CC BY
6GF(pr) существует оптимальный нормальный базис или полиномиальный базис с неприводимым
двучленом, то для уменьшения сложности следует использовать эти базисы.
В качестве примера возможного применения данного в этой статье алгоритма извлечения квадратного корня можно указать алгоритм декодирования троичного квазисовершенного кода [15],
предложенный в [16].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проекты № 18-01-00337 и 17-01-00485.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Tonelli A. Bemerkung uber die Aulosung quadratischer Congruenzen // Goettinger Nachr. 1891. 344-346.
2. Болотов А.А., Гашков С.Б., Фролов А.Б., Часовских А.А. Элементарное введение в эллиптическую криптографию. Алгебраические и алгоритмические основы. М.: URSS, 2012.
3. Bach Е. Explicit bounds for primality testing and related problems // Math. Сотр. 1989. 22. 355-380.
4. Bach E. A note to square roots in finite fields // IEEE Trans. Inform. Theory 1990. 36. 1494^1498.
5. Fuerer M. Faster integer multiplication // Si A M J. Comput. 2009. 39, N 3. 979-1005.
6. Harvey D., van der Hoeven J., Lecerf G. Faster polynomial multiplication over finite fields // ArXive.org>cs> arXive: 1407.3361 12 Jul 2014.
7. Гашков С.Б., Сергеев И. С. О сложности и глубине булевых схем для умножения и инвертирования в конечных полях характеристики два // Дискретн. матем. 2013. 25, № 1. 3-32.
8. Bernstein D.J. Batch binary Edwards // Advances in Cryptology. CRYPTO. 2009. 317-336.
9. Bernstein D.J., Chuengsatiansup C., Lange T. Curve 41417: Karatsuba revisited // Cryptographic hardware and embedded systems. CHES. 2014. 316-334.
10. Гашков С.Б., Сергеев И.С. О сложности и глубине булевых схем для умножения и инвертирования в некоторых полях GF(2п) // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 4. 3-7.
11. Гашков С.Б., Сергеев И. С. О применении метода аддиттивных цепочек для инвертирования в конечных полях // Дискретн. матем. 2006. 18, № 4. 56-72.
12. Болотов А.А., Гашков С.Б. О быстром умножении в нормальных базисах конечных полей // Дискретн. матем. 2001. 13, № 3. 3-31.
13. Гашков С.Б., Сергеев И. С. Сложность вычислений в конечных полях // Фунд. и прикл. матем. 2012. 17, № 4. 95-131.
14. Kedlaya К. S., Umans С. Fast polynomial factorization and modular composition // SIAM J. Comput. 2011. 40, N 6. 1767-1802.
15. Гашков И.Б., Сидельников В.М. Линейные троичные квазисовершенные коды, исправляющие две ошибки // Проблемы передачи информации. 1986. 22, № 4. 43-48.
16. Додунеков С.М., Нильсон Я. О декодировании некоторых замечательных троичных кодов // Проблемы передачи информации. 1995. 31, № 2. 36-43.
Поступила в редакцию 22.11.2017
УДК 515.124.4+514.177.2
ОПТИМАЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ КОМПАКТОВ В ПРОСТРАНСТВАХ С ЕВКЛИДОВО ИНВАРИАНТНОЙ МЕТРИКОЙ ГРОМОВА-ХАУСДОРФА
О. С. Малышева1
Изучаются непустые компакты, находящиеся в евклидовом пространстве в оптимальном положении (расстояние Хаусдорфа между ними нельзя уменьшить). Установлено, что если один из них одноточечный, то он находится в чебышёвском центре другого. Изучаются также многие другие частные случаи. В качестве приложения показано, что каждое трехточечное метрическое пространство изометрично вкладывается в пространство орбит группы сохраняющих ориентацию движений, действующей на компактных подмножествах
1 Малышева Ольга Сергеевна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: osm95Qmail.ru.
пространства. Доказано, что для пары оптимально расположенных компактов все компакты, промежуточные в смысле метрики Хаусдорфа, являются промежуточными и в смысле евклидовой метрики Громова-Хаусдорфа.
Ключевые слова: метрика Громова-Хаусдорфа в евклидовых пространствах, оптимальное положение компактов, чебышёвский центр.
We study nonempty compact subsets of the Euclidean space disposed optimally (the Hausdorff distance between them cannot be reduced). We show that if one of them is a singleton, then it coincides with the Chebyshev center of the second one. We also consider many other particular cases. As an application, we show that each three-point metric space can be isometrically embedded into the orbits space of the group of proper motions acting on the compact subsets of the Euclidean space. In addition, we prove that for each couple of optimally-located compacts, all compacts intermediate in the sense of Hausdorff metric are intermediate in the sense of Euclidean Gromov-Hausdorff metric too.
Key words: Euclidean Gromov-Hausdorff metric, optimal positions of compacts, Chebyshev center.
