ВЫПУКЛОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВО ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Текст научной статьи по специальности «Математика»

7, Тимошин O.A. Наилучшее приближение оператора второй смешанной производной в метраках L и C на плоскости, // Матем, заметки, 1984, Т. 36, вып. 2, С. 369-377.

8, Кошелев A.A. Наилучшее Lp приближение оператора Лапласа линейными ограниченными операторами на классах функций двух и трех переменных // Тр. IIn-ia математики и механики Уро РАН. 2011. Вып. 17, ч. 3. С. 217-224.

УДК 519.8

В. В. Розен

ВЫПУКЛОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВО ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР

Поступила в редакцию 21.05.2018 г.

В задачах принятия решения с упорядоченными исходами возникает проблема продолжения упорядоченности на множество вероятностных мер. В данной работе эта проблема рассматривается в общем виде. В качестве продолжения отношения порядка на множество вероятностных мер предлагается его выпуклая оболочка. Указаны основные свойства выпуклой оболочки отношения порядка и дано ее описание с помощью так называемых матриц декомпозиции упорядоченного множества. Альтернативные способы продолжения упорядоченности на множество вероятностных мер рассмотрены в работах автора [1-3].

1. Под вероятностной мерой на конечном множестве A = {a1,..., an} понимается отображение ß : A ^ R

n

ß(ai) > 0(i = 1,... ,п),^2^(аг) = 1.

i=1

Если задана вероятностная мера ß, то, полагая ß(ai) = получаем n - компонентный в ектор (ß1,... , ßn) пространств а Rn, который назы-

A

A

ветствуюгций ей вероятностный вектор взаимно однозначно определяют друг друга, в дальнейшем мы их обозначаем одним и тем же символом. Для любого ai Е A обозначаем через öai вырожденную вероятностную меру, сосредоточенную в точке air Можно рассматривать A как подмножество A. Введем следующее

Определение 1. Произвольное бинарное отношение р С А х А, заданное на множестве вероятностных мер А, называется выпуклым, если условия

(М1, ^х) е р (М2, ^2) е р

влекут (адх + вм2, + (Зи2) е р при любых а > 0, в > 0, а + в = 1.

Учитывая, что пересечение любого семейства выпуклых бинарных отношений на множестве вероятностных мер А также является выпуклым бинарным отношением на А, получаем, что определена операция выпуклого замыкания, которая каждому отношению р С А х А ставит в соответствие наименьшее (по включению) содержащее его бинарное

отношение р> С А х А. При этом отношение р называется выпуклой обор

2. Пусть < А,ш > - некоторое упорядоченное множество. Так как ш С А х А С А х А, то существует выпуклая оболочка ш отношения порядка ш. Основной задачей данной работы является нахождение основных свойств и описание отношения 0. С этой целью дадим следующее определение.

Определение 2. Назовем порождающей последовательностью в упорядоченном множестве < А, ш > всякую конечную последовательность, членами которой являются пары вероятностных мер, принадлежащих множеству А, причем каждый член ) этой последовательности имеет вид

1) либо д = 5а1, V = 5ар где а <ш а,

2) либо (д, V) есть выпуклая линейная комбинация двух уже имеющихся членов этой последовательности (дх, VI) и (д2, v2).

< А, ш >

Обозначим через ш множество пар вероятноетных мер (д, V) е А х А, для которых существует порождающая последовательность, последним членом, которой является (д, V). Тогда, ш совпадает с выпуклой оболочкой от,ношения, ш, то есть ш = ш

Доказательство. Включение ш С ш устанавливается индукцией по порождающей последовательности. Обратное включение ш С ш следует из того, что отношение ш является выпуклым и содержит ш.

< А, ш >

Тогда, ш есть выпуклое отношение порядка на множестве вероятностных мер А, ограничение которого на подмножестве А С А совпадает ш

Будем называть отношение и) выпуклым продолжением порядка ш на множество вероятностных мер.

3. Полное описание отношения ш дается с помощью матриц декомпозиции упорядоченного множества.

Определение 3. Назовем матрицей декомпозиции упорядоченного множества < А,и >, где А = {а1,... ,ап}, действительную неотрицательную матрицу О = \\dij || формата п х п, удовлетворяющую следующим условиям:

1) сумма элементов любой строки матрицы О равна 1 (то есть матрица О является стохастической);

2) для всех г,з = 1,..., п условие dij = 0 влечет а,; <ш а^.

А

рованы таким образом, что большему относительно порядка и элементу соответствует больший номер (условие согласованности). Тогда матрица декомпозиции О упорядоченного множества < А, и > всегда является треугольной, в которой все элементы ниже главной диагонали равны 0. В самом деле, условие dij = 0 влечет а, < aj7 а тогда по условию согласованности выполнено г < 3. Отметим важнейшие свойства матриц декомпозиции упорядоченного множества.

< А, и >

где А = а1,..., ап, ш - выпуклое продолжение отношения порядка и на множество А вероятностных векторов. Для любых вероятностных векторов р, V Е А у слови е (р, V) Е и) выполняется тогда и только тогда, когда существует матрица декомпозиции О упорядоченного множества < А, и >, для которой имеет место равенство V = р ◦ О.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Розен В. В. Продолжение упорядоченности на множество вероятностных мер // Математика. Механика. : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 1. С. 61-70.

2. Розен В. Принятие решений по качественным критериям // Математические модели. Saarbrucken ; Deutschland, Verlag : Palmarium Academic Publishing, 2013. С. 284.

3. Розен В. В. Упорядоченные векторные пространства и их приложения. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2014. С. 216.