические пространства. Тройку (X',У2), состоящую из метрического пространства 2 и двух его подмножеств X' и Уизометричных соответственно X и К, назовем реализацией пары (X, У). Расстоянием йен(X, У) по Громову-Хаусдорфу между X и У назовем точную нижнюю грань чисел р, для которых существует реализация ^^У', 2) пары (X, У), такая, что йн^^У') ^ р.

Пусть М — пространство всех непустых, рассматриваемых с точностью до изометрии метрических компактов, которое наделено расстоянием Громова-Хаусдорфа. Хорошо известно [3], что на М расстояние Громова-Хаусдорфа является метрикой.

Метрика на множестве X называется внутренней, если между любыми двумя точками ж, у € X расстояние равно точной нижней грани длин всех кривых, соединяющих данную пару точек. Локально компактное пространство — топологическое пространство, у каждой точки которого существует открытая окрестность, причем ее замыкание компактно. Метрическое пространство называют ограниченно компактным, если все его замкнутые ограниченные подмножества компактны.

Метрика на множестве X называется строго внутренней, если любые две точки ж, у € X соединяются кривой, длина которой равна расстоянию между ж и у (такая кривая является кратчайшей).

Пусть М — непустое подмножество метрического пространства X с метрикой й, а йм = й —

сужение метрики й на множество М. Метрическое пространство (М, йм) называется подпространством пространства (X, й).

Пусть I С М, тогда параметризация 7 : I ^ X называется натуральной, если длина кривой между 7(в1) и 7(в2) равна |в 1 в21 для всех в^в2 € I, при этом параметр в € I называется натуральным.

Теорема 1 [5]. Пусть X — полное локально компактное пространство с внутренней метрикой. Тогда для любых А, В г — йн(А, В), в € [0, г] множество С8(А, В) принадлежит Н^) и находится в з-положении между А и В.

Следствие 1 [3]. Пусть X — полное локально компактное пространство с внутренней метрикой (являющееся, как хорошо известно [3], ограниченно компактным со строго внутренней метрикой ). Тогда Н^) также ограниченно компактное, а метрика Хаусдорфа строго внутренняя.

Следствие 2 [5]. Пусть X — полное локально компактное пространство с внутренней метрикой, А, В € ). Тогда 7(в) = СДА, В), в € [а, Ь], является кратчайшей кривой, соединяющей А и В, причем длина кривой 7 равна йн(А, В), а параметр в натуральный.

Определение 4. Подмножество М С X в метрическом пространстве (X, й) со строго внутренней метрикой называется выпуклым в слабом смысле, если сужение метрики й на М также строго внутренняя метрика.

Эквивалентное определение: непустое подмножество М метрического пространства X со строго внутренней метрикой выпукло в слабом смысле, если для любой пары точек из М некоторая соединяющая их кратчайшая в X целиком лежит в М.

Определение 5. Подмножество М метрического пространства X со строго внутренней метрикой называется выпуклым в сильном смысле, если все кратчайшие в X, соединяющие точки из М, лежат в М.

Отношением между множествами X и У называется каждое подмножество декартова произведения X х У. Множество всех непустых отношений между X и У обозначим через Р (X, У). Если

пх : X х Y — X и пу : X х Y — Y — канонические проекции, т.е. пх (x, y) = x и пу (x, y) = y, то теми же символами будем обозначать ограничения этих отображений на каждое отношение а € P (X, Y).

Будем смотреть на каждое отношение а € P(X, Y) как на многозначное отображение, которое может иметь область определения, меньшую X. Тогда по аналогии с тем, как это принято для отображений, для каждого элемента x € X определен его образ а(х) = {y € Y : (x,y) € а}; для каждого A С X определен образ а(А) как объединение образов всех элементов из A; для каждого элемента y € Y определен его прообраз a-1(y) = {x € X : (x,y) € а}; для каждого подмножества B С Y определен его прообраз как объединение прообразов всех его элементов.

Определение 6. Отношение R С X х Y между множествами X и Y называется соответствием, если ограничения на R канонических проекций пх и пу сюръективны. Множество всех соответствий между X и Y обозначим R(X, Y).

Определение 7. Искажением dis а отношения а € P(X, Y) назовем следующее число:

dis а = sum I |xx'| — |yy'| I : (x, y), (x', y') € а

Предложение 4 [3]. Для любых метрических пространств X и Y имеем

dGH(X,Y) = | inf {dis R: R € K(X,Y)} .

Определение 8. Соответствие R € R(X, Y) назовем оптимальным, если dGH{X,Y) = \ dis R. Множество всех оптимальных соответствий между X и Y обозначим через Ropt (X, Y).

Предложение 5 [6]. Для любых X, Y € M имеем Ropt(X, Y) = 0.

Предложение 6 [6]. Для любых X, Y € M и каждого R € Ropt(X, Y) семейство Rt, t € [0,1], компактных метрических пространств, такое, что Ro = X, Ri = Y, а при t € (0,1) пространство Rt — это (R,pt), где pt((x,y), (x',y')) = (1 — t)|xx'| + t|yy'|, является кратчайшей кривой в M, соединяющей X и Y.