Метрика Хаусдорфа — это функция расстояния на множестве всех ограниченных и замкнутых подмножеств метрического пространства. Впервые упоминание о ней появляется в книге "Теория множеств" Ф. Хаусдорфа. В 1975 г. Д. Эдварде в статье [1] определил расстояние между метрическими пространствами, а также обнаружил некоторые его свойства. В 1981 г. М. Громов заново ввел специальное расстояние между произвольными метрическими пространствами, называемое расстоянием Громова-Хаусдорфа [2], дав определение, эквивалентное определению Эдвардса. Это обобщение метрики Хаусдорфа. Говоря неформально, метрика Громова-Хаусдорфа позволяет выяснить, насколько "хорошо" можно совместить два метрических пространства. Она имеет практическое применение и играет важную роль в теории распознавания образов.
В работе [3] рассматривается метрика Громова-Хаусдорфа в евклидовых пространствах, которая сравнивается с метрикой Громова-Хаусдорфа в произвольных метрических пространствах; даются некоторые утверждения о связи двух метрик и оценки. Метрика Громова-Хаусдорфа определяется как инфимум расстояний Хаусдорфа по результатам изометрического вложения в метрические пространства. В случае евклидово инвариантной метрики Громова-Хаусдорфа мы ограничиваемся только изометрическими вложениями в конкретное евклидово пространство Rra или такими вложениями, которые отличаются на сохраняющее ориентацию движение Rra. Будем говорить, что компакт находится в s-положении между двумя другими компактами, если он находится в положении "между" ними и удален на расстояние s от первого из них (см. ниже). В дипломной работе А. Д. Кисловской, выполненной на механико-математическом факультете МГУ в 2013 г., рассматриваются псевдоконфигурации — такие пары компактных подмножеств Rra, что в s-положении количество компактов конечно. Также приведены примеры псевдоконфигураций в пространствах, наделенных этой метрикой; утверждения о связи количества компактов в s-положении относительно двух метрик, о связи конфигураций (впервые определены в работе [4]) и псевдоконфигураций.
В настоящей работе основное внимание уделяется евклидово инвариантной метрике Громова-Хаусдорфа. Это метрика на множестве непустых компактов в евклидовом пространстве, рассматриваемых с точностью до сохраняющего ориентацию движения. Обозначим G = Iso^R"-), тогда эта группа естественным образом действует на пространстве TL(Rn) непустых компактных подмножеств Rra, наделенном метрикой Хаусдорфа. Пространство TL(Wn) расслаивается на орбиты этого действия. На полученном пространстве орбит вводится стандартным образом функция расстояния как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между точками орбит. Получаем факторпростран-ство TL(Rn)/G, свойства которого мы изучаем. Для нахождения минимального расстояния, о котором говорилось выше, необходимо понять, при каких условиях оно достигается. Поэтому также рассматриваются примеры положений различных пар компактов, в которых достигается минимум расстояния по Хаусдорфу.
В случаях, когда один из компактов одноточечный, изучение оптимальных положений приводИТ к понятию чебышёвского центра, так как размещение одноточечного компакта в чебышёвском центре произвольного компакта и есть оптимальное положение этой пары. Вопрос существования и единственности чебышёвских центров поднимался в работах различных специалистов в области геометрии и функционального анализа. Так, в [5] обобщается понятие чебышёвского центра и изучаются конечные сети для ограниченных подмножеств плоскости и сферы. Е.Н. Сосовым [6] получены достаточные условия существования и единственности чебышёвского центра непустых ограничен-
иых множеств геодезических пространств. Некоторые результаты помогли установить связь оптимальных положений гомотетичных компактов с чебышёвскими центрами.
1. Основные определения. Всюду ниже М — метрическое пространство с функцией расстояния с!, Т>(М) — семейство непустых подмножеств М, а %{М) — семейство непустых замкнутых ограниченных подмножеств множества М. Обозначим через С группу движений в Мга, сохраняющих ориентацию. В частности, будем рассматривать *Н(Жп) с введенной на нем эквивалентностью и: два элемента будем считать эквивалентными, если один из другого получается движением О € С. Обозначим через %0{Шп) пространство таких классов эквивалентности.
Определение 1. Замкнутой г-окрестностью Вг(х) точки х € М радиуса г называется множество {у € М : с1(х,у) ^ г}.
Определение 2. Расстоянием (1(у, А) от, точки у до произвольного множества А € /Р(М) называется величина т{а^А{Л{у, а)}■
Определение 3. Замкнутой окрестностью ВГ(А) радиуса г множества А € 'Р(М) называется множество {у € М : й(у, А) ^ г}.
Определение 4. Пусть А и В — элементы /Р(М). Расстоянием по Хаусдорфу между этими множествами называется величина
йн(А, В) = т!|г : [А С ВГ(В)) А (В С ВГ(А)) }.
Замечание 1. Хорошо известно, что йн является метрикой на множестве всех непустых замкнутых ограниченных подмножеств метрического пространства [7].
Определение 5. Пусть Аи5 - элементы из "Н(Мга). Расстоянием в евклидово инвариантной метрике Громова-Хаусдорфа между А и В называется величина
¿есн{А, В) = Ыс[йн{А,ОВ)У
Определение 6. Движение О € С, на котором достигается (1есн{А, В), будем называть оптимальным, а пару (А, О В) — оптимальным взаимным, расположением.
Замечание 2. Оптимальное движение всегда существует [3], а (¿еся порождает метрику на "Н0(Мга), которую мы будем обозначать тем же образом.
