CC BY
9
№2, 2004 г.
■ УДК 539.3:534.1
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ
С.К, Ельмуратов, А.Ф. Ельмуратсва,
' Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова Н.Т. Жадрасинов
Карагандинский государственный технический университет
Мацалада динамикальщ куштер ecepi нэтижесшдег1 ^стшашр есебг щрастырылады. Есептеу ЭЕМ пайдалану арк,ылы соцгы аиырма эдюг
бойьтша жург1зЫЫ. И в статье рассматривается расчет пластин на динамические воз-
дейсття^жштведется^метподом конечных разностей с применением ЭВМ.
Calculation of plates on dynamic effects is considered in the ^cle_The calculation is carried^out with the help of final differences method using ECM.
Рассматривается прямоугольная ортотропная пластина при действии про" расположенных возму_< нагрузок и
Lr Учитываются упругое основание пластины, шарнирное опиранис :Гза^ГиГ! контуру и свободный край. Динамическая на= и сосредоточенные массы могут быть приложены весьма произвольно^ Дифф^р^нциальное уравнение вынужденных колебаний тонких пластин
имеет вид [1]:
а)
Здесь поперечная нагрузка задается в виде:
р
F = K(Acos©f*£sin0O-—^
в формулах (1) и (2) принято: D, D, D, - цилиВДри,еск»о W - прогГб пластин; q - интенсивность нагрузки на единицу площади. К
коэффициент упругости грунта; В - частота возмущающей силы; R - амплитуд-
Р
ное значение возмущающей силы,--интенсивность массы
8
Решение уравнения (1) ищем в виде
W(x, у, t) = W(x, y)(A cos ®t + В sin Qt) (3)
с учетом (2) и (3) дифференциальное уравнение (1) примет вид
- + (4)
В (4) приняты обозначения для соотношений цилиндрических жестко-стей
D, D2
^'^t (5) Для решения дифференциального уравнения (4) применим метод конечных разностей [2,3].
[П3 gD3 gD3
Wl+cp2(}VK + Wt) + <p3(Wm+Wn) +
где коэффициенты при прогибах определяются выражениями
6??1 о ^ 2 4тг
д>1=-± + 8 + 6Ъц\ 4, {?)
<Ръ = -^ПгН-1 -4, <рА = 2, (р5 = \, <р6~
Ц-
Для прямоугольных пластин ¿и^а/Ь - соотношение сторон. Сосредоточенные массы и возмущающие силы определяются выражениями
Р0шР^,Я (8)
Аппроксимируем пластину регулярной сеткой и запишем уравнение (6) для 1-ой точки сеточной области [4].
Ка4 Р0в2а2 ч®2«4 V
~gD¿2M2' sVDзГ
+ <p4(Wp +W,i+Wr) + <P,(WS + W!) + <p6(Wu +WV) = -^T (9)
JL^O ¡Л
где S - число шагов сетки.
№2, 2004 г.
73
Точки приложения сосредоточенных масс и возмущающих сил можно принимать произвольно в любом узле сеточной области. Граничные условия шарнирного опирания, защемления и свободного края могут варьироваться по любой стороне пластинки или на участке стороны. Упругое основание также может учитываться на участке пластины или по всему основанию. Программа на ЭВМ составлена для произвольного числа шагов сетки 8. В зависимости от 3 программа автоматически формирует нужное число уравнений в конечных разностях. Задачи решались при числе шагов сетки 8=6,8,10. При 8=10, без уточнения значений расчета, расхождение результатов с имеющимися точными решениями [5] лежит в пределах 3%.
Исследовалось влияние внешней нагрузки и граничных условий на прогибы пластины. Значения прогибов в характерных точках пластины приведены в таблице 1.
В задачах с 1 по 3 рассматривается пластина, шарнирно опертая по всему контуру. Величина массы Р0 меняется. В задаче 4 рассматривается эта же пластина, но с учетом упругого основания с коэффициентом упругости грунта К=0,5. В задаче 5 рассматривается пластина, защемленная по всему контуру. В этих задачах сосредоточенная масса и возмущающая сила приложены в центре пластины. В задачах с 6 по 11 исследуется влияние положения массы и возмущающей силы на прогибы пластины. Внешняя нагрузка поочередно прикладывается в точках 1, 2, 6. Пластина защемлена по двум противоположным сторонам, а две другие свободны.
Таблица 1
Результаты расчета пластииы на вынужденные колебания
№ задачи Схема пластины к Ро 1С2 КГ К« 1 ГТ„„ „ ,„ Прогибы в отмечешшк точках
10^ КГ массы, Ро ш, 1Г< ¡V,
1 0.0 2.0 3 0.00354 0.00660 0.00838 0,00660 0.00354 0.0
2 ь/бТ 1 2 13 ' ' .4 Я й/э 0.0 2.5 2.0 3 0.00401 0.00698 0.00895 0.00698 0.00401 0.0
3 10.0 2.0 3 0.00583 0.01091 0.01350 0.01350 0.01091 0.0
4 0.5 10.0 2.0 3 0.00254 0.00507 0.00676 0.00507 0.00254 0.0
5 Контур защемлен 0.5 10.0 2.0 3 0.00076 0.00225 0.00357 0.00225 0.00076 0.0
6 10.0 2.0 1 0.00131 0.00131 0.00101 0.00089 0.00081 0.00105
7 Ь г 10.0 2.0 2 0.00169 0.00446 0.00415 0.00375 0000387 0.00573
8 10.0 2.0 3 0.00138 0.00406 0.00604 0.00484 0.00411 0.00502
9 — --3 ; 10.0 2.0 4 0.00112 0.00332 0.00463 0.00674 0.00721 0.01031
10 ^_______г % 10.0 2.0 5 0.00072 0.00240 0.00335 0.00699 0.01355 0.02319
11 10.0 2.0 6 | 0.00001 0.00044 0.00075 0.00374 0001101 0.02677
Представленный в работе класс задач представляет практическую
ценность при проектировании пря моугольных плит на упругом основании с комбинированными граничными условиями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Елъмуратова А.Ф., Ельмуратов С.К. Расчет ортотропных пластин на вынужденные колебания. // Наука и техника Казахстана,- Павлодар: ПГУ, 2002,- № 4.
2. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок.- Киев1 АН УССР, 1949,- 4.1.; 1959,- 4.2.
3. Варвак П.М., Рябов А.Ф. Справочник по теории упругости - Киев: Будивель-ник. 1971.
4. Баженов А.Ш., Ельмуратов С.К. Влияние сосредоточенных масс на вынужденные колебания прямоугольных ортотропных пластин. // Строительная механика.-Караганда: КПТИ, 1978,-Вып. 3.
5. Киселева И.В. Колебания опертой по кошуру прямоугольной ортотропной пластинки с учетом сосредоточенной массы в месте приложения вибрационной нагрузки.- М.: МАДИ, 1957,- Вып. 21.