Определим диаметр метрического пространства X следующим образом:

diam(X) = sup |xx'|.

x,x'€X

Будем обозначать одноточечное пространство через Дь

Утверждение 1 [3]. Пусть Д1 — одноточечное пространство, тогда для любого метрического пространства X имеем dan(X, Д1) = diam(X)/2.

Определение 9. Будем говорить, что конечное метрическое пространство M находится в общем положении или является пространством общего положения, если все ненулевые расстояния в M различны и все неравенства треугольника для троек, состоящих из различных точек, — строгие.

Для произвольного метрического пространства X определим величины:

s(X) = inf{|xy| : x = y}, e(X) = inf j |xy| — |zw| : x = y, z = w, {x, y} = {z, w} j.

Предложение 7 [7]. Пусть M = {1,...,n} — некоторое метрическое пространство. Тогда для любого 0 < е ^ s(M)/2 и каждого X € M, такого, что 2dcn(M, X) < е, существует единственное с точностью до нумерации точками пространства M разбиение X = U™=1X.j, обладающее следующими свойствами:

1) diam Xj < е;

2) для любых i, j € M и любых x € Xj и, x' € Xj (здесь индексы i и j могут принимать одинаковые значения) выполняется |xx'| — |ij| < е.

Предложение 8 [7]. Пусть M = {1,...,n} — некоторое метрическое пространство. Тогда для любого 0 < е ^ s(M)/2, каждого X € M, 2dcn(M, X) < е, и каждого R € Ropt(M, X) семейство {R(i)}™=1 является разбиением множества X со следующими свойствами:

1) diam Xj < е;

2) для любых i, j € M, x € R(i),x' € R(j) выполняется |xx'| — |ij| < е.

Более того, если R' — еще одно оптимальное соответствие между M и X, то разбиения {R(i)}™=1 и {R'(i)}n=i могут отличаться друг от друга лишь нумерациями, заданными соответствиями i ^ R(i) и i ^ R'(i).

Определение 10. Семейство (Xj} из предложения 7 назовем каноническим разбиением пространства X относительно M.

Предложение 9 [7]. Пусть M = (1,... ,n} — метрическое пространство, n ^ 3, e(M) > 0. Выберем произвольное 0 < е ^ \ min{s(M), е(М)}. Пусть X,Y € М, 2г1Сн(М, X) < е, 2г1Сн(М, Y) < е, и пусть (Xj} и (Yj} обозначают канонические разбиения соответственно X и Y относительно M. Тогда для каждого R € Ropt(X, Y) существуют Ri € R(Xj, Yj), такие, что R = U™=1Ri. 2. Основные результаты.

Теорема 2. Шар с центром в одноточечном метрическом пространстве является выпуклым в слабом смысле.

Доказательство. Пусть B = Br(Ai) — замкнутый шар с центром в Ai, где r > 0, и X, Y € B. Используя утверждение 1, заметим, что

dan (Ai,X) = diam(X )/2 < r, daH (Ai, Y) = diam(Y )/2 < r.

Выберем некоторое соответствие R € Ropt(X, Y), которое существует в силу предложения 5. Построим пространство Rt = (R, pt) с метрикой pt((ж,у), (ж',у')) = (1 — i)|xx'| + t|yy'| при t € (0,1), и пусть Ro = X, Ri = Y. Тогда по предложению 6 кривая Rt, t € [0,1], соединяющая X и Y, кратчайшая.

Покажем, что кривая Rt лежит в шаре B. Для этого оценим расстояние по Громову-Хаусдорфу между центром Ai и пространством Rt. Имеем

dan (Ai,Rt) =diam(Rt )/2.

Для любых ж, ж' € X и y, y' € Y выполняются неравенства

|жж'| ^ diam X ^ max(diam X, diam Y); |yy' | ^ diam Y ^ max(diam X, diam Y).

Следовательно,

diam(Rt) = max|(ж,у)(ж',у')|pt = max((1 — t)|xx'| + t|yy'|) ^ ^ (1 — t) max(diam X, diam Y) +1 max(diam X, diam Y) = max(diam X, diam Y),

откуда

denial, Rt) ^ - max(diam X, diam Y) = тах(с?ся(Лъ X), dcH^i, Y)) ^ r, что и требовалось.

Теорема 3. Шар с центром в одноточечном пространстве не является выпуклым в сильном смысле.

Доказательство. Построим кратчайшую, которая соединяет некоторые пространства A и B, принадлежащие шару Br(Ai) С M радиуса r с центром Ai, и которая выйдет за шар. Пусть A = [0,2r] С R и B = (0,2r} С R. Рассмотрим произвольное соответствие R € Ropt(B,A) (оно существует по предложению 5) и оценим его:

dis R = sup j |аа'| : а, а' € R(0); |аа' | : а, а' € R(2r); 12r — |аа '11 : а € R(0), а' € R(2r) j =

= supjdiam R(0), diam R(2r), |2r — |аа'|| : а € R(0),^ € R(2r)} < 2r.