Определение 7. Чебышёвский центр множества А € %{М) — это центр шара в М с наименьшим возможным радиусом, которому принадлежит А; радиус этого шара называется чебышёвским, радиусом,.
Предложение 1 [8]. Для любого компактного подмножества Мга с метрикой (1 чебышёвский центр существует и определен однозначно.
Замечание 3. Для центрально-симметричных компактов в Мга чебышёвский центр совпадает с центром симметрии. (Если бы это было не так, то его центрально-симметричная копия также являлась бы чебышёвским центром, что противоречит единственности.)
Замечание 4. Чебышёвский центр в общем случае не единственный. Например, рассмотрим в качестве М плоскость с манхеттенским расстоянием, заданным нормой \(х,у)\ = \х\ + \у\, возьмем в качестве А двухточечное множество Л={(0, 0), (1,1)}, тогда множество чебышёвских центров — это отрезок [(1, 0), (0,1)].
Определение 8. Пусть А, В, С — точки некоторого метрического пространства с метрикой <1. Говорят, что точка С находится между точкам,и А и В, если
(1{А,С)+(1{С,В) = (1{А,В).
Определение 9. Точка С находится в в-положении между т очкам и А и, В, если она лежит между ними и с1(А, С) = в, где 0 ^ з ^ с1(А, В).
2. Примеры оптимальных положений. Рассмотрим несколько примеров оптимальных положений пар компактов в Мга. Для начала приведем тривиальную лемму.
Лемма 1. Пусть Аи В — компакты некоторого метрического пространства. Тогда, (1н{А, В) = г, если и только если А С ВГ(В), В С ВГ(А) и для, любого 0 < в < г по крайней мере одно из условий А С В3(В) иВС В3(А) не выполняется.
Предложение 2. Пусть А € 'Н(Жп), В = {Ь} € Мга. Тогда, компакты находятся, в оптимальном положении, если и только если Ъ совпадает с чебышёвским цент,ром, ком,пакт,а, А.
Доказательство. Поместим Ь в чебышёвский центр компакта А. Положим г = с1н(А,В), тогда г — радиус минимального замкнутого шара, содержащего компакт А, таким образом, г — че-
бышёвский радиус. Покажем, что для любой точки У фЪ имеем (1н(А, {6'}) > г. Пусть это не так, т.е. существует точка У ф 6, для которой (1н(А, {6'}) + г. Из предыдущей леммы вытекает, что А С ВГ(У), поэтому У — чебышёвский центр, что противоречит его единственности в Мга. Предложение доказано.
Из предложения 2 вытекают следующие результаты.
Следствие 1. Любое компактное подмножество отрезка, содержащее его граничные точки, в па,ре с одноточечным находится в оптимальном положении тогда и только тогда, когда одноточечный помещен в центр отрезка.
Следствие 2. В оптимальном положении трехточечного и одноточечного компактов одноточечный компакт есть центр описанной окружности треугольника, образованного трехточечным компактом, если треугольник остроугольный или прямоугольный, л,ибо середина наибольшей стороны.
Предложение 3. Пусть А = {(11,(12}, В = {61,62}- Компакты А и В находятся, в оптимальном положении, если и только если их центры совмещены и точки обоих компактов находятся на одной прям,ой.
Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что 2К = (1{(11, ^ (1(Ь\, 62) = 2г. Совместим центры компактов так, чтобы точки 01,61,62,02 оказались в таком порядке на одной прямой. Положим е = К — г. В этом положении (1н(А, В) = е. Пусть существует другое положение {6^,62} компакта В относительно компакта А, такое, что (1н(А,В) + е. Покажем, что в этом случае выполнены неравенства й{а\,У]) ^ е и (1(а2,У2) ^ е, и тогда У1 € В£(а\), У2 € Ве(а2) (или У2 € Ве(а\), Ь\ € Ве(а2) с точностью до переименования точек компакта В).
Действительно, в противном случае, когда (¿(а^б^) ^ е и (¿(01,62) ^ е или й{а2,У^) ^ е и (¿(02,63) + е, компакт В полностью содержится в е-окрестности одной из точек ец компакта А, и тогда, так как (1н(А,В) + е, одна из точек 6^ и У2 также принадлежит е-окрестности второй точки а^ компакта А, но эти окрестности не пересекаются, поскольку е = К — г < й{а02)/2.
Итак, в е-окрестности каждой точки компакта А лежит ровно одна точка компакта В. Тогда для любых Ь[ € Ве(а\) т У2 ^ Ве{а2) выполняется (1(Ь'1,У2) ^ 2г, причем равенство достигается только тогда, когда точки Ух и У2 лежат на прямой, соединяющей а\ и а2.
Значит, точки компакта В — ближайшие точки границ е-окрестностей точек а\ и (12 и расстояние по Хаусдорфу между компактами равно полуразности длин отрезков. Таким образом, оптимальное положение двух двухточечных компактов — это совмещение их центров, указанное выше. Предложение доказано.
Следствие 3. Отрезки А = [Д^Дг] и В = [В1,В2] находятся в оптимальном положении тогда и только тогда, когда совмещены их середины и от,резки, лежат на, одной, прям,ой. В частности, (1есн(А, В) = \\д{А\, Д2) - д{Вх, В2)\.
Для доказательства следствия нам понадобится
Лемма 2. Пусть I = [Р,0\ С М'1 — произвольный отрезок и, Вг{1) — его замкнутая г-окрестность. Тогда, множество Вг(1) выпукло и для любых С, И € Вг(1) выполняется (1(С, И) ^ (1(Р, О) + 2г, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда [С, И] — отрезок длины, (1(Р, О) + 2г, лежащий, на, прямой РС}, а, его середина совпадает с серединой, I.
Доказательство. Окрестность отрезка наименьшей длины — это цилиндр, к основаниям которого прикреплены полушары с центрами в концах отрезка. Так как все точки этой окрестности удалены от точек отрезка не более чем на г, то для точки С существует точка Р' € [Р, 0\, такая, что (1(С, Р') ^ г, и для точки И существует точка О; € [Р, 0\, такая, что С,)') ^ г. Тогда
(¿(С, Р') + й{Р,,Я') + £*(<?',£>) < 2г + д{Р', д') < 2г + с1(Р, О).
В последнем неравенстве равенство достигается, когда = {Р, не ограничивая общности,
положим Р = Р' ш = Тогда в этом предположении получаем д{С,0) ^ 2г + д{Р,0), где равенство достигается, когда (1(С, Р) = О) = г. Осталось заметить, что величина (1(С, И) может принимать это максимальное значение и это происходит в точности тогда, когда точки С и В лежат на пересечении прямой, содержащей /, и граничных сфер окрестностей ВГ(Р) и Вг(0). Это и означает, что отрезки [Р, 0\ и [С, И] лежат на одной прямой и их середины совмещены. Лемма доказана.
Теперь вернемся к следствию 3.
Доказательство. Пусть 2К = д(А\, А2) ^ д{В\,В2) = 2г. Покажем, что описанное в предложении положение оптимально. По лемме 2 отрезок наибольшей длины можно движениями поместить в окрестность второго отрезка только тогда, когда ее радиус не меньше полуразности отрезков.
В таком положении с1н(А,В) ^ II — г. Обратно: расстояние между любыми двумя точками А1 и А2 из (К — г)-окрестности компакта В не превосходит 2II опять же по лемме 2, и это расстояние достигается только тогда, когда точки А1 и А2 лежат на прямой, содержащей [В\,В2], и середины отрезков [В\,В2] и [А/^А^] совпадают. Значит, отрезок [А/^А^] — это результат движения отрезка той же длины [А\, А2] и других оптимальных взаимных расположений отрезков [В\,В2] и [А\, А2] не существует. Следствие доказано.
Во всех вышеописанных примерах мы видим, что оптимальное положение компактов — это совмещение чебышёвских центров. Возникает вопрос: всегда ли это так? Рассмотрим еще один пример оптимального положения, дающий отрицательный ответ на этот вопрос.
Предложение 4. Рассмотрим трехточечный компакт А = {А1, А2, Аз} и двухточечный компакт В = {В\,В2}, где й{В\,В2) = (I. Пусть аз = (¿(^1,^2), а\ = (1(А2,Аз), (12 = (1(Аз,А1) и а\ ^ (12 ^ аз, точка N — середина отрезка [А2, Аз]. Пусть с1(М, А\) € [(1 — ^,(1 + Тогда оптимальное взаимное расположение компактов А и В описывается с точностью до нумерации точек ком,пакт,а В следующим образом:
1) если а\ < й2 ^ аз, то В\ необходимо пом,ест,ит,ь в середину [А2, Аз], а В2 — в круг В2±{А{);
2) если а\ = а2 < аз, то В\ необходимо поместить или в середину [А_2,Аз]; или в середину [А\, Аз], а В2 — соответственно в круг В2±{А{) или В^х(А2);
3) если а\ = а2 = аз, то В\ следует, поместить в середину любой стороны [А^, А^], а, В2 — в "оставшийся круг" В^х^А^), {г,.], к} = {1,2,3}.
Доказательство. Покажем, что расстояние по Хаусдорфу между компактами А и ОВ, где О — некоторое движение плоскости, сохраняющее ориентацию, не может быть меньше а\/2.
Предположим противное, т.е. (1н(А, О В) < и выберем произвольное е, такое, что (1н(А, О В) < е < Щ-. Тогда Ве(А) = и'1=1Ве(А^ I) ОВ. Так как круги В£(А¿) не пересекаются, то один из них, скажем Ве(Ак), не содержит точек из ОВ. Но тогда А^ ^ Ве(ОВ) — противоречие. Таким образом, Леон (А, В) ^ С другой стороны, для каждого описанного в формулировке предложения взаимного расположения компактов А и В имеем с1н(А,В) = так что для всех таких компактов В выполняется с1есн(А, В) = Ц-, поэтому все эти взаимные положения компактов А и В оптимальны.