1) Если R(0) П R(2r) = 0, то, выбрав а = а' € R(0) П R(2r), получим dis R = 2r.

2) Если R(0) П R(2r) = 0, то для всякого е > 0 существуют а € R(0), а' € R(2r), такие, что |аа'| < е, значит, dis R = 2r.

Тогда по предложению 4 имеем dan (A, B) = r. Отметим, что dn (A, B) = r, следовательно, daH(A, B) = dH(A, B). Для t € [0,r] положим y(t) = Ct(A,B) = Bt(A) П Br-t(B). Применяя следствие 2, видим, что Y(t) — кратчайшая кривая в H(R).

Также для любого разбиения t0 = 0 <ti < ... < tn = r отрезка [0,r] имеем

n n

daH (A, B) < ^ daH (y (ti-i),Y (ti)) < ^ dH (Y(ti-i),Y(ti)) = dH (A,B) = daH (A,B), i=i i=i

откуда

n

daH (A, B) = daH (y (ti-i),Y (ti)).

i=i

Так как длина кривой y равна супремуму сумм den(7(^-1), Y(ti)) по всевозможным разбиениям отрезка [0, r], а все эти суммы одинаковы и равны den(A, B), то длина кривой 7 равна den(A, B), поэтому y — кратчайшая кривая.

Покажем, что эта кривая не лежит целиком в шаре Br(Ai). Для этого найдем den(Ct(A, B), Ai). По утверждению 1 имеем dcH(Ct(A, В), Ai) = diam(c^("4>-B)) ^ Заметим, что diam(Cr (А, В)) = 3г при t = поэтому dcH(Cr/2(A, В), Ai) = Зг/2 > г, откуда 7(V/2) ^ £>r(Ai), что и требовалось.

Теорема 4. Шар радиуса 0 < г ^ | min{s(M), е(М)} с центром в пространстве общего положения M выпуклый в слабом смысле.

Доказательство. Пусть M = {1,...,n}. Обозначим Br(M) С M замкнутый шар радиуса r (для дальнейшего удобства обозначим r = е/2) и выберем произвольные X, Y € Be/2(M). По предложению 7 существуют единственные с точностью до нумерации точками пространства M разбиения X = U™=iXi и Y = U*=iY, обладающие следующим и свойствами: для всяких Xi € Xj ,Xj €

Xj,yi € Y,Vj € Yj выполняются неравенства |xixj-1 — |ij| < e и |yiyj-1 — |ij| < е. По предложению 9 для каждого R € Ropt(X, Y) существуют Ri € R(Xi, Yi), такие, что R = U™=iRi. Рассмотрим произвольное соответствие R € Ropt(X, Y) (по предложению 5 оно существует).

Построим кратчайшую кривую Rt, определенную, как в предложении 6. Чтобы доказать выпуклость в слабом смысле, покажем, что den(M, Rt) ^ е/2. Для этого определим соответствие R' € R(M, Rt), положив R' = Un=i{i} х Ri. Имеем

dGH(M,Rt) < ^{disE'} = isup{||ii| - MjUl : i,j € M, (j,^) € Д'} =

= ^ йир| ||и| - (1-^)1^1 -ЦугУу\\ : € М, (Хг,Уг) = Рг € В*,{Хз,Уз) = Ру € Е,} = = ^8ир{|(1 +¿1^1 - (1-г)\ХгХу \ -ЦугУу\\} =

= ^8ир{|(1 - \XiXjl) - |Уг%-|)|} <

< \(1 -¿)8ир{||г;'| - + ^8ир{||гЛ - \УгУ^\] < ^(1 -г)е + ^е =

что и требовалось.

Автор приносит благодарность научному руководителю профессору А. А. Тужилину за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также профессору А. О. Иванову за полезные обсуждения.

Работа выполнена при поддержке программы Президента РФ "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-6399.2018.1) и РФФИ (грант № 16-01-00378-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Edwards D. The Structure of Superspace // Studies in Topology. N.Y.; S.F.; L.: Academic Press, 1975.

2. Gromov M. Groups of polynomial growth and expanding maps // Publ. math. 1981. 53. 53-73.

3. Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

4. Ivanov A.O., Nikolaeva N.K., Tuzhilin A.A. The Gromov-Hausdorff metric on the space of compact metric spaces is strictly intrinsic // ArXiv e-prints, arXiv:1504.03830, 2015.

5. Иванов А.О., Тужилин А.А. Геометрия расстояний Хаусдорфа и Громова-Хаусдорфа: случай компактов. М.: Изд-во Попечительского совета мех.-мат. ф-та МГУ, 2017.

6. Ivanov A.O., Iliadis S., Tuzhilin A.A. Realizations of Gromov-Hausdorff Distance / / ArXiv e-prints, arXiv:1603. 08850, 2016.

7. Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Local Structure of Gromov-Hausdorff space near finite metric spaces in general position // ArXiv e-prints, arXiv:1611.04484, 2016.

Поступила в редакцию 21.03.2018