Покажем теперь, что других оптимальных положений нет. Заметим, что при оптимальном взаимном расположении компактов А и В две точки В\ и 1>2 должны содержаться во всех трех шарах Ан/2(^1). Это означает, что одна из точек, скажем В\, должна быть общей у двух шаров. Тогда она — точка касания этих шаров, а касание происходит только в середине стороны треугольника, длина которой равна а\. Если такая сторона одна, то необходимо поместить В\ в ее середину. Если таких сторон длиной а\ две или три, поместим В\ в середину любой из них. Заметим, что при каждом выборе расположения точки В\ вторая точка 1>2 может быть помещена в оставшийся шар в силу условия на длину отрезка [В\,В2]. Вне оставшегося шара точку В2 поместить нельзя, иначе расстояние по Хаусдорфу будет больше, чем а\/2. Таким образом, всегда реализуется один из описанных случаев предложения. Предложение доказано.
Замечание 5. В указанной конструкции чебышёвский центр компакта А совсем не обязан лежать на отрезке [Ж, А\], где находится чебышёвский центр компакта В, поэтому, вообще говоря, чебышёвские центры компактов А и В не совпадают.
Замечание 6. Описанное в предложении 4 расположение компактов также является примером, когда оптимальное положение не единственно, их даже континуум.
Приведем еще один пример, показывающий, что оптимальное положение компактов — необязательно совмещение чебышёвских центров.
Предложение 5. Положение п-мерного шара, В радиуса, г и отрезка А = [^1,^2], где (1{А\, А2) ^ 2г, оптимально, если и только если оно представляет собой совмещение центра шара с некоторой точкой отрезка.
Доказательство. Окрестность отрезка в Мга — это цилиндр, к основаниям которого прикреплены полушары с центрами в концах отрезка. Следовательно, если поместить центр шара В на отрезок А, то шар В окажется в г-окрестности отрезка А. Кроме того, в силу предположения относительно соотношения между длиной отрезка А и диаметром шара В при таком расположении отрезок А окажется в г-окрестности шара В, так что расстояние Хаусдорфа между такими А и В равно г. С другой стороны, если центр шара В не лежит на А, то шар В не попадает в г-окрестность отрезка А (рассмотрим точку пересечения прямой, содержащей А, с границей шара В, ту из двух, которая является дальней по отношению к отрезку А; расстояние от нее до ближайшего конца отрезка А превзойдет г), поэтому между такими шарами А и В расстояние Хаусдорфа больше г. Предложение доказано.
При этом совмещение чебышёвских центров компактов в последнем примере также дает оптимальное положение.
Предложение 6. Пусть даны компакты А = [А1, Д2] и В — п-мерный шар радиуса г. Тогда (1.есн зависит от длины отрезка: с1есн(А, В) = г при (¿(А1, Д2) ^ 4г, с1есн(А, В) = ^(¿(А1, Д2) — г при (¿(АЬА2) 4г. При этом в первом случае положение компактов А и В оптимально, если и только если центр шара В расположен на отрезке А так, что длина каждой связной компоненты множества А \ В не превышает г. Во втором случае положение компактов А и В оптимально, если и только если центр шара В лежит в середине отрезка А.
Доказательство. Если (¿(А1, Д2) ^ 4г, покажем, что с1есн(А, В) = ^(¿(Аь Д2) — г. Предположим, что существует движение плоскости О, сохраняющее ориентацию и такое, что с1н(А,ОВ) = д < ^(¿(А1, Д2) — г. Значит, А С В ¿{В). Так как (¿-окрестность шара — это шар с тем же центром радиуса г + (¿, то максимальная длина отрезка, который может содержаться в этом шаре, равна 2(г + (¿) < (¿(АЬА2) — противоречие. Значит, с1н(А,ОВ) ^ ^(¿(А1, А2) — г, где равенство достигается, если поместить центр шара в середину отрезка, поэтому с1есн(А, В) = |д(А\,А2) — г, и указанное расположение компактов оптимально. Оно единственно, так как если А и В находятся в оптимальном положении и с! = с1н(А,В), то, как мы только что показали, длина отрезка [А1,А2] равна диаметру шара В ¿(В), а такой отрезок содержится в этом шаре, если и только если его середина — центр шара.
Пусть (¿(А1, А2) ^ 4г. Предположим, что существует движение плоскости О, сохраняющее ориентацию и такое, что с1н(А,ОВ) = с! < г. Значит, В С Ва(А). Так как (¿-окрестность отрезка — это цилиндр, к основаниям которого прикреплены полушары с центрами в А\ и А2 и радиусом (¿, то максимальный радиус шара, который можно поместить в эту окрестность, равен с! — противоречие. Значит, с1н(А,ОВ) ^ г, где равенство достигается, если поместить центр шара в некоторую точку отрезка так, чтобы длины отрезков [Д^СУ, где С г — соответствующие точки пересечения отрезка А и граничной сферы шара В, не превышали г. Поэтому с1есн(А, В) = г, и указанное расположение компактов оптимально. Других оптимальных положений нет, так как если центр шара В не лежит на прямой, содержащей отрезок [А\, А2], то шар не попадает в г-окрестность отрезка. Иначе Лесн(А, В) = г, если и только если А содержится в г-окрестности В, т.е. длины отрезков [А^, СУ не превосходят г. Предложение доказано.
2.1. Реализация трехточечного метрического пространства в пространстве с евклидово инвариантной метрикой Громова-Хаусдорфа. В работе С.Д. Илиадиса, А.О. Иванова и А.А. Тужили-на [9] показано, как можно изометрично вложить конечное метрическое пространство в пространство Громова-Хаусдорфа. Тот же вопрос о счетных метрических пространствах остается открытым, как и вопрос реализации метрических пространств в евклидовых пространствах с метрикой Громова-Хаусдорфа. Мы покажем, как это сделать для трехточечного пространства.
Предложение 7. Рассмотрим пространство {М\,М2,Мз} с заданным,и расстояниями (¿(М2,М3) = а, (¿(М1,Мз) = Ь, (¿(МЬМ2) = с, а ^ Ь ^ с. Тогда, в качестве реализации, данного пространства в пространстве %0(Жа),п ^ 2, наделенном, метрикой (1есн, можно взя,т,ь отрезок А = [А\, А2] длины, 2(а + Ъ), шар В радиуса, Ь и отрезок С = [С\, С2] длины, 2(а + Ъ — с). Множества А, В и С можно разместить в Мга так, чтобы для, каждой, пары, этих множеств это положение было оптимальным. Все тлкие положения описываются следующим образом: от,резки, А и, С лежат на, одной, прямой и их центры совпадают; наибольший, из этих отрезков расположен так, как описано в предложении 6.
Доказательство. Поскольку из неравенства треугольника а—с ^ Ь следует, что 2(а+6—с) ^ 46, а из условия а ^ 6 следует, что 2(а + 6) ^ 46, то по предложению 6 имеем с1есн(А, В) = а, (1есн{В,С) = с, а из следствия 3 вытекает, что (1есн{А,С) = 6. Если три компакта расположены так, что каждая пара этих компактов находится в оптимальном положении, то отрезки должны быть совмещены так, чтобы они были на одной прямой и их середины совпали (следствие 3), а шар и отрезок наибольшей длины — так, как описано в формулировке предложения 6. Таким образом, положения, которые описаны в формулировке доказываемого предложения, и только они оптимальны. Предложение доказано.
2.2. Об оптимальном положении ориентированно-подобных компактов. Обращаясь к вопросу о совмещении чебышёвских центров, хочется понять, в каких случаях это решает проблему поиска оптимального положения. В качестве примера разберем случай, когда компакты отличаются на подобие, сохраняющее ориентацию.
Приведем несколько вспомогательных результатов. Для каждого X € *Н(Жп) через Ох и Кх будем обозначать его чебышёвские центр и радиус.
Лемма 3. Для произвольного X € "H(Rra) и е > 0 имеем Ве(Х) С Вцх+е(Ох)■
Доказательство. Так как все точки компакта X удалены от Ох не более чем на Rx, то точки компакта Ве(Х) удалены от Ох не более чем на Rx + е в силу неравенства треугольника. Но это и означает, что Ве(Х) С Brx+e(Ox)• Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть X € %(Rra) и А > 0. Тогда у ком,пакт,a, Y = Ox + А(Х — Ох), гомотетичного компакту X, чебышёвские центр и радиус — это Ох и XRx-
Доказательство. Для каждой точки у € Y выполнено равенство у = Ох + А (ж — Ох) для некоторого ж € X. Так как Х\х — Ох\ ^ A Rx, то и для любой точки у е Y верно, что d(y, Ox) ^ XRx-Поэтому Ry "С XRx■ Применяя те же рассуждения для точек из X, заключаем, что Rx ^ jRy-Значит, Ry = XRx ■ Отсюда в силу единственности чебышёвского центра у компактных подмножеств Rra следует, что Ох является чебышёвским центром компакта Y. Лемма доказана.
Лемма 5. Если для, X, Y € "H(Rra) выполнено равенство Ry = Rx + £ > 0, то для любого числа, 5, 0 < 5 < е, и для, любого движения Р имеем P(Y) (jL В^(Х).
Доказательство. По лемме 3 имеем В$(Х) с Brx+$(Ox)- Но так как Ry = Rx+£, то компакт Y ни в какой шар меньшего радиуса поместить нельзя, т.е. P(Y) (jL Brx+$(Oy) ни для какого 5, 0 < 5 < е, и движения Р. Но тогда P(Y) (jL В$(Х), что и требовалось доказать. Лемма доказана.
Лемма 6. Для X € ,Н(Жп) и е > 0 имеем, Rbs(x) = Rx + £ и Obs(x) = Ox-
Доказательство. Из леммы 3 следует, что Rbs(x) ^ Rx + Покажем, что Rbs(x) ^ Rx + Пусть существует шар с центром в некоторой точке О радиуса Rx + S, где 0 < 6 < е, такой, что Ве(Х) С Brx+s(0). Тогда для произвольной точки х € X выполнено неравенство d(0,x) + е ^ Rx + 6, т.е. d(0,x) ^ Rx + 6 — £ < Rx- Это означает, что нашлась такая точка О, что все точки из X удалены от О на расстояние, меньшее Rx, т.е. Rx — не чебышёвский радиус. Противоречие. Итак, Rbe(x) = Rx + £• Отсюда же следует, что Ох = Ов£(х) (в силу единственности чебышёвского центра у компактных подмножеств Жп). Лемма доказана.
Лемма 7. Если для X, Y € "H(Rra); т,а,ких, что Ry = Rx + е, е > 0, чебышёвские центры не совпадают, то Y (jL Ве(Х).
Доказательство. Так как Ох ф Оу, то чебышёвские шары Вцх+е(Ох) и Bry(Oy) для Ве(Х) и для Y соответственно имеют одинаковые радиусы (лемма 6) и разные центры, т.е. шары не совпадают. С другой стороны, если Y С Ве(Х), то F С Вцх+е(Ох) (Оу), но правая часть последнего включения, являясь пересечением несовпадающих шаров одинакового радиуса Ry, содержится в шаре меньшего, чем Ry, радиуса. Последнее противоречит тому, что Ry — чебышёвский радиус для Y. Значит, Y (jL Ве(Х). Лемма доказана.
Лемма 8. Пусть X, Y € "H(Rra) — ориентированно-подобные компакты. Тогда,
dEGH(X,Y) = \Ry-Rx\-
Доказательство. Пусть S = А о Р — сохраняющее ориентацию подобие, для которого Y = S(X), где Л — растяжение в А > 0 раз с центром в О, а Р € G. Отметим, что Ry = XRx-
Если А = 1, то Rx = Ry h dEGH(X, Y) = 0, так что в этом случае утверждение леммы верно.
Пусть теперь А ф 1. Без ограничения общности будем считать, что А > 1, тогда |Ry — Rx\ = Ry — Rx = (A — 1 )Rx- Кроме того, так как центр О соответствующего растяжения можно выбирать произвольным образом, поместим его в чебышёвский центр Ох компакта X. Тогда для А-гомотетичных компактов X и P(Y) расстояние между точкой х € X и соответствующей точкой у = О + А(ж — О) € P{Y) равно d{х, у) = (А — l)d(x, О), поэтому
dH (X, P(Y)) < (А - 1) 8пржех d(х, О) < (А - 1 )RX = Ry~Rx,
и, значит, (1egh{X,Y) ^ Ry — Rx- Покажем, что на самом деле здесь имеет место равенство. Предположим противное, т.е. (1egh{X,Y) < Ry — Rx- Тогда существуют 5, 0 < 5 < Ry — Rx-, и движение M', такие, что M'(Y) С В$(Х). Но по лемме 5 имеем Ry ^ Rx + Противоречие. Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть X и Y — непустые ориентированно-подобные компакты в Rra. Тогда, dEGn(X,Y) = |Ry — Rx\ и если эти компакты находятся в оптимальном положении, то их чебышёвские центры совпадают. Более того, положение, в котором Ох = Oy, а X и Y гомотетичны с центром в Ох, является оптимальным.
Доказательство. Равенство (1egh{X, Y) = \Ry — Rx\ доказано в утверждении леммы 8. Далее, предположим, что X и Y находятся в оптимальном положении. По лемме 7 если их чебышёвские центры не совпадают, то (Ih(X,Y) > \Ry — Rxчто противоречит оптимальности. Наконец, пусть Ох = Oy и рассматриваемые компакты гомотетичны с центром в Ох- Так же, как в лемме 8,
доказывается, что dn(X, Y) + \Ry — Rx\, поэтому такие X и Y находятся в оптимальном положении. Теорема доказана.
Замечание 7. Совпадающие чебышёвские центры ориентированно-подобных компактов, находящихся в оптимальном положении, не обязаны совпадать с центром гомотетии: если X — это две окружности с одним центром О (граница кольца), соединенные отрезком, a Y — гомотетичное множество с центром в О, то указанное положение оптимально. Но если вращать Y относительно центра О, то расстояние по Хаусдорфу не изменится.
Следствие 4. Опт,им,а,льное положение шаров А и В одинаковой максимальной ра,зм,ерн,о-сти — это совмещение их центров.
2.3. Об оптимальном положении компактов, находящихся в положении "между".
Теорема 2. Пусть непустые компакты А и В находятся, в оптимальном положении. Тогда, все компакты между А и, В в смысле метрики Хаусдорфа в па,ре с каждым, из компактов А и, В тоже находятся в оптимальном положении в смысле евклидово инвариантной метрики Громова-Хаусдорфа.
Доказательство. Так как A m В находятся в оптимальном положении, то по определению du (А, В) = с1есн(А, В). В силу того что расстояние является метрикой, из неравенства тре-
угольника следует
dEGH(A, В) ^ dEGH(A, С) + дЕсн(С, В)-, опять же из оптимальности положения заключаем, что
dEGH(A,C) < dH{A,C), degh(C,B) < dH{C,B).
Если компакт С оказался не в оптимальном положении относительно А или В, то одно из двух предыдущих неравенств будет строгим, поэтому в этом случае
dH(A, В) = degh(A, В) < degh(A, С) + degh(C, В) < dH(A, С) + dH(C, В),
следовательно, С не находится между A m В — противоречие. Значит, компакты А и С, В и С находятся в оптимальном положении. Теорема доказана.
Замечание 8. Обратное неверно, как показывает предложение 7.
Замечание 9. Транзитивность неверна: если компакты А и В, В и С находятся в оптимальном положении, компакты А и С не обязаны находиться в оптимальном положении. Например, пусть А = {Ai,A2}, В = {-Bi}, С = {Ci,C2}. Совместим середины компактов А и С при условии, что точки А\, А2,С\, С*2 не лежат на одной прямой, а компакт В поместим в их общую середину. Таким образом, одноточечный компакт находится в оптимальном положении с каждым из двухточечных, но между собой двухточечные не в оптимальном положении. Более того, не любые три компакта удается разместить так, чтобы любые два оказались в оптимальном положении. Рассмотрим пример, описанный в предложении 4.
Пусть множество АсК2 состоит из трех точек, попарные расстояния между которыми равны 10, 13, 13; множество В С К2 состоит из двух точек, находящихся друг от друга на расстоянии 10, множество С С К2 — из одной точки. Предположим, что эти три множества расположены так, что их взаимные попарные расположения оптимальны. По предложению 2 множество С совпадает с чебышёвским центром множеств A m В, однако для А чебышёвский центр — это центр описанной окружности, так что если N обозначает середину основания равнобедренного треугольника с вершинами в А, то d(C,N) = 119/24. По предложению 4 одна из точек множества В совпадает с N, поэтому опять в силу предложения 2 точка С попадает в середину отрезка с концами в В, следовательно, d(C, N) = 5 — противоречие.
Автор приносит благодарность научному руководителю профессору А.А. Тужилину, а также профессору А. О. Иванову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
Работа выполнена при поддержке программы "Ведущие научные школы РФ" (грант ,V"I II 11 6399.2018.1) и РФФИ (грант №16-01-00378-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Edwards D. The Structure of Superspace // Studies in Topology. N.Y.; S.F.; L.: Academic Press, 1975.
2. Gromov M. Groups of polynomial growth and expanding maps // Publ. math. 1981. 53. 53-73.
3. Memoli F. Gromov-Hausdorff distances in Euclidean spaces // Computer Vision and Pattern Récognition Workshops. 2008 // IEEE Computer Society Conférence. Anchorage, 2008. 1-8.
4. Lund, К., Schlicker S., Sigmon P. Fibonacci sequences and the space of compact sets // Involve. 2008. 1, N 2. 197-215.
5. Казаков A.JI., Лебедев П.Д. Построение наилучших круговых аппроксимаций множеств на плоскости и на сфере // XII Всерос. совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. М., 2014. 1575-1586.
6. Соеов Е.Н. Геометрии выпуклых и конечных множеств геодезического пространства. Казань: Казан, фе-дер. ун-т, 2010.
7. Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2004.
8. Гаркави А.Л. О чебышёвском центре и выпуклой оболочке множества // Успехи матем. наук. 1964. 19, вып. 6. 139-145.
9. Iliadis S., Ivanov A., Tuzhilin A. Focal structure of Gromov-Hausdorff space, and isometric embeddings of finite metric spaces into this space // Topol. and its Appl. Elsevier BV. Netherlands. 2017. 221. 393-398.
Поступила в редакцию 22.11.2017
УДК 519.716.5
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА ДЕЛЬТА-ЗАМКНУТЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ
Д. Е. Стародубцев1
На множестве функций /г-значной логики рассматривается замыкание относительно операции суперпозиции и "слабого" варианта операции обращения. Найдена мощность множества всех классов функций /г-значной логики, замкнутых относительно этих операций.
Ключевые слова: многозначная логика, замкнутые классы, оператор замыкания, усиление суперпозиции, операция обращения.
On the set of functions of fc-valued logic, a closure under composition operation and light version of inversion operation is considered. The cardinality of the set of all such closed classes is calculated.
Key words: fc-valued logic, closed classes, closure operator, inversion operation, extension of composition operation.
Работа относится к теории функциональных систем. Исследуются замкнутые классы функций fc-значной логики [1, 2]. Известно, что семейство замкнутых классов булевых функций имеет счетную мощность [3, 4], а семейство замкнутых классов функций fc-значной логики при k ^ 3 — мощность континуума [1, 5]. В ряде работ (см., например, обзор [6]) рассматриваются различные усиления операции суперпозиции, что позволяет получить более "просто" устроенную решетку классов функций, замкнутых относительно новых операций. Настоящая работа также относится к этому направлению исследований. На множестве функций fc-значной логики наряду с операцией суперпозиции вводится операция обращения, которая в некотором смысле является обратной к операции отождествления переменных. Операция обращения допускает несколько вариантов определения. В работе рассмотрен ее "слабый" вариант. Показано, что существует континуум классов функций, замкнутых относительно операции суперпозиции и "слабого" варианта операции обращения. Классы булевых функций, замкнутые относительно операций суперпозиции, введения фиктивной переменной и "сильного" обращения, были описаны в дипломной работе Н.Т. Мартыновой, выполненной на механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова в 2011 г.; классы функций fc-значной логики при к ^ 3, замкнутые относительно операций суперпозиции и "сильного" обращения, описаны в работе [7].
Пусть к ^ 3. Обозначим через Е& множество {0,1,... , к — 1}, через Pk множество всех функций fc-значной логики. Через ап обозначим набор значений (а\,..., ап) € будем также употреблять
1 Стародубцев Дмитрий Евгеньевич — ассистент каф. высшей математики МФТИ (ГУ), e-mail: dmitry.starodQgmail.com.
